常微分方程課詳解演示文稿

常微分方程課詳解演示文稿1當(dāng)前第1頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)優(yōu)選常微分方程課2當(dāng)前第2頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)一階線(xiàn)性微分方程組:稱(chēng)式(2)為一階齊次線(xiàn)性微分方程組.非齊次線(xiàn)性微分方程組

(1)則式（1）變?yōu)?2)稱(chēng)式（1）為3當(dāng)前第3頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)一齊次線(xiàn)性微分方程組1疊加原理定理1證明:則有所以如果是方程（2）的m個(gè)解,則它們的線(xiàn)性組合也是方程(2)的解，這里是任意常數(shù)。由于是方程（2）的m個(gè)解4當(dāng)前第4頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)2函數(shù)向量組線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)定義設(shè)是一組定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)列向量，如果存在一組不全為零的常數(shù)使得對(duì)所有，有恒等式則稱(chēng)在區(qū)間[a,b]上線(xiàn)性相關(guān)；否則就稱(chēng)這組向量函數(shù)在區(qū)間[a,b]上線(xiàn)性無(wú)關(guān)。5當(dāng)前第5頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)證明:例1證明:函數(shù)向量組在任何區(qū)間都是線(xiàn)性相關(guān)的.6當(dāng)前第6頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)例2證明:函數(shù)向量組證明:要使7當(dāng)前第7頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)則需因?yàn)樗怨示€(xiàn)性無(wú)關(guān).8當(dāng)前第8頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)3函數(shù)向量組線(xiàn)性相關(guān)與無(wú)關(guān)的判別準(zhǔn)則(1)Wronsky行列式由這n個(gè)向量函數(shù)所構(gòu)成的行列式稱(chēng)為這n個(gè)向量函數(shù)所構(gòu)成的Wronsky行列式9當(dāng)前第9頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)(2)定理2證明:10當(dāng)前第10頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)(3)定理3證明:“反證法”則現(xiàn)在考慮函數(shù)向量由定理1知,如果（2）的解線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則它們的Wronsky行列式11當(dāng)前第11頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)由(3)知,因此,由解的存在唯一性定理知,即有矛盾注1:注2:12當(dāng)前第12頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)(4)定理4一階微分方程組(2)一定存在n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解.證明:由解的存在唯一性定理知,(2)一定存在滿(mǎn)足初始條件且13當(dāng)前第13頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)4通解結(jié)構(gòu)及基本解組定理5證明:①由已知條件,14當(dāng)前第14頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)又因?yàn)?5當(dāng)前第15頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)即它們構(gòu)成n維線(xiàn)性空間的基,現(xiàn)在考慮函數(shù)向量由定理1知,由(4)知,因此,由解的存在唯一性定理,應(yīng)有即16當(dāng)前第16頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)推論1(2)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)解的最大個(gè)數(shù)等于n。基本解組:一個(gè)基本解組。注1:齊次微分方程組(2)的基本解組不唯一。注2:齊次微分方程組(2)的所有解的集合構(gòu)成一個(gè)n維線(xiàn)性空間。注3:由n階線(xiàn)性微分方程的初值問(wèn)題與線(xiàn)性微分方程組的初值問(wèn)題的等價(jià)性描述,本節(jié)所有定理都可平行推論到n階線(xiàn)性微分方程去。17當(dāng)前第17頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)推論218當(dāng)前第18頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)5解矩陣與基解矩陣及性質(zhì)(1)定義則稱(chēng)這個(gè)矩陣為齊次微分方程組(2)的解矩陣。則稱(chēng)該解矩陣為(2)的基解矩陣。基解矩陣——以基本解組為列構(gòu)成的矩陣。19當(dāng)前第19頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)注:這里C是確定的N維向量空間20當(dāng)前第20頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)例3驗(yàn)證是方程組基解矩陣.解:由于又由于21當(dāng)前第21頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)證明:22當(dāng)前第22頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)證明:于是有由此可得23當(dāng)前第23頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)即有例4驗(yàn)證是方程組的基解矩陣,并求其通解。解:24當(dāng)前第24頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)又由于其通解為25當(dāng)前第25頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)二非齊次線(xiàn)性微分方程組1非齊線(xiàn)性微分方程組解的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)226當(dāng)前第26頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)性質(zhì)32通解結(jié)構(gòu)定理定理6這里C是確定的常數(shù)列向量。證明:由性質(zhì)2知,即這里C是確定的常數(shù)列向量。27當(dāng)前第27頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)3常數(shù)變易公式則(2)的通解為其中C是任意的常數(shù)列向量,下面尋求(1)形如的解,把(7)代入(1),得(1)一階線(xiàn)性微分方程組的常數(shù)變易公式28當(dāng)前第28頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)從而反之,可驗(yàn)證(8)是方程組(1)滿(mǎn)足初始條件的特解。因此,(7)變?yōu)?9當(dāng)前第29頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)定理7①

向量函數(shù)是(1)的解,且滿(mǎn)足初始條件②

方程組(1)的通解為注1:注2:公式(8)或(9)稱(chēng)為(1)的常數(shù)變易公式。30當(dāng)前第30頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)例5求方程組的通解.解:由例4知是對(duì)應(yīng)齊次方程的基解矩陣,由(8)得方程的特解為31當(dāng)前第31頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)所以,原方程的通解為32當(dāng)前第32頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)例6試求初值問(wèn)題解:由例3知是對(duì)應(yīng)齊次方程的基解矩陣,33當(dāng)前第33頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)故方程滿(mǎn)足初始條件的解是34當(dāng)前第34頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)(2)n階線(xiàn)性微分方程的常數(shù)變易公式則線(xiàn)性微分方組的初值問(wèn)題的基本解組為從而其基解矩陣為35當(dāng)前第35頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\22點(diǎn)36當(dāng)前第36頁(yè)\共有38頁(yè)\編于星期二\