考研數(shù)學(xué)-數(shù)學(xué)寶典微積分

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦考研數(shù)學(xué)——數(shù)學(xué)寶典(微積分【定義1.5】設(shè)函數(shù))(xf在一個關(guān)于原點對稱的集合內(nèi)有定義,若對隨意Dx∈,都有))()()(()(xfxfxfxf=--=-或,則稱)(xf為D內(nèi)的奇（偶）函數(shù).

奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱,當)(xf為延續(xù)的函數(shù)時,)(xf=0,即)(xf的圖形過原點.偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱.關(guān)于奇偶函數(shù)有如下的運算邏輯：設(shè))()(21xfxf±為奇函數(shù),)(),(21ygxg為偶函數(shù),則

)()(21xfxf±為奇函數(shù)；)()(21xgxg±為偶函數(shù)；)()(11xgxf±非奇偶函數(shù)；

)()(11xgxf?為奇函數(shù)；)()(),()(2121xgxgxfxf??均為偶函數(shù).常數(shù)C是偶函數(shù),因此,奇函數(shù)加非零常數(shù)后不再是奇函數(shù)了.

利用函數(shù)奇偶性可以簡化定積分的計算.對討論函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)作圖都有很大協(xié)助.【例】推斷下列函數(shù)的奇偶性:

(1)21

)(1)(xxnxf++=;

(2)?????>-≤-=-.

0,1,

0,1)(xexexgxx

【解】(1)由于)1(1)(1(1)(22xxnxxnxf++-=-++-=-2

2

221111)

1)(1(1x

xn

x

xxxxxn

++=++++++-=

),()1(12xfxxn-=++-=所以)1(1)(2xxnxf++=是奇函數(shù).

(2)由于)(0,

10,

10,10,1)()(xgxexexexexgxx

x

x-=?????--≤--=4．周期性

【定義1.6】設(shè)函數(shù)內(nèi)有定義在集合Ddxf)(,假如存在非零常數(shù)T,使得對隨意Dx∈,恒有)()(xfTxf=+成立,則稱)(xf為周期函數(shù).滿足上式的最小正數(shù)T,稱為)(xf的基本周期,簡稱周期.

我們熟知的三角函數(shù)為周期函數(shù)(考綱不要求),除此以外知之甚少.][xxy-=是以1為周期的周期函數(shù).][xy=與][xxy-=的圖形分離如圖1-1(a)和圖1-1(b)所示.

圖1-1

（三）初等函數(shù)1．基本初等函數(shù)

（1）常數(shù)函數(shù)Cy=,定義域為(-∞,+∞),圖形為平行于x軸的直線.在y軸上的截距為c.（2）冪函數(shù)αxy=,其定義域隨著α的不同而變化.但不論α取何值,總在（1,+∞）內(nèi)有定義,且圖形過點（1,1）.當α＞0時,函數(shù)圖形過原點（圖1-2）

（a）(b)

圖1-2

（3）指數(shù)函數(shù))1,0(≠=αααxy,其定義域為（-∞,+∞）.

當0＜α＜1時,函數(shù)嚴格單調(diào)遞減.當α＞1時,函數(shù)嚴格單調(diào)遞增.子數(shù)圖形過點（0,1）.微積分中常常用到以e為底的指數(shù)函數(shù),即xey=（圖1-3）

（4）對數(shù)函數(shù))1,0(log≠=αααxy,其定義域為（1,+∞）,它與xyα=互為反函數(shù).微積分中常用到以e為底的對數(shù),記作nxy1=,稱為自然對數(shù).對數(shù)函數(shù)的圖形過點（1,0）（圖1-4）

(圖1-3)(圖1-4)

另有兩類基本初等函數(shù)：三角函數(shù)與反三角函數(shù),不在考綱之內(nèi).對基本初等函數(shù)的特性和圖形要嫻熟地把握,這充分條件推斷、導(dǎo)數(shù)和定積分應(yīng)用中都很重要.例如,設(shè)fbaxbaxf),,(,),()(∈對隨意區(qū)間內(nèi)二階可導(dǎo)在″)(x＜0.

則(1)f′)(x在),(ba內(nèi)嚴格單調(diào)削減；（2）)(xf在),1(b上為凸弧,均不充分.此題可以用舉例的辦法來說明（1）、（2）均不充分.由初等函數(shù)的圖形可知,4xy-=為凸弧.y′=34x-在（－∞,∞＋）上嚴格單調(diào)遞減,但y″=-122x≤0,因此（1）,（2）均不充分,故選E.此題若把題干改成f″)(x≤0,則（1）,（2）均充分,差別就在等于零與不等于零.可見用初等函數(shù)圖形來推斷十分便捷.

2．反函數(shù)

【定義1.7】設(shè)函數(shù))(xfy=的定義域為D,值域為R,假如對于每一個Ry∈,都有惟一確定的Dx∈與之對應(yīng),且滿足)(xfy=x是一個定義在R以y為自變量的函數(shù),記作

.),(1Ryyfx∈=-

并稱其為)(xfy=反函數(shù).

習(xí)慣上用x作自變量,y作因變量,因此)(xfy=反函數(shù)常記為Rxxfy∈=-),(1.函數(shù))(xfy=與反函數(shù))(1xfy-=的圖形關(guān)于直線xy=對稱.

嚴格單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù),且函數(shù)與其反函數(shù)有相同的單調(diào)性.xyayaxlog==與互為反函.∈=xxy,2[0,+∞]的反函數(shù)為xy=,而∈=xxy,2（－∞,0）的反函數(shù)為xy-=（圖1-2（b））.

3．復(fù)合函數(shù)

【定義1.8】已知函數(shù)ffRyDuufy∈∈=,),(.又Dxxu∈=),(??,u≤R?,若ffRD非空,則稱函數(shù)

{}fDxxxxfy∈∈=)(|)],([??

為函數(shù))()(xuufy?==與的復(fù)合函數(shù).其中y稱為因變量,x稱為自變量,u稱為中間變量.

4．初等函數(shù)

由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次復(fù)合運算而得到的一切函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù),初等函數(shù)在其定義域內(nèi)有統(tǒng)一的表達式.

（四）隱函數(shù)

若函數(shù)的因變量y顯然地表示成)(xfy=的形式,則稱其為明顯函數(shù).1),13(1,222-=-==xyxnyxy等.

設(shè)自變量x與因變量y之間的對應(yīng)法則用一個方程式0),(=yxF表示,假如存在函數(shù))(xfy=（不論這個函數(shù)是否能表示成顯函數(shù)）,將其代入所設(shè)方程,使方程變?yōu)楹愕仁剑?/p>

fDxxfxF∈=,0))(,(其中fD為非空實數(shù)集.則稱函數(shù))(xfy=由方程0),(=yxF所確定的一個隱函數(shù).

如方程1=+yx可以確定一個定義在[0,1]上的隱函數(shù).此隱函數(shù)也可以表示成顯函數(shù)的形

式,即

]1,0[,)1()(2∈-==xxxfy

但并不是全部隱函數(shù)都可以用x的顯函數(shù)形式來表示,如0=++yxexy由于y我法用初等函數(shù)表達,故它不是初等函數(shù).另外還需注重,并不是任何一個方程都能確定隱函數(shù),如0122=++yx.

（五）分段函數(shù)

有些函數(shù),對于其定義域內(nèi)的自變量x的不同值,不能用一個統(tǒng)一的解析式表示,而是要用兩個或兩個以上的式子表示,這類函數(shù)稱為分段函數(shù),如

?

?

?>≤-=???≤->+=.0,1,

0,1)(.0,1,0,1)(2xnxxexgxxxxxfx都是定義在（－∞,＋∞）上的分段函數(shù).

分段函數(shù)不是初等函數(shù),它不符合初等函數(shù)的定義.

二、極限（不在考試大綱內(nèi),只需了解即可）

極限是微積分的基礎(chǔ).（一）數(shù)列極限

根據(jù)一定挨次排成一串的數(shù)叫做數(shù)列,如nnaaaa?21,稱為通項.1．極限定義

【定義1.9】設(shè)數(shù)列{}na,當項數(shù)n無限增大時,若通項na無限臨近某個常數(shù)A,則稱數(shù)列{}na收斂于A,或稱A為數(shù)列{}na的極限,記作

Aann=∞

→lim

否則稱數(shù)列{}na發(fā)散或nna∞

→lim不存在.

2．數(shù)列極限性質(zhì)

（1）四則極限性質(zhì)設(shè)byaxnnnn==∞

→∞

→lim,lim,則

).

0(limlimlim.

limlimlim.

limlim)(lim.

limlim≠===?=?±=±=±==∞

→∞→∞→∞

→∞

→∞

→∞

→∞

→∞→∞

→∞→bbayxyxabyxyxbayxyxcaxccxnnnn

n

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

（2）axaxknnnn=?=+∞

→∞

→limlim（k為隨意正整數(shù)）.

.limlimlim122axxaxnnnnnn==?=+∞

→∞

→∞

→

（3）若axnn=∞

→lim,則數(shù)列{}nx是有界數(shù)列.

（4）夾逼定理設(shè)存在正整數(shù)0N,使得0Nn≥時,數(shù)列{}{}{}nnnzyx,,滿足不等式nnnyxz≤≤.若azynnnn==∞

→∞

→limlim,則axnn=∞

→lim.

利用此定理可以證實重要極限

enn

n=??

?

??+∞→11lim（e=

2.718,是一個無理數(shù)）.（5）單調(diào)有界數(shù)列必有極限設(shè)數(shù)列{}nx有界,且存在正整數(shù)0N,使得對隨意0Nn≥都有nnxx≤+1（或nnxx≥+1）,則數(shù)列{}nx的極限一定存在.

利用此定理可以證實重要極限

enn

n=??

?

??+∞

→11lim（e=

2.718,是一個無理數(shù)）.（二）函數(shù)的極限1．∞→x時的極限

【定義1.10】設(shè)函數(shù))(xf在)0(||>≥aax上有定義,當∞→x時,函數(shù))(xf無限臨近常

數(shù)A,則稱)(xf當∞→x時以A為極限,記作

.)(limAxfn=∞

→

當+∞→x或-∞→x時的極限當x沿數(shù)軸正（負）方向趨于無窮大,簡記+∞→x（-∞→x）時,)(xf無限臨近常數(shù)A,則稱)(xf當+∞→x（-∞→x）時以A為極限,記作

.

)(lim)(lim)(lim).)(lim()(limAxfAxfAxfAxfAxfnnnnn===?===+∞

→+∞

→∞

→-∞

→+∞→

3．0xx→時的極限

【定義1.11】設(shè)函數(shù))(xf在0x附近（可以不包括0x點）有定義,當x無限臨近)(00xxx≠時,函數(shù))(xf無限臨近常數(shù)A,則稱當0xx→時,)(xf以A為極限,記作

.)(lim0

Axfxx=→

4．左、右極限

若當x從0x的左側(cè)（0xx）趨于0x時,)(xf無限臨近一個常數(shù)A,則稱A為0xx→時)(xf的右極限,記作

.)(lim0

Axfxx=+

→或Axf=+)0(0

.)(lim)(lim)(lim0

AxfAxfAxfxxxxxx===?=-+→→→

（三）函數(shù)極限的性質(zhì)1．惟一性

若,BxfAxfxxxx==→→)(lim,)(lim0

則A=B.

2．局部有界性

若Axfxx=→)(lim0

.則在0x的某鄰域內(nèi)（點0x可以除外）,)(xf是有界的.

3．局部保號性

若Axfxx=→)(lim0

.且A＞0（或A＜0＝,則存在0x的某鄰域（點0x可以除外）,在該鄰

域內(nèi)有)(xf＞0（或)(xf＜0＝。

若Axfxx=→)(lim0

。且在0x的某鄰域（點0x可以除外）有)(xf＞0（或)(xf＜0＝，則必有A≥0

（或A≤0）。

4．不等式性質(zhì)

若Axfxx=→)(lim0

，Bxgxx=→)(lim0

，且A>B，則存在0x的某鄰域（點0x可以除外），使)(xf>)(xg.

若Axfxx=→)(lim0

，Bxgxx=→)(lim0

.且在0x的某鄰域（點0x可以除外）有)(xf<)(xg或（)(xf≤

)(xg）

，則A≤B。5．四則運算同數(shù)列

（四）無窮小量與無窮大量1．無窮小量的定義

【定義1.12】若0)(lim0

=→xfxx，則稱)(xf是0xx→時的無窮小量。

（若,)(lim0

∞=→xgxx則稱)(xf是0xx→時的無窮大量）。

2．無窮小量與無窮大量的關(guān)系

無窮小量的倒數(shù)是無窮大量；無窮大量的倒數(shù)是無窮小量。3．無窮小量的運算性質(zhì)

（i）有限個無窮小量的代數(shù)和仍為無窮小量。（ii）無窮小量乘有界變量仍為無窮小量。（iii）有限個無窮小量的乘積仍為無窮小量。4．無窮小量階的比較

設(shè)0)(lim,0)(lim0

==→→xxaxxxxβ，

???

????∞=≠=→.

)()(,,)()(,0),(~)(,)()(,1,)()(,0)

()(lim0高階的無窮大是比稱高階的無窮小是比稱記作為等價無窮小與稱時特殊為同階無窮小與稱xxxxxxxxkxxkxxaxxβαβαβαβαβαβ

5．等價無窮小

常用的等價無窮?。?→x是，

)

0(~1)1(,1~1,

~)1(1,

~1≠-+-+-αααα

ax

xnxxxnxex

x

等價無窮小具有傳遞性，即)(~)(xxβα，又)(~)(xxγβ。等價無窮小在乘除時可以替換，即)(~)(),(~)(**xxxxββαα，

則)

()

(lim)()(lim**)

()

(0

xxxxxxxxxxβαβα∞→→∞→→=或或

其次講函數(shù)的延續(xù)性、導(dǎo)數(shù)的概念與計算

重點：閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義、基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式、復(fù)合函數(shù)求

導(dǎo)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運算。

三、函數(shù)的延續(xù)性

（一）函數(shù)延續(xù)的概念1．兩個定義

【定義1.13】設(shè)函數(shù))(xfy=的定義域為DxD∈0,。若)()(lim00

xfxfxx=→，則稱0)(xxf在點

延續(xù)；若Dxf在)(中每一點都延續(xù)，則稱0)(xxf在點右延續(xù)。

【定義1.14】若)()(lim00

xfxfxx=+→，則稱0)(xxf在點右延續(xù)。

若)()(lim00

xfxfxx=-→，則稱0)(xxf在點左延續(xù)。

0)(xxf在點延續(xù)0)(xxf在?點既左延續(xù)又右延續(xù)。

2．延續(xù)函數(shù)的運算

延續(xù)函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算或復(fù)合而得到的函數(shù)仍然延續(xù)，因而初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)到處延續(xù)。

（二）間斷點

1．若)(lim)(lim0

xfxfxxxx-+→→與都存在，且不全等于)(0xf，則稱0x為)(xf的第一類間斷點。

其中若)(lim0

xfxx→存在，但不等于)(0xf（或)(xf在0x無定義），則0x為)(xf的可去間斷點。

若)(lim)(lim0

xfxfxxxx-+→→與都存在，但不相等，則稱0x為)(xf的跳動間斷點。

2．若)(lim)(lim0

xfxfxxxx-+→→與中至少有一個不存在，則稱0x為)(xf的其次類間斷點。

（三）閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

若)(xf在區(qū)間],[ba內(nèi)任一點都延續(xù)，又)()(lim),()(limbfxffxfb

xx==-+→→αα

，則稱函數(shù))(xf在閉

區(qū)間],[ba上延續(xù)。1．最值定理

設(shè))(xf在],[ba上延續(xù)，則)(xf在],[ba上必有最大值M和最小值m,即存在],[,21baxx∈，使],[,)(,)(,)(11baxMxfmmxfMxf∈≤≤==且。

2．價值定理

設(shè))(xf在],[ba上延續(xù)，且m,M分離是)(xf在],[ba上最小值與最大值,則對隨意的],[Mmk∈，總存在一點kcfbac=∈)(],,[使。

【推論1】設(shè))(xf在],[ba上延續(xù)，m,M分離為最小值和最大值，且mM<0,則至少存在一點0)(],,[=∈cfbac使。

【推論1】設(shè))(xf在],[ba延續(xù)，且0)()(<?bfaf，則一定存在],,[bac∈使0)(=cf。推論1，推論2又稱為零值定理。

其次章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

一、導(dǎo)數(shù)的概念1．導(dǎo)數(shù)定義

【定義2.1】設(shè)y=f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義,在該鄰域內(nèi)給自變量一個轉(zhuǎn)變量x?,函數(shù)值有一相應(yīng)轉(zhuǎn)變量)()(00xfxxfy-?+=?,若極限

x

xfxxfxyxx?-?+=??→?→?)

()(lim

lim0000存在,則稱此極限值為函數(shù)y=f(x)在x0點的導(dǎo)數(shù),此時稱y=f(x)在x0點可導(dǎo),用

?????

?===''0000)(,,)(xxdxxdfxxdyxdyxxyxf或或或表示.

若)(xfy=在集合D內(nèi)到處可導(dǎo)（這時稱f(x