高中數學-2.2.2 反證法教學設計學情分析教材分析課后反思

課題：2.2.2《反證法》教學設計【教學目標】1.知識與技能：理解反證法的概念，掌握反證法的證明步驟.2.過程與方法：通過反證法的學習，體會直接證明與間接證明之間的辯證關系.3.情感、態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生獨立思考、積極探索的學習態(tài)度，認識數學的科學價值，提高數學的學習興趣.【重點】：會用反證法證明問題，了解反證法的思考過程?！倦y點】：反證過程中的反設，以及如何推出矛盾?！窘叹摺浚憾嗝襟w輔助教學，水溶性粉筆教學過程設計意圖一、溫故知新直接證明的兩種方法這兩種基本證法的推證過程和特點檢查學生掌握的情況，鞏固知識二、創(chuàng)設情境，引入新課看視頻聽故事：中國古代有一個叫《路邊苦李》的故事：王戎7歲時，與小伙伴們外出游玩，看到路邊的李樹上結滿了果子。小伙伴們紛紛去摘果子，只有王戎站在原地不動。有人問王戎為什么？王戎回答說：“樹在道邊而多子，此必苦李。”小伙伴摘取一個嘗了一下，果然是苦李。小伙伴問王戎是怎樣知道李子是苦的？王戎回答：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了。而樹上卻掛滿了李子，所以李子一定是苦的?！睆男」适氯胧?，不僅能激發(fā)學生的興趣，也能更好的體現反證法的推理思想三、探索新知，得出概念問1：你能根據王戎的推理形式，證明下面的命題嗎？引例設p為正整數，如果是偶數，則p也是偶數。證明：假設p不是偶數，又因為p為正整數，所以p是奇數。設則所以p是奇數，這與是偶數矛盾。所以假設不成立。所以原命題成立問2：同學們能根據上面的推理概括出反證法的定義及步驟嗎？反證法的定義：一般地，由證明轉向證明，t與假設矛盾，或與某個真命題矛盾，從而判定為假，推出q為真的方法。反證法的證明步驟：①反設：假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立。②歸謬：從假設出發(fā)，經過正確的推理證明，得出矛盾。③存真：由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確。利用小故事的推理方法引導學生努力證明引例。（可采用同學互助的方式，共同努力證明。促進學生之間的團結與互助）再以引例為基礎，引導學生概括出反證法的定義、步驟，(教師適時地給予引導和補充說明）四、例題講解，應用知識例1、證明不是有理數。證明：假設是有理數，則存在互質的整數m,n使得所以，從而m是偶數。設所以即所以是偶數，故n是偶數.這與m,n互質矛盾。所以假設不成立，問3：同學們能根據上面證明思考反證法的矛盾主要是指于什么矛盾嗎？①與假設矛盾；與已知條件矛盾②與數學公理、定理、公式、定義或已被證明的結論矛盾③與公認的簡單事實矛盾跟蹤練習1求證：一個三角形中，至少有一個內角不小于60o.證明假設△ABC的三個內角A、B、C都小于60o，即∠A<60o、∠B<60o、∠C<60o,相加得∠A＋∠B＋∠C<180°.這與三角形內角和定理矛盾，因此假設不成立，所以一個三角形中，至少有一個內角不小于60o.問4：你能寫出下面這些常見的判定詞的否定形式嗎？原詞語否定詞原詞語否定詞等于任意的是至少一個都是至多一個大于至少n個小于至多有n個對所有x成立對任何x不成立例2、平面上有四個點，沒有三點共線，證明以每三點為頂點的三角形不可能都是銳角三角形.跟蹤練習證明不能為同一等差數列的三項。問6：證明本題時如何反設？證明：假設是某一等差數列的三項.設這一等差數列的公差為d,則，其中m,n為某兩個正整數.由上面兩式消去d,得。因為是有理數，而為無理數，所以，因此假設不成立，所以原命題成立。小結：反證法一般常用于有下述特點的命題證明：①直接證明困難的命題②結論以否定形式出現的命題③唯一性、存在性命題④結論以“至多、至少、無窮多個”等形式出現的命題⑤結論的反面比原命題更具體、更容易的命題與引例相似的命題證明，讓學生鞏固反證法的定義和步驟。（由學生完成，同學之間進行修正和補充）突出歸謬矛盾的不同種類體現對命題做出正確反設的重要性，引導學生思考如何做反設。為證明中的反設步驟鋪墊，突破第一個難點.采用小組合作的形式解決例2。通過小組討論、合作完成題目的證明，并在證明中體現數形結合和分類討論思想。培養(yǎng)學生的審題能力，對等差數列的三項，與等差數列的區(qū)別。突出反證法常用的不同種類五、課堂訓練1.(2014·高考)用反證法證明命題:“已知a,b為實數,則方程x2+ax+b=0至少有一個實根”時,要做的假設是()A.方程x2+ax+b=0沒有實根B.方程x2+ax+b=0至多有一個實根C.方程x2+ax+b=0至多有兩個實根D.方程x2+ax+b=0恰好有兩個實根2.試證明不可能成等差數列.使用高考題作為課堂訓練內容，增強學生的自信心和成就感，并進一步鞏固本節(jié)課的學習內容六、回顧知識，歸納小結1反證法的定義2反證法的三個步驟：反設—歸謬—結論3哪些命題適宜用反證法？4學習使用了哪些數學思想方法？從知識角度、思維方法角度歸納總結這節(jié)課的收獲七、作業(yè)：課后鞏固案八、板書設計2.2.2反證法引例證明反證法定義例2證明反證法證明步驟2.2.2反證法學情分析該節(jié)內容是在前面講述直接證明的兩種分析法：分析法和綜合法的基礎上講述的。其實學生從初中開始已初步接觸過反證法，反證法的邏輯規(guī)則并不復雜，單用反證法證明數學問題卻讓學生感到困難。究其原因，主要是需要逆向思維，而在初中和小學階段，逆向思維訓練和發(fā)展都是不充分的；其次反證法中的反設部分涉及命題的否定的知識；再者每個學生對于問題的理解、邏輯思維能力以及學習和接受能力也是有所差異的。中學階段，是一個人形成價值觀的重要階段。一些信息在學生頭腦中留下各種是或非的印象，如何取其精華，去其糟粕？學生可以利用反證法。在學習活動中，學生如果能正確的分析問題，不是被動的接受書本或是教師的灌輸，對其今后的學習、工作，無疑將有很大的幫助。在教學過程中，我們重視的不是學生如何解決矛盾，而是非常高興地看到學生利用反證法對客觀世界的認識提出了自己的問題，這正是反證法教學所要教給學生的。這些正是學生學習數學應該學會的能力.2.2.2反證法效果分析該節(jié)課主要是創(chuàng)設情境利用故事引出新課內容的，在一定程度上提高了學生學習的積極性，提高了學生學習該節(jié)課的興趣，俗話說“興趣是最好的老師”，這節(jié)課有了一個很好的開端。接下來在良好的開端的前提下展開該節(jié)課的內容，學生掌握起來就會更容易。我在講述該節(jié)課的時候，注意引導學生的思維，幫助學生理解和記憶反證法的證明過程和步驟。從而突破該節(jié)課的重點和難點。在教學過程中，特別注意講練結合，通過小組合作學習，提高學生學習的積極性和主動性。引導學生一步步的達成教育教學目標。而這些目標的達成要求教學必須發(fā)揮學生的主體作用，給予學生足夠的活動、探究、交流、反思的時間與空間，不以老師的講演代替學生的探索。該節(jié)課總體達成效果不錯，學生能夠理解反證法的定義，能夠記憶反證法的步驟，從而運用反證法解決問題，能夠了解反證法是間接證明的一種基本方法。理解反證法的證明思路，會用反證法證明數學問題。完成了《全日制普通高中課程標準（實驗版2003年4月）》對于反證法的要求?？偟膩碇v是一節(jié)符合《全日制普通高中課程標準（實驗版2003年4月）》要求的新授課?！?.2.2反證法教學反思反證法作為一種間接證明的解題思想和方法去分析問題、解決問題有獨到之處，在高考中很少單獨出題，但利用反證法的解題思想去分析解決問題有時事半功倍，特別適合對否定行、唯一性的問題的解決，在近幾年的高考中有時候用反證法證明某一問，故反證法的學習非常重要，在反思本節(jié)內容的教學中得出以下幾點體會：(1)教學通過生動的實例故事展開，這一方面可以使學生體會反證法思想與現實世界的聯系，另一方面，活生生的例子也會增強學生學習反證法的興趣，產生學習數學的積極情感，使他們感受到反證法思想離自己很近，反證法很有用。

(2)在寬松愉快的環(huán)境中學生完成了學習任務。學生的主體地位得到了體現，主動性得到了充分發(fā)揮，學生的學習熱情空前高漲，就連平時不愛說話的學生也敢于站起來回答問題了。所有的學生都動起來了，每個人都學有所得。探究教學對大面積提高教學質量的巨大作用，更加堅信學生的潛力無窮，要給予學生充分的信任，相信他們解決問題的能力。(3)在組織討論時應給足夠的時間給學生，不僅僅是為了討論而討論，學生應在討論中體會問題的實質，并最終形成自己的認識，哪怕是很膚淺的認識。(4)抓住重點，突破難點。反證法的重點是能寫出結論的反面，同時也是難點。注意反證法的基本步驟：①反設：假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立。②歸謬：從假設出發(fā)，經過正確的推理證明，得出矛盾。③存真：由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確。反證法不僅能提高學生的演繹推理能力，而且在后繼的學習中有著不可忽視的作用，雖然在初中教材中所占篇幅很少，但本人認為不應輕視，應讓學生掌握其精髓，合理的去運用。除了講課的例子，在總結過程中發(fā)現以下兩個例子，總結自此處，以備以后教學時，運用：附：

故事一南方某風水先生到北方看風水，恰逢天降大雪。乃作一歪詩：“天公下雪不下雨，雪到地上變成雨；早知雪要變成雨，何不當初就下雨?！彼耐嵩娪智”灰荒镣牭?，亦作一打油詩諷刺風水先生：“先生吃飯不吃屎，飯到肚里變成屎；早知飯要變成屎，何不當初就吃屎?！睂嶋H上，小牧童正是巧妙運用了反證法，駁斥了風水先生否定事物普遍運動的規(guī)律，只強調結果，不要變化過程的形而上學的錯誤觀點：假設風水先生說的是真理，只強調變化最后的結果，不要變化過程也可，那么，根據他的邏輯，即可得出先生當初就應吃屎的茺唐結論。風水先生當然不會承認這個事實了。那么，顯然，他說的就是謬論了。這就是反證法的威力，一個原本非常復雜難證的哲學問題被牧童運用了“以其人之道，還其人之身”的反證法迎刃而解了。如果說這則故事還尚不能讓我們明白反證法的思路的話，不妨再看看故事二。故事二相傳在古代有一個賢臣被奸臣坑害，判了死罪，皇上念他過去對國有功，采用了一個由命運來最后裁定的辦法，用兩張紙片，一張上寫活字，一張上寫死字，處決前由它來抽，抽到活字可赦免，而奸臣陰險歹毒，命人用兩張紙片上都寫上死字，湊巧這個詭計被賢臣的朋友知道了，悲痛地告訴了他，并表示要和他一起揭露奸臣的陰謀，這個賢臣想了想，高興地說：“我有救了！”他叫這個朋友不要聲張，處決前抽紙片時，只見他抽出一張紙片誰也不讓看就吞了下去，監(jiān)斬官只好看剩下的紙片是什么字了。剩下的字無疑是個“死”字，于是這個賢臣就被赦免了。賢臣為什么能死里逃生？賢臣運用了反證法。“死”字的反面是“生”字?！?.2.2反證法教材分析該節(jié)課是人教版B版選修1—2中，第二章推理與證明第二節(jié)直接證明與間接證明的第二個問題反證法的內容。該節(jié)內容是在前面講述直接證明的兩種方法(分析法和綜合法)的基礎上進行授課的。反證法又稱歸謬法,用它來證明命題的基本過程分以下三個步驟：①反設：假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立。②歸謬：從假設出發(fā)，經過正確的推理證明，得出矛盾。③存真：由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確?，F將本節(jié)內容總結如下：三維目標1．知識與技能(1)了解間接證明的一種方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點(2)了解用反證法證明數學問題的一般步驟。2．過程與方法通過數學實例，體會直接證明與間接證明的區(qū)別與練習3．情感態(tài)度與價值觀進一步體會證明的特點，感受邏輯證明在數學以及日常生活中的作用。二、教學重點會用反證法證明問題；了解反證法的思考過程。三、教學難點根據問題特點，選擇適當的證明方法。四、教學建議使用反證法證明的關鍵是在正確的推理下得出矛盾，這一矛盾可以是與已知矛盾，或與假設矛盾，或與數學定義、公理、定理、事實、或與已被證明的結論等矛盾。教學時可以結合例題講解引導學生認識這一證明的關鍵步驟。適合運用反證法證明的數學問題主要有“存在性、唯一性、帶有‘至少有一個’或‘至多有一個’等字樣”的數學問題，這一點要讓學生充分體會。推理與證明是數學的基本思維過程，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。反證法是繼前面學習完推理知識后的證明方法中的一種間接證明的基本方法，他彌補了直接證明的不足，完善了證明方法，有利于培養(yǎng)學生的逆向思維能力。反證的批判思想有助于學生正確的認識客觀世界。中學階段是一個人形成價值觀的重要階段。這些信息在學生頭腦中留下各種是或非的印象，如何取其精華，去其糟粕？學生可以利用反證法。在學習生活中，學生如果能正確的分析問題，不是被動的接受書本或是教師的灌輸，對其今后的學習、工作，無疑將有很大的幫助。在教學過程中，我們關注的不是學生如何解決矛盾，而是非常高興地看到學生利用反證法的思想對客觀世界的認識提出了自己的問題，這正是反證法教學所要教給學生的，同樣也是學生學習數學應該培養(yǎng)和擁有的能力.§2.2.2反證法評測練習用反證法證明命題“三角形的內角至少有一個不大于”時，反設正確的是（

）.

A．假設三內角都不大于

B．假設三內角都大于

C．假設三內角至多有一個大于

D．假設三內角至多有兩個大于

2.“已知:△ABC中,AB=AC.求證:∠B<90°”.下面寫出了用反證法證明這個命題過程中的四個推理步驟.(1)所以∠B+∠C+∠A>180°.這與三角形內角和定理相矛盾.(2)所以∠B<90°.(3)假設∠B≥90°.(4)那么,由AB=AC,得∠B=∠C≥90°.即∠B+∠C≥180°.

這四個步驟正確的順序應是()

A.(1)(2)(3)(4) B.(3)(4)(2)(1)C.(3)(4)(1)(2) D.(4)(3)(2)(1)3.實數不全為0等價于為（

）.

A．均不為0B．中至多有一個為0

C．中至少有一個為0D．中至少有一個不為04.寫出用反證法證明下列命題時的反設：(1）“△ABC中，若∠A>∠B,則a>b”,反設為_____________________。(2)“三角形的內角至多有一個鈍角”，反設為________________。(3)“已知正整數a、b、