充分條件與必要條件

第2煉

充分條件與必要條件一、基礎(chǔ)知識(shí)1、定義：（1）對(duì)于兩個(gè)條件

p,q，如果命題“若

p則q”是真命題，則稱條件

p能夠推出條件

q，記為

p

q，（2）充分條件與必要條件：如果條件

p,q

滿足

p

q，則稱條件

p是條件

q的充分條件；稱條件

q是條件

p的必要條件2、對(duì)于兩個(gè)條件而言，往往以其中一個(gè)條件為主角，考慮另一個(gè)條件與它的關(guān)系，這種關(guān)系既包含充分方面，也包含必要方面。所以在判斷時(shí)既要判斷“若 p則q”的真假，也要判斷“若q則p”真假3、兩個(gè)條件之間可能的充分必要關(guān)系：1）p能推出q，但q推不出p，則稱p是q的充分不必要條件2）p推不出q，但q能推出p，則稱p是q的必要不充分條件（3）p能推出q，且q能推出p，記為p q，則稱p是q的充要條件，也稱 p,q等價(jià)（4）p推不出q，且q推不出p，則稱p是q的既不充分也不必要條件4、如何判斷兩個(gè)條件的充分必要關(guān)系1）通過(guò)命題手段，將兩個(gè)條件用“若，則”組成命題，通過(guò)判斷命題的真假來(lái)判斷出條件能否相互推出，進(jìn)而確定充分必要關(guān)系。例如p:x1;q:x210，構(gòu)造命題：“若x1，則x210”為真命題，所以pq，但“若x210，則x1”為假命題（x還有可能為1），所以q不能推出p；綜上，p是q的充分不必要條件（2）理解“充分”，“必要”詞語(yǔ)的含義并定性的判斷關(guān)系①充分：可從日常用語(yǔ)中的“充分”來(lái)理解，比如“小明對(duì)明天的考試做了充分的準(zhǔn)備”，何謂“充分”？這意味著小明不需要再做任何額外的工作，就可以直接考試了。在邏輯中充分也是類似的含義，是指僅由 p就可以得到結(jié)論 q，而不需要再添加任何說(shuō)明與補(bǔ)充。以上題為例，對(duì)于條件p:x1，不需再做任何說(shuō)明或添加任何條件，就可以得到q:x210所以可以說(shuō)p對(duì)q是“充分的”，而反觀q對(duì)p，由q:x210，要想得到p:x1，還要補(bǔ)充一個(gè)前提： x不能取 1，那既然還要補(bǔ)充，則說(shuō)明是“不充分的”②必要：也可從日常用語(yǔ)中的 “必要”來(lái)理解，比如“心臟是人的一個(gè)必要器官” ，何謂“必要”？沒(méi)有心臟，人不可活，但是僅有心臟，沒(méi)有其他器官，人也一定可活么？所以 “必要”體現(xiàn)的就是“沒(méi)它不行，但是僅有它也未必行”的含義。仍以上題為例：如果 q:x2 1 0不成立，那么 x必然不為1，但是僅靠q:x2 1 0想得到p:x 1也是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還需要更多的補(bǔ)充條件，所以僅僅是“必要的”（3）運(yùn)用集合作為工具先看一個(gè)問(wèn)題：已知

P

Q

,那么條件“

x

P”是“

x

Q

”的什么條件？由P

Q可得到：

x

P

x Q，且

x

Q

推不出

x

P，所以“

x

P”是“

x

Q”充分不必要條件。 通過(guò)這個(gè)問(wèn)題可以看出， 如果兩個(gè)集合存在包含關(guān)系， 那么其對(duì)應(yīng)條件之間也存在特定的充分必要關(guān)系。在求解時(shí)可以將滿足條件的元素構(gòu)成對(duì)應(yīng)集合，判斷出兩個(gè)集合間的包含關(guān)系，進(jìn)而就可確定條件間的關(guān)系了。相關(guān)結(jié)論如下：①PQ：p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件②PQ：p是q的充分條件③PQ：p是q的充要條件此方法適用范圍較廣，尤其涉及到單變量取值范圍的條件時(shí)，不管是判斷充分必要關(guān)系還是利用關(guān)系解參數(shù)范圍，都可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合的包含問(wèn)題，進(jìn)而快捷求解。例如在p:x

1;q:x2

1 0中，滿足

p的

x取值集合為

P

1

，而滿足

q的

x取值集合為

1,1所以

P

Q，進(jìn)而判斷出

p是q的充分不必要條件5、關(guān)于“

p,

q”的充分必要關(guān)系：可從命題的角度進(jìn)行判斷。例如：

p是

q的充分不必要條件，則命題“若 p，則q”為真命題，根據(jù)四類命題的真假關(guān)系，可得其逆否命題“若 q，則 p”也為真命題。所以 q是 p的充分不必要條件二、典型例題：例1：已知

p:x

3

1,q:x2

x 6

0，則

p是q的（

）A.充要條件

B.

必要不充分條件C.充分不必要條件

D.

既不充分也不必要條件思路：考慮利用集合求解： 分別解不等式得到對(duì)應(yīng)集合。 x 3 1 1 x 3 1，解得：2x4，即Px|2x4；x2x60x3或x2，即Qx|x3或x2。所以PQ，進(jìn)而p是q的充分不必要條件答案：C例2：已知a,bR，那么log1alog1b是3a3b的（）22A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件思路：本題若覺(jué)得不方便從條件中直接找到聯(lián)系，可先從一個(gè)條件入手推出其等價(jià)條件，再進(jìn)行判斷，比如“3a3b”等價(jià)于ab，所以只需判斷l(xiāng)og1alog1b與ab的關(guān)系即22可。根據(jù)ylog1x的單調(diào)性可得：如果log1alog1b，則ab，但是若ab，在a,b222大于零的前提下，才有l(wèi)og1alog1b，而題目中僅說(shuō)明a,bR。所以不能推出。綜上可22判斷l(xiāng)og1alog1b是3a3b的充分不必要條件22答案：C小煉有話說(shuō)：（1）如果所給條件不方便直接判斷，那么可以尋找它們的等價(jià)條件（充要條件），再進(jìn)行判斷即可（2）在log1alog1b推ab中，因?yàn)閘og1alog1b是條件，表達(dá)式成立要求a,b0，2222但是在ab推log1alog1b中，ab是條件，且對(duì)a,b取值沒(méi)有特殊要求，所以22a,bR，那么作為結(jié)論的log1a,log1b就不一定有意義了。在涉及到變量取值時(shí)要首先分22清誰(shuí)是條件，誰(shuí)是結(jié)論。作為條件的一方默認(rèn)式子有意義，所以會(huì)對(duì)變量取值有一定的影響。例3：已知p:xk,q:31，如果p是q的充分不必要條件，則k的取值范圍是_____x1思路：設(shè)Px|xk,Qx|31x|x1或x2，因?yàn)閜是q的充分不必x1要條件，所以PQ，利用數(shù)軸可而判斷出k2答案：k2例4：下面四個(gè)條件中，使ab成立的充分而不必要的條件是（）A.ab1B.ab1C.a2b2D.a3b3思路：求ab的充分不必要條件，則這個(gè)條件能夠推出ab，且不能被ab推出?？梢钥紤]驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)。A選項(xiàng)ab1可以推出ab，而ab不一定能夠得到ab1（比如a1,b1.5），所以A符合條件。對(duì)于B，C兩個(gè)選項(xiàng)均不能推出A，所以直接否定。而D選項(xiàng)雖然可以得到ab，但是ab也能推出a3b3，所以D是A的充要條件，不符題意答案：A例5：（2015浙江溫州中學(xué)高二期中考試）設(shè)集合Ax|x10,Bx|x1a，x1則“a1”是“AB”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件思路：先解出兩個(gè)解集：A1,1，B的解集與a的取值有關(guān)：若a0，則B；若a0，則B1a,1a，觀察條件，若a1，則B0,2，所以AB成立；若AB，則通過(guò)數(shù)軸觀察區(qū)間可得a的取值為多個(gè)（比如a11”是），所以“a2“AB”的充分不必要條件答案：A例6：對(duì)于函數(shù) y f(x),x R，“y f(x)的圖象關(guān)于 y軸對(duì)稱”是“ y f(x)是奇函數(shù)”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件思路：如果yf(x)是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則yf(x)中yf(x)位于x軸下方的部分沿x軸對(duì)稱翻上來(lái)，恰好圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，但yf(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱未必能得到y(tǒng)f(x)是奇函數(shù)（例如fxx2），所以“yf(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”是“y f(x)是奇函數(shù)”的必要不充分條件答案：B例7：已知a,bR，則“a2b21”是“ab1”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件思路一：可以考慮利用特殊值來(lái)進(jìn)行判斷。比如考慮左右，可以舉出反例a0.9,b0.4，則ab1不成立，所以左邊無(wú)法得到右邊。而右左能夠成立，所以“a2b21”是“a b 1”的必要不充分條件思路二：本題也可以運(yùn)用集合的思想，將a,b視為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)a,b，則條件所對(duì)應(yīng)的集合為Pa,b|a2b21,Qa,b|ab1，作出兩個(gè)集合在坐標(biāo)系中的區(qū)域，觀察兩個(gè)區(qū)域可得PQ，所以“a2b21”是“ab1”的必要不充分條件答案：B例8（2015菏澤高三期中考試）：設(shè)條件p：實(shí)數(shù)x滿足x24ax3a20(a0)；條件q：實(shí)數(shù)x滿足x22x80且p是q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________思路：本題如果先將p，q寫(xiě)出，再利用條件關(guān)系運(yùn)算，盡管可行，但p，q容易書(shū)寫(xiě)錯(cuò)誤。所以優(yōu)先考慮使用原條件?！?p是 q的必要不充分條件” 等價(jià)于“q是p的必要不充分條件”，而p,q為兩個(gè)不等式，所以考慮求出解集再利用集合關(guān)系求解。解：設(shè)Px|x24ax3a20,a0，可解得：P3a,a，設(shè)Qx|x22x80可解得：Q,42,，p是q的必要不充分條件q是p的必要不充分條件QPa0a4答案：a4例9：數(shù)列an滿足a11,an1ranrnN,r0，則“r1”是“數(shù)列an成等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件思路：當(dāng)r1時(shí)，可得an1an1，即an成等差數(shù)列。所以“r1”是“數(shù)列an成等差數(shù)列”的充分條件。另一方面，如果an成等差數(shù)列，則a1,a2,a3成等差數(shù)列，所以有2a2a1a32ra1r1ra2r2ra1r1rra1rr，代入a11可得：4r2r2r12r23r10，解得r1或r1，經(jīng)檢驗(yàn)，r1時(shí)，22a21a111，a31a211,利用數(shù)學(xué)歸納法可證得an1，則an也為等差222120），所以r成等差數(shù)列”無(wú)法推出“r1”，數(shù)列（公差為符合題意。從而由“數(shù)列an2所以“r1”是“數(shù)列an成等差數(shù)列”的不必要條件答案:A例10：設(shè)0x，則xsin2x1是xsinx1的（）2A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件思路：因?yàn)?x2，所以0sinx1。故由xsinx1可得xsinxsinxsinx1，即xsin2x，對(duì)于xsin2x1能否推出xsinx1，可考慮尋找各自等價(jià)條件：1xsin2x1sin2x1sinx1，xsinx1sinx1，通過(guò)數(shù)形結(jié)合可以得xxx到符合sinx1的x的集合是2.4x2.2112gx=sinx的x集合的子集。所x1.8x1.61.4以2是xsinx1的必xsinx1要不充分條件

11.2fx=x1hx=sin x0.8答案：B

0.60.40.20.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.20.4三、近年模擬題題目精選 0.61、（2014a,bR，則“abab”是“ab0”的，江西贛州高三摸底考試）若（ ）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2、（2014南昌一模，3）設(shè)a,b為向量，則“|ab|=|a||b|”是“a//b”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3、若a,bR，則“ab成立”是“a2b2成立”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4、（2014，北京）設(shè)anq1”是“an為遞增數(shù)列”的()是公比為q的等比數(shù)列，則“A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5、（2014上海13校聯(lián)考，15）集合Axx20,Bx(xa)(xb)0，若x1“a2”是“AIB”的充分條件，則b的取值范圍是（）A.b1B.b1C.b1D.1b26、（2015，福建）“對(duì)任意的x0,，ksinxcosxx”是“k1”的（）2A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件7、（2014北京朝陽(yáng)一模，5）在△ABC中，Aπ2，則“AC3”是“Bπ，BC”43的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件8、（2014湖北黃岡月考，4）已知條件p:k3x21與圓，條件q：直線yk4x2y24相切，則p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件、陜西五校二模，）命題p:xR且滿足sin2x1命題q:xR且滿足tanx1.9(20141.則p是q的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件10、（2015北京理科）設(shè),是兩個(gè)不同的平面，m是直線且mm∥”是“∥”．則“的（）A. 充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11、（2016，上海交大附中期中）條件“對(duì)任意 x 0, ,ksinxcosx x”是“k 1”2的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件習(xí)題答案：1、答案：B解析：從集合的角度來(lái)看，滿足abab條件的a,b取值范圍是ab0或ab0，所以可知“abab”是“ab0”的必要不充分條件2、答案：C解析：ab=abab=aba,b的夾角為0,，從而等價(jià)于a//b3、答案：Cab22b2，反之若a2b2，則解析：由不等式性質(zhì)可知：0，則ab即a2a2b2即ab4、答案：D解析：若an的項(xiàng)均為負(fù)項(xiàng)，則“q1”，“a為遞增數(shù)列”之間無(wú)法相互推出，所以兩條n件既不充分也不必要5、答案：B解析：A:1,2，B:x2xb0，因?yàn)锳IB，由數(shù)軸可得：b1即可6、答案：B解析：左側(cè)條件中恒成立不等式可化為ksin2xx0，設(shè)fxksin2xx，可知22f00，