數(shù)值分析良2減少誤差計(jì)算原則

避免絕對(duì)值小的數(shù)作除數(shù)避免兩個(gè)相近的數(shù)據(jù)相減要防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)盡量減少計(jì)算工作量選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法二、數(shù)值計(jì)算中的一些基本原則避免絕對(duì)值小的數(shù)作除數(shù)這一原則主要指盡量避免除數(shù)絕對(duì)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于被除數(shù)絕對(duì)值的除法。設(shè) （

x≠0），如果

x的絕對(duì)值遠(yuǎn)小于

y的絕對(duì)值，由于避免兩個(gè)相近的數(shù)據(jù)相減如果y

≈x，現(xiàn)分析兩個(gè)數(shù)的近似數(shù)作減法所得結(jié)果的誤差.

設(shè)

z=

y

–

x，則利用誤差估計(jì)有相對(duì)誤差估計(jì)當(dāng)y≈x時(shí)，有z≈0，計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差限可能很大，導(dǎo)致數(shù)值計(jì)算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)減少。+4=1.0000000000000×1013+0.0000000000004×1013要防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)一個(gè)絕對(duì)值很大的數(shù)和一個(gè)絕對(duì)值很小的數(shù)直接相加時(shí)，很可能發(fā)生所謂“大數(shù)吃小數(shù)”的現(xiàn)象。例如，a=1013，b=4，設(shè)想這兩個(gè)數(shù)在具有12位浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算機(jī)系統(tǒng)（12位有效位數(shù)系）中相加a

+

b=

1013實(shí)際加法操作如下Sk=

Sk－1xk+

ak

，（

k=

1，2，…，n

）盡量減少計(jì)算工作量在考慮算法時(shí)應(yīng)注意簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)。計(jì)算工作量小的算法不僅節(jié)約運(yùn)行時(shí)間，而且使誤差積累小。例2

設(shè)計(jì)算法用于計(jì)算多項(xiàng)式算法一：S

0=

a0

，Pn（x）=

Sn計(jì)算一個(gè)n

次多項(xiàng)值需要用2n

次乘法。盡量減少計(jì)算工作量另一種典型算法是秦九韶算法算法二：Sn=

an，Sk－1=

a

k

－1+

xSk，（k=

n，n－1，…，1），Pn（x）=

S0計(jì)算一個(gè)n

次多項(xiàng)值需要用n

次乘法。選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法不同的算法在執(zhí)行過程中對(duì)數(shù)據(jù)誤差的影響是不一樣的。舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果影響不大的算法被稱為數(shù)值穩(wěn)定的算法.In=

e

-101x

n

e

x

dx例3

利用遞推式計(jì)算定積分(n=0，1，2，…，20

)的值。算法一：其中得遞推關(guān)系式利用遞推式可得20個(gè)數(shù)據(jù)如下表：10x

e

dxn

nS10.36787944117144S110.

07735222935878S20.26424111765712S120.

07177324769464S30.20727664702865S130.

06694777996972S40.17089341188538S140.

06273108042387S50.14553294057308S150.

05903379364190S60.12680235656152S160.

05545930172957S70.11238350406936S170.

05719187059731S

8

1￡

(max

ex

)

x0.

10093196744509n

dx

=

e

S18-0.

029453670751540￡Sx￡190n

0+1.09161229299417S191.

55961974427919S100.08387707005829S20-30.

19239488558378對(duì)積分值有估計(jì)式：算法二：由遞推公式有由In

的估計(jì)式取有利用遞推式可得20個(gè)數(shù)據(jù)如下表：S10.36787944117144S110.07735222886266S20.26424111765712S120.07177325364803S30.20727664702865S130.06694770257562S40.17089341188538S140.06273216394138S50.14553294057308S150.05901754087930S60.12680235656153S160.05571934593124S70.11238350406930S170.05277111916899S80.10093196744559S180.05011985495809S90.09161229298966S190.04772275579621S100.08387707010