數(shù)學(xué)全稱量詞與存在量詞

數(shù)學(xué)全稱量詞與存在量詞第一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三（一）：全稱量詞的含義和表示

思考1:下列各組語句是命題嗎？（1）x＞3；

對所有的x∈R，x＞3.（2）2x＋1是整數(shù)；

對任意一個x∈Z，2x＋1是整數(shù).（3）方程x2＋2x＋a＝0有實根；

任給a＜0，方程x2＋2x＋a＝0有實根.

第二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三全稱量詞：

短語“所有的”“任意一個”“任給”等，在邏輯中通常叫做全稱量詞用符號“”表示

如：“一切”“每一個”，“全體”等

第三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三全稱命題：

含有全稱量詞的命題叫做全稱命題

“對所有的x∈R，x＞3”

－－－

第四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三“對M中任意一個x，有p(x)成立”

將含有變量x的語句用p(x)、q(x)、r(x)等表示，變量x的取值范圍用M表示，則全稱命題表示為：第五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三思考：下列命題是全稱命題嗎？其真假如何？（1）所有的素數(shù)是奇數(shù)；（2）x∈R，x2＋1≥1；（3）對每一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)；（4）所有的正方形都是矩形.真假真假第六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三如何判定一個全稱命題的真假？

x∈M，p(x)為真：對集合M中每一個元素x，都有p(x)成立；

x∈M，p(x)為假：在集合M中存在一個元素x0，使得p(x0)不成立.第七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三探究(二)：存在量詞的含義和表示

思考：下列各組語句是命題嗎？（1）2x＋1＝3；

存在一個x0∈R，使2x0＋1＝3.（2）x能被2和3整除；

至少有一個x0∈Z，x0能被2和3整除.（3）|x－1|＜1；

有些x0∈R，使|x0－1|＜1.第八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三存在量詞：

短語“存在一個”“至少有一個”“有些”等，在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示

如：“有一個”“對某個”“有的”等

第九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三特稱命題：

含有存在量詞的命題叫做特稱命題如“存在一個x0∈R，使2x0＋1＝3”

存在M中的元素x0，使p(x0)成立.

思考：符號語言“x0∈M，p(x0)”所表達(dá)的數(shù)學(xué)意義是什么？

第十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三如何判定一個特稱命題的真假？

x0∈M，p(x0)為真：能在集合M中找出一個元素x0，使p(x0)成立；

x0∈M，p(x0)為假：在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在.第十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三例1下列命題是全稱命題還是特稱命題，并判斷其真假.

（1）任意實數(shù)的平方都是正數(shù)；（2）0乘以任何數(shù)都等于0；（3）有的老師既能教中學(xué)數(shù)學(xué)，也能教中學(xué)物理；全稱命題（假）

全稱命題（真）特稱命題（真）

第十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三思考5：下列命題是特稱命題嗎？其真假如何？（1）有的平行四邊形是菱形；（2）有一個實數(shù)x0,使;（3）有一個素數(shù)不是奇數(shù)；（4）存在兩個相交平面垂直于同一條直線；（5）有些整數(shù)只有兩個正因數(shù)；（6）有些實數(shù)的平方小于0.真假真假真假第十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三（4）某些三角形的三內(nèi)角都小于60°；

（5）任何一個實數(shù)都有相反數(shù).

特稱命題（假）

全稱命題（真）第十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三小結(jié)

1.全稱量詞是表示“全體”的量詞，用符號“

”表示；存在量詞是表示“部分”的量詞，用符號“

”表示，具體用詞沒有統(tǒng)一規(guī)定.第十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三

2.全稱命題與特稱命題的含義及其一般表示形式

一般表示形式

含義

含有全稱量詞的命題

特稱命題

全稱命題

含有存在量詞的命題

x∈M,p(x)

x0∈M,p(x0)

第十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三

3.判斷全稱命題與特稱命題的真假

假命題

真命題

對任意x∈M都有p(x)成立

存在x0∈M使得p(x0)成立

x0∈M,p(x0)

x∈M,p(x)

存在x0∈M使得p(x0)不成立

對任意x∈Mp(x)不成立

第十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三作業(yè)：P23練習(xí)：1，2.P26習(xí)題1.4A組：1，2.第十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三含有一個量詞的命題的否定第十九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三探究（一）：全稱命題的否定（1）本教室內(nèi)至少有一名學(xué)生不是男生

思考1：你能寫出下列命題的否定嗎？（1）本教室內(nèi)所有學(xué)生都是男生；（2）所有的平行四邊形都是矩形；（3）每一個素數(shù)都是奇數(shù)；（4）x∈R，x2－2x＋1≥0.（2）有的平行四邊形不是矩形

（3）存在一個素數(shù)不是奇數(shù)

（4）x0∈R，x02－2x0＋1＜0.

第二十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三思考2：從全稱命題與特稱命題的類型分析，上述命題與它們的否定在形式上有什么變化？全稱命題的否定都變成了特稱命題.思考3：一般地，對于含有一個量詞的全稱命題p：x∈M，p(x)，它的否定﹁p是什么形式的命題

?

p：x∈M，p(x)

（全稱命題）﹁p：x0∈M，﹁p(x0)（特稱命題）第二十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三探究（二）：特稱命題的否定

思考1：你能寫出下列命題的否定嗎？（1）本節(jié)課里有一個人在打瞌睡；（2）有些實數(shù)的絕對值是正數(shù)；（3）某些平行四邊形是菱形；（4）x0∈R，x02＋1＜0;（1）本節(jié)課里所有的人都沒有瞌睡；（2）所有實數(shù)的絕對值都不是正數(shù)；（3）每一個平行四邊形都不是菱形；（4）x∈R，x2＋1≥0.第二十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三思考2：從全稱命題與特稱命題的類型分析，上述命題與它們的否定在形式上有什么變化？特稱命題的否定都變成了全稱命題.思考3：一般地，對于含有一個量詞的特稱命題p：x0∈M，p(x0)，它的否定﹁p是什么形式的命題

？

p：x0∈M，p(x0)

（特稱命題）﹁p：x∈M，﹁p(x)

（全稱命題）第二十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三理論遷移例1寫出下列全稱命題的否定：（1）p：所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù)（2）p：每一個四邊形的四個頂點共圓（3）p：

x∈Z，x2的個位數(shù)字不等于3.（1）﹁p：存在一個能被3整除的整數(shù)不是奇數(shù)；（2）﹁p：存在一個四邊形，其四個頂點不共圓；（3）﹁p：x0∈Z，x02的個位數(shù)字等于3.第二十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三例2寫出下列特稱命題的否定：（1）p：x0∈R，x02＋2x0＋2≤0；（2）p：有的三角形是等邊三角形；（3）p：有一個素數(shù)含有三個正因數(shù).（1）﹁p：x∈R，x2＋2x＋2＞0；（2）﹁p：所有的三角形都不是等邊三角形（3）﹁p：每一個素數(shù)都不含三個正因數(shù).第二十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三例3

寫出下列命題的否定，并判斷其真假：（1）p：任意兩個等邊三角形都相似（2）p：x0∈R，x02＋2x0＋2＝0；（1）﹁p：存在兩個等邊三角形，它們不相似；（2）﹁p：x∈R，x2＋2x＋2≠0；假命題真命題第二十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三（3）p：a∈R,直線(2a＋3)x－(3a－4)y＋a－7＝0經(jīng)過某定點；（4）p：k∈R，原點到直線kx＋2y－1＝0的距離為1.（3）﹁p：a0∈R，直線(2a0＋3)x－(3a0－4)y＋a0－7＝0不經(jīng)過該定點；假命題（4）﹁p：k∈R，原點到直線kx＋2y－1＝0的距離不為1.真命題第二十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三（1）所有自然數(shù)的平方是正數(shù).（2）任何實數(shù)x都是方程5x-12=0的根.（3）對任意實數(shù)x，存在實數(shù)y，使x+y

＞0.（4）有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)練習(xí)：寫出下列命題的否定第二十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三1.對含有一個量詞的全稱命題與特稱命題的否定，既要考慮對量詞的否定，又要考慮對結(jié)論的否定，即要同時否定原命題中的量詞和結(jié)論.小結(jié)作業(yè)2.在命題形式上，全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題，這可以理