演示文稿常系數(shù)線性微分方程

演示文稿常系數(shù)線性微分方程當(dāng)前第1頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)（優(yōu)選）常系數(shù)線性微分方程當(dāng)前第2頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)一、常系數(shù)齊次線性方程通解求法n階常系數(shù)非齊次線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式n階常系數(shù)齊次線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式當(dāng)前第3頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)-----特征方程將其代入上方程,得故有特征根1.二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解求法當(dāng)前第4頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)有兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解得齊次方程的通解為特征根為有兩個(gè)相等的實(shí)根得齊次方程的通解為有一對(duì)共軛復(fù)根得齊次方程的通解為當(dāng)前第5頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)有兩個(gè)相等的實(shí)根一特解為得齊次方程的通解為特征根為當(dāng)前第6頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)解特征方程為解得故所求通解為例1例2解特征方程為解得故所求通解為當(dāng)前第7頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)2.n階常系數(shù)齊次線性方程解法特征方程為特征方程的根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)注意n次代數(shù)方程有n個(gè)根,而特征方程的每一個(gè)根都對(duì)應(yīng)著通解中的一項(xiàng),且每一項(xiàng)各一個(gè)任意常數(shù).當(dāng)前第8頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)特征根為故所求通解為解特征方程為:例3解方程:例4解方程:解特征方程為:特征根為故所求通解為當(dāng)前第9頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)練習(xí)求方程的通解：答案：當(dāng)前第10頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)二階常系數(shù)非齊次線性方程對(duì)應(yīng)齊次方程則(1)通解結(jié)構(gòu)難點(diǎn)：如何求特解？方法：待定系數(shù)法.二.二階常系數(shù)非齊次線性方程解的求法則有特解:當(dāng)前第11頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（k是重根次數(shù)）.注意的特解:當(dāng)前第12頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)例寫出下列方程的特解形式:解1.特征方程為:解2.特征方程為:當(dāng)前第13頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為例4當(dāng)前第14頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)例5解特征根對(duì)應(yīng)齊次方程通解不代入方程,得原方程通解為:例6解原方程通解為:當(dāng)前第15頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)則特解為:當(dāng)前第16頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)解例5寫出下列方程的特解形式:特征根的特解的特解當(dāng)前第17頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)解對(duì)應(yīng)齊方通解代入原方程:例6是特征方程的單根,比較系數(shù)得:通解為:當(dāng)前第18頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)四、小結(jié)1.二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.

(見下表)當(dāng)前第19頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)2.非齊次方程求特解:當(dāng)前第20頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)前第21頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)解特征方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為設(shè)原方程的特解為例9解方程原方程的一個(gè)特解為故原方程的通解為代入初始條件.有當(dāng)前第22頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)04考題補(bǔ)充題當(dāng)前第23頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)前第24頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)例5解特征方程特征根對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為設(shè)原方程的特解為當(dāng)前第25頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)原方程的一個(gè)特解為故原方程的通解為當(dāng)前第26頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)例6解代入方程，得故方程的通解為當(dāng)前第27頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)前第28頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)前第29頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)解法：歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過變量代換可化為常系數(shù)微分方程.二、歐拉方程的方程(其中形如叫歐拉方程.為常數(shù))特點(diǎn)：各項(xiàng)未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)與乘積因子自變量的方次數(shù)相同．當(dāng)前第30頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)作變量變換將自變量換為用D表示對(duì)自變量t的求導(dǎo)運(yùn)算則當(dāng)前第31頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)將上式代入歐拉方程，則化為以為自變量的常系數(shù)線性微分方程.求出這個(gè)方程的解后，把換為，即得到原方程的解.一般地，例8求的通解．解作變量變換當(dāng)前第32頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)四、小結(jié)1.二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.

(見下表)當(dāng)前第33頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)原方程化為即或(1)其特征方程設(shè)特解:通解:當(dāng)前第34頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)2.非齊次方程求特解:當(dāng)前第35頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)解例10則由牛頓第二定律得解此方程得當(dāng)前第36頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)3.歐拉方程解法思路:變系數(shù)的線性微分方程常系數(shù)的線性微分方程變量代換注意：歐拉方程的形式．當(dāng)前第37頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)前第38頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)前第39頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)前第40頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)前第41頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)前第42頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)前第43頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)前第44頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)前第45頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)前第46頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)前第47頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)前第48頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)前第49頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)前第50頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)前第51頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)前第52頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)前第53頁(yè)\共有60頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)前第54頁(yè)\共有60