2021年云南省大理市祥云縣職業(yè)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2021年云南省大理市祥云縣職業(yè)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)且在第一象限，，垂足為，，則直線的傾斜角等于（

）A．

B.

C．

D.參考答案：B略2.已知點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且則△AOB、△AOC、△BOC的面積之比等于

A．9：4：1

B．1：4：9

C．3：2：1

D．1：2：3參考答案：C,延長(zhǎng)到，使,延長(zhǎng)到，使，連結(jié),取的中點(diǎn)，則所以三點(diǎn)共線且為三角形的重心，則可以證明。在△AOB’中，B為OB‘邊中點(diǎn)，所以,在△AOC’中，C為OC‘邊近O端三等分點(diǎn)，所以。在△B'OC'中，連BC'，B為OB‘邊中點(diǎn)，所以，在△BOC'中，C為OC‘邊近O端三等分點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以△AOB：△AOC：△BOC面積之比為，選C.3.若對(duì)于定義在R上的函數(shù)f（x），其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，則稱f（x）是一個(gè)“λ～特征函數(shù)”．下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（）①f（x）=0是常數(shù)函數(shù)中唯一的“λ～特征函數(shù)”；②f（x）=2x+1不是“λ～特征函數(shù)”；③“λ～特征函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)；④f（x）=ex是一個(gè)“λ～特征函數(shù)”．A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用．專題：簡(jiǎn)易邏輯．分析：利用新定義“λ～特征函數(shù)”，對(duì)A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可得到答案解答：解：對(duì)于①，設(shè)f（x）=C是一個(gè)“λ～特征函數(shù)”，則（1+λ）C=0，當(dāng)λ=﹣1時(shí)，可以取遍實(shí)數(shù)集，因此f（x）=0不是唯一一個(gè)常值“λ～特征函數(shù)”，故①不正確；對(duì)于②，∵f（x）=2x+1，∴f（x+λ）+λf（x）=2（x+λ）+1+λ（2x+1）=0，即2（λ+1）x=﹣2λ﹣λ，∴當(dāng)λ=﹣1時(shí)，f（x+λ）+λf（x）=﹣2≠0；λ≠﹣1時(shí)，f（x+λ）+λf（x）=0有唯一解，∴不存在常數(shù)λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，∴f（x）=2x+1不是“λ～特征函數(shù)”，故②正確；對(duì)于③，令x=0，得f（）+f（0）=0，所以f（）=﹣f（0），若f（0）=0，顯然f（x）=0有實(shí)數(shù)根；若f（0）≠0，f（）?f（0）=﹣[f（0）]2＜0．又因?yàn)閒（x）的函數(shù)圖象是連續(xù)不斷，所以f（x）在（0，）上必有實(shí)數(shù)根．因此任意的“λ～特征函數(shù)”必有根，即任意“λ～特征函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)，故③正確．對(duì)于④，假設(shè)f（x）=ex是一個(gè)“λ～特征函數(shù)”，則ex+λ+λex=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立，則有eλ+λ=0，而此式有解，所以f（x）=ex是“λ～特征函數(shù)”，故④正確故結(jié)論正確的是②③④，故選：C點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的概念及構(gòu)成要素，考查函數(shù)的零點(diǎn)，正確理解λ～特征函數(shù)的概念是關(guān)鍵，屬于中檔題4.已知集合A={0,2}，B={－2,－1,0,1,2}，則A∩B=（

）A．{0,2} B．{1,2} C．{0} D．{－2,－1,0,1,2}參考答案：A5.函數(shù)y=的圖象的一條對(duì)稱軸為(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：C略6.若，設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為的零點(diǎn)為，則的取值范圍是

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B7.函數(shù)的定義域?yàn)镈,若對(duì)于任意,當(dāng)時(shí)都有,則稱函數(shù)在D上為非減函數(shù),設(shè)函數(shù)在[0,1]上為非減函數(shù),且滿足以下三個(gè)條件:①;②;③,則等于

(

)A.

B.

C.1

D.參考答案：B略8.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M（3，）在此雙曲線上，且|MF1|與|MF2|的夾角的余弦值為，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】利用余弦定理求出|MF1||MF2|=9b2，利用點(diǎn)M（3，）在此雙曲線上，得到﹣=1，結(jié)合向量的數(shù)量積公式建立方程關(guān)系求出a，c即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，在△MF1F2中，由余弦定理，|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2﹣2|MF1||MF2|cos∠F1MF2，即4c2=（|MF1|﹣|MF2|）2+2|MF1||MF2|﹣2×|PF1||PF2|=4a2+|MF1||MF2|，則|MF1||MF2|=4c2﹣4a2=4b2，則|MF1||MF2|=9b2，∵?=|MF1||MF2|×=×9b2=7b2，?=（﹣c﹣3，﹣）?（c﹣3，﹣）=﹣（c2﹣9）+2=11﹣c2．∴11﹣c2=7b2，即11﹣a2﹣b2=7b2，則a2=11﹣8b2，∵M(jìn)（3，）在此雙曲線上，∴﹣=1，將a2=11﹣8b2，代入﹣=1得﹣=1，整理得4b4+7b2﹣11=0，即（b2﹣1）（4b2+11）=0，則b2=1，a2=11﹣8b2=11﹣8=3，c2=11﹣7b2=11﹣7=4，則a=，c=2，則離心率e===，故選：A9.已知在平面直角坐標(biāo)系滿足條件

則的最大值為

（

）

A．4

B．8

C．12

D．15參考答案：A10.已知直線，平面，且，，則（

）A．若平面不平行于平面，則不可能垂直于；B．若平面平行于平面，則不可能垂直于；C．若平面不垂直于平面，則不可能平行于； D．若平面垂直于平面，則不可能平行于；參考答案：A中，有可能與垂直，B中，必與垂直，D中，可能平行于，C正確，選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域B1【答案解析】解析：解：∵函數(shù)，∴＞0，∴0＜2x+1＜1，解得﹣＜x＜0，故答案為【思路點(diǎn)撥】由函數(shù)的解析式可得＞0，化簡(jiǎn)可得0＜2x+1＜1，由此求得f（x）的定義域12.設(shè)有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)球和編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)盒子，現(xiàn)將這五個(gè)球放入這五個(gè)盒子內(nèi)，要求每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，這樣的投放方法的總數(shù)為

；（用數(shù)字作答）參考答案：20略13.長(zhǎng)方體中ABCD-A1B1C1D1中，AB=8，BC=6，在線段BD，A1C1上各有一點(diǎn)P、Q，在PQ上有一點(diǎn)M，且PM=MQ，則M點(diǎn)的軌跡圖形的面積為_______.參考答案：24.解析：設(shè)點(diǎn)E、F、G、H分別為四個(gè)側(cè)面的中心,則點(diǎn)M的軌跡是以5為邊長(zhǎng)的菱形EFGH.所以其面積為（從特殊點(diǎn)入手）14.函數(shù)f（x）=3x|x|﹣1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

?參考答案：2【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【專題】綜合題；數(shù)形結(jié)合；函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由f（x）=3x|x|﹣1=0得|x|=3﹣x，分別作出函數(shù)y=|x|與y=3﹣x的圖象，利用圖象判斷函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．【解答】解：由f（x）=3x|x|﹣1=0，得|x|=3﹣x，分別作出函數(shù)y=|x|與y=3﹣x的圖象，如圖：由圖象可知兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)，即函數(shù)f（x）=3x|x|﹣1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷，利用數(shù)形結(jié)合是解決此類問(wèn)題的基本方法．15.已知，的取值如右表所示：若與線性相關(guān)，且，則_________參考答案：2.616.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻麑?duì)于任意，存在唯一，使

（為常數(shù)）成立，則稱在上的均值為，給出下列四個(gè)函數(shù)：①；②；③；④.則滿足在其定義域上均值為2的所有函數(shù)是__________.參考答案：（1），（3）略17.若，則的大小關(guān)系是______參考答案：試題分析：又考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿分12分)已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求，的值；（2）任意，時(shí)，證明：．參考答案：（1）；（2）證明見(jiàn)解析.

試題解析：（1）

………………1分，

………………2分,

………………3分又切線過(guò)切點(diǎn),，

………………4分代入得．

………………5分（2）證明：由（1）知，，.

當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞減；

………………6分當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞增.………………7分所以在區(qū)間上，的最小值為.

………………8分又，，所以在區(qū)間上，的最大值為.

………………10分

對(duì)于，有．所以.

………………12分考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.19.（本小題滿分12分）己知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，試比較的大小；參考答案：（1）由………1分由則即……………4分是首項(xiàng)及公比均為的等比數(shù)列?！?5分（2）：由（1）有………….6分于是…………………

7分…………8分又=,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較與的大小,即與的大小.設(shè),當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

……………10分[當(dāng)經(jīng)檢驗(yàn)；因此，對(duì)任意正整數(shù)，都有，即

………12分20.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為y=k|x|+2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρcosθ－3=0．（1）求C2的直角坐標(biāo)方程；（2）若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求C1的方程．參考答案：解：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ得C2的直角坐標(biāo)方程為(x+1)2+y2=4．（2）由（1）知C2是圓心為A(－1,0)，半徑為2的圓．由題設(shè)知，C1是過(guò)點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條射線．記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2．由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)，或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到l1所在直線的距離為2，所以，故或k=0．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k=0時(shí)，l1與C2沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到l2所在直線的距離為2，所以，故k=0或．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k=0時(shí)，l1與C2沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，l2與C2沒(méi)有公共點(diǎn)．綜上，所求C1的方程為．21.已知橢圓的左頂點(diǎn)為，離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，求的面積．參考答案：（1）；（2）【分析】(1)由左頂點(diǎn)M坐標(biāo)可得a=2，再由可得c，進(jìn)而求得橢圓方程。(2)設(shè)l的直線方程為，和橢圓方程聯(lián)立，可得，由于，可用t表示出兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)和，進(jìn)而得到的關(guān)于t的一元二次方程，得到取最大值時(shí)t的值，求出直線方程，而后計(jì)算出的面積?！驹斀狻?1)由題意可得：，，得，則.所以橢圓的方程:(2)當(dāng)直線與軸重合，不妨取，此時(shí)當(dāng)直線與軸不重合，設(shè)直線的方程為：,設(shè)，聯(lián)立得，顯然，，.所以當(dāng)時(shí)，取最大值.此時(shí)直線方程為，不妨取，所以.又,所以的面積【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的基本性質(zhì)，運(yùn)用了設(shè)而不求的思想，將向量和圓錐曲線結(jié)合起來(lái)，是典型考題。22.（本小題滿分12分）在我校第十六屆科藝讀書節(jié)活動(dòng)中，某班50名學(xué)生參加智力答題活動(dòng)，每人回答3個(gè)問(wèn)題，答對(duì)題目個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)人數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)下表：答對(duì)題目個(gè)數(shù)0123人數(shù)5102015根據(jù)上表信息解答以下問(wèn)題：（1）從50名學(xué)生中任選兩人，求兩人答對(duì)題目個(gè)數(shù)之和為4或5的概率；（2）從