2022年湖南省婁底市漣源島石中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

2022年湖南省婁底市漣源島石中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.命題p：若a、b∈R，則|a|＋|b|＞1是|a＋b|＞1的充分條件，命題q：函數(shù)y＝的定義域是（－∞，－1）∪[3，＋∞]，則

（

）

A．p或q為假

B．p且q為真

C．p真q假

D．p假q真參考答案：D2.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺,問積幾何?”其意思為：“今有底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，它的底面長、寬分別為7尺和5尺，高為8尺，問它的體積是多少?”若以上的條件不變，則這個四棱錐的外接球的表面積為（

）A．128π平方尺

B．138π平方尺

C.140π平方尺

D．142π平方尺參考答案：B3.已知函數(shù)，的圖像與直線的兩個相鄰交點(diǎn)的距離等于，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）

A．

B．C．

D．參考答案：C略4.函數(shù)的部分圖象大致是（

）參考答案：C略5.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足：a7=a6+2a5，若存在兩項(xiàng)am、an，使得aman=16a12，則+的最小值為（）A. B. C. D.不存在參考答案：C【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及條件，求出m，n的關(guān)系式，結(jié)合均值定理可得.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q，且q＞0，由a7=a6+2a5得：a6q=a6+，化簡得，q2-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去），因?yàn)閍man=16a12，所以=16a12，則qm+n-2=16，解得m+n=6，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時，解得，因?yàn)閙n取整數(shù)，所以均值不等式等號條件取不到，則，驗(yàn)證可得，當(dāng)m=2、n=4時，取最小值為，故選：C．

6.已知a，b∈R，則“b≥0”是“a2＋b≥0”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A7.下列命題中正確的是（）A．函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]是奇函數(shù)B．函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增的C．函數(shù)的最小值是﹣1D．函數(shù)y=sinπx?cosπx是最小正周期為2的奇函數(shù)參考答案：C考點(diǎn)： 命題的真假判斷與應(yīng)用．

專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析： A：利用奇函數(shù)的定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱，可得A不正確．B：由x∈得出的取值范圍，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．C：利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)的解析式為y=2sin（﹣x），再根據(jù)正弦函數(shù)的值域求出它的最小值．D：利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)的解析式為sin2πx，從而得到函數(shù)的周期性和奇偶性．解答： 解：對于A：由于函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故它不奇函數(shù)，故A不正確．B：由x∈得出∈（﹣，），正弦函數(shù)f（x）=sinx在（﹣，）上是增函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減的，故B錯誤．C：由于函數(shù)=﹣=，它的最小值是﹣1，正確．D：由函數(shù)y=sinπx?cosπx=sin2πx，它是最小正周期為1的奇函數(shù)，故D不正確．故選C．點(diǎn)評： 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的周期性與求法，正弦函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題．8.的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為 (▲)

A．－20

B．－10

C．10

D．20參考答案：C略9.等比數(shù)列中，已知，則的值為

.參考答案：4在等比數(shù)列中，即,而.10.若等差數(shù)列{an}的公差且成等比數(shù)列，則（

）A．

B．

C.

D．2參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知實(shí)數(shù)a＞0，且a≠1，函數(shù)f（x）=loga|x|在（﹣∞，0）上是減函數(shù)，函數(shù)的大小關(guān)系為

．參考答案：g（2）＜g（﹣3）＜g（4）【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．【分析】由已知中函數(shù)f（x）=loga|x|在（﹣∞，0）上是減函數(shù)，我們根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可求出a與1的關(guān)系，進(jìn)而判斷出函數(shù)的奇偶性及單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)偶函數(shù)函數(shù)值大小的判斷方法，即可得到結(jié)論．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=loga|x|在（﹣∞，0）上是減函數(shù)，令u=|x|，則y=logau，由u=|x|在（﹣∞，0）上是減函數(shù)，及復(fù)合函數(shù)同增異減的原則可得外函數(shù)y=logau為增函數(shù)，即a＞1又∵函數(shù)為偶函數(shù)且函數(shù)在[0，+∞）上單調(diào)遞增，在（﹣∞，0]上單調(diào)遞減且|2|＜|﹣3|＜|4|∴g（2）＜g（﹣3）＜g（4）故答案為：g（2）＜g（﹣3）＜g（4）12.將某選手的9個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，剩余的7個分?jǐn)?shù)的平均分為91，現(xiàn)場作的9個分?jǐn)?shù)的莖葉圖，后來有1個數(shù)據(jù)模糊，無法辨認(rèn)，在圖中以x表示：

，則該圖中x的值為_____．參考答案：413.（幾何證明選講選做題）如右圖，在梯形中，//，與相交于，過的直線分別交、于、，且//，若=12，=20，則=

.參考答案：略14.已知整數(shù)對的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4）…，則第57個數(shù)對是

參考答案：15.若三條直線ax+y+3=0，x+y+2=0和2x﹣y+1=0相交于一點(diǎn)，則行列式的值為．參考答案：0考點(diǎn)：三階矩陣；兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．專題：直線與圓．分析：先求x+y+2=0和2x﹣y+1=0的交點(diǎn)，代入直線ax+y+3=0，即可得到a的值．再利用行列式的計(jì)算法則，展開表達(dá)式，化簡即可．解答：解：解方程組得交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣1），代入ax+y+3=0，得a=2．行列式=2+4﹣3﹣6+4﹣1=0．故答案為：0．點(diǎn)評：本題是基礎(chǔ)題，考查直線交點(diǎn)的求法，三條直線相交于一點(diǎn)的解題策略，考查行列式的運(yùn)算法則，考查計(jì)算能力．16.已知且，則_______參考答案：二17.在矩形ABCD中，

。參考答案：12考點(diǎn)：數(shù)量積的應(yīng)用試題解析：因?yàn)樗运运运运怨蚀鸢笧椋?2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（2016?邵陽二模）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為e=，右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為﹣（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓的左，右焦點(diǎn)，過F2作直線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，求△PQF1的內(nèi)切圓半徑r的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（1）由題意設(shè)橢圓方程，由e==，a﹣c=﹣，即可求得a和c的值，由b2=a2﹣c2=1，即可求得b的值，求得橢圓方程；（2）由當(dāng)直線PQ斜率存在時，設(shè)直線方程為：x=ky+，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理可知y1+y2，y1?y2，根據(jù)三角形的面積公式可知S=丨F1+F2丨?丨y1﹣y2丨=（丨PF1丨+丨F1Q丨+丨PQ丨）?r，求得r的表達(dá)式，根據(jù)基本不等式的關(guān)系，即可求得△PQF1的內(nèi)切圓半徑r的最大值．【解答】解：（1）由題意可知：設(shè)橢圓方程為：，（a＞b＞0），則e==，a﹣c=﹣，解得：a=，c=，由b2=a2﹣c2=1，∴橢圓的方程為：；（2）由（1）可知：F1（﹣，0），F(xiàn)2（，1），設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），當(dāng)PQ斜率不存在時，可得：r=，當(dāng)PQ斜率存在時，設(shè)直線方程為：x=ky+，將直線方程代入橢圓方程，整理得：（k2+3）y2+2ky﹣0=0，由韋達(dá)定理可知：y1+y2=﹣，y1?y2=﹣，△PQF1面積S=丨F1+F2丨?丨y1﹣y2丨==，由S=（丨PF1丨+丨F1Q丨+丨PQ丨）?r=2a?r=2r，∴=2r，∴r==≤，當(dāng)且僅當(dāng)=時，即k=±1時，等號成立，∴內(nèi)切圓半徑的最大值為．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積公式及基本不等式的關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．21．（12分）（2016?邵陽二模）已知函數(shù)f（x）=lnx+x2﹣2ax+1（a為常數(shù)）．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若存在x0∈（0，1]，使得對任意的a∈（﹣2，0]，不等式2mea（a+1）+f（x0）＞a2+2a+4（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】【解析】【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；其他不等式的解法．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對二次函數(shù)中參數(shù)a進(jìn)行分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)（1），得出f（x0）的最大值，問題可轉(zhuǎn)化為對任意的a∈（﹣2，0]，不等式2mea（a+1）﹣a2+﹣4a﹣2＞0都成立，構(gòu)造函數(shù)h（a）=2mea（a+1）﹣a2+﹣4a﹣2，根據(jù)題意得出m的范圍，由h（0）＞0得m＞1，且h（﹣2）≥0得m≤e2，利用導(dǎo)函數(shù)，對m進(jìn)行區(qū)間內(nèi)討論，求出m的范圍．【解答】解：（I）f（x）=lnx+x2﹣2ax+1，f'（x）=+2x﹣2a=，令g（x）=2x2﹣2ax+1，（i）當(dāng)a≤0時，因?yàn)閤＞0，所以g（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；（ii）當(dāng)0＜a時，因?yàn)椤鳌?，所以g（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；（iii）當(dāng)a＞時，x在（，）時，g（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；在區(qū)間（0，）和（，+∞）時，g（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；（II）由（I）知當(dāng)a∈（﹣2，0]，時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈（0，1]時，函數(shù)f（x）的最大值是f（1）=2﹣2a，對任意的a∈（﹣2，0]，都存在x0∈（0，1]，使得不等式a∈（﹣2，0]，2mea（a+1）+f（x0）＞a2+2a+4成立，等價于對任意的a∈（﹣2，0]，不等式2mea（a+1）﹣a2+﹣4a﹣2＞0都成立，記h（a）=2mea（a+1）﹣a2+﹣4a﹣2，由h（0）＞0得m＞1，且h（﹣2）≥0得m≤e2，h'（a）=2（a+2）（mea﹣1）=0，∴a=﹣2或a=﹣lnm，∵a∈（﹣2，0]，∴2（a+2）＞0，①當(dāng)1＜m＜e2時，﹣lnm∈（﹣2，0），且a∈（﹣2，﹣lnm）時，h'（a）＜0，a∈（﹣lnm，0）時，h'（a）＞0，所以h（a）最小值為h（﹣lnm）=lnm﹣（2﹣lnm）＞0，所以a∈（﹣2，﹣lnm）時，h（a）＞0恒成立；②當(dāng)m=e2時，h'（a）=2（a+2）（ea+2﹣1），因?yàn)閍∈（﹣2，0]，所以h'（a）＞0，此時單調(diào)遞增，且h（﹣2）=0，所以a∈（﹣2，0]，時，h（a）＞0恒成立；綜上，m的取值范圍是（1，e2]．【點(diǎn)評】考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用和利用構(gòu)造函數(shù)的方法，對存在問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)解決實(shí)際問題．19.（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為，且直線是拋物線的一條切線。(1)求橢圓的方程

(2)過點(diǎn)的動直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，試問：在直角坐標(biāo)平面上是否存在一個定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T？若存在，求出T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

參考答案：解：（I）由得直線是拋物線的一條切線。所以所以橢圓…………5分（Ⅱ）當(dāng)直線l與x軸平行時，以AB為直徑的圓方程為當(dāng)直線l與y軸重合時，以AB為直徑的圓方程為所以兩圓的交點(diǎn)為點(diǎn)（0，1）猜想：所求的點(diǎn)T為點(diǎn)（0，1）.…………8分證明如下。當(dāng)直線l與x軸垂直時，以AB為直徑的圓過點(diǎn)（0，1）當(dāng)直線l與x軸不垂直時，可設(shè)直線l為：由得設(shè)則所以，即以AB為直徑的圓過點(diǎn)（0，1）所以存在一個定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T.……12分20.（本題滿分15分）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且過點(diǎn)（2，1），（Ⅰ）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；ks5u（Ⅱ）與圓相切的直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)，若拋物線上一點(diǎn)滿足，求的取值范圍.參考答案：解(Ⅰ)設(shè)拋物線方程為，

由已知得：

所以

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分

(Ⅱ)因?yàn)橹本€與圓相切，

所以

把直線方程代入拋物線方程并整理得：

由

得或

設(shè)，

則

由

得

因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，

所