第一課時(shí)基本不等式

第二章2.2

基本不等式第一課時(shí) 基本不等式課標(biāo)要求素養(yǎng)要求通過學(xué)習(xí)掌握基本不等式及其簡(jiǎn)單應(yīng)用，重點(diǎn)發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理素養(yǎng).1.掌握基本不等式ab≤a＋b2(a>0，b>0).2.能靈活應(yīng)用基本不等式解決一些證明、比較大小問題.課前預(yù)習(xí)課堂互動(dòng)分層訓(xùn)練內(nèi)容索引課前預(yù)習(xí)知識(shí)探究11.重要不等式對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立.2.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)給定兩個(gè)正數(shù)a，b，數(shù)a＋b2稱為a，b

的算術(shù)平均數(shù)；數(shù)ab稱為a，b

的幾何平均數(shù).3.基本不等式(1)基本不等式如果a，b

都是正數(shù)，那么a＋b2≥ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b

時(shí)，等號(hào)成立，其實(shí)質(zhì)是：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).(1)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義：①當(dāng)a＝b

時(shí)取等號(hào)，即a＝b?a＋b2＝

ab；②僅當(dāng)a＝b

時(shí)取等號(hào)，即a＋b2＝

ab?a＝b.(2)基本不等式可變形為

a＋b≥2

ab，ab≤2a＋b2

.點(diǎn)睛點(diǎn)睛(2)基本不等式的證明法一(比較法)

因?yàn)?/p>

a，b

都是正數(shù)，所以a＋b2—

ab＝a＋b－2

ab＝（

a－

b）22

2≥0，即a＋b22≥

ab.而且，等號(hào)成立時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)(

a－

b)

＝0，即

a＝b.法二(幾何法)

如圖，AB

是圓的直徑，點(diǎn)C

是AB

上的一點(diǎn)，且AC＝a，BC＝b.過點(diǎn)C

作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD，由圖形可以看出基本不等式ab≤a＋b2的幾何解釋.易證Rt△ACD∽R(shí)t△DCB，那么CD2＝CA·CB，即CD＝

ab.這個(gè)圓的半徑為a＋b

a＋b2

2，顯然，它大于或等于

CD，即

≥

ab.其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C

與圓心重合，即a＝b

時(shí)，等號(hào)成立.因此，基本不等式ab≤a＋b2的幾何意義是“半徑不小于半弦”.1.思考辨析，判斷正誤×(1)a＋b2≥ab對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b

都成立.()提示

只有當(dāng)

a>0

且

b>0

時(shí)，a＋b2≥ab才能成立.(2)若a>0，b>0

且a≠b，則a＋b>2ab.(

)√(3)若a>0，b>0，則ab≤2a＋b2

.(

)

√2.下列不等式成立的是(

A

)A.ab≤B.ab≥a2＋b2

a2＋b22

2C.a＋b≥2

ab

D.a＋b≤2

ab解析

a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，ab≤a2＋b22，故選A.3.(多選題)若a>b>0，則下列不等式成立的是(ABD

)A.2>

ab

B.

2aba＋b<a＋b

a＋b2C.

2aba＋b>a＋b22abaD.

ab>

＋b解析

由

a>b>0，得

ab<a＋b2，22

aba＋b即

>

ab，所以a＋b

<1，a＋b即2ab

<ab，故選ABD.4.當(dāng)a，b∈R時(shí)，下列不等關(guān)系成立的是

③

(填序號(hào)).b

a①a＋b≥2；②a－b≥2

ab；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.解析

根據(jù)a2＋b22≥ab，a＋b2≥ab成立的條件判斷，知①②④錯(cuò)，只有③正確.課堂互動(dòng)題型剖析2題型一 與基本不等式有關(guān)的比較大小問題【例1】A.a<b<

ab<a＋b

a＋b2

2B.a<

ab<

<bC.a<

ab<b<a＋b

a＋b2

2D.

ab<a<

<b設(shè)0<a<b，則下列不等式中正確的是(

B

)∵0<a<b，∴a<a＋b2<b，排除A，C

兩項(xiàng).解析

法一又

ab－a＝

a(

b－a)>0，即ab>a，排除D

項(xiàng)，故選B.法二

取

a＝2，b＝8，則

ab＝4，a＋b2＝5，所以

a<

ab<a＋b2<b.利用基本不等式比較實(shí)數(shù)大小的注意事項(xiàng)(1)利用基本不等式比較大小，常常要注意觀察其形式(和與積).(2)利用基本不等式時(shí)，一定要注意條件是否滿足a>0，b>0.思維升華思維升華【訓(xùn)練1】比較大?。簒2＋2x2＋12(填“>”“<”“≥”或“≤”).≥解析x2＋2

1

2

2x

＋1

x

＋1＝

x2＋1＋

≥2x2＋1當(dāng)且僅當(dāng)

x2＋1＝

1

.即

x＝0

時(shí)，等號(hào)成立.題型二

用基本不等式證明不等式角度

1

無附加條件的不等式證明a2

b2

c2【例

2－1】

已知

a，b，c>0，求證：

b

＋

c

＋

a

≥a＋b＋c.a2證明

∵a，b，c>0，∴利用基本不等式可得b

＋b≥2a，b2

c2c

＋c≥2b，

a

＋a≥2c，a2

b2

c2a2

b2

c2∴

b

＋

c

＋

a

＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c故b

＋c

＋a

≥a＋b＋c，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c

時(shí)，等號(hào)成立.角度

2

有附加條件的不等式證明1

1

1【例

2－2】

已知

a，b，c

為正數(shù)，且

a＋b＋c＝1，證明：a＋b＋c≥9.1

1

1證明

a＋b＋c＝a

b＋

＋a＋b＋c

a＋b＋c

a＋b＋cc

＝3＋b

a＋c＋a＋c

ba＋b

a

c

b＋c≥3＋2＋2＋2＝9.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c1＝3時(shí)，等號(hào)成立.在利用基本不等式證明的過程中，常需要把數(shù)、式合理地拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)或恒等地變形配湊成適當(dāng)?shù)臄?shù)、式，以便于利用基本不等式.思維升華思維升華【訓(xùn)練2】已知

a，b，c

是全不相等的正實(shí)數(shù)，求證：a＋b＋c－a

a＋c－bb＋a＋b－cc>3.b

a

c

a

c

bb

a

c

a

c

bb

c

c

a

a

b證明

因?yàn)?/p>

a，b，c

全不相等，所以a與b，a與c，b與c全不相等，所以a＋b>2，a＋c>2，b＋c>2，三式相加得，a＋a＋b＋b＋c＋c>6，

b

c

ac

a

b所以a＋a－1＋b＋b－1＋c＋c－1>3，即a

b＋

＋b＋c－a

a＋c－b

a＋b－cc>3.題型三

利用基本不等式直接求最值x＋解

∵x>012，∴

x

>0，4x>0.∴1212x

＋4x≥2

x

·4x＝8

3.x當(dāng)且僅當(dāng)12

4x，即

x＝

3時(shí)取最小值

8

3，＝12∴當(dāng)

x>0

時(shí)，x

＋4x

的最小值為

8

3.12(2)當(dāng)x<0

時(shí)，求x

＋4x

的最大值；解

∵x<0，∴－x>0.則

12

＋(－4x)≥2

12

·（－4x）＝8

3，－x

－x－x當(dāng)且僅當(dāng)

12

＝－4x

時(shí)，即x＝－

3時(shí)取等號(hào).∴12x

＋4x≤－8

3.12∴當(dāng)

x<0

時(shí)，

x

＋4x

的最大值為－8

3.x(x>04x

a

a＋x≥2

4x·x＝4

a，a當(dāng)且僅當(dāng)4x＝x，即a＝4x2＝36

時(shí)取等號(hào)，∴a＝36.在利用基本不等式求最值時(shí)要注意三點(diǎn)一是各項(xiàng)均為正；二是尋求定值，求和式最小值時(shí)應(yīng)使積為定值，求積式最大值時(shí)應(yīng)使和為定值(恰當(dāng)變形，合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常用的解題技巧)；三是考慮等號(hào)成立的條件是否具備.思維升華思維升華【訓(xùn)練3】A.16B.25

C.9

D.36解析

因?yàn)閤>0，y>0，且x＋y＝8，已知x>0，y>0，且x＋y＝8，則(1＋x)·(1＋y)的最大值為(

B

)所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋2x＋y2

＝9＋42＝25，因此當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝4

時(shí)，(1＋x)(1＋y)取最大值25.課堂小結(jié)課堂小結(jié)1.利用基本不等式：ab≤a＋b2解決問題注意其應(yīng)用前提條件是a>0，b>0.22.兩個(gè)不等式

a2＋b2≥2ab

與a＋b≥

ab都是帶有等號(hào)的不等式，對(duì)于“當(dāng)且僅當(dāng)…時(shí)，取‘＝’”這句話的含義要有正確的理解.一方面：當(dāng)a＝b

時(shí)，a＋b2＝

ab；另一方面：當(dāng)a＋b2＝

ab時(shí)，也有a＝b.分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升3一、選擇題

41.不等式

a2＋a2≥4

中，等號(hào)成立的條件是(

D

)A.a＝4C.a＝－

2B.a＝

2D.a＝±

2解析

此不等式等號(hào)成立的條件為

a2

4＝a2，即a＝±2，故選D.A.s≥tC.s≤tB.s>tD.s<t解析

∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1.2.設(shè)t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，則t與s的大小關(guān)系是(

A

)3.已知0<a<1，0<b<1，且a≠b，下列各式中最大的是(

D

)A.a2＋b2

B.2

abC.2ab

D.a＋b解析

因?yàn)?<a<1，0<b<1，所以a2<a，b2<b，所以a2＋b2<a＋b，又a2＋b2>2ab(因?yàn)閍≠b)，所以2ab<a2＋b2<a＋b.又因?yàn)?/p>

a＋b>2

ab(因?yàn)?/p>

a≠b)，所以a＋b

最大，故選D.4.(多選題)設(shè)a>0，b>0，下列不等式恒成立的是(

ACD

)

A.a2＋1>a

B.a2＋9>6aC.(a＋b

1＋1≥4

D.a＋1b＋1≥4)a

b

a

b

1232

2解析

設(shè)

a>0，b>0，因?yàn)?/p>

a

＋1－a＝a－2

＋4>0，所以

a

＋1>a，故

A

成立；因?yàn)閍2＋9－6a＝(a－3)2，當(dāng)a＝3

時(shí)，B

不成立；

1＋1因?yàn)?a＋b)a

b＝1＋a＋b＋b

a b

a1≥2＋2

a·b＝4，b

a當(dāng)且僅當(dāng)a＝b，即a＝b

時(shí)取等號(hào)，故C

成立；1

1

1

1因?yàn)閍＋a≥2，b＋b≥2，所以a＋ab＋b≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a1

1＝a，b＝b，即a＝b＝1

時(shí)取等號(hào)，故D

成立.故選ACD.5.小王從甲地到乙地往返的時(shí)速分別為a和b(a<b)，其全程的平均時(shí)速為v，則(

A

)C.

ab<v<a＋b2D.v＝A.a<v<

ab

B.v＝

aba＋b2則

v＝

2s

＝2s＋s

1＋1a

b

a

b.1

1

2解析

設(shè)甲、乙兩地的距離為s，由于a<b，∴a＋b<a，∴v>a，1

1

1

又a＋b>2

ab，∴v<

ab.故a<v<ab，選A.二、填空題x<y6.已知

a，b

是不相等的正數(shù)，x＝

a＋

b2，y＝

a＋b，則

x，y

的大小關(guān)系是.解析x2＝a＋b＋222ab

a＋b＋a＋b，y2＝a＋b＝

.∵a＋b>2

ab(a≠b)，∴x2<y2，∵x，y>0，∴x<y.7.已知a>b>c，則（a－b）（b－c）與a－c2的大小關(guān)系是

.（a－b）（b－c）≤a－c2解析

∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0.∴2＝a－c

（a－b）＋（b－c）2≥

（a－b）（b－c），當(dāng)且僅當(dāng)a－b＝b－c，即2b＝a＋c

時(shí)取等號(hào).b

a8.給出下列條件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使a＋b≥2成立的條件有_①③④

(填序號(hào)).解析

當(dāng)b

a

b

aa，b均為正數(shù)時(shí)，a＋b≥2，故只需a，b

同號(hào)即可，∴①③④均可以.三、解答題9.設(shè)a>0，b>0，且a＋b1

1＝a＋b，證明：a＋b≥2.1

1a＋b證明

由

a>0，b>0，則

a＋b＝a＋b＝

ab

，由于

a＋b>0，則

ab＝1，即有

a＋b≥2

ab＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b

時(shí)取得等號(hào)，∴a＋b≥2.10.已知a，b，c

都是正數(shù)，求證：a＋b＋c－ab－bc－ac≥0.證明

∵a，b，c

都是正數(shù)，∴a＋b≥2

ab，b＋c≥2

bc，a＋c≥2

ac，∴a＋b＋b＋c＋a＋c≥2(∴a＋b＋c≥

ab＋

bc＋ab＋

bc＋

ac)，ac，即a＋b＋c－ab－bc－ac≥0.(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c

時(shí)，等號(hào)成立)11.如果正數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＝cd＝4，那么(

A

)A.ab≤c＋d，且等號(hào)成立時(shí)a，b，c，d的取值唯一

B.ab≥c＋d，且等號(hào)成立時(shí)a，b，c，d的取值唯一

C.ab≤c＋d，且等號(hào)成立時(shí)a，b，c，d的取值不唯一

D.ab≥c＋d，且等號(hào)成立時(shí)a，b，c，d的取值不唯一解析

∵a＋b≥2

ab，∴ab≤

2a＋b2

＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2

時(shí)取等號(hào).∵c＋d≥2

cd，∴c＋d≥4，當(dāng)且僅當(dāng)c＝d＝2

時(shí)取等號(hào).故c＋d≥ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝d＝2

時(shí)取等號(hào).12.設(shè)a，b為非零實(shí)數(shù)，給出下列不等式：①②解析

由重要不等式a2＋b2≥2ab，可知①正確；①≥ab；②a2＋b2

a2＋b22

2≥a＋b22；③a＋b2≥

ab

a＋ba

bb

a；④＋≥2.其中恒成立的是(填序號(hào)).2

4＝

＝a2＋b2

2（a2＋b2）

（a2＋b2）＋（a2＋b2）4≥a2＋b2＋2ab4＝（a＋b）24＝2a＋b2

，可知②正確；a＋b

ab當(dāng)

a＝b＝－1

時(shí)，不等式的左邊為

＝－1，右邊為b1a＋＝－2，可知③不正確；2當(dāng)a＝1，b＝－1時(shí)，可知④不正確.13.設(shè)

x>0，求證：x＋

2

32x＋

≥2.1證明

∵x>0，∴x＋12>0，2x