2024屆一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新材人教A版 第四章 三角函數(shù)與解三角形 4-2　同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式 學(xué)案

§4.2同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式2.掌握誘導(dǎo)公式，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用．知識(shí)梳理1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：________________.(2)商數(shù)關(guān)系：___________________________________________________________________.2．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα余弦cosα正切tanα－tanα口訣奇變偶不變，符號(hào)看象限常用結(jié)論同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的常見(jiàn)變形sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)使sin(π＋α)＝－sinα成立的條件是α為銳角．()(2)若sin(kπ－α)＝eq\f(1,3)(k∈Z)，則sinα＝eq\f(1,3).()(3)若α，β為銳角，則sin2α＋cos2β＝1.()(4)若α∈R，則tanα＝eq\f(sinα,cosα)恒成立．()教材改編題1．若cosα＝eq\f(1,3)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，則tanα等于()A．－eq\f(\r(2),4)B.eq\f(\r(2),4)C．－2eq\r(2)D．2eq\r(2)2．若sinα＋cosα＝eq\f(\r(2),2)，則sinαcosα等于()A．－eq\f(1,2)B．－eq\f(1,4)C.eq\f(\r(2),2)D．23．化簡(jiǎn)eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α)))·cos(2π－α)的結(jié)果為_(kāi)_____.題型一同角三角函數(shù)基本關(guān)系例1(1)(多選)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，則下列結(jié)論正確的是()A．θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) B．cosθ＝－eq\f(4,5)C．tanθ＝－eq\f(3,4) D．sinθ－cosθ＝eq\f(7,5)(2)已知cosα＝－eq\f(5,13)，則13sinα＋5tanα＝______.(3)已知tanα＝2，則eq\f(3sinα－2cosα,sinα＋cosα)＝______；eq\f(2,3)sin2α＋eq\f(1,4)cos2α＝________.聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華(1)應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個(gè)式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(2)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.跟蹤訓(xùn)練1(1)(2021·新高考全國(guó)Ⅰ)若tanθ＝－2，則eq\f(sinθ1＋sin2θ,sinθ＋cosθ)等于()A．－eq\f(6,5) B．－eq\f(2,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(6,5)(2)若θ為△ABC的一個(gè)內(nèi)角，且sinθ·cosθ＝－eq\f(1,8)，則sinθ－cosθ等于()A．±eq\f(\r(5),2) B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(\r(5),2) D.eq\f(\r(5),2)題型二誘導(dǎo)公式例2(1)已知x∈R，則下列等式恒成立的是()A．sin(3π－x)＝－sinxB．sineq\f(π－x,2)＝coseq\f(x,2)C．tan(x－π)＝－tanxD．cos(－x)＝－cosx(2)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝eq\f(1,3)，且0<x<eq\f(π,6)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋x))－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋x))的值為_(kāi)_______．聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用(1)求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了；(2)化簡(jiǎn)：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了．跟蹤訓(xùn)練2(1)若eq\f(sin3π－α－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＋cos－π＋α)＝eq\f(1,3)，則tanα等于()A.eq\f(3,4)B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(4,3)D.eq\f(1,2)(2)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(4,5)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))的值為()A.eq\f(3,5)B．－eq\f(3,5)C.eq\f(4,5)D．－eq\f(4,5)題型三同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用例3(1)(2023·長(zhǎng)沙模擬)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(3,5)，且eq\f(π,4)－α為第二象限角，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(13π,4)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(21π,4)))＝________.(2)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cosx＝－eq\f(1,5).則eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)＝________.聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華(1)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形．(2)注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)值符號(hào)的影響．跟蹤訓(xùn)練3(1)(2023·衡水模擬)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＋cos(π－α)＝sinα，則2sin2α－sinα·cosα等于()A.eq\f(21,10)B.eq\f(3,2)C.eq\f(\r(3),2)D．2(2)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－