2022-2023學(xué)年蘇教版必修第一冊(cè)不等式的基本性質(zhì)復(fù)習(xí)講義

專題3.1不等式的基本性質(zhì)

一、考情分析

二、考點(diǎn)梳理

知識(shí)點(diǎn)1一元一次不等式的解法

一元一次不等式ax>b的解的情況：

b

(1)當(dāng)a>0時(shí)，x>—；

(2)當(dāng)a<0時(shí)，x<—；

a

(3)當(dāng)a=0時(shí)，i)若bSO,則取所有實(shí)數(shù)；ii)若b>0,則無(wú)解。

知識(shí)點(diǎn)2分式方程、分式不等式的解法

1、分式方程的解法

①一般解法：去分母法，即方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母.②特殊解法：換元法.

(2)驗(yàn)根：由于在去分母過(guò)程中，當(dāng)未知數(shù)的取值范圍擴(kuò)大而有可能產(chǎn)生增根.因此，驗(yàn)根

是解分式方程必不可少的步驟,一般把整式方程的根的值代人最簡(jiǎn)公分母，看結(jié)果是不是零,

使最簡(jiǎn)公分母為零的根是原方程的增根，必須舍去.

說(shuō)明：解分式方程，一般先考慮換元法，再考慮去分母法.

2、分式不等式的解法：

分母恒為正時(shí)可去分母；分母不恒為正時(shí)不能去分母，應(yīng)先移項(xiàng)使右邊為0再通分并將

分子分母分解因式，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式的主旨是化分式不等式為整式不等式,

進(jìn)行求解.

3、可化為一元二次方程的分式方程

1.去分母化分式方程為一元二次方程；2.用換元法化分式方程為一元二次方程

簡(jiǎn)單分式不等式的解法

I)標(biāo)準(zhǔn)化：移項(xiàng)通分化為19〉0(或［9<0):△義20(或叢240)的形式,

g(x)g(x)g(K)g(x)

2)轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)/(*)>0o/(x)g(x)>0:/(x)N0O7(-V)g(-v)>0

g(x)g(x)聲?！?

知識(shí)點(diǎn)3二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式

二次函數(shù)一元二次方程一元二次不等式

ax2+hx+c=Qix2>0ax2++cv0

般y=ax2+bx+cA=/?2-4ac

式????(a>0)f(a〉0)i(a>0)

????(a>0)

u

XjV%2或

X=X],X=X2

A>0x,<x<x2

-(X|<X)X,>x

122

u.

圖

像b

與A=0無(wú)解

解2a

X

01Xo

V，

A<0無(wú)解R無(wú)解

X

0

.,-b-ylb2-4ac-b+y/b2-4ac

表中吊=------1----------，/=---------------

2a2a

_fa>0

2、ar+。彳+。>0(。/0)恒成立?！矗?/p>

△=/-4ac<0

,fa<0

+人x+c<0(a#0)恒成立o<°

A=〃-4ac<0

知識(shí)點(diǎn)4絕對(duì)值不等式

1、a>0時(shí)，

①Ix|<aox?<a?o-a<x<a；②|x“ox?>/ox<-a或x>a

2、解含有絕對(duì)值不等式關(guān)鍵是如何去絕對(duì)值符號(hào).

對(duì)于形如|/(X)|>g(x)和|/(x)|<g(x)的不等式，可利用絕對(duì)值的含義去絕對(duì)值符號(hào)得

"(X)|>g(x)of(x)>g(x)或f(x)<g(x);If{x)|<g(x)o-g(x)<f(x)<g(x).

三'題型突破

重難點(diǎn)題型突破1等式與不等式的性質(zhì)

例I.(1)、(2021?江蘇?南京師大附中高一月考)若a,b,c,d均為實(shí)數(shù)，則下列不等關(guān)系

中一定成立的是()

A.若a>b,c<d,則a+c>Z?+dB.若a>b,c>d,則

C.若be-ad>0,Jg>0,貝lJab<0D.若a>b>0,c>d>0,則后>

【答案】D

【分析】

舉特例說(shuō)明并判斷選項(xiàng)A,B,利用不等式性質(zhì)推理判斷選項(xiàng)C,D即可作答.

【詳解】

對(duì)于A,如3>2,-3<0,顯然3+(-3)<2+0,A不正確；

對(duì)于B,如3>2,-4>-5,顯然3x(-4)<2x(—5),B不正確:

對(duì)于C,因6c—“”>0,而土―￡=>0,貝心心>0,C不正確：

abab

對(duì)于D,因c>">0,則］>(>0，又匕>0，于是得^〉：〉。，所以。正

確.

故選：D

（2）、（2020?吉化第一高級(jí)中學(xué)校高二期末（理））已知。>人>（）,那么下列不等式中成立

的是（）

,72211

A.-a>-bB.a+mvb+mC.cr>bD.—>—

ab

【答案】C

【解析】由不等式的性質(zhì)可知，若匕〉0，則：一a<-b,a+m>b+m,a2>b2

一<一.故選：C.

ab

（3）、（2020?江蘇?南京一中高三月考）（多選題）若o,b,cwR,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若ab>0,貝!|巴+2A2B.若貝U4c2>機(jī)工

ba

C.若網(wǎng)，則a?〉/D.若則

ba

【答案】AC

【分析】

利用不等式的性質(zhì)以及基本不等式逐一判斷即可.

【詳解】

對(duì)于A,若必>0,則a,b同正、同負(fù)

所以：+2N2、W=2,故A正確；

bayZ?a

對(duì)于B,若a>b,當(dāng)《2=0時(shí)，則〃<?=歷2,故B不正確；

對(duì)于C若。>網(wǎng)>0,則〃2>凡故C正確;

對(duì)于D,若。>0>匕，則，<，,故D不正確.

ba

故選；AC

【變式訓(xùn)練1-1】.（2020?寧夏回族自治區(qū)寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高二月考（文））下列不等式中，

正確的是（）

A.若;a>b,c>d,則a+c>b+dB.若a>6,貝!|a+c<Z?+c

ab

C.若a>b,c>d,則ac>〃D.若a>b,c>d,則一>一

cd

【答案】A

【解析】若a>b,則a+c>Z?+c,故B錯(cuò)，

設(shè)2=3加=13=一1,（1=一2,則。。<4人色<2所以c、D錯(cuò)，故選A

ca

【變式訓(xùn)練1-2】.（2021?麗水外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一月考）（多選題）已知。>〃，則下列不等式

不正確的是（）

°°11°,cib

A.a~>h~B.—>—C.ac~>hc~D.-y>—

abeC

【答案】ABC

【分析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)和特殊值逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，取。=0,6=一1可得A錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng)，取a=2,b=l可得，<：,B錯(cuò)；

ab

對(duì)于C選項(xiàng),取C=0可知或、2=秘2,C錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng)，由題意可知CW0,貝叱>0,因?yàn)樗裕?>4?D對(duì).

CC-

故選：ABC.

【變式訓(xùn)練1-3】、（2021?廣東?高三月考）（多選題）下列不等關(guān)系正確的有（）

A.若x>y,則Y>y2B.若x>y,則正>盼

C.若x>y,則V>y3D.若a>b,c>d,貝ljac>仇/

【答案】BC

【分析】

AD選項(xiàng)可通過(guò)舉反例判斷其錯(cuò)誤，BC選項(xiàng)可通過(guò)不等式性質(zhì)判斷.

【詳解】

A.若x=l,y=-2,滿足大>幾但是/<丁，則A錯(cuò)誤；

B.由不等式基本性質(zhì)6可知B正確：

C.由不等式基本性質(zhì)7可知C正確：

D.若a=2,b=—2,c=—l9d=—2,則。。=—2,bd=4,

ac>bd不成立，D不正確.

故選：BC.

例2、（1）（2020?江蘇?揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)高一期中）已知-l〈x+yW4,2Wx-6y<3,則

Z=3x-4y的取值范圍是.

【答案】[0,11];

【分析】

將所求式子變形為2（x+），）+（x-6y）,結(jié)合不等式的基本性質(zhì)即可求出的取值范圍.

【詳解】

解：z=3x-4y=2（x+y）+（x-6y）,因?yàn)?14x+y44,24x-6y43,

所以-242（x+y）48,所以042（x+y）+（x-6y）411,

故答案為：[0,11]

（2）、（2021?廣東?深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一月考）若a,夕滿足<a<],<尸<],貝IJ2a-6

的取值范圍是（）

A.-7i<2cr-/?<0B.-Tt<2a-P<TI

c.--<2a-y?<yD,0<2a—〃<兀

【答案】C

【分析】

根據(jù)a，夕的范圍求出2a,一夕的范圍，兩個(gè)不等式相加即可求解.

【詳解】

7T7T

因?yàn)?：7<。<彳，所以-兀<2。<兀，

22

因?yàn)樗砸?/p>

所以一夸<2a-4<，，

故選：C.

（3）、（2021?河南?周口恒大中學(xué)高一月考）已知實(shí)數(shù)x,y滿足-14x+yW3,4V2x-y49,

則（）

123

A.l<x<3B.-2<y<lC.2<4x+y<15D.-<x-y<—

33

【答案】C

【分析】

-6<—2x—2y<2

將已知等式兩式相加判斷A：由題意可得解不等式組判斷B；由

4<2x-y<9

I2

4x+y=2(x+y)+(2x-y)結(jié)合已知判斷C；由x-y=-3(x+y)+§(2x-y)結(jié)合已知判斷D.

【詳解】

-l<x+j<3,4<2x-y<9,

兩式相加,得343x412,即1女44,故A錯(cuò)誤；

^-6<-2x-2y<2

*[4<2x-^<9

112

-2<-3^<ll,解得-故B錯(cuò)誤；

-.-4x+y=2(x+y)+(2x-y),又-242(x+y)46,

2<4x+y<15,故C正確；

i2]?82

A：-y=--(x+y)+-(2x-y),又一14一1(x+y)(1且-<-(2x-y)<6

ODJJJJf

519

■■~^x-y<—,故D鉛法.

故選：C.

【變式訓(xùn)練2-l】、(2021?河北?石家莊市第三十八中學(xué)高一月考)(多選題)已知-2<a+b<4,

2<2a-b<8,則下列不等式正確的是()

A.0<a<4B.0<b<2

C.-6<a+2b<6D.0<a+2Z?<8

【答案】AC

【分析】

將一2<a+6<4,2<2a—6<8兩個(gè)不等式相力口即可得到0<“<4,即A正確;將2<2a—b<8

兩邊同乘以-1,再與-2<a+b<4兩邊乘以2的結(jié)果相加即可得到T<A<2,故B不正確；

將T<6<2兩邊同時(shí)乘以2,與0<。<4相加，即可判斷C、D的正誤.

【詳解】

?.?-2<a+b<4,2<2a—b<8:.-2+2<a+b+2a-b<4+8.,.0<3a<12.,.0<a<4,故A正

確；

f—8<b—2a<—2

?,?2<2a—b<8.'.-8<b-2a<-2?.?—2<a+b<4,-4<2a+2/?<8]，一?c

[T<2a+2/?<8

，一12<36<6,.,.-4<6<2,故B不正確；

tz+2b=m(a+b)+n(2a-b),\)]\\a-\-2b-^m+2n)a+^m-n)b

5

fn=—

1=772+2/7451

；二a+2b=-(a+。)——(2a-,

2=m—n

n=--

3

IQ520218

,.?-2<a+〃v4「?一--<-(?+/?)<—v2<-Z?<8-(2a-/?)<-

Qi25i

—-<——(2.(1—b)<———6<a+2b——(^a+Z?)—§(2a—6)<6故C」上確、D錯(cuò)誤;

故選：AC

【變式訓(xùn)練2-2】、(2020?江蘇省太湖高級(jí)中學(xué)高一期中)已知2<a+b<^,

則4a-2A的取值范圍是.

【答案】5<4a-2Z?<10

【分析】

把44一2人用。—力和。+匕表示，然后由不等式的性質(zhì)得出結(jié)論.

【詳解】

m+n=4n=1

令4a—2/?=加(4-/?)+”(“+〃)=(，”+〃)〃+(〃一〃?)/?,則c，解得

n-m=-2〃？=3

1<a—b<2,2<a+b<4,

5<3(a-b)+(a+b)<\0.

故答案為：5<4a-2&<10.

【點(diǎn)睛】

本題考查不等式的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是設(shè)4a-2b=%(a-6)+〃(a+8),求出也〃，即用。4和

a+b表示出4“一處,然后由不等式的性質(zhì)求解,切忌先求出“的范圍及b的范圍，然后由。力

的范圍求得而-4的范圍.

【變式訓(xùn)練2-3】、(2020?江蘇?高一課時(shí)練習(xí))己知-1<。+6<3,且2<。-〃<4,那么20+36

的取值范圍是,

913

【答案】2'T

【分析】

采用同向可加性，需把。+仇。-人當(dāng)做一個(gè)整體，采用待定系數(shù)法，利用同向可加性進(jìn)行求

解

【詳解】

_5

N=2…*-2

設(shè)2a+3b=x(a+b)+y(a-b),貝,解得〈..因?yàn)?l<a+b<3,2<a-b<4,

"7=3__l

廣v2

所以-5<](a+b)<3，

所以(a+b)-^-(a-b)<-y,

913

W--<2a+3b<y

【點(diǎn)睛】

此題容易產(chǎn)生錯(cuò)解，把。+加。-0整體加減，表示出。，b的取值范圍，再通過(guò)同向可加性

進(jìn)行求解，錯(cuò)誤原因在于無(wú)形中放大了取值范圍，解題時(shí)要尤為注意

重難點(diǎn)題型突破2其他不等式的綜合情況

例3.(1)、(2021?靖西市第二中學(xué)高一期中)不等式爐-10》+25<0的解集為

【答案】空集

【分析】

利用一元二次不等式的解法求解.

【詳解】

不等式爐-10尤+25<0可化為：(x-5><0,無(wú)解，

所以不等式的解集為空集，

故答案為：空第

(2)、(2020?桂林市臨桂區(qū)五通中學(xué)高二期中)不等式『一苫-620的解集是____________

1-X

【答案】(F-2]51,3].

【分析】

由七”則:二或:二h°'解不等式組即可得解?

【詳解】

解：由.-6對(duì),

1-x

f-620卜2…64。

則

l-x>0"[l-x<0

解得xW-2或I<x43,

所以不等式三二的解集是（―,—2]51,3].

1-X

故答案為：（YO,-2]U（1,3].

（3）、（2020?長(zhǎng)春市第二十九中學(xué)高二期中（文））不等式|x+2|45的解集是（）

A.1x|x<21B.^x|-7<%<3jC.|x|-3<x<71D.|x|-5<%<91

【答案】B

【解析】因?yàn)閨x+2|W5,5Vx+2K5,解得—7WxW3,

故選：B.

【變式訓(xùn)練3-1】.（2020?四川省高一期末）不等式Ww3x的解集為（）

A.[0,3]B.（-00,3]C.（0,3）D.（7,3）

【答案】A

【解析】由題意，不等式—w3x，可化為X2—3X=X（X—3）V0,m0<x<3,

即不等式Vv3x的解集為[0,3].故選：A.

【變式訓(xùn)練3-2】.（2020?黑龍江省鶴崗一中高一期末（文））如果關(guān)于X的不等式

|x—3|+|x—4|<a的解集不是空集，則參數(shù)。的取值范圍是（）

A.（1,+cc）B.[1,+co）C.（-co/）