新教材2023版高中數(shù)學(xué)第一章數(shù)列1數(shù)列的概念及其函數(shù)特性1.1數(shù)列的概念學(xué)案北師大版選擇性必修第二冊

1.1數(shù)列的概念[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一數(shù)列的有關(guān)概念及表示方法1．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念(1)數(shù)列：按________排列的一列數(shù)叫作數(shù)列．(2)數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的________叫作這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．2．?dāng)?shù)列的表示方法數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…或簡記為數(shù)列{an}，其中a1是數(shù)列的第1項(xiàng)，也叫數(shù)列的________；an是數(shù)列的第n項(xiàng)，也叫數(shù)列的________．狀元隨筆(1)數(shù)列的項(xiàng)是指這個(gè)數(shù)列中的某一個(gè)確定的數(shù)，是一個(gè)函數(shù)值，也就是相當(dāng)于f(n)，而項(xiàng)數(shù)是指這個(gè)數(shù)在數(shù)列中的位置序號，它是自變量的值，相當(dāng)于f(n)中的n.(2)數(shù)列1，2，3，4，5和數(shù)列5，3，2，4，1為兩個(gè)不同的數(shù)列，因?yàn)槎叩脑仨樞虿煌蟵1，2，3，4，5}與這兩個(gè)數(shù)列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有無序性．要點(diǎn)二數(shù)列的分類根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可以將數(shù)列分為兩類：(1)有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)________的數(shù)列；(2)無窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)________的數(shù)列．狀元隨筆有窮數(shù)列與無窮數(shù)列的表示方法：(1)有窮數(shù)列一般表示為a1，a2，a3，…，am；無窮數(shù)列一般表示為a1，a2，a3，…，am，….(2)對于有窮數(shù)列，要把末項(xiàng)(即最后一項(xiàng))寫出來，對于無窮數(shù)列，不存在最后一項(xiàng)，要用“…”結(jié)尾.要點(diǎn)三數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)________與________之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)式子表示成________，那么這個(gè)式子就叫作這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的通項(xiàng)公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式．狀元隨筆(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式必須適合數(shù)列中的任意一項(xiàng)．(2)已知通項(xiàng)公式an＝f(n)，那么只需依次用1，2，3，…代替公式中的n，就可以求出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)．(3)一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式可以有不同的形式，如an＝(－1)n可以寫成an＝(－1)n＋2，還可以寫成an＝-1，n=2k-1，(4)并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式，就像并不是所有的函數(shù)都能用解析式表示一樣．[基礎(chǔ)自測]1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1){0，1，2，3，4}是有窮數(shù)列．()(2)數(shù)列1，2，3，4和數(shù)列1，2，4，3是同一數(shù)列．()(3)所有自然數(shù)能構(gòu)成數(shù)列．()(4)數(shù)列1，3，5，7，…，2n＋1，…的通項(xiàng)公式是an＝2n＋1.()2．(多選題)數(shù)列－1，1，－1，1，…的通項(xiàng)公式可以為()A．a(chǎn)n＝(－1)n－1B．a(chǎn)n＝(－1)nC．a(chǎn)n＝cosnπD．a(chǎn)n＝sinnπ3．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝n2＋1，則122是該數(shù)列的()A．第9項(xiàng)B．第10項(xiàng)C．第11項(xiàng)D．第12項(xiàng)4．?dāng)?shù)列1，2，7，10，13，…中的第題型一數(shù)列的概念與分類例1(多選題)下列說法正確的是()A．?dāng)?shù)列4，7，3，4的首項(xiàng)是4B．?dāng)?shù)列{an}中，若a1＝3，則從第2項(xiàng)起，各項(xiàng)均不等于3C．?dāng)?shù)列1，2，3，…就是數(shù)列{n}D．?dāng)?shù)列中的項(xiàng)不能是三角形方法歸納正確理解數(shù)列及相關(guān)概念，注意以下幾點(diǎn)：(1)數(shù)列與數(shù)集不同，數(shù)集具有互異性和無序性，而數(shù)列中各項(xiàng)可以相同，但與順序有關(guān)；(2)數(shù)列a1，a2，…，an，…可以記為{an}，但不能記作{a1，a2，…，an，…}.跟蹤訓(xùn)練1(多選題)下列說法正確的是()A．?dāng)?shù)列{2n＋1}的第5項(xiàng)是10B．?dāng)?shù)列1，12，13，…，1C．?dāng)?shù)列3，5，7與數(shù)列5，7，3是相同的數(shù)列D．?dāng)?shù)列1，2，3，4，5，…，n，…是無窮數(shù)列題型二根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出通項(xiàng)公式例2寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)是下列各數(shù)：(1)－1，12，－1(2)3，3，15，(3)0.9，0.99，0.999，0.9999；(4)3，5，3，5.方法歸納(1)據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí)，需仔細(xì)觀察分析，抓住以下幾方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項(xiàng)的變化特征；③拆項(xiàng)后的特征；④各項(xiàng)符號特征等，并對此進(jìn)行歸納、聯(lián)想．(2)觀察、分析數(shù)列中各項(xiàng)的特點(diǎn)是最重要的，觀察出項(xiàng)與序號之間的關(guān)系、規(guī)律，利用我們熟知的一些基本數(shù)列(如自然數(shù)列、奇偶數(shù)列等)轉(zhuǎn)換而使問題得到解決，對于正負(fù)符號變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來調(diào)整．跟蹤訓(xùn)練2寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)0，3，8，15，24，…；(2)1，－3，5，－7，9，…；(3)112，223，334，44(4)1，11，111，1111，….題型三數(shù)列通項(xiàng)公式的簡單應(yīng)用例3已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n2－28n.(1)寫出此數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)．(2)－49是否是該數(shù)列的一項(xiàng)？如果是，應(yīng)是哪一項(xiàng)？68是否是該數(shù)列的一項(xiàng)呢？如果是，應(yīng)是哪一項(xiàng)？變式探究本例中，數(shù)列{an}中有多少個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)？方法歸納(1)利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求某項(xiàng)的方法數(shù)列的通項(xiàng)公式給出了第n項(xiàng)an與它的位置序號n之間的關(guān)系，只要用序號代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng)．(2)判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項(xiàng)的方法先假定它是數(shù)列中的第n項(xiàng)，然后列出關(guān)于n的方程．若方程解為正整數(shù)則是數(shù)列的一項(xiàng)；若方程無解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的一項(xiàng)．跟蹤訓(xùn)練3已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝4n(1)寫出數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)．(2)試問110易錯(cuò)辨析忽略了相鄰正方形的公共邊而致誤例4圖中由火柴棒拼成的一列圖形中，第n個(gè)圖形由n個(gè)正方形組成.通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：第n個(gè)圖形中，火柴棒的根數(shù)為________．解析：因?yàn)槊績蓚€(gè)相鄰的正方形均有1條公共邊，所以第二個(gè)圖形的火柴棒根數(shù)為2×3＋1.第三個(gè)圖形的火柴棒根數(shù)為3×3＋1.……第n個(gè)圖形的火柴棒根數(shù)為3n＋1.答案：3n＋1【易錯(cuò)警示】出錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得每相鄰的兩個(gè)正方形都有公共邊，第n個(gè)圖形有n個(gè)正方形，火柴棒的根數(shù)是3n＋1而不是4n.正確觀察圖形，看清圖形間的內(nèi)在聯(lián)系，并找到相關(guān)規(guī)律，再進(jìn)行歸納．[課堂十分鐘]1．?dāng)?shù)列0，－13，12，－35，A．a(chǎn)n＝(－1)n·nB．a(chǎn)n＝(－1)n＋1·nC．a(chǎn)n＝(－1)n－1·nD．a(chǎn)n＝(－1)n－1·n2．在數(shù)列－1，0，19，18，…，n-2n2A．第100項(xiàng)B．第12項(xiàng)C．第10項(xiàng)D．第8項(xiàng)3．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－n，則下列結(jié)論正確的是()A．第2項(xiàng)a2＝0B．0不是數(shù)列中的一項(xiàng)C．21是數(shù)列中的一項(xiàng)D．42是數(shù)列中的一項(xiàng)4．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝3－2n，則a2n＝________，a2a35．寫出數(shù)列an＝2nn+1的前51．1數(shù)列的概念新知初探·課前預(yù)習(xí)要點(diǎn)一1．(1)一定次序(2)每一個(gè)數(shù)2．首項(xiàng)通項(xiàng)要點(diǎn)二(1)有限(2)無限要點(diǎn)三annan＝f(n)[基礎(chǔ)自測]1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．答案：BC3．解析：由an＝n2＋1＝122，得n2＝121.∴n＝11.故選C.答案：C4．解析：因?yàn)閍1＝1＝1，a2＝2＝4，a3＝7，a4＝10，a5＝13，所以an＝3n-所以a26＝3×26-2＝76答案：219題型探究·課堂解透題型一例1解析：根據(jù)數(shù)列的相關(guān)概念，數(shù)列4，7，3，4的第1項(xiàng)就是首項(xiàng)4，A正確；同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)，B錯(cuò)誤；根據(jù)數(shù)列的相關(guān)概念可知C正確；數(shù)列中的項(xiàng)必須是數(shù)，不能是其他形式，D正確．故選ACD.答案：ACD跟蹤訓(xùn)練1解析：當(dāng)n＝5時(shí)，a5＝11，A錯(cuò)誤；B正確；因?yàn)閿?shù)列是按一定次序排成的一列數(shù)，C錯(cuò)誤；D正確．故選BD.答案：BD題型二例2解析：(1)任何一個(gè)整數(shù)都可以看成一個(gè)分?jǐn)?shù)，所以此數(shù)列可以看做是自然數(shù)列的倒數(shù)，正負(fù)相間用(－1)的多少次冪進(jìn)行調(diào)整，其一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n·1n(n∈N＋)(2)數(shù)列可化為3，9，15，21，即3×1，3×3，3×5，3×7，…，每個(gè)根號里面可分解成兩數(shù)之積，前一個(gè)因數(shù)為常數(shù)3(3)原數(shù)列可變形為1-110，1-1102，1-1103，(4)數(shù)列給出前4項(xiàng)，其中正奇數(shù)項(xiàng)為3，正偶數(shù)項(xiàng)為5，所以通項(xiàng)公式的一種表示方法為an＝3n為正奇數(shù)5n為正偶數(shù).此數(shù)列還可以這樣考慮，3與5的算術(shù)平均數(shù)為3+52＝4，4＋1＝5，4－1＝3，因此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式又可以寫為an＝4＋(－跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)觀察數(shù)列中的數(shù)，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，24＝25－1，…，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是an＝n2－1(n∈N*)．(2)數(shù)列各項(xiàng)的絕對值為1，3，5，7，9，…，是連續(xù)的正奇數(shù)，并且數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N*)．(3)此數(shù)列的整數(shù)部分1，2，3，4，…恰好是序號n，分?jǐn)?shù)部分與序號n的關(guān)系為nn+1，故所求的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝n＋nn+1＝n2+2nn+1(n(4)原數(shù)列的各項(xiàng)可變?yōu)?9×9，19×99，19×999，19×9999，…，易知數(shù)列9，99，999，9999，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝10n－1，所以原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝19(10n－1)(題型三例3解析：(1)a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.(2)－49是該數(shù)列的一項(xiàng)，68不是該數(shù)列的項(xiàng)．由3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝73(舍去)所以－49是該數(shù)列的第7項(xiàng)；由3n2－28n＝68解得n＝－2或n＝343所以68不是該數(shù)列的項(xiàng)．變式探究解析：an＝3n2－28n＝n(3n－28)，令an<0，則0<n<283又n∈N＋，所以n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9.即數(shù)列{an}中共有9個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)．跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)因?yàn)閍n＝4n所以a4＝442+3×4＝17，a(2)110令4n2+3n＝110，則n2＋3n－40＝0，解得n＝5或n＝－8，注意到n故將n＝－8舍去，所以110是該數(shù)列的第5[課堂十分鐘]1．解析：當(dāng)n＝1時(shí)，排除