2021-2022學年湖南省懷化市七甲坪鎮(zhèn)中學高三數(shù)學理聯(lián)考試卷含解析

2021-2022學年湖南省懷化市七甲坪鎮(zhèn)中學高三數(shù)學理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.任意輸入一個x的值，則輸出的f（x）值不小于常數(shù)e的概率是（）A． B．1﹣ C．1+ D．參考答案：B【考點】EF：程序框圖．【分析】由題意得，當1≤x≤e時，f（x）≥e，利用幾何概型的概率公式求出輸出的f（x）值不小于常數(shù)e的概率．【解答】解：由題意得如圖所示，當1≤x≤e時，f（x）≥e，故f（x）值不小于常數(shù)e的概率是，故選：B．2.下列有關(guān)命題的說法正確的是（

）A．命題“若，則”的否命題為：“若，”；B．“”是“”的必要不充分條件；C．命題“，使得”的否定是：“，均有”；D．命題“若，則”的逆否命題為真命題；參考答案：D對于選項A，命題“若，則”的否命題為：“若，”，所以該選項是錯誤的；對于選項B，因為，所以或，所以“”是“”的充分不必要條件，所以該選項是錯誤的；對于選項C，命題“，使得”的否定是：“，均有”，所以該選項是錯誤的；對于選項D，命題“若，則”是真命題，所以它的逆否命題為真命題，所以該選項是正確的．故答案為D．3.設(shè)是一個正整數(shù)，的展開式中第四項的系數(shù)為，記函數(shù)與的圖像所圍成的陰影部分為，任取,則點恰好落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為（

）A．

B．C．

D．參考答案：C4.若,則 （）A． B． C． D．參考答案：D5.對于三次函數(shù)（），定義：設(shè)f″（x）是函數(shù)y＝f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）＝0有實數(shù)解x0，則稱點（x0，f（x0））為函數(shù)的“拐點”．有同學發(fā)現(xiàn):“任、何一個三次函數(shù)都有‘拐點’；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心；且‘拐點’就是對稱中心．”請你將這一發(fā)現(xiàn)為條件，若函數(shù)，則=（

） （A）2010

（B）2011

（C）2012

（D）2013參考答案：A令，，則g（x）=h（x）+m（x）．則，令，所以h（x）的對稱中心為（，1）．設(shè)點p（x0，y0）為曲線上任意一點，則點P關(guān)于（，1）的對稱點P′（1﹣x0，2﹣y0）也在曲線上，∴h（1﹣x0）=2﹣y0，∴h（x0）+h（1﹣x0）=y0+（2﹣y0）=2．∴h（）+h（）+h（）+h（）+…+h（）=[h（）+h（）]+[h（）+h（）]+[h（）+h（）]+…+[h（）+h（）]=1005×2=2010．由于函數(shù)m（x）=的對稱中心為（，0），可得m（x0）+m（1﹣x0）=0．∴m（）+m（）+m（）+m（）+…+m（）=[m（）+m（）]+[m（）+m（）]+[m（）+m（）]+…+[m（）+m（）]=1005×0=0．∴g（）+g（）+g（）+g（）+…+g（）=h（）+h（）+h（）+h（）+…+h（）+m（）+m（）+m（）+m（）+…+m（）=2010+0=2010，選A.6.在△ABC中，的()A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：C略7.已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖像的交點為，則（

）A．10

B．20

C．－10

D．－20參考答案：D8.過拋物線x2=4y的焦點作直線l交拋物線于A，B兩點，分別過A，B作拋物線的切線l1，l2，則l1與l2的交點P的軌跡方程是（）A．y=﹣1B．y=﹣2C．y=x﹣1D．y=﹣x﹣1

參考答案：A考點:軌跡方程．專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析:由拋物線方程求出拋物線的焦點坐標，由斜截式寫出過焦點的直線方程，和拋物線方程聯(lián)立求出A，B兩點橫坐標的積，再利用導(dǎo)數(shù)寫出過A，B兩點的切線方程，然后整體運算可求得兩切線的交點的縱坐標為定值﹣1，從而得到兩切線焦點的軌跡方程．解：由拋物線x2=4y得其焦點坐標為F（0，1）．設(shè)A（），B（），直線l：y=kx+1，聯(lián)立，得：x2﹣4kx﹣4=0．∴x1x2=﹣4…①．又拋物線方程為：，求導(dǎo)得，∴拋物線過點A的切線的斜率為，切線方程為…②拋物線過點B的切線的斜率為，切線方程為…③由①②③得：y=﹣1．∴l(xiāng)1與l2的交點P的軌跡方程是y=﹣1．故選：A．點評:本題考查了軌跡方程，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了整體運算思想方法，是中檔題．

9.設(shè)f（x）=|lnx|，若函數(shù)g（x）=f（x）﹣ax在區(qū)間（0，3]上有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（） A．（0，） B． （，e） C． （0，] D． [，）參考答案：D10.閱讀圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，若輸入的值為，則輸出的值是（）．

．

．

．參考答案：A第一次輸入，滿足，，第二次滿足，，第三次滿足，，，第四次不滿足，此時，輸出，選A.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項和為，，則

．參考答案：55，．12.

已知可以表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和，則

____________________參考答案：略13.在△ABC中，若+=1，則=．參考答案：3【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【專題】方程思想；綜合法；三角函數(shù)的求值．【分析】將切化弦，對條件進行化簡，得出cosC，結(jié)合余弦定理得出a，b，c的關(guān)系．【解答】解：∵+=1，∴（+）=1，即?=1，∴sin2C=sinAsinBcosC．∴cosC==，又∵cosC=，∴a2+b2﹣c2=2c2，即a2+b2=3c2，∴==3．故答案為：3．【點評】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，結(jié)合正余弦定理是解決有關(guān)三角形知識的重要方法．14.已知||＝3，||＝，⊥，點R在∠POQ內(nèi)，且∠POR＝30°，＝m＋n(m，n∈R)，則等于_____________．參考答案：1略15.從某項綜合能力測試中抽取50人的成績，統(tǒng)計如表，則這50人成績的平均數(shù)等于

▲

、方差為

▲.分數(shù)54321人數(shù)10515155參考答案：3

(2分)，

(3分)略16.已知函數(shù)，則

參考答案：2

略17.已知滿足,則的最大值為

參考答案：答案：3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（14分）某單位組織4個部門的職工旅游，規(guī)定每個部門只能在韶山、衡山、張家界3個景區(qū)中任選一個，假設(shè)各部門選擇每個景區(qū)是等可能的.

（Ⅰ）求3個景區(qū)都有部門選擇的概率；

（Ⅱ）求恰有2個景區(qū)有部門選擇的概率.參考答案：解析：某單位的4個部門選擇3個景區(qū)可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為34.由于是任意選擇，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等.（I）3個景區(qū)都有部門選擇可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為（從4個部門中任選2個作為1組，另外2個部門各作為1組，共3組，共有種分法，每組選擇不同的景區(qū)，共有3！種選法），記“3個景區(qū)都有部門選擇”為事件A1，那么事件A1的概率為P（A1）=（II）解法一：分別記“恰有2個景區(qū)有部門選擇”和“4個部門都選擇同一個景區(qū)”為事件A2和A3，則事件A3的概率為P（A3）=，事件A2的概率為P（A2）=1－P（A1）－P（A3）=解法二：恰有2個景區(qū)有部門選擇可能的結(jié)果為（先從3個景區(qū)任意選定2個，共有種選法，再讓4個部門來選擇這2個景區(qū)，分兩種情況：第一種情況，從4個部門中任取1個作為1組，另外3個部門作為1組，共2組，每組選擇2個不同的景區(qū)，共有種不同選法.第二種情況，從4個部門中任選2個部門到1個景區(qū)，另外2個部門在另1個景區(qū)，共有種不同選法）.所以P（A2）=19.如圖，某小區(qū)中央廣場由兩部分組成，一部分是長邊為的正方形，另一部分是以為直徑的半圓，其圓心為.規(guī)劃修建的3條直道，，將廣場分割為6個區(qū)域：I、III、V為綠化區(qū)域（圖中陰影部分），II、IV、VI為休閑區(qū)域、其中點在半圓弧上，分別與，相交于點，.（道路寬度忽略不計）（1）若經(jīng)過圓心，求點到的距離；（2）設(shè)，.①試用表示的長度；②當為何值時，綠化區(qū)域面積之和最大.參考答案：以所在直線為軸，以線段的中垂線為軸建立平面直角坐標系.（1）直線的方程為，半圓的方程為（）,由得.所有，點到的距離為.(2)①由題意，得.直線的方程為，令，得.直線的方程為，令，得.所有，的長度為，.②區(qū)域IV、VI的面積之和為，區(qū)域II的面積為，所以（）.設(shè)，則，，當且僅當，即時“=”成立.所有，休閑區(qū)域II、IV、VI的面積的最小值為.答：當時，綠化區(qū)域I、III、V的面積之和最大.20.（本小題滿分14分）在中學生綜合素質(zhì)評價某個維度的測評中，分“優(yōu)秀、合格、尚待改進”三個等級進行學生互評．某校高一年級有男生500人，女生400人，為了了解性別對該維度測評結(jié)果的影響，采用分層抽樣方法從高一年級抽取了45名學生的測評結(jié)果，并作出頻數(shù)統(tǒng)計表如下：表1：男生

表2：女生等級優(yōu)秀合格尚待改進

等級優(yōu)秀合格尚待改進頻數(shù)155

頻數(shù)153（1）從表二的非優(yōu)秀學生中隨機選取2人交談，求所選2人中恰有1人測評等級為合格的概率；（2）由表中統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下邊列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為“測評結(jié)果優(yōu)秀與性別有關(guān)”．

男生女生總計優(yōu)秀

非優(yōu)秀

總計

參考數(shù)據(jù)與公式：，其中．臨界值表：

參考答案：（1）設(shè)從高一年級男生中抽出人，則，，∴

（2分）表2中非優(yōu)秀學生共人，記測評等級為合格的人為，尚待改進的人為，則從這人中任選人的所有可能結(jié)果為：，共種．（4分）設(shè)事件表示“從表二的非優(yōu)秀學生人中隨機選取人，恰有人測評等級為合格”，則的結(jié)果為：，共種．（6分）∴，故所求概率為．

（8分）

男生女生總計優(yōu)秀151530非優(yōu)秀10515總計252045（2）

（10分）∵，，而，（12分）所以沒有的把握認為“測評結(jié)果優(yōu)秀與性別有關(guān)”．

（14分）

21.已知F1，F(xiàn)2為橢圓E：+=1（a＞b＞0）的左，右焦點，點P（1，）在橢圓上，且|PF1|+|PF2|=4．（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）過F1的直線l1，l2分別交橢圓E于A，C和B，D，且l1⊥l2，問是否存在常數(shù)λ，使得，λ，成等差數(shù)列？若存在，求出λ的值，若不存在，請說明理由．參考答案：解：（I）∵|PF1|+|PF2|=4，∴2a=4，a=2．∴橢圓E：，將P代入可得b2=3，∴橢圓E的方程為．（II）①當AC的斜率為零或斜率不存在時，=；②當AC的斜率k存在且k≠0時，AC的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，并化簡得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0．設(shè)A（x1，y1），C（x2，y2），則，，∵直線BD的斜率為，∴|BD|==，∴=，綜上：，∴，∴存在常數(shù)使得成等差數(shù)列．

略22.已知函數(shù)f（x）=x3﹣x+2．（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）令g（x）=+lnx，若函數(shù)y=g（x）在（e，+∞）內(nèi)有極值，求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，對任意t∈（1，+∞），s∈（0，1），求證：．參考答案：【考點】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（Ⅰ）求出切點坐標，求出導(dǎo)數(shù)，得到切線的斜率，然后求解函數(shù)y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．（Ⅱ）化簡g（x）的表達式，求出定義域，求出導(dǎo)函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)h（x）=x2﹣（a+2）x+1，要使y=g（x）在（e，+∞）上有極值，轉(zhuǎn)化為

h（x）=x2﹣（a+2）x+1=0有兩個不同的實根x1，x2，利用判別式推出a的范圍，判斷兩個根的范圍，然后求解a的范圍．（Ⅲ）轉(zhuǎn)化已知條件為?t∈（1，+∞），都有g(shù)（t）≥g（x2），通過函數(shù)的單調(diào)性以及最值，推出=，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)以及單調(diào)性求解即可．【解答】（Ⅰ）解：∵f（1）=13﹣1+2×1=2．……∴函數(shù)y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為：y﹣2=3（x﹣1），即3x﹣y﹣1=0．

…（Ⅱ）解：定義域為（0，1）∪（1，+∞）∴…設(shè)h（x）=x2﹣（a+2）x+1，要使y=g（x）在（e，+∞）上有極值，則

h（x）=x2﹣（a+2）x+1=0有兩個不同的實根x1，x2，∴△=（a+2）2﹣4＞0∴a＞0或a＜﹣4①…而且一根在區(qū)間（e，+∞）上，不妨設(shè)x2＞e，又因為x1?x2=1，∴，又h（0）=1，∴聯(lián)立①②可得：…