矩陣分析在通信中的應(yīng)用

式中，表示第p個(gè)可分辨徑中的第l個(gè)不可分辨徑對(duì)應(yīng)的到達(dá)角度；L標(biāo)示不可分辨徑的數(shù)目。對(duì)于發(fā)端的角度擴(kuò)展同理可得。設(shè)接收天線(xiàn)在發(fā)送天線(xiàn)的遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)內(nèi)，可以假設(shè)接收天線(xiàn)的信號(hào)是平面波。第r根接收天線(xiàn)的接收信號(hào)相對(duì)于第1根接收天線(xiàn)的附加時(shí)延為（3.7）式中，是相鄰天線(xiàn)間的距離。對(duì)應(yīng)第r根接收天線(xiàn)的接收信號(hào)相對(duì)于第1根接收天線(xiàn)的附加相移為（3.8）接收端均勻線(xiàn)性陣列的傳播響應(yīng)向量可以表示為（3.9）同樣的可得發(fā)送端均勻線(xiàn)性陣列的傳播響應(yīng)向量可以表示為（3.10）第m根發(fā)送天線(xiàn)的發(fā)送信號(hào)相對(duì)于第1根發(fā)送天線(xiàn)的附加時(shí)延為（3.11）因此，相對(duì)應(yīng)的附加相移就是（3.12）考慮到判決時(shí)間有限，不是所有信號(hào)的到達(dá)反射波都能分離開(kāi)來(lái)。假設(shè)移動(dòng)臺(tái)或散射體發(fā)生運(yùn)動(dòng)，每一個(gè)本地散射體的路徑長(zhǎng)度發(fā)生變化，產(chǎn)生時(shí)變復(fù)衰落，對(duì)于給定速率v，最大頻率偏移為。第p個(gè)可分辨徑的第m個(gè)發(fā)送天線(xiàn)和第r個(gè)接收天線(xiàn)之間的空時(shí)衰落系數(shù)為：（3.13）每一個(gè)到達(dá)路徑經(jīng)歷的衰減為，假定是由隨機(jī)過(guò)程產(chǎn)生，且。通常在仿真時(shí)認(rèn)為AOD均勻分布在0～，這樣可以得到經(jīng)典功率譜。在固定m和r的情況下，和表征著時(shí)間域的衰落特性；而在固定時(shí)間t時(shí)，不同的m和r對(duì)應(yīng)的和則反映陣列的空間特性，其相關(guān)性由兩個(gè)陣列傳播響應(yīng)矢量和決定。記第p個(gè)空間主散射體產(chǎn)生的可分辨多徑的時(shí)延，且一般假設(shè)它們之間的獨(dú)立過(guò)程互相獨(dú)立。不同的傳播環(huán)境對(duì)應(yīng)不同的分布。有上述分析可以知道：當(dāng)本地散射體較少時(shí)，由于發(fā)射機(jī)周?chē)镜厣⑸潴w的作用，在主反射體和接收機(jī)之間的距離相對(duì)較大時(shí)，接收天線(xiàn)到達(dá)角的角度擴(kuò)展較小，此時(shí)接收端僅僅引起時(shí)間衰落，而無(wú)空間衰落；而當(dāng)接收天線(xiàn)周?chē)谋镜厣⑸潴w較多時(shí)，造成較大的角度擴(kuò)展，此時(shí)接收端產(chǎn)生空時(shí)衰落。3.3相關(guān)性矩陣MIMO信道中發(fā)射端和接收端天線(xiàn)之間的相關(guān)的程度就是相關(guān)性,相關(guān)系數(shù)在數(shù)學(xué)上定義為：（3.14）其中，符號(hào)表示求相關(guān)系數(shù)，符號(hào)表示復(fù)數(shù)共軛。根據(jù)a和b的性質(zhì)的不同，可以定義3種不同的相關(guān)系數(shù)：復(fù)數(shù)相關(guān)系數(shù)、包絡(luò)相關(guān)系數(shù)和功率相關(guān)系數(shù)?？紤]兩個(gè)復(fù)數(shù)變量x和y：復(fù)數(shù)相關(guān)系數(shù)，此時(shí)：（3.15）包絡(luò)相關(guān)系數(shù)，此時(shí)：（3.16）功率相關(guān)系數(shù)，此時(shí)：（3.17）限于測(cè)量設(shè)備等因素，以前對(duì)信道相關(guān)系數(shù)的探討更多的集中于包絡(luò)相關(guān)系數(shù)和功率相關(guān)系數(shù)。然而，對(duì)于MIMO信道建模來(lái)說(shuō)，復(fù)數(shù)相關(guān)系數(shù)包含了能反映信道特性的較全面的信息——幅度和相位，具有更好的性能。對(duì)于Rayleigh衰落信道，復(fù)數(shù)相關(guān)系數(shù)定義式和功率相關(guān)系數(shù)的定義式有如下關(guān)系：（3.18）為了保持信道模型的簡(jiǎn)單性，假設(shè)信道的傳輸系數(shù)服從零均值的復(fù)高斯分布，即的模服從Rayleigh分布。并對(duì)該統(tǒng)計(jì)MIMO信道模型進(jìn)一步作出如下假設(shè)：（1）同一多徑下傳輸系數(shù)的平均功率相等所有（3.19）（2）信道為廣義平穩(wěn)非相關(guān)散射信道,不同的多徑下(或者不同的時(shí)延下)的信道傳輸系數(shù)不相關(guān)當(dāng)（3.20）上式中的符號(hào)表示求a和b之間的相關(guān)系數(shù)；（3）接收天線(xiàn)衰落的兩個(gè)系數(shù)的相關(guān)性與發(fā)射天線(xiàn)是哪一個(gè)無(wú)關(guān)；同樣，兩個(gè)發(fā)射天線(xiàn)之間的相關(guān)性與接收天線(xiàn)是哪一個(gè)也沒(méi)有關(guān)系。定義接收端第根天線(xiàn)和第根天線(xiàn)之間的相關(guān)系數(shù)為：（3.21）上式間接地使用了上述的第3個(gè)假設(shè)，即接收端天線(xiàn)的相關(guān)系數(shù)與發(fā)射端的天線(xiàn)無(wú)關(guān)。只要發(fā)射端的天線(xiàn)間距并不太大，而且每根天線(xiàn)具有相同的輻射模式，這個(gè)假設(shè)就是合理的。因?yàn)閺倪@些天線(xiàn)上發(fā)射出去的電磁波照射到接收端周?chē)嗤纳⑸潴w上，在接收端會(huì)產(chǎn)生相同的PAS，也會(huì)產(chǎn)生相同的空間相關(guān)函數(shù)。同理，定義發(fā)射端第根天線(xiàn)和第根天線(xiàn)之間的相關(guān)系數(shù)為：（3.22）由（3.21）和式（3.22），分別定義接收端和發(fā)射端的兩個(gè)對(duì)稱(chēng)相關(guān)矩陣和為：（3.23）(3.24)但是，僅有發(fā)射端的空間相關(guān)矩陣和接收端的空間相關(guān)矩陣并不能為產(chǎn)生矩陣提供足夠的信息。因此，需要確定連接兩組不同天線(xiàn)之間的任意兩個(gè)傳輸系數(shù)的空間相關(guān)性。為此，定義（3.25）在上述第3個(gè)假設(shè)的條件下，從理論上可以證明，式（3.20）與下式等價(jià)：（3.26）根據(jù)式（3.26），MIMO信道的整體相關(guān)矩陣可以表示為發(fā)射端相關(guān)矩陣與接收端相關(guān)矩陣的Kronecker乘積[17]：(3.27)上式中，符號(hào)表示矩陣的Kronecker乘積運(yùn)算。在對(duì)信道的空間相關(guān)性進(jìn)行建模時(shí)，按照式（3.27）對(duì)和作矩陣的Kronecker乘積，得到MIMO信道的整體相關(guān)矩陣，然后對(duì)作相應(yīng)的矩陣分解，從而得到MIMO信道的空間相關(guān)矩陣。角度功率譜PAS主要有3種分布：均勻分布、高斯分布和拉普拉斯分布。討論將基于上述3種分布的PAS，給出天線(xiàn)元之間的相關(guān)系數(shù)與天線(xiàn)的歸一化間距之間的函數(shù)關(guān)系。在討論中，仍然假設(shè)天線(xiàn)為全向天線(xiàn)，天線(xiàn)陣列結(jié)構(gòu)為ULA，并且電波以波簇(cluster)的形式傳播，每一波簇都具有相同的PAS譜。(1)均勻分布PAS多簇的均勻分布PAS的表達(dá)式為：（3.28）其中，為單位階躍函數(shù)，為波簇的數(shù)目，為平均到達(dá)角AOA，為AOA的變化范圍。考慮到潛在的功率不平衡波簇，可以推出歸一化常數(shù)使得滿(mǎn)足概率分布函數(shù)的要求：（3.29）由上式可得（3.30）令，其中，d為天線(xiàn)元之間的間距，為載波波長(zhǎng)，為天線(xiàn)元之間的歸一化間距。可以推出兩根全向天線(xiàn)接收到的復(fù)基帶信號(hào)的實(shí)部與虛部之間的互相關(guān)系函數(shù)：（3.31）虛部與虛部之間的互相關(guān)函數(shù)與上式相同。另一方面，實(shí)部與虛部之間的互相關(guān)函數(shù)定義為：(3.32)將均勻分布PAS的表達(dá)式代入的表達(dá)式（2.31），得到：（3.33）其中，為階第一類(lèi)貝塞爾函數(shù)。同樣地，將PAS的表達(dá)式代入到式（3.32），得到：（3.34）(2)高斯分布PAS高斯分布PAS的表達(dá)式為：（3.35）同樣可以推出其歸一化常數(shù)應(yīng)該滿(mǎn)足：（3.36）其中，為復(fù)數(shù)的誤差函數(shù)。將的表達(dá)式代入（3.31）和（3.32），可以得到高斯分布PAS下的復(fù)基帶信號(hào)的實(shí)部與虛部的兩個(gè)互相關(guān)函數(shù)分別為：（3.37）和（3.38）其中，表示取x的實(shí)部。(3)拉普拉斯分布PAS拉普拉斯分布的PAS譜被認(rèn)為是與城區(qū)和農(nóng)村地區(qū)的信道測(cè)量結(jié)果吻合得最好的一種分布。其表達(dá)式為：（3.39）其歸一化條件由下式給出：（3.40）拉普拉斯分布PAS下的復(fù)基帶信號(hào)的兩個(gè)互相關(guān)函數(shù)分別為：（3.41）和(3.42)由表達(dá)式，可以定義復(fù)數(shù)相關(guān)系數(shù)和功率相關(guān)系數(shù)的表達(dá)式如下：(3.43)(3.44)可見(jiàn)一般復(fù)數(shù)相關(guān)系數(shù)的性能要優(yōu)于功率相關(guān)系數(shù)，因?yàn)楹笳呤チ饲罢叩南辔恍畔ⅰ?軟件計(jì)算MIMO信道模型的描述以及上一小節(jié)對(duì)仿真思路與方法的討論，可知MIMO信道矩陣產(chǎn)生的方法是：按照上一章所描述的方法產(chǎn)生MIMO信道接收和發(fā)送端的相關(guān)矩陣和，再按照式產(chǎn)生的MIMO信道的整體相關(guān)矩陣。由進(jìn)行相應(yīng)的矩陣分解得到一個(gè)對(duì)稱(chēng)映射矩陣C，C就是MIMO信道的空間相關(guān)形成矩陣即：(4.1)如果使用的是復(fù)數(shù)相關(guān)矩陣，則應(yīng)該對(duì)作矩陣的平方根分解。再按照仿真單入單出信道的方法產(chǎn)生信道的衰落系數(shù)，即為經(jīng)過(guò)相應(yīng)的多普勒功率譜成形后的零均值、單位方差的I.I.D復(fù)高斯變量，反映了MIMO信道的時(shí)頻衰落特性。最后，按照下式計(jì)算MIMO信道抽頭的系數(shù)矩陣：(4.2)其中，表示把一個(gè)的矩陣排成一個(gè)的矢量；即為MIMO信道的衰落系數(shù)；為第個(gè)可分辨徑的功率；。綜合上面的討論，MIMO相關(guān)衰落的產(chǎn)生過(guò)程如圖4.2所示。圖2MIMO信道中相關(guān)衰落的產(chǎn)生4.1信道矩陣的matlab計(jì)算為了產(chǎn)生帶有相關(guān)性MIMO信道的信道沖激響應(yīng)。設(shè)置：輸入?yún)?shù)：Nr接收天線(xiàn)陣元的個(gè)數(shù)；Nt發(fā)送天線(xiàn)陣元的個(gè)數(shù)；t時(shí)間變量。輸出參數(shù)：Mimo_channelMIMO信道的信道沖激響應(yīng)矩陣。functionf=mimo_channel(Nr,Nt,t)s=35;%mm=O;fd=5.56;rand('state',0);fori=1:Nt*Nrforl=1:1h1=0;h2=0;fork=l:s-1sita(k)=2*pi*rand;h1=h1+sqrt(2)/sqrt(s-1/2)*sin(pi*k/(s-1))*cos(2*pi*fd*cos(pi*k/(2*s-1))*t+sita(k));h2=h2+sqrt(2)/sqrt(s-1/2)*cos(pi*k/(s-1))*cos(2*pi*fd*cos(pi*k/(2*s-1))*t+sita(k));endsita(s)=rand;h1=h1+1/(sqrt(2)*sqrt(s-1/2))*cos(2*pi*fd*t+sita(s));h2=h2+l/(sqrt(2)*sqrt(s-1/2))*cos(2*pi*fd*t+sita(s));h(i,1)=h1+j*h2;endendhcorrR=mimo_corr(30,0,0.5,Nr)%;correlationatRxd--0.51anbudacorrT=mimo_corr(5,0,5,Nt)%;correlationatTxd--51anbudacorrRT=kron(corrR,corrT)%;hr=transpose(chol(corrRT));h=hr*h;forp=1:Nrforq=1:Nthh(p,q)=h(Nr*(q-1)+p);endendf=hh;4.2信道相關(guān)性的matlab計(jì)算由模型可以知道通過(guò)波束到達(dá)角、角度擴(kuò)展、天線(xiàn)之間的間隔和天線(xiàn)個(gè)數(shù)，計(jì)算出發(fā)送端和接收端的相關(guān)矩陣。設(shè)置：輸入?yún)?shù)：anglespread散射體的角度擴(kuò)展，表示接收端和發(fā)射端散射體的分布情況。angle平均到達(dá)角，每個(gè)入射波和離去波的到達(dá)角的均值。d天線(xiàn)間隔與波長(zhǎng)的比，假設(shè)天線(xiàn)是均勻陣列。M天線(xiàn)陣元數(shù)，表示接收端和發(fā)射端天線(xiàn)陣元的個(gè)數(shù)。輸出參數(shù)：mimo_corr發(fā)送端或接收端任意兩個(gè)天線(xiàn)之間的相關(guān)系數(shù)矩陣。functionf=mimo_corr(anglespread,angle,d,M)L=1000;anglespread1=720;c=0;%cleari;p=zeros(1,L);fai=zeros(1,L);fai1=zeros(1,L);FAI=zeros(1,L);matrix1=zeros(M,1);matrix2=zeros(1,M);correlation1=zeros(M,M);correlation2=zeros(M,M);correlation=zeros(M,M);form=1:Lfai1(1,m)=angle-anglespread1+2*anglespread1*m/L;fai(1,m)=2*pi*(angle-anglespread1+2*anglespread1*m/L)/360;FAI(1,m)=d*sin(fai(1,m));endform=1:Lp(1,m)=1/(anglespread*sqrt(2))*exp(-sqrt(2)*abs(fai1(1,m)-angle)/anglespread)*2*anglespread1/L;endform=1:Lc=p(1,m)+c;endc;form=1:Lforn=1:Mmatrix1(n,1)=exp(i*FAI(m)*2*pi*(n-1));endmatrix2=matrix1';correlation1=matrix1*matrix2*p(1,m);correlation2=correlation1+correlation2;endform=1:Mforn=1:Mcorrelation(m,n)=abs(correlation2(m,n))/c;endendf=correlation;5結(jié)果分析通過(guò)對(duì)模型進(jìn)行仿真的設(shè)計(jì)思路、方法和仿真處理的流程，可以對(duì)該信道模型進(jìn)行了相應(yīng)的計(jì)算機(jī)仿真，得出了信道矩陣和和信道的相關(guān)相矩陣，并對(duì)這些結(jié)果進(jìn)行了分析。我們選擇選擇典型的城區(qū)環(huán)境，天線(xiàn)結(jié)構(gòu)為均勻線(xiàn)性陣列，發(fā)送端的天線(xiàn)數(shù)（）為2根，接收端的天線(xiàn)數(shù)為（）為4根，角度功率譜（PAS）的類(lèi)型為拉普拉斯分布。當(dāng)接收端和發(fā)送端的天線(xiàn)間距分別為和，角度擴(kuò)展分別為5度和30度，AOA和AOD都為0時(shí)，得出的信道矩陣為發(fā)送端的相關(guān)矩陣為：接收端的相關(guān)矩陣為：信道的空間相關(guān)矩陣為：維持其它的參數(shù)不變，改變信道的參數(shù)可以看到各參數(shù)對(duì)MIMO信道特性的影響，將發(fā)射和接收端的天線(xiàn)間距分別變?yōu)楹?，從仿真得到的矩陣中可以看到，隨著天線(xiàn)間距離d的增大，信道的相關(guān)性是減小的。發(fā)送端的相關(guān)矩陣為：接收端的相關(guān)矩陣為：信道的空間相關(guān)矩陣為下面的矩陣是其它參數(shù)不變，角度擴(kuò)展變?yōu)?0度時(shí)的信道的相關(guān)性矩陣，將這幾個(gè)矩陣與本節(jié)中最前面的矩陣比較，可以看到：相關(guān)系數(shù)隨著角度擴(kuò)展的增大而下降。發(fā)送端的相關(guān)矩陣為：接收端的相關(guān)矩陣為：信道的空間相關(guān)矩陣為：圖3直觀地反映了角度擴(kuò)展和天線(xiàn)間的距離對(duì)相關(guān)性的影響：AS=5AS=5AS=2AS=5201234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91圖3不同角度擴(kuò)展時(shí)天線(xiàn)間距與相關(guān)系數(shù)的關(guān)系從圖3中可以看到，角度擴(kuò)展一定時(shí)，相關(guān)系數(shù)隨著天線(xiàn)間的距離的增大而減??；而當(dāng)天線(xiàn)間距一定時(shí)，相關(guān)系數(shù)隨著角度擴(kuò)展的增大而減小。角度擴(kuò)展比較小時(shí)，相關(guān)系數(shù)隨天線(xiàn)間距增大而緩慢的減小，角度擴(kuò)展比較大時(shí)，在很小的天