信號與系統(tǒng)分析-第七章 連續(xù)時間系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析法_第1頁
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SIGNALSANDSYSTEMS信號與系統(tǒng)第七章連續(xù)時間系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析法南京郵電大學通信與信息工程學院第七章狀態(tài)變量分析7.1狀態(tài)變量分析法概述7.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立7.3連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的復頻域求解本章要點作業(yè)

7.1狀態(tài)變量分析概述系統(tǒng)的描述方法述法、狀態(tài)變量描述法輸入-輸出描述法(端口分析法、外部法)用系統(tǒng)的輸入-輸出變量之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)的特性;數(shù)學模型是n

階微分(或差分)方程。狀態(tài)變量描述法(內(nèi)部法)用狀態(tài)變量描述系統(tǒng)內(nèi)部變量的特性;通過狀態(tài)變量將系統(tǒng)的輸入和輸出變量聯(lián)系起來,進而描述系統(tǒng)的外部特性。狀態(tài)變量分析法的優(yōu)點可以有效地提供系統(tǒng)內(nèi)部的信息,便于處理與系統(tǒng)內(nèi)部情況有關(guān)的分析、設計問題;不僅適用于線性時不變的單輸入-單輸出系統(tǒng),也適用于非線性、時變、多輸入-多輸出系統(tǒng);便于應用計算機技術(shù)解決復雜系統(tǒng)的分析計算;當系統(tǒng)的輸出變量改換時,無需重新列寫狀態(tài)方程(微分或差分方程),只要調(diào)整輸出方程(代數(shù)方程)即可。7.1狀態(tài)與狀態(tài)空間1.系統(tǒng)的狀態(tài):是指系統(tǒng)過去、現(xiàn)在和未來的狀況,其本質(zhì)是指系統(tǒng)的儲能狀態(tài)。2.狀態(tài)變量:完全描述系統(tǒng)狀態(tài)的數(shù)目最少的一組變量。常用

x1(t),x2(t),…,xn(t)來表示。起始時刻t=t0

的狀態(tài)稱為初始狀態(tài),用

x1(t0),x2(t0),…,xn(t0)來表示。3.狀態(tài)矢量:一組狀態(tài)變量可以用一個矢量來表示:4.狀態(tài)空間:狀態(tài)矢量所描述的空間

狀態(tài)矢量所包含的狀態(tài)變量的個數(shù)稱為狀態(tài)空間的維數(shù),也稱系統(tǒng)的復雜度階數(shù),簡稱系統(tǒng)的階數(shù)。狀態(tài)變量分析法:用狀態(tài)變量來描述和分析系統(tǒng)的方法5.狀態(tài)軌跡:狀態(tài)矢量的端點隨時間變化而描述的路徑狀態(tài)變量分析法的步驟(1)選定狀態(tài)變量;(2)建立狀態(tài)方程:描述狀態(tài)變量與激勵之間關(guān)系的一階微分或差分方程組;(3)建立輸出方程:描述輸出與輸入關(guān)系的一組代數(shù)方程;(4)求解狀態(tài)方程和輸出方程。系統(tǒng)階數(shù)的確定

當已知電路時,習慣上將電感的電流和電容的電壓選為狀態(tài)變量,因為它們直接與系統(tǒng)的儲能狀態(tài)相聯(lián)系。

也可以選取磁鏈和電荷作為狀態(tài)變量,還可以選取間接反映系統(tǒng)儲能狀態(tài)的物理量,甚至有時可以選用不是系統(tǒng)中真實存在的物理量。

但是一個系統(tǒng)的狀態(tài)變量必須是一組獨立并且完備的變量,變量的數(shù)目即系統(tǒng)復雜度的階數(shù)n由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)所決定,與所選的狀態(tài)變量無關(guān)。

由于受

KCL和KVL

的約束,n

的一般計算公式為全電容回路全電感割集

可見此電路只有3

個狀態(tài)變量是獨立的,只須用3

個狀態(tài)變量來描述系統(tǒng)就可以了。狀態(tài)變量可以選為7.2連續(xù)時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立建立狀態(tài)方程的兩類方法1.直接法

直觀編寫法(依據(jù)給定的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)直接編寫)系統(tǒng)編寫法(借助計算機自動編寫)2.間接法

由系統(tǒng)的輸入-輸出方程編寫法由系統(tǒng)的模擬圖編寫法7.2.1連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的一般形式7.2.2由電路圖建立狀態(tài)方程步驟(1)選擇獨立的電容電壓和電感電流作為狀態(tài)變量;(2)對于含有獨立電容支路的節(jié)點列寫KCL方程,對于含有獨立電感的回路列寫KVL方程;(3)消除非狀態(tài)變量(中間變量)(4)整理成狀態(tài)方程和輸出方程的標準形式。例7-2-1電路如圖所示,試列寫該系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。對于一般的常態(tài)網(wǎng)絡(不存在全電容回路和全電感割集)還可以應用直流電路的知識列寫狀態(tài)方程。例:

試求圖示常態(tài)網(wǎng)絡的狀態(tài)方程。非常態(tài)網(wǎng)絡的狀態(tài)方程例:

非常態(tài)網(wǎng)絡如圖所示,

試列寫其狀態(tài)方程。當電路存在C-C回路或L-L割集時,直接列寫得到的不是標準形式的狀態(tài)方程,一般可表示為結(jié)論(1)狀態(tài)變量的選取并不是唯一的,選取不同的狀態(tài)變量,狀態(tài)方程的形式會改變;(2)一般情況下,消除非狀態(tài)變量不太容易;(3)僅有R、L、C組成的無受控源網(wǎng)絡總能列寫出標準的狀態(tài)方程;(4)如果電路含有受控源,由于多了一類約束關(guān)系,可能會使狀態(tài)變量的個數(shù)減少,對于少數(shù)特定的電路甚至無法列寫出標準的狀態(tài)方程。7.2.3從輸入-輸出方程導出狀態(tài)方程1.微分方程中無激勵的導數(shù)項時*2.微分方程中有激勵的導數(shù)項時7.2.4從模擬圖建立狀態(tài)方程

根據(jù)系統(tǒng)的輸入-輸出方程或系統(tǒng)函數(shù)可以作出系統(tǒng)的時域或復頻域模擬圖,然后選擇每一個積分器的輸出端信號作為狀態(tài)變量,最后得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。由于系統(tǒng)函數(shù)可以寫成不同的形式,所以模擬圖也可以有不同的結(jié)構(gòu),于是狀態(tài)變量的選擇也就不同,因而狀態(tài)方程和輸出方程就會有幾種不同的形式。

所以,可以分別畫出級聯(lián)、并聯(lián)和串聯(lián)等三種形式的模擬圖。1.直接模擬

直接模擬的優(yōu)點是不必求出系統(tǒng)函數(shù)的極點,狀態(tài)方程和輸出方程的列寫有規(guī)律可循。2.并聯(lián)模擬返回

并聯(lián)模擬的特點是,系數(shù)矩陣是由系統(tǒng)的特征根所構(gòu)成的對角陣。所以,也稱這種狀態(tài)變量為對角線狀態(tài)變量。3.串聯(lián)模擬

串聯(lián)模擬的特點是,系數(shù)矩陣是一個上三角陣。結(jié)論1.上述三類通過模擬圖列寫狀態(tài)方程的方法均可以推廣到n

階系統(tǒng)的一般情況。2.狀態(tài)變量可以在系統(tǒng)內(nèi)部選取,也可以人為地虛擬。3.對于同一個系統(tǒng),狀態(tài)變量的選取不同,系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程也將不同,但它們所描述的系統(tǒng)的輸入-輸出關(guān)系沒有改變。4.由于同一系統(tǒng)的特征方程相同,所以各狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣A是相似的。5.當系統(tǒng)的輸入和輸出都不止一個時,只要分別畫出其相應的模擬圖,按照上述方法仍然能方便地列寫出狀態(tài)方程和輸出方程。7.3連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解求解狀態(tài)方程的兩類方法1.復頻域求解2.時域求解(略)7.3.1狀態(tài)方程的復頻域解對狀態(tài)方程兩邊取拉氏變換,根據(jù)時域微分性得式中I

n×n

單位矩陣。零輸入響應零狀態(tài)響應零輸入響應零狀態(tài)響應例7-3-1已知某連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程分別為零輸入響應零狀態(tài)響應

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