2022-2023學(xué)年上海市金山區(qū)高一年級下冊學(xué)期3月統(tǒng)考數(shù)學(xué)試題及答案

2022-2023學(xué)年上海市金山區(qū)高一下學(xué)期3月統(tǒng)考數(shù)學(xué)試題

一、填空題

1.己知集合且IwN,則實(shí)數(shù)。的值為

【答案】1

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系列式計(jì)算即得.

【詳解】由題意可得：2a-l=l,解得"1.

故答案為：1.

2.已知角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)P0'-2）,則sine=

275

【答案】一丁

【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得sin。的值.

【詳解】設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為°,

由題意可得："1/=-2,|陽=』+（_2）2=有

sina目4也

故囪后5

2-

故答案為：5

3.函數(shù)歹=M0-1）的定義域?yàn)?

【答案】（1,+8）

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求該對數(shù)型函數(shù)的定義域即可.

【詳解】要使該函數(shù)有意義，則需x-l>0,解得：X>1

...函數(shù)kIn（x-1）的定義域?yàn)椋?收）

故答案為：（L+8）

4.將內(nèi)正化為有理數(shù)指數(shù)基的形式為.

8

【答案】、

【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)事的定義與運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可得：?小=〃等=。5.

8

故答案為:

亞

cosa=——

5.己知角a是第四象限角，且5,則sina+cosa的值為.

_^5

【答案】5

【分析】利用同角三角關(guān)系運(yùn)算求解，注意符號看象限.

出-------—275

cosa=——sina=-vl-cos-a=--------

【詳解】???角a是第四象限角，且5,則5,

,上加

sina+cosa=------

5.

_V5

故答案為：5.

6.己知函數(shù)了=1+以+1,工€&2］（a,6eR且6<2）是偶函數(shù)，則a+6的值為

【答案】-2

【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)的對稱性分析運(yùn)算.

【詳解】由題意可得：函數(shù)夕=/+辦+1的對稱軸為），軸，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,

%+2=0

_￡=0］=-2

則［5,解得M=o,

故a+b=-2.

故答案為:-2.

7.已知3"=6,用機(jī)表示噫54為.

【答案】帆+2鼎2+m

【分析】先根據(jù)指對互化可得”'nbg*,再結(jié)合對數(shù)運(yùn)算求解.

【詳解】v3"'=6,則，〃=1嗎6,

22

log354=log3（6x3）=log36+log33=m+2

故答案為：機(jī)+2.

11

一+一

8.設(shè)“、方為正數(shù)，且。+6=1,則?！愕淖钚≈禐?

【答案】4

【解析】基本不等式中“1的代換”求最值.

【詳解】因?yàn)?。、b為正數(shù)，且。+人=1,

—+—=(—+—)x1=(—+—)x(a+/7)=1+—4--+1>2+2/—x—=4

所以。bababbaAVba,

當(dāng)且僅當(dāng)。=6=1時(shí)取等號

1+1

即ab的最小值為4.

故答案為：4

【點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：“一正、二定、三相等”

(1)“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值：要求積的最大值，則必須把

構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個(gè)定值就不

是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.如果等號成立的條件滿足不了，說明函數(shù)在對應(yīng)區(qū)

間單調(diào)，可以利用單調(diào)性求最值或值域.

9.己知常數(shù)。>°且a*1，無論a取何值，函數(shù)'=b8"(3苫-5)-4的圖像恒過一個(gè)定點(diǎn)，則此定

點(diǎn)為?

【答案】Qi)

【分析】利用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，只需令3x-5=1即可求出了=(3、一5)-4的圖像恒過的定點(diǎn)的

坐標(biāo).

【詳解】因?yàn)閥二噫”的圖像必過0，°),即bg」=°,

當(dāng)3x-5=l,即x=2時(shí)，V=log“(3x-5)-4=-4,

從而y=log.(3》-5)-4圖像必過定點(diǎn)(2,T)

故答案為：(2,-4).

10.已知集合/={x1(a-M+3x-2=0}有且僅有兩個(gè)子集，則實(shí)數(shù)0=

【答案】1或一1

【分析】結(jié)合已知條件，求出(a-Dx2+3x-2=°的解的個(gè)數(shù)，然后對參數(shù)分類討論，并結(jié)合一元

二次方程的根的個(gè)數(shù)與判別式之間的關(guān)系求解即可.

【詳解】若4恰有兩個(gè)子集，所以關(guān)于x的方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，

2

x=-

①當(dāng)。=1時(shí)，3,滿足題意；

②當(dāng)。工。時(shí)，△=8。+1=0,所以“8,

綜上所述，。=1或”一.

故答案為：1或一￡

U設(shè)/（x）="2-（a+l）x+l,”d一于力，若函數(shù)V=/（x）在定義域上滿足：①是非奇非偶函

數(shù)；②既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)；③有最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】I2）

【分析】對①：根據(jù)奇偶函數(shù)的定義可得a*T;對②：分類討論可得二次項(xiàng)系數(shù)小于零，且對

稱軸為“2a2,2）t求出。的取值范圍；對③：結(jié)合②中所求的范圍驗(yàn)證即可.

【詳解】對①：..."x）+/（-x）=W-（a+l）x+fHa（T）2-（“+l）（-x）+l]=232+l）wO,即

故/（X）不是奇函數(shù)；

若/（X）是偶函數(shù)，則"x）-"r）=W-（a+l）x+lH"r）2-（a+l）（-x）+l]=-2（a+l）x=0,

可得a+l=O,Bpa=-1.

故若/（X）是非奇非偶函數(shù)，則4*7；

對③：若/（X）在I22J上有最大值，則有：

當(dāng)”=0時(shí)，則/（x）=r+l在I22J上單調(diào)遞減，無最值，不合題意；

_。+1

當(dāng)"0時(shí),則/（x）=_2_（"+l）x+l為二次函數(shù)且對稱軸為x_2a,

a<0

Ia+\\1

——<——<—a<—

由題意可得122a2,解得2,

r_in_）_

故若/（X）在l2'2）上有最大值，貝a/<〈一5；

]_a+11）

對②：若”一5,則/。）=--（。+1卜+1開口向下，且對稱軸為“2a'5'],

故/(x)在I上既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)；

(_°°)-i)uf—1,——

綜上所述：實(shí)數(shù)。的取值范圍為I2

(-00,-1)U|-1,—1j

故答案為：I2人

12.已知feR,集合4=口+1]3，+4,/+9],OgA)若存在正數(shù)"對任意”4，都有°仁，

則t的所有可能的取值組成的集合為.

【答案】{If##?}

【分析】根據(jù)題意按照，＞0,，＜-9,-4＜f＜7分類討論，利用集合的包含關(guān)系即可列出不等式

組，解出即得解.

【詳解】???()￡/,則只需考慮下列三種情況:

.-.-e—U—

aG+l]U'+4"+9]

(1)當(dāng)，＞。時(shí),a"+9r+4jU+lt

A44/i?!

--------------------------

又力＞0,貝dZ+9t+4]\_t+lt\

幾4IIAA,r--1A,A,||A,A,r.ci

v—eA——~U—=山+1]—--U—q，+4,/+9]

a,所以U+9f+4」U+lt\''或L+9f+4」L+lt\」或

AA,rqAXr.ci

779山+卜+燈

<t+9

①當(dāng)[f+9)+41[f+l、[*，+時(shí)，[/-'+,即5+9)4/l4f(f+l),而易知，

(+9)＞(+1),所以這樣的工不存在；

—^―N/+4

￡+9

4XII'■丸「1/1Q14c

②當(dāng)仁加才「["T715'+]時(shí)，，即(，+仇+9)4444+9),顯然這樣

的2不存在；

z___z_-1AAr-I

③當(dāng)[f+9)+4G\t,t+*]>-[>7u[f+4,r+9]

時(shí),

——>t

t+9

—<t+\

一+4

-^->Z+4

1+1

2/(1+9)?4W/(t+9)

.?,可得：.C+l)C+4)4,4(，+l)C+4),.,.幾=f(/+9)=(/+l)(f+4),解得f=l

(2)當(dāng)，+9<。時(shí)，即當(dāng)，<-9時(shí)，與(i)同理，解得，=1,不合題意，舍去；

\,八---,——u『+4,f+9],二一，一cP，z+ll

(3)當(dāng)口+4>0時(shí)，即當(dāng)時(shí)，只有L+9，+4」[f+1tJ

r+1

-<t+\

-^―>Z+4

f+9

——<r+9

(7+44=(+l)=C+4)0+9),解得，=-3

所以可得:

綜上所述:/=[或—3

{1,-3}

故答案為:

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查利用集合與元素的關(guān)系求解參數(shù)的取值問題，關(guān)鍵在于能夠通過

4

，的不同取值范圍，得到。與Z所處的范圍，從而能夠利用集合的上下限得到關(guān)于幾的等量關(guān)系，

從而構(gòu)造出關(guān)于，的方程；難點(diǎn)在于能夠準(zhǔn)確地對，的范圍進(jìn)行分類，對于學(xué)生的分析和歸納能力有

較高的要求.

二、單選題

13.已知a>b,其中a、heR,則下列不等式一定成立的是（）

A./>/B-a>-bc.公孤D.同,網(wǎng)

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用不等式性質(zhì)判斷B,C；舉例說明判斷A,D作答.

【詳解】對于A,取"1，6=-2,滿足a>b,而/=i<4=〃，故A錯(cuò)誤；

對于B,因。>人，則-“<-6,故B錯(cuò)誤；

對于C,由不等式的性質(zhì)知，若a>b,則折>逐，故C正確；

對于D,取滿足a>b,而|止1<2=|6],故D錯(cuò)誤.

故選：C

14.設(shè)xeR,貝是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】解不等式,一“<2得一l<x<3,然后判斷充分性和必要性即可.

【詳解】解不等式卜一1<2得

當(dāng)-l<x<3時(shí)-l<x<5一定成立，但是當(dāng)-l<x<5時(shí)，-l<x<3不一定成立，所以“上一1|<2?是

T<x<5的充分不必要條件.

故選：A.

15.設(shè)集合/、8、C均為非空集合，下列命題中為真命題的是（）

A.若4cB=BcC,則/=CB.若B=BuC,則/=C

C.若4uB=BcC,則Cu8D,若/口5=811。，則CC

【答案】D

【分析】取特例，根據(jù)由集合的運(yùn)算關(guān)系可判斷ABC,根據(jù)集合的交、并運(yùn)算，子集的概念可判

斷D.

【詳解】對于A,4cB=BcC,當(dāng)"={1,2},8={1},。={1,2,3}時(shí)，結(jié)論不成立，則A錯(cuò)誤；

對于B,=當(dāng)/={1,2},8={3},6={1,2,3}時(shí)，結(jié)論不成立，則B錯(cuò)誤；

對于C,AuB=BcC,當(dāng)/={1},B={1,2},C={1,2,3}時(shí)，結(jié)論不成立，則c錯(cuò)誤；

對于D,因?yàn)锳C\B=B{jCt所以BuC1B,又8±8UC,所以8=8UC,則

CjB,則D正確.

故選：D

16,已知/O*”,若關(guān)于'的方程"（X）—"/（X）一“一”=1有且僅有兩個(gè)不同的整數(shù)解，

則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）.

A.-萬'jB.-50）C.[刈D.{°}

【答案】A

【分析】根據(jù)方程=等價(jià)于/G）2a且“x）4a+l

,將問題轉(zhuǎn)化為

/(x)的圖象夾在直線y=〃和y="+1

之間的部分有且僅有兩個(gè)整數(shù)解求解.

【詳解】解:要使方程相)-4+匹)-”“=1,

當(dāng)且僅當(dāng)且/GT"十】，

即方程等價(jià)于且/G)Va+l,

即?！?)4。+1,

所以方程W(x)-4+/(x)-"-"=l有且僅有兩個(gè)不同的整數(shù)解，

即/(x)的圖象夾在直線夕="和y="+i之間的部分有且僅有兩個(gè)整數(shù)解,

所以要使"'/。卜"+1的整數(shù)解有且僅有兩個(gè)解，

則其中一個(gè)整數(shù)解為0和-1，

a<0

,11311

—4。+1<——Wa<—

即124,解得2-4,

故選：A

三、解答題

17.已知集合”=崗。-2<》<。+2},八卜片>°[

⑴求集合8；

QW求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

[答案]⑴8={巾"或x<-l}

（2）（-8，-3]34，+°°）

【分析】（1）根據(jù)分式不等式求解集合8；

（2）根據(jù)集合的包含關(guān)系運(yùn)算求解.

【詳解】⑴???x-2>,則（x+l）（x-2）>0,解得述>2或x<-l,

故5=種〉2或2.

（2）若/=貝ij"2N2或a+24-l,即或“4-3,

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（F'TIUK，”）

18.已知小）=/+改+。.

（1）若函數(shù)'有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)0的取值范圍；

（2）若方程/（"）=°有兩個(gè)實(shí)根心三，求X；+后的最小值.

【答案】（1）（-8，°]U[4,+OO）

（2）0

【分析】（1）根據(jù)題意集合二次函數(shù)的△判別式運(yùn)算求解；

（2）利用韋達(dá)定理整理可得x：+*=/-2a,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.

【詳解】（1）由題意可得：A=a2-4a>0,解得aN4或a40,

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（一°°⑼34,長0）

（2）由/G）=x2+ax+a=0,可得演+%=-凡為與=°,

2

則X；+%2=（玉+/）-2%^2=a-2a

...y=/_2a的對稱軸為°=i,

注意到ae（-8，°]u[4,+8）,則當(dāng)a=0時(shí)，/_2a取到最小值°,

即才+考的最小值為0.

19.某城市2023年1月1日的空氣質(zhì)量指數(shù)（簡稱40/））與時(shí)間x（單位：小時(shí)）的關(guān)系

滿足下圖連續(xù)曲線，并測得當(dāng)天N。/的最大值為103.當(dāng)xe10[4]時(shí)，曲線是二次函數(shù)圖

像的部分；當(dāng)xe°4,24]時(shí)，曲線是函數(shù)，=l02-log2（x-13）圖像的一部分.根據(jù)規(guī)定，空氣質(zhì)量

指數(shù)的值大于或等于100時(shí)，空氣就屬于污染狀態(tài).

⑴求當(dāng)xe[0,14]時(shí)，函數(shù)卜=/00的表達(dá)式；

（2）該城市2023年1月1日這一天哪個(gè)時(shí)間段的空氣屬于污染狀態(tài)？并說明理由.

【答案】（/3=一*72）2+1。3心[0叫

⑵[12-2島7],理由見詳解

【分析】（1）根據(jù)圖象結(jié)合二次函數(shù)運(yùn)算求解；

?。?卜:（12）2+103”[0,14]

⑵由⑴可得[102-log2（x-13）,xe（14,24]（分類討論解不等式"x"⑼即可得結(jié)果.

【詳解】（1）當(dāng)xe[°」4]時(shí)，有圖像可得：二次函數(shù)開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為°2，1°3）,且過

(10,102),(14,102)

可設(shè)/(x)=a(x-12)2+103,"0

代入點(diǎn)0°1°2)可得。(*12)2+103=102,解得

故當(dāng)xe[0,14]時(shí)，/(X)=-*T2)2+103

/(x)=H(12)2+103,xe[0,14]

102-log(x-13),xe(14,24]

（2）由（1）可得:2

當(dāng)俎。，14]時(shí),令人）=-：（12）2+心1。。，解得12_2尺臼4；

當(dāng)xe（14,24]時(shí)，令/。）=102-皿。-13竺100,解得14<X417；

綜上所述：當(dāng)百,17］時(shí)，空氣屬于污染狀態(tài)

f（x）=-

20.已知.''4-x2.

（1）判斷并證明函數(shù),=/（*）的奇偶性；

（2）判斷并證明函數(shù)夕=/0）在區(qū)間Q，+8）上的單調(diào)性；

（3）根據(jù)函數(shù)）‘=/（”）的性質(zhì)，畫出函數(shù)卜=/（X）的大致圖像.

【答案】（1）偶函數(shù)；

（2）單調(diào)遞增；

（3）詳見解析.

【分析】（1）利用函數(shù)的奇偶性的定義判斷；

（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷；

（3）根據(jù)函數(shù)的定義域，單調(diào)性和奇偶性畫出.

【詳解】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)/G）的定義域?yàn)椋?00'—2）U（-2,2）U（2,+oo）關(guān)于原點(diǎn)對稱,

1

=/G)

又因?yàn)?-（-x）4-x2

所以/（X）是偶函數(shù):

(2)任取司02w[2,+oo),且X]＜》2,

則4一/4T2,

二項(xiàng)2一/2=Gf)(%+%)

(4-Xl2X4-X22)(4-Xl2X4-X22),

因?yàn)橥?々€［2,+8）,

所以（4-再2X，_々2）＞0,X,+x2＞0

又因?yàn)橛瘢肌?，所以玉一々?,

所以/（3）一/（々）＜。，即/（工1）＜/（%2）,

所以函數(shù)/（X）在區(qū)間（2,+8）上單調(diào)遞增；

（3）由（2）同理可得,（X）在區(qū)間1°，2）上單調(diào)遞增，

由（1）知/G）是偶函數(shù)，則/（X）在（-8，-2）和（-2,0］上單調(diào)遞減,

所以其圖象如圖所示：

為

r--1—r—?-------------1—?---------T-----------1-r--i---

IIII?iiii

LJ.1IIIIII1

21.已知函數(shù)了二/。）的定義域?yàn)椤?，區(qū)間"U。，若存在非零實(shí)數(shù)，使得任意xe"都有

x+teD,且/（x+，）＞/（x）,則稱了=/（'）為加上的”增長函數(shù).

3_

⑴已知/（x）="判斷函數(shù)'=/（"）是否為區(qū)間［T°］上的5一增長函數(shù)，并說明理由；

（2）已知〃＞0,設(shè)g（x）=x;且函數(shù)》=g（x）是區(qū)間卜4-2］上的〃-增長函數(shù)，求實(shí)數(shù)〃的取值范

圍；

（3）如果函數(shù)尸"（"）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)北。時(shí)，卜一/卜"2,且函數(shù)尸"（X）為

R上的4-增長函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】（1）是，理由見詳解

（2）3+°0）

（3）（一1」）

【分析】(1)根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析運(yùn)算:

(2)根據(jù)題意整理可得2〃x+〃2>°對Vx*[-4,-2]恒成立，根據(jù)恒成立問題結(jié)合一次函數(shù)分析運(yùn)算;

(3)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，先取特值x=-M,可求得再證明當(dāng)時(shí)，對任意

xeR,均有人。)<g+4)

3_

【詳解】(1)數(shù))’=/(x)為區(qū)間卜1'°]上的萬一增長函數(shù)，理由如下：

由題意可知：/。)=、在口匕單調(diào)遞增，

對Vxe[-l,O],則2，可得(2),

3_

故函數(shù)y=/G)為區(qū)間[T，°]上的5-增長函數(shù).

(2)若函數(shù)g(x)=x?是區(qū)間14-2]上的〃一增長函數(shù)，

可得對心€卜4,一21則g(x+〃)>g(x),即0+〃)2>》2,

可得2nx+”2>0對TxG[T，12]恒成立，

-8〃+/〉o

<一4〃+/>0

則，解得〃>8,

故實(shí)數(shù)〃的取值范圍為(&+°°).

22X,()X<a

h(x)^\x-a\-a=[~-2\

(3)由題意可得：[x-2a,x>a-(

...函數(shù)，=〃(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，