變異數(shù)分析與實驗設計

變異數(shù)分析與實驗設計第一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日第13章

變異數(shù)分析與實驗設計變異數(shù)分析介紹變異數(shù)分析：檢定k個母體平均數(shù)是否相等

多重比較程序?qū)嶒炘O計介紹完全隨機設計隨機區(qū)集設計因子實驗第二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日變異數(shù)分析(ANOVA)可用來檢定三個或三個以上得自觀察型或?qū)嶒炐脱芯康馁Y料母體平均數(shù)是否相等。我們可以使用這些樣本資料的結(jié)果進行下列假設檢定。

如果拒絕H0

，

我們不能下結(jié)論說所有的母體平均數(shù)都不相等。拒絕H0

意指至少有兩個母體平均數(shù)不相等。H0：1=2=3=...=k

Ha：所有母體平均數(shù)不全相等變異數(shù)分析介紹第三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日變異數(shù)分析的假設每個母體之反應變數(shù)均呈常態(tài)分配。所有反應變數(shù)的變異數(shù)，記為2，均相等。由每個母體抽取之樣本必須互為獨立。第四頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日變異數(shù)分析：檢定k個母體平均數(shù)是否相等母體變異數(shù)之處理間估計值母體變異數(shù)之處理內(nèi)估計值比較變異數(shù)之估計值：F檢定ANOVA表第五頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日2之處理間估計值的概念，稱之為處理間均方(MSTR)。

MSTR的分子稱為處理間平方和(SSTR)。

MSTR的分母為SSTR的自由度。母體變異數(shù)之處理間估計值第六頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日共同變異數(shù)2之處理內(nèi)估計值的概念，稱之為誤差均方(MSE)。MSE的分子稱為誤差平方和(SSE)。MSE的分母為SSE的自由度。母體變異數(shù)之處理內(nèi)估計值第七頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日比較變異數(shù)之估計值：F檢定若虛無假設為真且ANOVA之假設均成立，MSTR/MSE的抽樣分配將會服從MSTR自由度為k-1，MSE自由度為nT–k的F

分配。如果k個母體平均數(shù)不全相等，則因MSTR高估2，MSTR/MSE值將提高。因此，當MSTR/MSE之值太大，使其不似來自F

分配時，我們將拒絕H0。第八頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日假設

檢定統(tǒng)計量

拒絕法則

其中F值係由分子自由度k-1，分母自由度nT-k

之F分配查表而得。若F>F，拒絕H0F=MSTR/MSEH0：1=2=3=...=k

Ha：所有母體平均數(shù)不全相等檢定k個母體平均數(shù)是否相等第九頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日此圖顯示顯著水準為時的拒絕域，其中F為臨界值。MSTR/MSE之抽樣分配不拒絕H0拒絕H0MSTR/MSE臨界值F第十頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日變異來源

平方和自由度

均方

F 處理

SSTR k-1 MSTRMSTR/MSE 誤差

SSE nT-k MSE 總和 SST nT-1

SST除以它的自由度nT-1，即為總樣本異變數(shù)，其為將nT個觀察值視為同一組樣本計算而得。ANOVA表第十一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日範例變異數(shù)分析 國家電腦產(chǎn)品公司(NCP)係生產(chǎn)印表機與傳真機的公司，它在亞特蘭大、達拉斯、西雅圖三地均設有工廠。為瞭解到底有多少員工知道全面品管的概念，我們從每間工廠各隨機選取6名員工參加品質(zhì)認知測驗。18名員工的測驗成績及各個工廠的樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)及樣本標準差均列於表13.1。第十二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日變異數(shù)分析

廠1 廠2 廠3

觀察值 亞特蘭大

達拉斯 西雅圖

1 85 71 59 2 75 75 64 3 82 73 62 4 76 74 69 5 71 69 75 6 858267

樣本平均數(shù) 79 74 66

樣本變異數(shù) 34 20 32樣本標準差5.834.475.66範例第十三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日變異數(shù)分析虛無與對立假設

H0:1=2=3

Ha:所有母體平均測驗成績不全相等

其中： 1=母體1平均測驗成績

2=母體2平均測驗成績 3=母體3平均測驗成績範例第十四頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日變異數(shù)分析處理間均方

因為樣本數(shù)均相同

x=(79+74+66)/3=73 SSTR=6(79-73)2+6(74-73)2+6(66-73)2=516 MSTR=516/(3-1)=258誤差均方

SSE=(6–1)34+(6–1)20+(6–1)32=430 MSW=430/(18-3)=28.67=範例第十五頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日變異數(shù)分析F

檢定

假設虛無假設為真，此時MSTR與MSE為兩個相互獨立的2之不偏估計值。第11章曾提及，對一個常態(tài)分配母體而言，兩個相互獨立的母體變異數(shù)2之估計值的比，所形成的抽樣分配必服從F

分配。因此，若虛無假設為真且ANOVA之假設均成立，MSTR/MSE的抽樣分配將會服從分子自由度為k–1，分母自由度為n–k

的F

分配。拒絕法則

若F=MSTR/MSE>3.68，則拒絕H0

範例第十六頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日範例變異數(shù)分析檢定統(tǒng)計量

F=MSB/MSW=258/28.67=9.00結(jié)論

由於F=MSTR/MSE=258/28.67＝9.00大於臨界值F=3.68。因此，我們有充分的證據(jù)拒絕三個母體平均數(shù)相等的虛無假設。換言之，變異數(shù)分析支持NCP公司中，三家工廠平均測驗成績不全相等之結(jié)論。第十七頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日變異數(shù)分析ANOVA表

變異來源

平方和

自由度

均方F

處理

516 2 258.009.00

誤差

430 15 28.67 總和

946 17範例第十八頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日費雪LSD程序

假設變異數(shù)分析已提供拒絕母體平均數(shù)相等之虛無假設的統(tǒng)計證據(jù)。此時，費雪最低顯著差異(LSD)程序可用以決定哪些母體平均數(shù)間存在差異。第十九頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日假設

檢定統(tǒng)計量拒絕法則

其中ta/2值係查自由度為nT

–k之t分配表而得。若t<-ta/2或t>ta/2，拒絕H0費雪LSD程序H0:i

=jHa:i

j第二十頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日假設

檢定統(tǒng)計量

拒絕法則

其中以檢定統(tǒng)計量xi–xj為基礎之費雪LSD程序__H0:i=jHa:i

j若|xi-xj|>LSD，則拒絕H0__xi-xj__第二十一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日費雪LSD

假設

=0.05,虛無與對立假設

(1)

H0:1=2

Ha:1

2統(tǒng)計檢定量

|x1-x2|=|79-74|=5結(jié)論 我們無法下「亞特蘭大之平均測驗成績與達拉斯之平均測驗成績不相等」之結(jié)論。__範例第二十二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日費雪LSD虛無與對立假設

(2)

H0:1=3

Ha:1

3統(tǒng)計檢定量

|x1-x3|=|79-66|=13結(jié)論 由於此值大於6.59，我們可以拒絕亞特蘭大廠與西雅圖廠之平均測驗成績相等之假設。__範例第二十三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日費雪LSD虛無與對立假設(3)

H0:2=3

Ha:2

3統(tǒng)計檢定量

|x2-x3|=|74-66|=8結(jié)論 由於母體2與母體3的樣本平均數(shù)差為8>6.59，我們也拒絕達拉斯廠與西雅圖廠之平均測驗成績相等之假設。__範例第二十四頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日實驗設計介紹統(tǒng)計研究可分為實驗型與觀察型兩類。在實驗型研究中，控制研究中另一個或更多個其他因素，即可獲得這些因素如何影響欲探討變數(shù)之資料。在觀察型研究中，我們不需控制因素。在觀察型研究中建立因果關係較實驗型研究困難。第二十五頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日實驗設計介紹因素是實驗中選取之欲探討變數(shù)。處理是因素之水準。實驗單位是在實驗中欲研究之主體。完全隨機設計是每個處理被隨機指派給實驗單位之實驗設計。如果實驗單位性質(zhì)互異，區(qū)集的方法可使其同質(zhì)化，即隨機區(qū)集設計。第二十六頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日完全隨機設計母體變異數(shù)之處理間估計值母體變異數(shù)之處理內(nèi)估計值比較變異數(shù)估計值：F檢定ANOVA表兩兩比較第二十七頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日實驗設計中，2的處理間估計值稱為處理間均方(MSTR)。計算MSTR的公式如下：其分子稱為處理間平方和

(SSTR)。其分母k-1為SSTR的自由度。母體變異數(shù)之處理間估計值第二十八頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日2的第二個估計值為處理內(nèi)估計值，稱為誤差均方(MSE)。

計算MSE的公式如下：其分子稱為誤差平方和(SSE)。其分母nT–k為SSE的自由度。母體變異數(shù)之處理內(nèi)估計值第二十九頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日

變異來源平方和

自由度均方 F

處理

SSTR k-1

誤差

SSEnT

-k

總和 SST nT-1完全隨機設計之ANOVA表第三十頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日範例

Chemitech公司發(fā)展出一套新的自來水過濾系統(tǒng)。過濾系統(tǒng)之零件必須向幾個供應商購買，Chemitech公司將在位於南卡羅萊納州哥倫比亞市的工廠組裝這些零件。工業(yè)工程部門則須負責決定此套新過濾系統(tǒng)的最佳組裝方式。在考慮很多可行的組裝方式後，工業(yè)工程部門選出三種較佳的方法：方法A、B及C。這些方法在組裝產(chǎn)品的先後次序上有所差異。Chemitech公司的管理者希望能知道哪種組裝方式可在一星期內(nèi)生產(chǎn)最多的過濾系統(tǒng)。第三十一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日範例

方法

觀察值 AB C 1 58 58 48 2 64 69 57 3 55 71 59 4 66 64 47 5 67 68 49

樣本平均數(shù) 62 66 52

樣本變異數(shù)

27.5 26.5 31.0樣本標準差 5.245.155.57第三十二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日完全隨機設計虛無與對立假設

H0:1=2=3

Ha:所有母體平均數(shù)不全相等

其中：

1=方法A平均每星期產(chǎn)量

2=方法B平均每星期產(chǎn)量 3=方法C平均每星期產(chǎn)量範例第三十三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日完全隨機設計處理間均方

因為樣本數(shù)均相同

x=(x1+x2+x3)/3=(62+66+52)/3=60

SSTR=5(62-60)2+5(66-60)2+5(52-60)2=520 MSTR=520/(3-1)=260均方誤差

SSE=4(27.50)+4(26.5)+4(31)=340 MSE=340/(15-3)=28.33=___範例第三十四頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日完全隨機設計拒絕法則

假設=0.05,F0.05=3.89

假設F>3.89，則拒絕

H0

檢定統(tǒng)計量

F=MSTR/MSE=260/28.33=9.18結(jié)論 由於F

之觀察值大於臨界值，因此，我們拒絕虛無假設，得到母體平均數(shù)不全相等之結(jié)論。範例第三十五頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日完全隨機設計ANOVA表

觀察來源

平方和

自由度

均方F

處理520 2 260.009.18

誤差

340 12 28.33

總和

860

14範例第三十六頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日隨機區(qū)集設計ANOVA程序計算與結(jié)論第三十七頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日隨機區(qū)集設計之ANOVA程序?qū)⒖偲椒胶?SST)分割為三部分：處理間平方和、區(qū)集造成的平方和及誤差平方和。公式如下：

總自由度nT–1為處理之自由度k-1、區(qū)集之自由度

b–1及誤差項之自由度(k-1)(b-1)之和。SST=SSTR+SSBL+SSEANOVA程序第三十八頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日變異來源平方和

自由度均方F處理

SSTR k-1 區(qū)集 SSBL b-1誤差

SSE(k-1)(b-1) 總和 SST nT-1隨機區(qū)集設計之ANOVA表第三十九頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日範例 一項測量空中交通管制員的疲累與壓力的研究，建議應修改並重新設計管制員的工作站。在考量數(shù)個工作站的設計案後，我們選出其中三個可降低管制員壓力的較佳方案?，F(xiàn)在面對的主要問題為：這三個方案對管制員壓力的影響程度為何？為解答此問題，我們需先設計一個實驗，以測量在3個設計案下，空中管制員的壓力。第四十頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日管制員處理

(區(qū)集)

系統(tǒng)A

系統(tǒng)B

系統(tǒng)C

區(qū)集平均數(shù)

1 15 15 18 16.0 2 14 14 14 14.0 3 10 11 15 12.0 4 1312 17 14.0 5 1613 16 15.0 613