高考湖北理科數(shù)試題及答案(word解析)

年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖北卷）數(shù)學(xué)（理科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．（1）【2014年湖北，理1，5分】為虛數(shù)單位，則（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】因?yàn)?，故選A．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，容易題．（2）【2014年湖北，理2，5分】若二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)是84，則實(shí)數(shù)（）（A）2（B）（C）1（D）【答案】D【解析】因?yàn)?，令，得，，解得，故選D．【點(diǎn)評】本題考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，容易題．（3）【2014年湖北，理3，5分】設(shè)為全集，，是集合，則“存在集合使得，是“”的（）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】A【解析】依題意，若，則，，可得；若，不能推出，故選A．【點(diǎn)評】本題考查集合與集合的關(guān)系，充分條件與必要條件判斷，容易題．（4）【2014年湖北，理4，5分】根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)3456784.02.5-0.50.5-2.0-3.0得到的回歸方程為，則（）（A），（B），（C），（D），【答案】B【解析】依題意，畫散點(diǎn)圖知，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，所以，，故選B．【點(diǎn)評】本題考查根據(jù)已知樣本數(shù)判斷線性回歸方程中的與的符號，容易題．（5）【2014年湖北，理5，5分】在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，，給出編號①、②、③、④的四個(gè)圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（） （A）①和②（B）③和①（C）④和③（D）④和②【答案】D【解析】在坐標(biāo)系中標(biāo)出已知的四個(gè)點(diǎn)，根據(jù)三視圖的畫圖規(guī)則判斷三棱錐的正視圖為④與俯視圖為②，故選D．【點(diǎn)評】本題考查空間由已知條件，在空間坐標(biāo)系中作出幾何體的形狀，再正視圖與俯視圖，容易題．（6）【2014年湖北，理6，5分】若函數(shù)，滿足，則稱，為區(qū)間上的一組正交函數(shù)，給出三組函數(shù)：①，；②，；③,，其中為區(qū)間的正交函數(shù)的組數(shù)是（）（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】C【解析】對①，則，為區(qū)間上的正交函數(shù)；對②，則，不為區(qū)間上的正交函數(shù)；對③，則，為區(qū)間上的正交函數(shù)，所以滿足條件的正交函數(shù)有2組，故選C．【點(diǎn)評】新定義題型，本題考查微積分基本定理的運(yùn)用，容易題．（7）【2014年湖北，理7，5分】由不等式確定的平面區(qū)域記為，不等式，確定的平面區(qū)域記為，在中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在內(nèi)的概率為（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】依題意，不等式組表示的平面區(qū)域如圖，由幾何公式知，該點(diǎn)落在內(nèi)的概率為：，故選D．【點(diǎn)評】本題考查不等式組表示的平面區(qū)域，面積型的幾何概型，中等題．（8）【2014年湖北，理8，5分】《算數(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“蓋”的術(shù)：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．該術(shù)相當(dāng)于給出了有圓錐的底面周長與高，計(jì)算其體積的近似公式它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3．那么近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的近似取為（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，高為，依題意，，，所以，即的近似值為，故選B．【點(diǎn)評】本題考查《算數(shù)書》中的近似計(jì)算，容易題．（9）【2014年湖北，理9，5分】已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是他們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（）（A）（B）（C）3（D）2【答案】B【解析】設(shè)橢圓的短半軸為，雙曲線的實(shí)半軸為，半焦距為，由橢圓、雙曲線的定義得，，所以，，因?yàn)?，由余弦定理以為原點(diǎn)，射線分別為軸的正半軸建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知得，，，，，，，．（1）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，即，而平面，且平面，故直線平面．（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，可得，于是可取，同理可得平面的一個(gè)法向量為，若存在，使面與面所成的二面角為直二面角，則，即，解得．故存在，使面與面所成的二面角為直二面角．（20）【2014年湖北，理20，12分】計(jì)劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機(jī)的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和．單位：億立方米）都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年．將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立．（1）求未來4年中，至多1年的年入流量超過120的概率；（2）水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)受年入流量限制，并有如下關(guān)系；若某臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺？年入流量X40<X<8040X80X>120發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)123解：（1）依題意，，，由二項(xiàng)分布，在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為．（2）記水電站年總利潤為（單位：萬元）（1）安裝1臺發(fā)電機(jī)的情形：由于水庫年入流量總大于40，故一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1，對應(yīng)的年利潤．（2）安裝2臺發(fā)電機(jī)的情形：依題意，當(dāng)時(shí)，一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此；當(dāng)時(shí)，兩臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此；由此得的分布列如下：4200100000.20.8所以，．（3）安裝3臺發(fā)電機(jī)的情形：當(dāng)時(shí)，一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此；當(dāng)時(shí)，兩臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此；當(dāng)時(shí)，三臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，，因此，由此得的分布列如下：34009200150000.20.70.1所以，綜上，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺．（21）【2014年湖北，理21，14分】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多1，記點(diǎn)的軌跡為．（1）求軌跡為的方程；（2）設(shè)斜率為的直線過定點(diǎn)，求直線與軌跡好有一個(gè)公共點(diǎn)，兩個(gè)公共點(diǎn)，三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的相應(yīng)取值范圍．解：（1）設(shè)點(diǎn)，依題意得，即，化簡整理得，故點(diǎn)的軌跡的方程為．（2）在點(diǎn)的軌跡中，記，依題意，可設(shè)直線的方程為，由方程組，可得①（1）當(dāng)時(shí)，此時(shí)，把代入軌跡的方程，得，故此時(shí)直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)（2）當(dāng)時(shí)，方程①的判別式為②設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，則由，令，得③（?。┤粲散冖劢獾?，或，即當(dāng)時(shí)，直線與沒有公共點(diǎn)，與有一個(gè)公共點(diǎn)，故此時(shí)直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)．（ⅱ）若或，由②③解得，或，即當(dāng)時(shí)，直線與只有一個(gè)公共點(diǎn)，與有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，與沒有公共點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，直線與軌跡恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)．（ⅲ）若由②③解得，或，即當(dāng)時(shí)，直線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，與有一個(gè)公共點(diǎn)，故此時(shí)直線與軌跡恰好有三個(gè)公共點(diǎn)．綜合（1）（2）可知，當(dāng)時(shí)，直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與軌跡恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與軌跡恰好有三個(gè)公共點(diǎn)．（22）【2014年湖北，理22，14分】為圓周率，e=2.71828……為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求這6個(gè)數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù)；（3）將這6個(gè)數(shù)按從小到大的順序排列，并證明你的結(jié)論．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減．故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）因?yàn)?，所以，即，于是根?jù)函數(shù)，在定義域上