新教材2023版高中數(shù)學(xué)第一章數(shù)列2等差數(shù)列2.1等差數(shù)列的概念及其通項公式第2課時等差數(shù)列的概念及其通項公式二課件北師大版選擇性必修第二冊

第2課時等差數(shù)列的概念及其通項公式(二)新知初探·課前預(yù)習(xí)題型探究·課堂解透新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點]要點一等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其圖象是直線y＝dx＋(a1－d)上的一些等間隔的點，這些點的橫坐標是正整數(shù)，其中公差d是該直線的________，即自變量每增加1，函數(shù)值增加d.當(dāng)d>0時，數(shù)列{an}為________，如圖甲所示．當(dāng)d<0時，數(shù)列{an}為________，如圖乙所示．當(dāng)d＝0時，數(shù)列{an}為________，如圖丙所示．斜率遞增數(shù)列遞減數(shù)列常數(shù)列狀元隨筆項目等差數(shù)列一次函數(shù)解析式an＝kn＋b(n∈N*)f(x)＝kx＋b(k≠0)不同點定義域為N*，圖象是一系列孤立的點(在直線上)定義域為R，圖象是一條直線相同點等差數(shù)列的通項公式與函數(shù)的解析式都是關(guān)于自變量的一次整式要點二等差中項(1)如果在a與b之間插入一個數(shù)A，使a，A，b成________數(shù)列，那么A叫作a與b的等差中項．(2)如果A是a與b的等差中項，則A＝________．

等差

[基礎(chǔ)自測]1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n＋5，則數(shù)列{an}的公差與函數(shù)y＝3x＋5的圖象的斜率相等．(

)(2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性與公差d有關(guān)．(

)(3)若三個數(shù)a，b，c滿足2b＝a＋c，則a，b，c一定是等差數(shù)列．(

)(4)任意兩個實數(shù)都有等差中項．(

)√√√√2．已知點(1，5)，(2，3)是等差數(shù)列{an}圖象上的兩點，則數(shù)列{an}為(

)A．遞增數(shù)列

B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列

D．無法確定答案：B

3．若5，x，y，z，21成等差數(shù)列，則x＋y＋z的值是(

)A．26B．29C．39

D．52答案：C解析：因為5，x，y，z，21成等差數(shù)列，所以y既是5和21的等差中項也是x和z的等差中項，所以5＋21＝2y，∴y＝13，∴x＋z＝2y＝26∴x＋y＋z＝39.故選C.4．在△ABC中，三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，則B等于________.60°解析：因為三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，所以2B＝A＋C，又因為A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，所以B＝60°.題型探究·課堂解透題型一等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系例1

已知(2，1)，(4，5)是等差數(shù)列{an}圖象上的兩點．(1)求這個數(shù)列的通項公式；(2)判斷(n，17)是否是{an}圖象上的點，若是，求出n的值，若不是，說明理由；(3)判斷這個數(shù)列的增減性，并求其最小正數(shù)項．

方法歸納(1)根據(jù)等差數(shù)列圖象上的兩點求通項公式的一般方法是設(shè)出an＝dn＋b，將圖象上的點代入，求d，b.(2)判斷等差數(shù)列增減性的方法主要有兩種，一是公差法：d>0遞增；d<0遞減；d＝0不單調(diào)．二是圖象法：圖象上升遞增；下降遞減；圖象不上升也不下降，不單調(diào)．跟蹤訓(xùn)練1

在數(shù)列{an}中，a1＝3，a10＝21，已知該數(shù)列的通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，則a2021＝________．4043

題型二等差中項例2

已知三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為15，其平方和為83，則這三個數(shù)分別為_________________．3，5，7或7，5，3

變式探究已知四個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為26，中間兩項的積為40，求這四個數(shù)．

方法歸納當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的項數(shù)n為奇數(shù)時，可設(shè)中間的一項為a，再以d為公差向兩邊分別設(shè)項，即設(shè)為…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的項數(shù)n為偶數(shù)時，可設(shè)中間兩項分別為a－d，a＋d，再以2d為公差向兩邊分別設(shè)項，即設(shè)為…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….

題型三等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例3

(1)在等差數(shù)列{an}中，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，則an＝______________．2n－7或－2n＋13解析：∵a2＋a5＋a8＝3a5＝9∴a5＝3∴a3＋a7＝6①又a3a5a7＝－21∴a3·a7＝－7②由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1∴當(dāng)a3＝－1時，d＝2，∴an＝－1＋(n－3)×2＝2n－7當(dāng)a3＝7時，d＝－2，∴an＝7＋(n－3)×(－2)＝－2n＋13.(2)在等差數(shù)列{an}中，a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，且ak＝13，則k＝________．

18

(5)若{an}的公差為d，則數(shù)列{λan＋b}(λ，b為常數(shù))是公差為λd的等差數(shù)列；(6)數(shù)列{an}，{bn}的公差都是d，則數(shù)列{λ1an＋λ2bn}(λ1，λ2為常數(shù))是公差為(λ1＋λ2)d的等差數(shù)列；(7)下標成等差數(shù)列且公差為m的項ak，ak＋m，(k，m∈N＋)，且{an}的公差為d，組成公差為md的等差數(shù)列．跟蹤訓(xùn)練3

(1)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，則3a9－a13的值為(

)A．20

B．30C．40

D．50答案：C解析：∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，∴a7＝20.∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.故選C.(2)設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，則a5＋b5＝________．35解析：因為{an}，{bn}都是等差數(shù)列所以{an＋bn}是等差數(shù)列設(shè){an＋bn}的公差為d則(a3＋b3)－(a1＋b1)＝2d∴d＝7∴a5＋b5＝(a3＋b3)＋2d＝21＋2×7＝35.題型四等差數(shù)列的實際應(yīng)用例4

某公司經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品，第1年可獲利200萬元．從第2年起，由于市場競爭等方面的原因，其利潤每年比上一年減少20萬元，按照這一規(guī)律，如果公司不開發(fā)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營策略，從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損？

解析：設(shè)從第1年起，第n年的利潤為an，則由題意知a1＝200，an－an－1＝－20(n≥2，n∈N＋)．所以每年的利潤an可構(gòu)成一個等差數(shù)列{an}，且公差d＝－20.從而an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.若an<0，則該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損，由an＝220－20n<0，得n>11，即從第12年起，該公司經(jīng)銷此產(chǎn)品將虧損．方法歸納解決實際應(yīng)用問題，首先要認真領(lǐng)會題意，根據(jù)題目條件，尋找有用的信息．若一組數(shù)按次序“定量”增加或減少時，則這組數(shù)成等差數(shù)列．合理地構(gòu)建等差數(shù)列模型是解決這類問題的關(guān)鍵，在解題過程中，一定要分清首項、項數(shù)等關(guān)鍵的問題．跟蹤訓(xùn)練4

某市出租車的計價標準為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4km(不含4km)計費10元．如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，求需要支付的車費．解析：根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4km時，每增加1km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一個等差數(shù)列{an}來計算車費．令a1＝11.2，表示4km處的車費，公差d＝1.2，那么當(dāng)出租車行至14km處時，n＝11，此時需要支付車費a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．易錯辨析混淆等差數(shù)列的公共項問題中n的取值致錯例5

兩個等差數(shù)列5，8，11，…和3，7，11，…都有100項，那么它們共有多少相同的項？

【易錯警示】出錯原因糾錯心得混淆了兩個等差數(shù)列中n的取值，誤認為3n＋2＝4n－1，解得n＝3，致錯．解題時一定要理解好兩個通項公式的n值的含義，否則會造成不必要的丟分．[課堂十分鐘]1．已知數(shù)列{an}的通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，a3＝7，a7＝19，則a10的值為(

)A．26

B．28C．30

D．32答案：B

2．已知m和2n的等差中項是4，2m和n的等差中項是5，則m和n