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文檔簡介
2022-2023學(xué)年上海市金山區(qū)高一下學(xué)期3月統(tǒng)考數(shù)學(xué)試題
一、填空題
1.己知集合且IwN,則實數(shù)。的值為
【答案】1
【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系列式計算即得.
【詳解】由題意可得:2a-l=l,解得"1.
故答案為:1.
2.已知角。的終邊經(jīng)過點P0'-2),則sine=
275
【答案】一丁
【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義,求得sin。的值.
【詳解】設(shè)坐標原點為°,
由題意可得:"1/=-2,|陽=』+(_2)2=有
sina目4也
故囪后5
2-
故答案為:5
3.函數(shù)歹=M0-1)的定義域為.
【答案】(1,+8)
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求該對數(shù)型函數(shù)的定義域即可.
【詳解】要使該函數(shù)有意義,則需x-l>0,解得:X>1
...函數(shù)kIn(x-1)的定義域為(1收)
故答案為:(L+8)
4.將內(nèi)正化為有理數(shù)指數(shù)基的形式為.
8
【答案】、
【分析】根據(jù)分數(shù)指數(shù)事的定義與運算求解.
【詳解】由題意可得:?小=〃等=。5.
8
故答案為:
亞
cosa=——
5.己知角a是第四象限角,且5,則sina+cosa的值為.
_^5
【答案】5
【分析】利用同角三角關(guān)系運算求解,注意符號看象限.
出-------—275
cosa=——sina=-vl-cos-a=--------
【詳解】???角a是第四象限角,且5,則5,
,上加
sina+cosa=------
5.
_V5
故答案為:5.
6.己知函數(shù)了=1+以+1,工€&2](a,6eR且6<2)是偶函數(shù),則a+6的值為
【答案】-2
【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)的對稱性分析運算.
【詳解】由題意可得:函數(shù)夕=/+辦+1的對稱軸為),軸,且定義域關(guān)于原點對稱,
%+2=0
_£=0]=-2
則[5,解得M=o,
故a+b=-2.
故答案為:-2.
7.已知3"=6,用機表示噫54為.
【答案】帆+2鼎2+m
【分析】先根據(jù)指對互化可得”'nbg*,再結(jié)合對數(shù)運算求解.
【詳解】v3"'=6,則,〃=1嗎6,
22
log354=log3(6x3)=log36+log33=m+2
故答案為:機+2.
11
一+一
8.設(shè)“、方為正數(shù),且。+6=1,則?!愕淖钚≈禐?
【答案】4
【解析】基本不等式中“1的代換”求最值.
【詳解】因為。、b為正數(shù),且。+人=1,
—+—=(—+—)x1=(—+—)x(a+/7)=1+—4--+1>2+2/—x—=4
所以。bababbaAVba,
當且僅當。=6=1時取等號
1+1
即ab的最小值為4.
故答案為:4
【點睛】利用基本不等式求最值時,要注意其必須滿足的三個條件:“一正、二定、三相等”
(1)“一正”就是各項必須為正數(shù);
(2)“二定”就是要求和的最小值,必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值:要求積的最大值,則必須把
構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值;
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時,必須驗證等號成立的條件,若不能取等號則這個定值就不
是所求的最值,這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.如果等號成立的條件滿足不了,說明函數(shù)在對應(yīng)區(qū)
間單調(diào),可以利用單調(diào)性求最值或值域.
9.己知常數(shù)。>°且a*1,無論a取何值,函數(shù)'=b8"(3苫-5)-4的圖像恒過一個定點,則此定
點為?
【答案】Qi)
【分析】利用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知,只需令3x-5=1即可求出了=(3、一5)-4的圖像恒過的定點的
坐標.
【詳解】因為y二噫”的圖像必過0,°),即bg」=°,
當3x-5=l,即x=2時,V=log“(3x-5)-4=-4,
從而y=log.(3》-5)-4圖像必過定點(2,T)
故答案為:(2,-4).
10.已知集合/={x1(a-M+3x-2=0}有且僅有兩個子集,則實數(shù)0=
【答案】1或一1
【分析】結(jié)合已知條件,求出(a-Dx2+3x-2=°的解的個數(shù),然后對參數(shù)分類討論,并結(jié)合一元
二次方程的根的個數(shù)與判別式之間的關(guān)系求解即可.
【詳解】若4恰有兩個子集,所以關(guān)于x的方程恰有一個實數(shù)解,
2
x=-
①當。=1時,3,滿足題意;
②當。工。時,△=8。+1=0,所以“8,
綜上所述,。=1或”一.
故答案為:1或一£
U設(shè)/(x)="2-(a+l)x+l,”d一于力,若函數(shù)V=/(x)在定義域上滿足:①是非奇非偶函
數(shù);②既不是增函數(shù)也不是減函數(shù);③有最大值,則實數(shù)a的取值范圍是.
【答案】I2)
【分析】對①:根據(jù)奇偶函數(shù)的定義可得a*T;對②:分類討論可得二次項系數(shù)小于零,且對
稱軸為“2a2,2)t求出。的取值范圍;對③:結(jié)合②中所求的范圍驗證即可.
【詳解】對①:..."x)+/(-x)=W-(a+l)x+fHa(T)2-(“+l)(-x)+l]=232+l)wO,即
故/(X)不是奇函數(shù);
若/(X)是偶函數(shù),則"x)-"r)=W-(a+l)x+lH"r)2-(a+l)(-x)+l]=-2(a+l)x=0,
可得a+l=O,Bpa=-1.
故若/(X)是非奇非偶函數(shù),則4*7;
對③:若/(X)在I22J上有最大值,則有:
當”=0時,則/(x)=r+l在I22J上單調(diào)遞減,無最值,不合題意;
_。+1
當"0時,則/(x)=_2_("+l)x+l為二次函數(shù)且對稱軸為x_2a,
a<0
Ia+\\1
——<——<—a<—
由題意可得122a2,解得2,
r_in_)_
故若/(X)在l2'2)上有最大值,貝a/<〈一5;
]_a+11)
對②:若”一5,則/。)=--(。+1卜+1開口向下,且對稱軸為“2a'5'],
故/(x)在I上既不是增函數(shù)也不是減函數(shù);
(_°°)-i)uf—1,——
綜上所述:實數(shù)。的取值范圍為I2
(-00,-1)U|-1,—1j
故答案為:I2人
12.已知feR,集合4=口+1]3,+4,/+9],OgA)若存在正數(shù)"對任意”4,都有°仁,
則t的所有可能的取值組成的集合為.
【答案】{If##?}
【分析】根據(jù)題意按照,>0,,<-9,-4<f<7分類討論,利用集合的包含關(guān)系即可列出不等式
組,解出即得解.
【詳解】???()£/,則只需考慮下列三種情況:
.-.-e—U—
aG+l]U'+4"+9]
(1)當,>。時,a"+9r+4jU+lt
A44/i?!
--------------------------
又力>0,貝dZ+9t+4]\_t+lt\
幾4IIAA,r--1A,A,||A,A,r.ci
v—eA——~U—=山+1]—--U—q,+4,/+9]
a,所以U+9f+4」U+lt\''或L+9f+4」L+lt\」或
AA,rqAXr.ci
779山+卜+燈
<t+9
①當[f+9)+41[f+l、[*,+時,[/-'+,即5+9)4/l4f(f+l),而易知,
(+9)>(+1),所以這樣的工不存在;
—^―N/+4
£+9
4XII'■丸「1/1Q14c
②當仁加才「["T715'+]時,,即(,+仇+9)4444+9),顯然這樣
的2不存在;
z___z_-1AAr-I
③當[f+9)+4G\t,t+*]>-[>7u[f+4,r+9]
時,
——>t
t+9
—<t+\
一+4
-^->Z+4
1+1
2/(1+9)?4W/(t+9)
.?,可得:.C+l)C+4)4,4(,+l)C+4),.,.幾=f(/+9)=(/+l)(f+4),解得f=l
(2)當,+9<。時,即當,<-9時,與(i)同理,解得,=1,不合題意,舍去;
\,八---,——u『+4,f+9],二一,一cP,z+ll
(3)當口+4>0時,即當時,只有L+9,+4」[f+1tJ
r+1
-<t+\
-^―>Z+4
f+9
——<r+9
(7+44=(+l)=C+4)0+9),解得,=-3
所以可得:
綜上所述:/=[或—3
{1,-3}
故答案為:
【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題考查利用集合與元素的關(guān)系求解參數(shù)的取值問題,關(guān)鍵在于能夠通過
4
,的不同取值范圍,得到。與Z所處的范圍,從而能夠利用集合的上下限得到關(guān)于幾的等量關(guān)系,
從而構(gòu)造出關(guān)于,的方程;難點在于能夠準確地對,的范圍進行分類,對于學(xué)生的分析和歸納能力有
較高的要求.
二、單選題
13.已知a>b,其中a、heR,則下列不等式一定成立的是()
A./>/B-a>-bc.公孤D.同,網(wǎng)
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件,利用不等式性質(zhì)判斷B,C;舉例說明判斷A,D作答.
【詳解】對于A,取"1,6=-2,滿足a>b,而/=i<4=〃,故A錯誤;
對于B,因。>人,則-“<-6,故B錯誤;
對于C,由不等式的性質(zhì)知,若a>b,則折>逐,故C正確;
對于D,取滿足a>b,而|止1<2=|6],故D錯誤.
故選:C
14.設(shè)xeR,貝是的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】解不等式,一“<2得一l<x<3,然后判斷充分性和必要性即可.
【詳解】解不等式卜一1<2得
當-l<x<3時-l<x<5一定成立,但是當-l<x<5時,-l<x<3不一定成立,所以“上一1|<2?是
T<x<5的充分不必要條件.
故選:A.
15.設(shè)集合/、8、C均為非空集合,下列命題中為真命題的是()
A.若4cB=BcC,則/=CB.若B=BuC,則/=C
C.若4uB=BcC,則Cu8D,若/口5=811。,則CC
【答案】D
【分析】取特例,根據(jù)由集合的運算關(guān)系可判斷ABC,根據(jù)集合的交、并運算,子集的概念可判
斷D.
【詳解】對于A,4cB=BcC,當"={1,2},8={1},。={1,2,3}時,結(jié)論不成立,則A錯誤;
對于B,=當/={1,2},8={3},6={1,2,3}時,結(jié)論不成立,則B錯誤;
對于C,AuB=BcC,當/={1},B={1,2},C={1,2,3}時,結(jié)論不成立,則c錯誤;
對于D,因為AC\B=B{jCt所以BuC1B,又8±8UC,所以8=8UC,則
CjB,則D正確.
故選:D
16,已知/O*”,若關(guān)于'的方程"(X)—"/(X)一“一”=1有且僅有兩個不同的整數(shù)解,
則實數(shù)〃的取值范圍是().
A.-萬'jB.-50)C.[刈D.{°}
【答案】A
【分析】根據(jù)方程=等價于/G)2a且“x)4a+l
,將問題轉(zhuǎn)化為
/(x)的圖象夾在直線y=〃和y="+1
之間的部分有且僅有兩個整數(shù)解求解.
【詳解】解:要使方程相)-4+匹)-”“=1,
當且僅當且/GT"十】,
即方程等價于且/G)Va+l,
即?!?)4。+1,
所以方程W(x)-4+/(x)-"-"=l有且僅有兩個不同的整數(shù)解,
即/(x)的圖象夾在直線夕="和y="+i之間的部分有且僅有兩個整數(shù)解,
所以要使"'/。卜"+1的整數(shù)解有且僅有兩個解,
則其中一個整數(shù)解為0和-1,
a<0
,11311
—4。+1<——Wa<—
即124,解得2-4,
故選:A
三、解答題
17.已知集合”=崗。-2<》<。+2},八卜片>°[
⑴求集合8;
QW求實數(shù)。的取值范圍.
[答案]⑴8={巾"或x<-l}
(2)(-8,-3]34,+°°)
【分析】(1)根據(jù)分式不等式求解集合8;
(2)根據(jù)集合的包含關(guān)系運算求解.
【詳解】⑴???x-2>,則(x+l)(x-2)>0,解得述>2或x<-l,
故5=種〉2或2.
(2)若/=貝ij"2N2或a+24-l,即或“4-3,
故實數(shù)a的取值范圍為(F'TIUK,”)
18.已知?。?/+改+。.
(1)若函數(shù)'有零點,求實數(shù)0的取值范圍;
(2)若方程/(")=°有兩個實根心三,求X;+后的最小值.
【答案】(1)(-8,°]U[4,+OO)
(2)0
【分析】(1)根據(jù)題意集合二次函數(shù)的△判別式運算求解;
(2)利用韋達定理整理可得x:+*=/-2a,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.
【詳解】(1)由題意可得:A=a2-4a>0,解得aN4或a40,
故實數(shù)a的取值范圍為(一°°⑼34,長0)
(2)由/G)=x2+ax+a=0,可得演+%=-凡為與=°,
2
則X;+%2=(玉+/)-2%^2=a-2a
...y=/_2a的對稱軸為°=i,
注意到ae(-8,°]u[4,+8),則當a=0時,/_2a取到最小值°,
即才+考的最小值為0.
19.某城市2023年1月1日的空氣質(zhì)量指數(shù)(簡稱40/))與時間x(單位:小時)的關(guān)系
滿足下圖連續(xù)曲線,并測得當天N。/的最大值為103.當xe10[4]時,曲線是二次函數(shù)圖
像的部分;當xe°4,24]時,曲線是函數(shù),=l02-log2(x-13)圖像的一部分.根據(jù)規(guī)定,空氣質(zhì)量
指數(shù)的值大于或等于100時,空氣就屬于污染狀態(tài).
⑴求當xe[0,14]時,函數(shù)卜=/00的表達式;
(2)該城市2023年1月1日這一天哪個時間段的空氣屬于污染狀態(tài)?并說明理由.
【答案】(/3=一*72)2+1。3心[0叫
⑵[12-2島7],理由見詳解
【分析】(1)根據(jù)圖象結(jié)合二次函數(shù)運算求解;
小)=卜:(12)2+103”[0,14]
⑵由⑴可得[102-log2(x-13),xe(14,24](分類討論解不等式"x"⑼即可得結(jié)果.
【詳解】(1)當xe[°」4]時,有圖像可得:二次函數(shù)開口向下,頂點坐標為°2,1°3),且過
(10,102),(14,102)
可設(shè)/(x)=a(x-12)2+103,"0
代入點0°1°2)可得。(*12)2+103=102,解得
故當xe[0,14]時,/(X)=-*T2)2+103
/(x)=H(12)2+103,xe[0,14]
102-log(x-13),xe(14,24]
(2)由(1)可得:2
當俎。,14]時,令人)=-:(12)2+心1。。,解得12_2尺臼4;
當xe(14,24]時,令/。)=102-皿。-13竺100,解得14<X417;
綜上所述:當百,17]時,空氣屬于污染狀態(tài)
f(x)=-
20.已知.''4-x2.
(1)判斷并證明函數(shù),=/(*)的奇偶性;
(2)判斷并證明函數(shù)夕=/0)在區(qū)間Q,+8)上的單調(diào)性;
(3)根據(jù)函數(shù))‘=/(”)的性質(zhì),畫出函數(shù)卜=/(X)的大致圖像.
【答案】(1)偶函數(shù);
(2)單調(diào)遞增;
(3)詳見解析.
【分析】(1)利用函數(shù)的奇偶性的定義判斷;
(2)利用函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷;
(3)根據(jù)函數(shù)的定義域,單調(diào)性和奇偶性畫出.
【詳解】(1)解:因為函數(shù)/G)的定義域為(-00'—2)U(-2,2)U(2,+oo)關(guān)于原點對稱,
1
=/G)
又因為4-(-x)4-x2
所以/(X)是偶函數(shù):
(2)任取司02w[2,+oo),且X]<》2,
則4一/4T2,
二項2一/2=Gf)(%+%)
(4-Xl2X4-X22)(4-Xl2X4-X22),
因為王,々€[2,+8),
所以(4-再2X,_々2)>0,X,+x2>0
又因為玉<々,所以玉一々<0,
所以/(3)一/(々)<。,即/(工1)</(%2),
所以函數(shù)/(X)在區(qū)間(2,+8)上單調(diào)遞增;
(3)由(2)同理可得,(X)在區(qū)間1°,2)上單調(diào)遞增,
由(1)知/G)是偶函數(shù),則/(X)在(-8,-2)和(-2,0]上單調(diào)遞減,
所以其圖象如圖所示:
為
r--1—r—?-------------1—?---------T-----------1-r--i---
IIII?iiii
LJ.1IIIIII1
21.已知函數(shù)了二/。)的定義域為。,區(qū)間"U。,若存在非零實數(shù),使得任意xe"都有
x+teD,且/(x+,)>/(x),則稱了=/(')為加上的”增長函數(shù).
3_
⑴已知/(x)="判斷函數(shù)'=/(")是否為區(qū)間[T°]上的5一增長函數(shù),并說明理由;
(2)已知〃>0,設(shè)g(x)=x;且函數(shù)》=g(x)是區(qū)間卜4-2]上的〃-增長函數(shù),求實數(shù)〃的取值范
圍;
(3)如果函數(shù)尸"(")是定義域為R的奇函數(shù),當北。時,卜一/卜"2,且函數(shù)尸"(X)為
R上的4-增長函數(shù),求實數(shù)。的取值范圍.
【答案】(1)是,理由見詳解
(2)3+°0)
(3)(一1」)
【分析】(1)根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析運算:
(2)根據(jù)題意整理可得2〃x+〃2>°對Vx*[-4,-2]恒成立,根據(jù)恒成立問題結(jié)合一次函數(shù)分析運算;
(3)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,先取特值x=-M,可求得再證明當時,對任意
xeR,均有人。)<g+4)
3_
【詳解】(1)數(shù))’=/(x)為區(qū)間卜1'°]上的萬一增長函數(shù),理由如下:
由題意可知:/。)=、在口匕單調(diào)遞增,
對Vxe[-l,O],則2,可得(2),
3_
故函數(shù)y=/G)為區(qū)間[T,°]上的5-增長函數(shù).
(2)若函數(shù)g(x)=x?是區(qū)間14-2]上的〃一增長函數(shù),
可得對心€卜4,一21則g(x+〃)>g(x),即0+〃)2>》2,
可得2nx+”2>0對TxG[T,12]恒成立,
-8〃+/〉o
<一4〃+/>0
則,解得〃>8,
故實數(shù)〃的取值范圍為(&+°°).
22X,()X<a
h(x)^\x-a\-a=[~-2\
(3)由題意可得:[x-2a,x>a-(
...函數(shù),=〃(x)是定義域為R的奇函數(shù),
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