浙教版數(shù)學八年級下冊期末復習

初二下學期期末復習3【知識梳理】二次根式二次根式像這樣表示算術平方根的代數(shù)式叫做二次根式，二次根號內字母的取值范圍必須滿足被開方數(shù)大于或等于零。二次根式的性質像這樣，在根號內不含字母，不含開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式稱為最簡二次根式。二次根式的運算一元二次方程一元二次方程像方程x2+3x=4的兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次，這樣的方程叫做一元二次方程。能使一元二次方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解(或根)。任何一個關于x的一元二次方程都可以化為ax2+bx+c=0的形式。ax2+bx+c=0(a,b,c為已知數(shù)，a≠0)稱為一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分別稱為二次項、一次項和常數(shù)項，a,b分別稱為二次項系數(shù)和一次項系數(shù)。一元二次方程的解法利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法，這種方法把解一個一元二次方程轉化為解兩個一元一次方程。形如x2=a(a≥0)的方程，根據(jù)平方根的定義，可得x1=，x2=-，這種解一元二次方程的方法叫做開平方法。把一元二次方程的左邊配成一個完全平方式，右邊為一個非負數(shù)，然后用開方法求解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法。一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況由代數(shù)式b2-4ac的值來決定，因此b2-4ac叫做一元二次方程的根的判別式，它的值與一元二次方程的根的關系是：一元二次方程的應用一元二次方程根與系數(shù)的關系（選學）一元兩次方程的根與系數(shù)有如下關系：（韋達定理）如果x1,x2是ax2+bx+c=0(a,b,c為已知數(shù)，a≠0)的兩個根，那數(shù)據(jù)分析初步平均數(shù)有n個數(shù)x1、x2、x3xn，我們把叫做這n個數(shù)的算術平均數(shù)，簡稱平均數(shù)，記做（讀作“x拔”）像這種形式的平均數(shù)叫做加權平均數(shù)，其中分母a1、a2an表示各相同數(shù)據(jù)的個數(shù)，稱為權。權越大，對平均數(shù)的影響就越大，加權平均數(shù)的分母恰好為各權的和。中位數(shù)和眾數(shù)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，位于最中間的一個數(shù)據(jù)（當數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)時）或最中間兩個數(shù)的平均數(shù)（當數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)時）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是數(shù)據(jù)的代表，它們從不同側面反映了數(shù)據(jù)的集中程度，但也存在各自的局限。如平均數(shù)容易受極端值得影響；眾數(shù)、中位數(shù)不能充分利用全部數(shù)據(jù)信息。方差和標準差在評價數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性時，我們通常將各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的波動程度作為指標。各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的方差。方差越大，說明數(shù)據(jù)的波動越大，越不穩(wěn)定。一組數(shù)據(jù)的方差的算術平方根稱為這組數(shù)據(jù)的標準差。平行四邊形多邊形在同一平面內，由不在同一條直線上的若干條線段（線段的條數(shù)不小于3）首尾順次相接形成的圖形叫做多邊形。組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊。邊數(shù)為n的多邊形叫n邊形（n為正整數(shù)，且n≥3）。多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內角，多邊形一邊的延長線與相鄰的另一邊所組成的角叫做多邊形的外角。多邊形每一個內角的頂點叫做多邊形的頂點，連結多邊形不相鄰兩個頂點的線段叫做多變形的對角線。四邊形的內角和等于360o。n邊形的內角和為(n-2)×180o(n≥3)。任何多邊形的外角和為360o。平行四邊形及其性質兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形用符號“”表示，平行四邊形ABCD可記做“ABCD”。平行四邊形的對角相等，平行四邊形的對邊相等。夾在兩條平行線間的平行線段相等，夾在兩條平行線間的垂線段相等。兩條平行線中，一條直線上所有的點到另一條直線的距離都相等，叫做這兩條平行線之間的距離。平行四邊形的對角線互相平分。中心對稱如果一個圖形繞著一個點旋轉180o后，所得到的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心。對稱中心平分連結兩個對稱點的線段。在直角坐標系中，點A(x,y)與點B(-x,-y)關于原點成中心對稱。平行四邊形的判定定理一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。三角形的中位線連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。反證法在證明一個命題時，人們有時先假設命題不成立，從這樣的假設出發(fā)，經過推理得出和已知條件矛盾，或者與定義、基本事實、定理等矛盾，從而得出假設命題不成立是錯誤的，即所求證的命題正確。這種證明方法叫做反證法。例如：用反證法求證四邊形中至少有一個角是直角或鈍角在同一平面內，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。特殊平行四邊形矩形矩形：有一個角是直角的平行四邊形。矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等。有三個角是直角的四邊形是矩形。對角線相等的平行四邊形是矩形。菱形菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。菱形的四條邊都相等。菱形的對角線互相垂直，并且每條對角線平方一組對角。邊相等的四邊形是菱形。對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。正方形正方形：有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。有一組鄰邊相等的矩形是正方形。有一個角是直角的菱形是正方形。正方形的四個角都是直角，四條邊相等。正方形的對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。反比例函數(shù)反比例函數(shù)函數(shù)叫做反比例函數(shù)，這里的x是自變量，y是關于x的函數(shù)，k叫做比例系數(shù)。反比例函數(shù)的圖象和性質反比例函數(shù)的圖象是由兩個分支組成的曲線。當k>0時，圖象在一、三象限；當k<0時，圖象在二、四象限。反比例函數(shù)的圖象關于直角坐標系的原點成中心對稱。當k>0時，在圖象所在的第一、三象限內，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小；當k<0時，在圖象所在的第二、四象限內，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大。反比例函數(shù)的應用建立數(shù)學模型的過程，具體內容可概括為：由實驗獲取數(shù)據(jù)用描點法畫出圖象根據(jù)圖象和數(shù)據(jù)判斷或估計函數(shù)的類別用待定系數(shù)法求出函數(shù)關系式用實驗數(shù)據(jù)驗證函數(shù)關系式應用函數(shù)關系式解決問題【題型練習】【k的取值范圍】1．如圖，已知反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象如圖所示，則k的取值范圍是（）A．﹣2＜k＜﹣1 B．﹣3＜k＜﹣2 C．﹣4＜k＜﹣3 D．﹣5＜k＜﹣4【正方形中的將軍飲馬】如圖，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線AC上有一點P，使PD+PE最小，則這個最小值為（）A． B．2 C．2 D．【翻折問題】3．如圖，將矩形ABCD的四個角向內折起，恰好拼成一個無縫隙無重疊的四邊形EFGH，EH=12，EF=16，則邊AB的長是（）A．8+6 B．12 C．19.2 D．204．如圖，矩形ABCD中，AD=5，AB=7，點E為DC上一個動點，把△ADE沿AE折疊，點D的對應點為D′，若D′落在∠ABC的平分線上時，DE的長為（）A．3或4 B．或 C．或 D．或【反比例函數(shù)的平移】5．函數(shù)y=的圖象經過一組平移后，得到函數(shù)y=的圖象，這組平移正確的是（）A．先向上移1個單位，再向左移1個單位B．先向右移1個單位，再向上移1個單位C．先向左移1個單位，再向下移1個單位D．先向下移1個單位，再向右移1個單位【幾何綜合】6．如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點，AC分別交BE，DF于點M，N．給出下列結論：①△ABM≌△CDN；②AM=AC；③DN=2NF；④S四邊形BFNM=S平行四邊形ABCD．其中正確的結論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．如圖在正方形ABCD中，BE平分∠DBC，交DC于點E，延長BC到點F，使CF=CE，連接DF．若FD2=4+2，則正方形ABCD面積是（）A．1+ B．2 C．3+2 D．4+28．如圖，△ABC是等腰三角形，點D是底邊BC上異于BC中點的一個點，∠ADE=∠DAC，DE=AC．運用這個圖（不添加輔助線）可以說明下列哪一個命題是假命題？（）A．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形B．有一組對邊平行的四邊形是梯形C．一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形D．對角線相等的平行四邊形是矩形9．在直角梯形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4，BC=9，E是腰AB上的一點，AE=3，BE=12，取CD的中點M，連接MA，MB，則△AMB與△DEC面積比值為（）A．1 B． C． D．10．如圖，將矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，連結AD1、BC1．若∠ACB=30°，AB=1，CC1=x，△ACD與△A1C1D1重疊部分的面積為s，則下列結論：①△A1AD1≌△CC1B；②當x=1時，四邊形ABC1D1是菱形；③當x=2時，△BDD1為等邊三角形；④s=（x﹣2）2（0＜x＜2）；其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．411．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，M為邊AD的中點，延長MD至點E，使ME=MC，以DE為邊作正方形DEFG，點G在邊CD上，則DG的長為（）A．﹣1 B．3﹣ C．+1 D．﹣1【最值問題】1．如圖，在平面直角坐標系中，點A是x軸正半軸上的一個動點，點C是y軸正半軸上的點，BC⊥AC于點C．已知AC=8，BC=3．（1）線段AC的中點到原點的距離是；（2）點B到原點的最大距離是．2．如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為4，兩頂點A，B分別在x軸和y軸上運動，則頂點D到原點O的距離的最大值為；最小值為．【中位線】3．如圖，在四邊形ABCD中，P，M，N，Q分別是AC，AB，CD，MN中點，AD=BC，則∠PQM度數(shù)為．【綜合】4．如圖，菱形AB1C1D1的邊長為1，∠B1=60°；作AD2⊥B1C1于點D2，以AD2為一邊，做第二個菱形AB2C2D2，使∠B2=60°；作AD3⊥B2C2于點D3，以AD3為一邊做第三個菱形AB3C3D3，使∠B3=60°…依此類推，這樣做的第n個菱形ABnCnDn的邊ADn的長是．5．已知線段AB的長為a，以AB為邊在AB的下方作正方形ACDB．取AB邊上一點E，以AE為邊在AB的上方作正方形AENM．過E作EF丄CD，垂足為F點．若正方形AENM與四邊形EFDB的面積相等，則AE的長為．6．如圖，將矩形沿圖中虛線（其中x＞y）剪成①②③④四塊圖形，用這四塊圖形恰能拼一個正方形．若y=2，則x的值等于．【翻折+動點】7．長為1，寬為a的矩形紙片（），如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止．當n=3時，a的值為．8．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，點M是AB上一動點，點N是對角線AC上一動點，則MN+BN的最小值為．9．如圖，菱形ABCD中，∠A=120°，E是AD上的點，沿BE折疊△ABE，點A恰好落在BD上的點F，那么∠BFC的度數(shù)是．【綜合提升】1．直線AB過點A（10，0），B（0，10）（1）如圖1，函數(shù)y=（k＞0）圖象與直線AB相交于C，D兩點，若S△OCA=S△OCD，求k；（2）在（1）的條件下，將△OCD以每秒1個單位長度的速度沿x軸的正方向平移，如圖2，設它與△OAB的重疊部分面積為S，請求出S與運動時間t（秒）的函數(shù)關系（0＜t＜10）2．如圖1，在正方形ABCD中，BD是對角線，點E在BD上，△BEG是等腰直角三角形，且∠BEG=90°，點F是DG的中點，連結EF與CF．（1）求證：EF=CF；（2）求證：EF⊥CF；（3）如圖2，若等腰直角三角形△BEG繞點B按順時針旋轉45°，其他條件不變，請判斷△CEF的形狀，并證明你的結論．3．如圖，M、N是平行四邊形ABCD對角線BD上兩點．（1）若BM=MN=DN，求證：四邊形AMCN為平行四邊形；（2）若M、N為對角線BD上的動點（均可與端點重合），設BD=12cm，點M由點B向點D勻速運動，速度為2（cm/s），同時點N由點D向點B勻速運動，速度為a（cm/s），運動時間為t（s）．若要使四邊形AMCN為平行四邊形，求a的值及t的取值范圍．4．如圖，已知E、F是矩形ABCD對角線AC上的兩點，且BE⊥AC，DF⊥AC．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）若AE：EF：FC=1：2：1，試求∠ACB的度數(shù)．5．以△ABC的各邊，在邊BC的同側分別作三個正方形．他們分別是正方形ABDI，BCFE，ACHG，試探究：（1）如圖中四邊形ADEG是什么四邊形？并說明理由．（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEG是矩形？（3）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEG是正方形？6．某品牌手機，去年每臺的售價y（元）與月份x之間滿足關系y=﹣50x+2600，去年的月銷量p（萬元）與月份x之間成一次函數(shù)關系，其中第一季度的銷量情況如表：月份（x）1月2月3月銷售量（p）3.9萬臺4.0萬臺4.1萬臺（1）求p關于x的函數(shù)關系式；（2）求去年12月份的銷售量與銷售價格；（3）今年1月份比去年12月份該品牌手機的售價下降的百分率為m，銷售量下降的百分率為1.5m，今年2月份，經銷商對該手機以1月份價格的八折銷售，這樣2月份的銷售量比今年1月份增加了1.5萬臺，銷售額為6400萬元，求m的值．7．如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，?ABCD的頂點A在x軸正半軸上，點B在第一象限，OA=4，OC=2，點P、點Q分別是邊BC、邊AB上的動點，△PQB沿PQ所在直線折疊，點B落在點B1處．（1）若?OABC是矩形．①寫出點B的坐標．②如圖1，若點B1落在OA上，且點B1的坐標為（3，0），求點Q坐標．（2）若OC⊥AC，如圖2，過點B1作B1F∥x軸，與對角線AC、邊OC分別交于點E、F．若B1F=3B1E，點B1的橫坐標為m，求點B1的縱坐標（用含m的代數(shù)式表示），并直接寫出點B1的所有可能的情況下，m的最大值和最小值．8．定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做“友好三角形”．性質：如果兩個三角形是“友好三角形”，那么這兩個三角形的面積相等．理解：如圖①△ABC中CD是AB邊的中線，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”且S△ACD=S△BCD．應用：如圖②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E在AD上，點F在BC上，AE=BF，AF與BE交于點O．（1）求證：△AOB和△AOE是“友好三角形”；（2）連接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四邊形CDOF的面積．探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，點D在線段AB上，連接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，將△ACD沿CD所在直線翻折，得到△A′CD，若△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，請直接寫出△ABC的面積．初二下學期期末復習3教師版【知識梳理】二次根式二次根式像這樣表示算術平方根的代數(shù)式叫做二次根式，二次根號內字母的取值范圍必須滿足被開方數(shù)大于或等于零。二次根式的性質像這樣，在根號內不含字母，不含開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式稱為最簡二次根式。二次根式的運算一元二次方程一元二次方程像方程x2+3x=4的兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次，這樣的方程叫做一元二次方程。能使一元二次方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解(或根)。任何一個關于x的一元二次方程都可以化為ax2+bx+c=0的形式。ax2+bx+c=0(a,b,c為已知數(shù)，a≠0)稱為一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分別稱為二次項、一次項和常數(shù)項，a,b分別稱為二次項系數(shù)和一次項系數(shù)。一元二次方程的解法利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法，這種方法把解一個一元二次方程轉化為解兩個一元一次方程。形如x2=a(a≥0)的方程，根據(jù)平方根的定義，可得x1=，x2=-，這種解一元二次方程的方法叫做開平方法。把一元二次方程的左邊配成一個完全平方式，右邊為一個非負數(shù)，然后用開方法求解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法。一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況由代數(shù)式b2-4ac的值來決定，因此b2-4ac叫做一元二次方程的根的判別式，它的值與一元二次方程的根的關系是：一元二次方程的應用一元二次方程根與系數(shù)的關系（選學）一元兩次方程的根與系數(shù)有如下關系：（韋達定理）如果x1,x2是ax2+bx+c=0(a,b,c為已知數(shù)，a≠0)的兩個根，那數(shù)據(jù)分析初步平均數(shù)有n個數(shù)x1、x2、x3xn，我們把叫做這n個數(shù)的算術平均數(shù)，簡稱平均數(shù)，記做（讀作“x拔”）像這種形式的平均數(shù)叫做加權平均數(shù)，其中分母a1、a2an表示各相同數(shù)據(jù)的個數(shù)，稱為權。權越大，對平均數(shù)的影響就越大，加權平均數(shù)的分母恰好為各權的和。中位數(shù)和眾數(shù)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕校挥谧钪虚g的一個數(shù)據(jù)（當數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)時）或最中間兩個數(shù)的平均數(shù)（當數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)時）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是數(shù)據(jù)的代表，它們從不同側面反映了數(shù)據(jù)的集中程度，但也存在各自的局限。如平均數(shù)容易受極端值得影響；眾數(shù)、中位數(shù)不能充分利用全部數(shù)據(jù)信息。方差和標準差在評價數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性時，我們通常將各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的波動程度作為指標。各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的方差。方差越大，說明數(shù)據(jù)的波動越大，越不穩(wěn)定。一組數(shù)據(jù)的方差的算術平方根稱為這組數(shù)據(jù)的標準差。平行四邊形多邊形在同一平面內，由不在同一條直線上的若干條線段（線段的條數(shù)不小于3）首尾順次相接形成的圖形叫做多邊形。組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊。邊數(shù)為n的多邊形叫n邊形（n為正整數(shù)，且n≥3）。多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內角，多邊形一邊的延長線與相鄰的另一邊所組成的角叫做多邊形的外角。多邊形每一個內角的頂點叫做多邊形的頂點，連結多邊形不相鄰兩個頂點的線段叫做多變形的對角線。四邊形的內角和等于360o。n邊形的內角和為(n-2)×180o(n≥3)。任何多邊形的外角和為360o。平行四邊形及其性質兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形用符號“”表示，平行四邊形ABCD可記做“ABCD”。平行四邊形的對角相等，平行四邊形的對邊相等。夾在兩條平行線間的平行線段相等，夾在兩條平行線間的垂線段相等。兩條平行線中，一條直線上所有的點到另一條直線的距離都相等，叫做這兩條平行線之間的距離。平行四邊形的對角線互相平分。中心對稱如果一個圖形繞著一個點旋轉180o后，所得到的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心。對稱中心平分連結兩個對稱點的線段。在直角坐標系中，點A(x,y)與點B(-x,-y)關于原點成中心對稱。平行四邊形的判定定理一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。三角形的中位線連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。反證法在證明一個命題時，人們有時先假設命題不成立，從這樣的假設出發(fā)，經過推理得出和已知條件矛盾，或者與定義、基本事實、定理等矛盾，從而得出假設命題不成立是錯誤的，即所求證的命題正確。這種證明方法叫做反證法。例如：用反證法求證四邊形中至少有一個角是直角或鈍角在同一平面內，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。特殊平行四邊形矩形矩形：有一個角是直角的平行四邊形。矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等。有三個角是直角的四邊形是矩形。對角線相等的平行四邊形是矩形。菱形菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。菱形的四條邊都相等。菱形的對角線互相垂直，并且每條對角線平方一組對角。邊相等的四邊形是菱形。對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。正方形正方形：有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。有一組鄰邊相等的矩形是正方形。有一個角是直角的菱形是正方形。正方形的四個角都是直角，四條邊相等。正方形的對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。反比例函數(shù)反比例函數(shù)函數(shù)叫做反比例函數(shù)，這里的x是自變量，y是關于x的函數(shù)，k叫做比例系數(shù)。反比例函數(shù)的圖象和性質反比例函數(shù)的圖象是由兩個分支組成的曲線。當k>0時，圖象在一、三象限；當k<0時，圖象在二、四象限。反比例函數(shù)的圖象關于直角坐標系的原點成中心對稱。當k>0時，在圖象所在的第一、三象限內，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減??；當k<0時，在圖象所在的第二、四象限內，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大。反比例函數(shù)的應用建立數(shù)學模型的過程，具體內容可概括為：由實驗獲取數(shù)據(jù)用描點法畫出圖象根據(jù)圖象和數(shù)據(jù)判斷或估計函數(shù)的類別用待定系數(shù)法求出函數(shù)關系式用實驗數(shù)據(jù)驗證函數(shù)關系式應用函數(shù)關系式解決問題【題型練習】【k的取值范圍】1．如圖，已知反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象如圖所示，則k的取值范圍是（）A．﹣2＜k＜﹣1 B．﹣3＜k＜﹣2 C．﹣4＜k＜﹣3 D．﹣5＜k＜﹣4【分析】根據(jù)圖象選取特殊點A和D的坐標，找對應這兩點且在圖象上的B和C的坐標，得出k的取值．【解答】解：如圖，分別取A、B、C、D四個點，A（3，﹣1），B（3，y），C（2，b），D（2，﹣2），且點B和C在反比例函數(shù)的圖象上，∴k=3y=2b，由圖象可知：3y＜3×（﹣1）=﹣3，2b＞2×（﹣2）=﹣4，∵﹣4＜k＜﹣3，故選C．【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象的性質，形如y=（k≠0）圖象是雙曲線，圖象上的點滿足：xy=k，注意：反比例函數(shù)的圖象與坐標軸沒有交點．【將軍飲馬】如圖，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線AC上有一點P，使PD+PE最小，則這個最小值為（）A． B．2 C．2 D．【分析】由于點B與D關于AC對稱，所以BE與AC的交點即為P點．此時PD+PE=BE最小，而BE是等邊△ABE的邊，BE=AB，由正方形ABCD的面積為12，可求出AB的長，從而得出結果．【解答】解：由題意，可得BE與AC交于點P．∵點B與D關于AC對稱，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最?。哒叫蜛BCD的面積為12，∴AB=2．又∵△ABE是等邊三角形，∴BE=AB=2．故所求最小值為2．故選B．【點評】此題考查了軸對稱﹣﹣最短路線問題，正方形的性質，等邊三角形的性質，找到點P的位置是解決問題的關鍵．【翻折問題】3．如圖，將矩形ABCD的四個角向內折起，恰好拼成一個無縫隙無重疊的四邊形EFGH，EH=12，EF=16，則邊AB的長是（）A．8+6 B．12 C．19.2 D．20【分析】利用翻折變換的性質得出四邊形EFGH是矩形，進而得出BF=DH=MF，再利用勾股定理得出BE，BF的長，進而得出答案．【解答】解：如圖所示：設HF上兩個點分別為M、Q，∵M點是B點對折過去的，∴∠EMH為直角，△AEH≌△MEH，∴∠HEA=∠MEH，同理∠MEF=∠BEF，∴∠MEH+∠MEF=90°，∴四邊形EFGH是矩形，∴△DHG≌△BFE，△HEF是直角三角形，∴BF=DH=MF，∵AH=HM，∴AD=HF，∵EH=12，EF=16，∴FH===20，∴AE=EM===，則BF=NF==12.8，故BE==9.6，∴AB=AE+BE=9.6+=19.2．故選：C．【點評】此題主要考查了翻折變換的性質以及勾股定理、矩形的判定方法等知識，根據(jù)題意得出AE，BE的長是解題關鍵．4．如圖，矩形ABCD中，AD=5，AB=7，點E為DC上一個動點，把△ADE沿AE折疊，點D的對應點為D′，若D′落在∠ABC的平分線上時，DE的長為（）A．3或4 B．或 C．或 D．或【分析】連接BD′，過D′作MN⊥AB，交AB于點M，CD于點N，作D′P⊥BC交BC于點P，先利用勾股定理求出MD′，再分兩種情況利用勾股定理求出DE．【解答】解：如圖，連接BD′，過D′作MN⊥AB，交AB于點M，CD于點N，作D′P⊥BC交BC于點P∵點D的對應點D′落在∠ABC的角平分線上，∴MD′=PD′，設MD′=x，則PD′=BM=x，∴AM=AB﹣BM=7﹣x，又折疊圖形可得AD=AD′=5，∴x2+（7﹣x）2=25，解得x=3或4，即MD′=3或4．在Rt△END′中，設ED′=a，①當MD′=3時，AM=7﹣3=4，D′N=5﹣3=2，EN=4﹣a，∴a2=22+（4﹣a）2，解得a=，即DE=，②當MD′=4時，AM=7﹣4=3，D′N=5﹣4=1，EN=3﹣a，∴a2=12+（3﹣a）2，解得a=，即DE=．故選B．【點評】本題主要考查了折疊問題，解題的關鍵是明確掌握折疊以后有哪些線段是對應相等的．5．函數(shù)y=的圖象經過一組平移后，得到函數(shù)y=的圖象，這組平移正確的是（）A．先向上平移1個單位，再向左平移1個單位B．先向右平移1個單位，再向上平移1個單位C．先向左平移1個單位，再向下平移1個單位D．先向下平移1個單位，再向右平移1個單位【分析】先把函數(shù)化為y=1+的形式，再由反比例函數(shù)平移的規(guī)律即可得出結論．【解答】解：∵y==1+，∴函數(shù)y=的圖象先向上平移1個單位，再向右平移1個單位即可得到函數(shù)y=的圖象．故選B．【點評】本題考查的是反比例函數(shù)的性質，熟知上“加下減，左加右減”的規(guī)律是解答此題的關鍵．【幾何綜合】6．如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點，AC分別交BE，DF于點M，N．給出下列結論：①△ABM≌△CDN；②AM=AC；③DN=2NF；④S四邊形BFNM=S平行四邊形ABCD．其中正確的結論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】先結合平行四邊形性質，根據(jù)ASA得出△ABM≌△CDN，從而得出DN=BM，AM=CN；再由三角形中位線定理、相似三角形的對應邊成比例得出CN=MN，BM=DN=2NF；由S?BFDE=S?ABCD，S四邊形BFNM=S?BFDE，易證得S四邊形BFNM=S平行四邊形ABCD．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AB=CD，且AD∥BCAB∥CD，∴∠BAM=∠DCN，∵E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點，∴DE=BF，∴四邊形BFDE是平行四邊形，∴BE∥DF，∴∠AMB=∠EMN=∠FNM=∠CND，在△ABM≌△CDN，，∴△ABM≌△CDN（AAS），故①正確；∴AM=CN，BM=DN，∠AMB=∠DNC=∠FNA，∴NF∥BM，∵F為BC的中點，∴NF為三角形BCM的中位線，∴BM=DN=2NF，CN=MN=AM，∴AM=AC，DN=2NF，故②③正確；∵S?BFDE=S?ABCD，S四邊形BFNM=S?BFDE，∴S四邊形BFNM=S平行四邊形ABCD．故④正確；綜上所述，正確的結論是：①②③④，共有4個．故選D．【點評】本題考查全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質以及平行四邊形的判定與性質．注意，三角形中位線定理的應用．7．如圖在正方形ABCD中，BE平分∠DBC，交DC于點E，延長BC到點F，使CF=CE，連接DF．若FD2=4+2，則正方形ABCD面積是（）A．1+ B．2 C．3+2 D．4+2【分析】由△BCE≌△DCF得∠CBE=∠CDF，再根據(jù)角平分線的定義得到∠CBE=∠DBE，先利用等角的余角相等得∠DME=∠BCE=90°，即BM⊥DF，而BG平分∠DBF，根據(jù)等腰三角形的判定方法得到△BGF為等腰三角形，則BD=BF=BC+CF，由于BD=BC，CF=BC﹣BC，又FD2=BC2+CF2=4+2，可計算出BC=+1，然后計算正方形ABCD的面積．【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴CB=CD，∠BCD=90°，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴∠CBE=∠CDF，∵∠CBE=∠CDF，而∠CEB=∠MED，∴∠DME=∠BCE=90°，∴BG⊥DF，而BM平分∠DBF，∴△BDF為等腰三角形，∴BD=BF=BC+CF，∵BD=BC，CF=BC﹣BC，∴FD2=BC2+CF2=（4﹣2）BC2=4+2，∴BC=+1，∴正方形ABCD的面積為3+2．故選：C．【點評】此題考查考查了三角形全等的判定與性質、正方形的性質，勾股定理以及等腰三角形的判定與性質．8．如圖，△ABC是等腰三角形，點D是底邊BC上異于BC中點的一個點，∠ADE=∠DAC，DE=AC．運用這個圖（不添加輔助線）可以說明下列哪一個命題是假命題？（）A．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形B．有一組對邊平行的四邊形是梯形C．一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形D．對角線相等的平行四邊形是矩形【分析】已知條件應分析一組對邊相等，一組對角對應相等的四邊不是平行四邊形，根據(jù)全等三角形判定方法得出∠B=∠E，AB=DE，進而得出一組對邊相等，一組對角相等的四邊形不是平行四邊形，得出答案即可．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∴AB=AC，∠B=∠C，在△ADE與△DAC中，∵，∴△ADE≌△DAC，∴∠E=∠C，∴∠B=∠E，AB=DE，但是四邊形ABDE不是平行四邊形，故一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形說法錯誤；故選：C．【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定方法以及全等三角形的判定，結合已知選項，得出已知條件應分析一組對邊相等，一組對角相等的四邊不是平行四邊形是解題關鍵．9．在直角梯形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4，BC=9，E是腰AB上的一點，AE=3，BE=12，取CD的中點M，連接MA，MB，則△AMB與△DEC面積的比值為（）A．1 B． C． D．【分析】利用三角形的面積公式可計算出△ADE和△BEC的面積，進而得到△DEC的面積，過M作MH⊥AB于H，由梯形的中位線定理可求出MH，進而得到△AME的面積，把兩個三角形的面積作比值即可得問題答案．【解答】解：∵∠DAB=90°，AD=4，AE=3，∴S△ADE=3×4÷2=6，∵∠ABC=90°，BC=9，BE=12，∴S△BEC=9×12÷2=54，∵S梯形ABCD==，∴S△DEC=﹣6﹣54=，過M作MH⊥AB于H，∵M是CD的中點，∴H為AB中點，∴MH==，∴S△AMB=AB?MH=×15×=，∴△AMB與△DEC面積的比值為，故選：B．【點評】本題考查了直角梯形的性質、直角三角形的面積公式以及梯形的中位線定理，題目綜合性較好，難度中等．10．如圖，將矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，連結AD1、BC1．若∠ACB=30°，AB=1，CC1=x，△ACD與△A1C1D1重疊部分的面積為s，則下列結論：①△A1AD1≌△CC1B；②當x=1時，四邊形ABC1D1是菱形；③當x=2時，△BDD1為等邊三角形；④s=（x﹣2）2（0＜x＜2）；其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①根據(jù)矩形的性質，得∠DAC=∠ACB，再由平移的性質，可得出∠A1=∠ACB，A1D1=CB，從而證出結論；②根據(jù)菱形的性質，四條邊都相等，可推得當C1在AC中點時四邊形ABC1D1是菱形．③當x=2時，點C1與點A重合，可求得BD=DD1=BD1=2，從而可判斷△BDD1為等邊三角形．④易得△AC1F∽△ACD，根據(jù)面積比等于相似比平方可得出s與x的函數(shù)關系式．【解答】解：①∵四邊形ABCD為矩形，∴BC=AD，BC∥AD∴∠DAC=∠ACB∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，∴∠A1=∠DAC，A1D1=AD，AA1=CC1，在△A1AD1與△CC1B中，，∴△A1AD1≌△CC1B（SAS），故①正確；②∵∠ACB=30°，∴∠CAB=60°，∵AB=1，∴AC=2，∵x=1，∴AC1=1，∴△AC1B是等邊三角形，∴AB=D1C1，又AB∥BC1，∴四邊形ABC1D1是菱形，故②正確；③如圖所示：則可得BD=DD1=BD1=2，∴△BDD1為等邊三角形，故③正確．④易得△AC1F∽△ACD，∴，解得：S△AC1F=（x﹣2）2（0＜x＜2）；故④正確；綜上可得正確的是①②③④．故選D．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質、等邊三角形的判定及解直角三角形的知識，解答本題需要我們熟練掌握全等三角形的判定及含30°角的直角三角形的性質，有一定難度．11．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，M為邊AD的中點，延長MD至點E，使ME=MC，以DE為邊作正方形DEFG，點G在邊CD上，則DG的長為（）A．﹣1 B．3﹣ C．+1 D．﹣1【分析】根據(jù)線段中點的定義求出MD，再利用勾股定理列式求出MC，即為ME的長度，然后求出DE，再根據(jù)正方形的四條邊都相等可得DG=DE．【解答】解：∵正方形ABCD的邊長為2，M為邊AD的中點，∴DM=1，MC==，∵ME=MC，∴ME=，∴DE=﹣1，∵以DE為邊作正方形DEFG，點G在邊CD上，∴DG=﹣1．故選：D．【點評】本題考查了正方形的性質，勾股定理的應用，線段中點的定義，熟記性質是解題的關鍵．【最值問題】1．如圖，在平面直角坐標系中，點A是x軸正半軸上的一個動點，點C是y軸正半軸上的點，BC⊥AC于點C．已知AC=8，BC=3．（1）線段AC的中點到原點的距離是4；（2）點B到原點的最大距離是9．【分析】（1）由在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可求得線段AC的中點到原點的距離；（2）首先取AC的中點E，連接BE，OE，OB，可求得OE與BE的長，然后由三角形三邊關系，求得點B到原點的最大距離．【解答】解：（1）∵∠AOC=90°，AC=8，∴線段AC的中點到原點的距離是：AC=4；（2）取AC的中點E，連接BE，OE，OB，∵∠AOC=90°，AC=8，∴OE=CE=AC=4，∵BC⊥AC，BC=3，∴BE==5，若點O，E，B不在一條直線上，則OB＜OE+BE=9．若點O，E，B在一條直線上，則OB=OE+BE=9，∴當O，E，B三點在一條直線上時，OB取得最大值，最大值為9．故答案為：（1）4，（2）9．【點評】此題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質以及三角形三邊關系．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．2．如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為4，兩頂點A，B分別在x軸和y軸上運動，則頂點D到原點O的距離的最大值為2+2；最小值為2﹣2．【分析】根據(jù)已知得出D點的兩個特殊位置，進而求出即可．【解答】解：當O、D、AB中點共線時，OD有最大值和最小值，如圖，BD=4，BK=2，∴DK===2，OK=BK=2，∴OD的最大值為：2+2，同理，當O、D、AB中點共線時，將正六邊形繞AB中點K旋轉180°取得最小值為：2﹣2，故答案為：2+2，2﹣2．【點評】此題主要考查了正多邊形的性質以及坐標軸的幾何變換，做此類問題時，要先由特殊點考慮進行計算．【中位線】3．如圖，在四邊形ABCD中，P，M，N，Q分別是AC，AB，CD，MN的中點，AD=BC，則∠PQM的度數(shù)為90°．【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到PM=BC和PN=AD，根據(jù)題意得到PM=PN，根據(jù)等腰三角形的三線合一得到答案．【解答】解：連接PM、PN，∵P，M是AC，AB的中點，∴PM=BC，同理，PN=AD，又AD=BC，∴PM=PN，又Q是MN的中點，∴PQ⊥MN，∴∠PQM=90°，故答案為：90°．【點評】本題考查的是中點四邊形的知識，掌握三角形中位線定理是解題的關鍵．【綜合】4．如圖，菱形AB1C1D1的邊長為1，∠B1=60°；作AD2⊥B1C1于點D2，以AD2為一邊，做第二個菱形AB2C2D2，使∠B2=60°；作AD3⊥B2C2于點D3，以AD3為一邊做第三個菱形AB3C3D3，使∠B3=60°…依此類推，這樣做的第n個菱形ABnCnDn的邊ADn的長是．【分析】本題要找出規(guī)律方能解答．第一個菱形邊長為1，∠B1=60°，可求出AD2，即第二個菱形的邊長…按照此規(guī)律解答即可．【解答】解：第1個菱形的邊長是1，易得第2個菱形的邊長是；第3個菱形的邊長是（）2；…每作一次，其邊長為上一次邊長的；故第n個菱形的邊長是（）n﹣1．故答案為：（）n﹣1．【點評】本題是一道找規(guī)律的題目，要求學生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．5．已知線段AB的長為a，以AB為邊在AB的下方作正方形ACDB．取AB邊上一點E，以AE為邊在AB的上方作正方形AENM．過E作EF丄CD，垂足為F點．若正方形AENM與四邊形EFDB的面積相等，則AE的長為a．【分析】本題需先設出AE的長，從而得出BE的長，再根據(jù)題意列出方程，求出x的值即可得出AE的長．【解答】解：設AE的長為x（x＞0），則BE的長為a﹣x根據(jù)題意得：x2=（a﹣x）?a，∴x2+ax﹣a2=0，∵△=a2+4a2=5a2＞0，∴x==，解得：x=a．故答案為：a．【點評】本題主要考查了一元二次方程的應用，在解題時要根據(jù)已知條件和圖形列出方程是本題的關鍵．6．如圖，將矩形沿圖中虛線（其中x＞y）剪成①②③④四塊圖形，用這四塊圖形恰能拼一個正方形．若y=2，則x的值等于+1．【分析】根據(jù)三角形的相似很容易證明對應邊的相似比，③所在的小直角三角形和，③②構成的大直角三角形相似，根據(jù)相似比可求出x值．【解答】解：∵三角形相似對應邊成比例．∴=，∵y=2．∴x2﹣2x﹣4=0解得：x=1﹣（舍去），x=+1．故答案為：+1．【點評】本題考查理解題意能力，關鍵是在圖中找到相似比構造方程求解．【翻折+動點】7．長為1，寬為a的矩形紙片（），如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止．當n=3時，a的值為或．【分析】根據(jù)操作步驟，可知每一次操作時所得正方形的邊長都等于原矩形的寬．所以首先需要判斷矩形相鄰的兩邊中，哪一條邊是矩形的寬．當＜a＜1時，矩形的長為1，寬為a，所以第一次操作時所得正方形的邊長為a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為1﹣a，a．由1﹣a＜a可知，第二次操作時所得正方形的邊長為1﹣a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為1﹣a，a﹣（1﹣a）=2a﹣1．由于（1﹣a）﹣（2a﹣1）=2﹣3a，所以（1﹣a）與（2a﹣1）的大小關系不能確定，需要分情況進行討論．又因為可以進行三次操作，故分兩種情況：①1﹣a＞2a﹣1；②1﹣a＜2a﹣1．對于每一種情況，分別求出操作后剩下的矩形的兩邊，根據(jù)剩下的矩形為正方形，列出方程，求出a的值．【解答】解：由題意，可知當＜a＜1時，第一次操作后剩下的矩形的長為a，寬為1﹣a，所以第二次操作時正方形的邊長為1﹣a，第二次操作以后剩下的矩形的兩邊分別為1﹣a，2a﹣1．此時，分兩種情況：①如果1﹣a＞2a﹣1，即a＜，那么第三次操作時正方形的邊長為2a﹣1．∵經過第三次操作后所得的矩形是正方形，∴矩形的寬等于1﹣a，即2a﹣1=（1﹣a）﹣（2a﹣1），解得a=；②如果1﹣a＜2a﹣1，即a＞，那么第三次操作時正方形的邊長為1﹣a．則1﹣a=（2a﹣1）﹣（1﹣a），解得a=．故答案為：或．【點評】本題考查了一元一次方程的應用，解題的關鍵是分兩種情況：①1﹣a＞2a﹣1；②1﹣a＜2a﹣1．分別求出操作后剩下的矩形的兩邊．8．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，點M是AB上一動點，點N是對角線AC上一動點，則MN+BN的最小值為．【分析】作點B關于AC的對稱點B′，過點B′作B′M⊥AB于M，交AC于N，連接AB′交DC于P，連接BM，再根據(jù)矩形、軸對稱、等腰三角形的性質得出PA=PC，那么在Rt△ADP中，運用勾股定理求出PA的長，然后由cos∠B′AM=cos∠APD，求出AM的長．【解答】解：如圖，作點B關于AC的對稱點B′，過點B′作B′M⊥AB于M，交AC于N，連接AB′交DC于P，連接BN，∵四邊形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∴∠BAC=∠PCA，∵點B關于AC的對稱點是B′，∴∠PAC=∠BAC，∴∠PAC=∠PCA，∴PA=PC．令PA=x，則PC=x，PD=8﹣x．在Rt△ADP中，∵PA2=PD2+AD2，∴x2=（4﹣x）2+22，∴x=，∵cos∠B′AM=cos∠APD，∴AM：AB′=DP：AP，∴AM：4=1.5：2.5，∴AM=，∴B′M==，∴MN+BN的最小值=．故答案為：．【點評】本題主要考查了軸對稱﹣最短路線問題，矩形的性質，根據(jù)垂線段最短作出輔助線，確定點M、N的位置是解答此題的關鍵．9．如圖，菱形ABCD中，∠A=120°，E是AD上的點，沿BE折疊△ABE，點A恰好落在BD上的點F，那么∠BFC的度數(shù)是75°．【分析】根據(jù)菱形的性質可得AB=BC，∠A+∠ABC=180°，BD平分∠ABC，然后再計算出∠FBC=30°，再證明FB=BC，再利用等邊對等角可得∠BFC=∠BCF，利用三角形內角和可得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，∠A+∠ABC=180°，BD平分∠ABC，∵∠A=120°，∴∠ABC=60°，∴∠FBC=30°，根據(jù)折疊可得AB=BF，∴FB=BC，∴∠BFC=∠BCF=（180°﹣30°）÷2=75°，故答案為：75°．【點評】此題主要考查了菱形的性質，關鍵是掌握菱形的性質：菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．【綜合提升】1．直線AB過點A（10，0），B（0，10）（1）如圖1，函數(shù)y=（k＞0）的圖象與直線AB相交于C，D兩點，若S△OCA=S△OCD，求k的值；（2）在（1）的條件下，將△OCD以每秒1個單位長度的速度沿x軸的正方向平移，如圖2，設它與△OAB的重疊部分面積為S，請求出S與運動時間t（秒）的函數(shù)關系（0＜t＜10）【分析】（1）根據(jù)點A、點B的坐標，待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式，根據(jù)雙曲線的對稱性就可以求出S△OBD=S△OAC的值，再由三角形的面積公式就可以求出其值；（2）根據(jù)平移的性質可以求得△O′C′D′∽△O′CD，再由相似三角形的性質就可以求出就可以求出S△O′C′D′和S△O′CD的面積關系，從而可以求出S與運動時間t之間的函數(shù)關系式．【解答】解：（1）設AB的解析式為y=kx+b，由題意得，解得：，∴y=﹣x+10．∵S△OCA=S△OCD，∴設S△OCD=8a．則S△OAC=a，∴S△OBD=S△OAC=a，∴S△AOB=10a，∴10a=50，∴a=5，∴S△OAC=5，∴OA?y=5，∴y=1．1=﹣x+10，x=9∴C（9，1），∴1=，∴k=9（2）移動后重合的部分的面積是△O′C′D′，t秒后點O的坐標為O′（t，0），O′A=10﹣t，O′E=10．∵C′D′∥CD，∴△O′C′D′∽△O′CD，∴==，∴=（）2=（）2，S=40?（）2，∴S=t2﹣8t+40（0＜t＜10）．【點評】本題考查了反比例函數(shù)的圖象的對稱性的運用，相似三角形的相似比與面積之比的關系的運用，動點問題直線問題的運用，解答時求出函數(shù)的解析式及交點坐標是解答本題的關鍵．2．如圖1，在正方形ABCD中，BD是對角線，點E在BD上，△BEG是等腰直角三角形，且∠BEG=90°，點F是DG的中點，連結EF與CF．（1）求證：EF=CF；（2）求證：EF⊥CF；（3）如圖2，若等腰直角三角形△BEG繞點B按順時針旋轉45°，其他條件不變，請判斷△CEF的形狀，并證明你的結論．【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=DF=DG，CF=DF=DG，從而得證；（2）根據(jù)等邊對等角可得∠FDE=∠FED，∠FCD=∠FDC，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠EFC=2∠BDC，然后根據(jù)正方形的對角線平分一組對角求出∠BDC=45°，求出∠EFC=90°，從而得證；（3）延長EF交CD于H，先求出EG∥CD，再根據(jù)兩直線平行，內錯角相等求出∠EGF=∠HDF，然后利用“角邊角”證明△EFG和△HFD全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得EG=DH，EF=FH，再求出CE=CH，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質證明即可．【解答】（1）證明：∵∠BEG=90°，點F是DG的中點，∴EF=DF=DG，∵正方形ABCD中，∠BCD=90°，點F是DG的中點，∴CF=DF=DG，∴EF=CF；（2）證明：∵EF=DF，CF=DF，∴∠FDE=∠FED，∠FCD=∠FDC，∴∠EFC=∠EFG+∠CFG=∠FDE+∠FED+∠FCD+∠FDC=2∠FDE+2∠FDC=2∠BDC，在正方形ABCD中，∠BDC=45°，∴∠EFC=2×45°=90°，∴EF⊥CF；（3）解：△CEF是等腰直角三角形．理由如下：如圖，延長EF交CD于H，∵∠BEG=90°，∠BCD=90°，∴∠BEG=∠BCD，∴EG∥CD，∴∠EGF=∠HDF，∵點F是DG的中點，∴DF=GF，在△EFG和△HFD中，，∴△EFG≌△HFD（ASA），∴EG=DH，EF=FH，∵BE=EG，BC=CD，∴BC﹣EB=CD﹣DH，即CE=CH，∴EF⊥CF（等腰三角形三線合一），CF=EF=EH，∴△CEF是等腰直角三角形．【點評】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，等腰直角三角形的判定，熟記各性質是解題的關鍵，（3）作輔助線構造出等腰直角三角形和全等三角形是解題的關鍵．3．如圖，M、N是平行四邊形ABCD對角線BD上兩點．（1）若BM=MN=DN，求證：四邊形AMCN為平行四邊形；（2）若M、N為對角線BD上的動點（均可與端點重合），設BD=12cm，點M由點B向點D勻速運動，速度為2（cm/s），同時點N由點D向點B勻速運動，速度為a（cm/s），運動時間為t（s）．若要使四邊形AMCN為平行四邊形，求a的值及t的取值范圍．【分析】（1）首先連解AC，AC交BD于O，易證得AC、MN互相平分；即可判定四邊形AMCN為平行四邊形；（2）由要使四邊形AMCN為平行四邊形，即OM=ON，可得a=2；又由當M、M重合于點O，即t===3時，則點A、M、C、N在同一直線上，不能組成四邊形，且當點M由A運動到點D時，t=12÷2=6，即可求得答案．【解答】（1）證明：連接AC，交BD于點O，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，∵BM=DN，∴OB﹣BM=OD﹣DN，∴OM=ON，∴四邊形AMCN為平行四邊形；（2）解：要使四邊形AMCN為平行四邊形，即OM=ON，∴a=2；∵當M、N重合于點O，即t===3時，則點A、M、C、N在同一直線上，不能組成四邊形，且當點M由B運動到點D時，t=12÷2=6，∴當0≤t＜3或3＜t≤6時，四邊形AMCN為平行四邊形．【點評】此題考查了平行四邊形的性質與判定．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．4．如圖，已知E、F是矩形ABCD對角線AC上的兩點，且BE⊥AC，DF⊥AC．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）若AE：EF：FC=1：2：1，試求∠ACB的度數(shù)．【分析】（1）利用矩形的性質得出對應角以及對應線段，再利用全等三角形的判定方法求出即可；（2）利用相似三角形的判定與性質得出BE=x，進而利用銳角三角函數(shù)關系得出即可．【解答】（1）證明：∵E、F是矩形ABCD對角線AC上的兩點，且BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB=∠DFC=90°，∠BAE=∠DCF，AB=DC，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）解：∵∠BAE+∠ABE=90°，∠ABE+∠EBC=90°，∴∠BAE=∠CBE，又∵∠AEB=∠BEC，∴△ABE∽△BCE，∴=，∵AE：EF：FC=1：2：1，∴設AE=x，EF=2x，F(xiàn)C=x，∴=，∴BE=x，∴tan∠ECB===，∴∠ECB=30°即∠ACB的度數(shù)為30°．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質以及銳角三角函數(shù)關系等知識，表示出BE的長是解題關鍵．5．以△ABC的各邊，在邊BC的同側分別作三個正方形．他們分別是正方形ABDI，BCFE，ACHG，試探究：（1）如圖中四邊形ADEG是什么四邊形？并說明理由．（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEG是矩形？（3）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEG是正方形？【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證得△BDE≌△BAC，所以全等三角形的對應邊DE=AG．然后利用正方形對角線的性質、周角的定義推知∠EDA+∠DAG=180°，易證ED∥GA；最后由“一組對邊平行且相等”的判定定理證得結論；（2）根據(jù)“矩形的內角都是直角”易證∠DAG=90°．然后由周角的定義求得∠BAC=135°；（3）由“正方形的內角都是直角，四條邊都相等”易證∠DAG=90°，且AG=AD．由□ABDI和□ACHG的性質證得，AC=AB．【解答】解：（1）圖中四邊形ADEG是平行四邊形．理由如下：∵四邊形ABDI、四邊形BCFE、四邊形ACHG都是正方形，∴AC=AG，AB=BD，BC=BE，∠GAC=∠EBC=∠DBA=90°．∴∠ABC=∠EBD（同為∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），∴DE=AC=AG，∠BAC=∠BDE．∵AD是正方形ABDI的對角線，∴∠BDA=∠BAD=45°．∵∠EDA=∠BDE﹣∠BDA=∠BDE﹣45°，∠DAG=360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD=360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°=225°﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG=∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC=180°∴DE∥AG，∴四邊形ADEG是平行四邊形（一組對邊平行且相等）．（2）當四邊形ADEG是矩形時，∠DAG=90°．則∠BAC=360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC=360°﹣45°﹣90°﹣90°=135°，即當∠BAC=135°時，平行四邊形ADEG是矩形；（3）當四邊形ADEG是正方形時，∠DAG=90°，且AG=AD．由（2）知，當∠DAG=90°時，∠BAC=135°．∵四邊形ABDI是正方形，∴AD=AB．又∵四邊形ACHG是正方形，∴AC=AG，∴AC=AB．∴當∠BAC=135°且AC=AB時，四邊形ADEG是正方形．【點評】本題綜合考查了正方形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質等知識點．解題時，注意利用隱含在題干中的已知條件：周角是360°．6．某品牌手機，去年每臺的售價y（元）與月份x之間滿足關系y=﹣50x+2600，去年的月銷量p（萬元）與月份x之間成一次函數(shù)關系，其中第一季度的銷量情況如表：月份（x）1月2月3月銷售量（p）3.9萬臺4.0萬臺4.1萬臺（1）求p關于x的函數(shù)關系式；（2）求去年12月份的銷售量與銷售價格；（3）今年1月份比去年12月份該品牌手機的售價下降的百分率為m，銷售量下降的百分率為1.5m，今年2月份，經銷商對該手機以1月份價格的八折銷售，這樣2月份的銷售量比今年1月份增加了1.5萬臺，銷售額為6400萬元，求m的值．【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；（2）將x=12分別代入p=0.1x+3.8、y=﹣50x+2600可得；（3）分別表示出1，2月份的銷量以及售價，進而利用今年2月份這種品牌手機的銷售額為6400萬元，得出等式求出即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意，設p=kx+b，將x=1、p=3.9，x=2、p=4.0代入，得：，解得：，∴p關于x的函數(shù)關系式為：p=0.1x+3.8；（2）當x=12時，銷售量p=0.1×12+3.8=5；每臺的售價y=﹣50×12+2600=2000；（3）根據(jù)題意，1月份的售價為2000（1﹣m）元，則2月份的售價為0.8×2000（1﹣m）元，1月份的銷量為5（1﹣1.5m）萬臺，2月份的銷量為[5（1﹣1.5m）+1.5]萬臺，由題意得：0.8×2000（1﹣m）×[5（1﹣1.5m）+1.5]=6400，解得：m1=（舍），m2=，∴m=．【點評】此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式及一元二次方程的應用，根據(jù)題意表示出2月份的銷量與售價是解題關鍵．7．圖，在平面直角坐標系中，O為原點，?ABCD的頂點A在x軸正半軸上，點B在第一象限，OA=4，OC=2，點P、點Q分別是邊BC、邊AB上的動點，△PQB沿PQ所在直線折疊，點B落在點B1處．（1）若?OABC是矩形．①寫出點B的坐標．②如圖1，若點B1落在OA上，且點B1的坐標為（3，0），求點Q的坐標．（2）若OC⊥AC，如圖2，過點B1作B1F∥x軸，與對角線AC、邊OC分別交于點E、F．若B1F=3B1E，點B1的橫坐標為m，求點B1的縱坐標（用含m的代數(shù)式表示），并直接寫出點B1的所有可能的情況下，m的最大值和最小值．【分析】（1）①根據(jù)OA=4，OC=2，可得點B的坐標；②首先設AQ=x，由點B關于PQ的對稱點為B1，可得B1Q=BQ=2﹣x，然后由在Rt△AB1Q中，由AQ2+AB12=B1Q2，得方程：x2+1=（2﹣x）2，解此方程