2022考研數(shù)學(xué)一：多元微積分

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦2022考研數(shù)學(xué)一：多元微積分2022考研數(shù)學(xué)（一）真題

（多元微積分）

二、填空題.

（10）向量場()(),,Aijkxyzxyzxyz=++++的旋度_____________rotA=

（11）設(shè)函數(shù)(),fuv可微，(),zzxy=由方程()()221,xzyxfxzy+?=?確定，則()0,1d_____z

=

三、解答題.

（15）（本題滿分10分）

已知平面區(qū)域：()(),221cos,22Drrππθθθ??=≤≤+?≤≤???

?，計算二重積分ddD

xxy∫∫.

（17）（本題滿分10分）

設(shè)函數(shù)(,)fxy滿足2(,)(21),xyfxyxex

??=+?且(0,)1,tfyyL=+是從點(0,0)到點(1,)t的光潔曲線，計算曲線積分

(,)(,)()ddtLfxyfxyItxyxy

??=+??∫，并求()It的最小值.

（18）（本題滿分10分）

設(shè)有界區(qū)域Ω由平面222xyz++=與三個坐標平面圍成，Σ為Ω囫圇表面的外側(cè)，計算曲面積分

()21dd2dd3ddIxyzyzxzxyΣ

=+?+∫∫.

2022考研數(shù)學(xué)（一）真題解析

（多元微積分）

二、填空題：

（10）【答案】()0,1,1y?或(1)jky+?

【解析】本題考查向量場旋度的計算.

()(1)0,1,1i

jkrotAjkyyx

yzxyzxyz

???==+?=????++.（11）【答案】d2dxy?+

【解析】本題考查多元隱函數(shù)全微分的計算.對方程()()221,xzyxfxzy+?=?兩邊同時求全微分可得：

()()2''12d1d2d2,d(dd)dzxxzyy

xfxzyxxfxzfy++???=?+??+???

代入0,1,1xyz===，即有dd2d0xzy+?=.

三、解答題：

（15）【答案】3253

π+

【解析】本題考查利用極坐標計算二重積分.由已知()()2(1cos)22

2223422

23420

234222000dddcosd83cos3coscosd3163cos3coscosd3163cosd3cosdcosd31612332335.3223823

Dxxyrr

π

θππ

ππ

π

ππθθθθθθθθθθθθθθθθπππ+??==++=++??=++????

??=

??+?+?=+????∫∫∫∫∫∫∫∫∫

（17）【答案】()3

k

ΙΙ【解析】本題考查其次型曲線積分的計算以及函數(shù)的最值問題.首先，由2(,)(21)xyfxyxex

??=+?可得：222(,)(21)d(21)d()xyyxxyfxyxexexexxeCy???=+=+=+∫∫.已知(0,)1fyy=+，故()1Cyy=+，即

2(,)1xyfxyxey?=++.

第二，因為函數(shù)(,)fxy二階延續(xù)可微，有22(,)(,)fxyfxyxyyx

??=????，故曲線積分()It與路徑無關(guān)，這樣

(1,)

2(0,0)

(,)(,)()dd(,)(,)dd(1,)(0,0).tLttfxyfxyItxyxyfxyfxyxyftftexy???=+????=+=?=+??∫

∫最后，按照2'()10tIte?=?=，可得唯一駐點2t=，又22"(2)10Ie?==>，故()It的最小值為(2)3I=.

（18）【答案】

12

【解析】本題考查利用Gauss公式計算其次型曲面積分.

由Gauss公式，()2120,0,022

22122120001dd2dd3dd(21)ddddd(21)d(21)(1)dd21(21)d(1)d(21)(1)d.22

yxxyxyxyxyxIxyzyzxzxyxxyz

yxyxz