第7章熱傳導(dǎo)課件

有內(nèi)熱源存在時(shí)的熱傳導(dǎo)方程為式(6-27a)在不同坐標(biāo)系的一般形式如下：直角坐標(biāo)系：柱坐標(biāo)系：球坐標(biāo)系：求解熱傳導(dǎo)的規(guī)律問題，即解出上述微分方程，獲得溫度

t與時(shí)間θ及位置(

x,y,z)的函數(shù)關(guān)系，即不同時(shí)刻溫度在空間的分布(溫度場(chǎng))。所得的解為t=

f(θ,x,y,z)，它不但要滿足式(7-1)或式(7-2)、式(7-3)，而且要滿足每一問題的初始條件與邊界條件。第一節(jié)

穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)一、無內(nèi)熱源的一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)對(duì)于無內(nèi)熱源的一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)，已知條件又設(shè)沿

x或

r方向進(jìn)行一維導(dǎo)熱，則代入熱傳導(dǎo)方程式(7-1)～式(7-1)，可簡(jiǎn)化為一維的Laplace方程，直角坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系(一)單層平壁一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)單層平壁一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)，當(dāng)熱導(dǎo)率

k為常數(shù)時(shí)，式(7-4)即為描述該導(dǎo)熱過程的微分方程，即設(shè)邊界條件為將式(7-4)積分兩次，可得代入邊界條件，可得將C1、C2代入式(7-7)，得溫度分布方程，即由式(7-8)可知，平壁穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)過程的溫度分布為一直線。根據(jù)Fourier定律，通過x處的導(dǎo)熱通量將式(7-8)對(duì)

x求導(dǎo)，得代入式(7-9)，得或由式(7-10)可知，熱通量q/A和傳熱速率

q是與x

無關(guān)是常量。(二)單層筒壁的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)若筒壁很長(zhǎng)，即

L>>r，則沿軸向的導(dǎo)熱可忽略不計(jì)，且溫度分布沿軸向?qū)ΨQ，可認(rèn)為溫度僅沿徑向變化。對(duì)于無內(nèi)熱源的單層筒壁的一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)，可用式(7-5)表征熱傳導(dǎo)方程，即設(shè)邊界條件為對(duì)式(7-5)積分兩次，可得代入邊界條件，可得將C1、C2代入式(7-11)，得溫度分布方程，即式(7-12)表明，通過筒壁進(jìn)行徑向一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)時(shí)，溫度分布是半徑r的對(duì)數(shù)函數(shù)。通過半徑為

r的筒壁處的傳熱速率或熱通量的計(jì)算柱坐標(biāo)系的

Fourier定律，即q

—半徑r處的導(dǎo)熱速率；q/Ar—半徑r處的熱通量；r—徑向坐標(biāo)；dt/dr—r處的溫度梯度；L—筒壁長(zhǎng)度；Ar—半徑r處導(dǎo)熱面積，

。導(dǎo)熱面積Ar

是半徑r的函數(shù)。將式(7-12)對(duì)

r求導(dǎo),得：代入式(7-13)，得即式(7-14)即為單層筒壁的導(dǎo)熱速率方程。傳熱速率

q與半徑

r無關(guān)，是常量。由式(7-14)可得單位筒長(zhǎng)導(dǎo)熱速率，即單位筒長(zhǎng)導(dǎo)熱速率與半徑

r無關(guān)，是常量。代入式(7-13a),得即由式(7-14a)可知，熱通量q/Ar

隨半徑

r而變。由式(7-14)，即可知，傳熱速率

q與半徑

r無關(guān)，是常量，亦即或式(7-14)亦可寫成與平壁導(dǎo)熱速率方程式(7-10)相類似的形式，即式(7-17)與式(7-14)對(duì)比可知或

式中

rm—筒壁的對(duì)數(shù)平均半徑；Am—筒壁的對(duì)數(shù)平均面積。當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)平均值近似等于算術(shù)平均值，即二、有內(nèi)熱源的一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)若柱體很長(zhǎng)，即

L>>r，則沿軸向的導(dǎo)熱可忽略不計(jì)，且溫度分布沿軸向?qū)ΨQ，可認(rèn)為溫度僅沿徑向變化。對(duì)于有內(nèi)熱源的柱體沿徑向的一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)，柱坐標(biāo)系的能量方程式(7-2)，即可簡(jiǎn)化為式(7-19)為具有內(nèi)熱源、沿徑向做一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)的能量方程。若內(nèi)熱源均勻，則為常數(shù)。對(duì)式(7-19)進(jìn)行一次積分，得再積分一次，得由邊界條件可確定積分常數(shù)C1、C2，代入式(7-21)求得柱體內(nèi)的溫度分布。[例7-4]有一半徑為R、長(zhǎng)度為L(zhǎng)的實(shí)心圓柱體，其發(fā)熱速率為，圓柱體的表面溫度為

ts

，L>>

R，溫度僅為徑向距離的函數(shù)。設(shè)熱傳導(dǎo)是穩(wěn)態(tài)的，圓柱體的熱導(dǎo)率

k為常數(shù)，試求圓柱體內(nèi)的溫度分布及最高溫度處的溫度值。解：柱體內(nèi)一維徑向穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)時(shí)的溫度分布方程為依題意，設(shè)邊界條件為由邊界條件(2)可得將上式代入式(7-20)，即并取r=R，即得故將及邊界條件(1)代入式(7-21)，得最后得到溫度分布方程為由于圓柱體向外導(dǎo)熱，最高溫度應(yīng)在圓柱體中心處，即上兩式聯(lián)立得溫度分布方程，無量綱形式為三、二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)對(duì)于無內(nèi)熱源的二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)，已知條件為代入熱傳導(dǎo)的基本微分方程式(7-1),即得該式為無內(nèi)熱源的二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)微分方程(二維Laplace方程)。根據(jù)式(7-22)求出的溫度分布

t=f(x,y)為一連續(xù)曲面，若將連續(xù)變化的偏微分方程用差分方程近似表達(dá)，則可通過數(shù)值計(jì)算法求出溫度分布。(一)物體內(nèi)部的結(jié)點(diǎn)溫度方程將物體分割成若干個(gè)由組成的小方格，分割線的交點(diǎn)稱為結(jié)點(diǎn)。及的長(zhǎng)度根據(jù)計(jì)算精度的要求選取。將式(7-22)近似地寫成差分形式，即令，則有該式稱為物體內(nèi)部的結(jié)點(diǎn)溫度分布方程，它表示任一結(jié)點(diǎn)(i,j)的溫度

ti,j

與鄰近

4個(gè)結(jié)點(diǎn)溫度之間的關(guān)系，即為鄰近

4個(gè)結(jié)點(diǎn)溫度的算術(shù)平均值。(二)物體邊界上的結(jié)點(diǎn)溫度方程處于物體表面的結(jié)點(diǎn)，由于外界的影響，其溫度不能用式(7-23)來表達(dá)，需要根據(jù)具體情況來建立。1.絕熱邊界取垂直紙面的距離為單位長(zhǎng)度。對(duì)虛線包圍的微元作熱量衡算，得

令，則有2.一般對(duì)流邊界設(shè)周圍流體的主體溫度為

tb，且維持不變，微元體表面與流體之間的對(duì)流傳熱系數(shù)為

h，亦維持不變，對(duì)虛線包圍的微元作熱量衡算，得令，則有

即3.對(duì)流邊界上的外角對(duì)虛線包圍的微元作熱量衡算，得令，則有

整理得4.對(duì)流邊界上的內(nèi)角對(duì)虛線包圍的微元作熱量衡算，得

令，則有整理得(三)二維穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)的結(jié)點(diǎn)溫度方程組式(7-23)、式(7-24)表示無內(nèi)熱源二維穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)中各結(jié)點(diǎn)溫度之間的關(guān)系，各式均為線性代數(shù)方程。求解溫度場(chǎng)時(shí)，可根據(jù)物體內(nèi)部及邊界情況，并考慮精度要求，將物體分割成若干個(gè)等邊的小方格，將分割線的交點(diǎn)統(tǒng)一編號(hào)(i=1,2,…,n)，然后根據(jù)每個(gè)結(jié)點(diǎn)所在的位置分別寫出相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)溫度方程，從而得到整個(gè)溫度場(chǎng)的結(jié)點(diǎn)溫度方程組，即ai,j

和

bi(i

=1,2,…,n)均為常數(shù)，ti

(i=1,2,…,n)為未知溫度。式(7-25)為線性方程組，共有

n個(gè)方程，未知溫度亦為

n個(gè)，求解此方程組即可求出

ti

(i=1,2,…,n)的數(shù)值，于是整個(gè)溫度場(chǎng)即可求出。

第二節(jié)不穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)物體內(nèi)任一點(diǎn)的溫度均隨時(shí)間而變化的導(dǎo)熱稱為不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。求解不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題時(shí)，需要應(yīng)用熱傳導(dǎo)方程式(7-1)、式(7-2)或式(7-3)，并須滿足具體的初始條件和邊界條件。通過求解滿足這些定解條件的微分方程，求得溫度分布隨時(shí)間的變化關(guān)系，從而求得特定時(shí)刻的傳熱速率。初始條件是指在導(dǎo)熱過程開始的瞬時(shí)物體內(nèi)部的溫度分布情況。邊界條件視具體情況一般可分為3類：第一類邊界條件是給出任何時(shí)刻物體端面的溫度分布；第二類邊界條件是給出所有時(shí)刻物體端面處的導(dǎo)熱通量；第三類邊界條件是物體端面與周圍流體介質(zhì)進(jìn)行熱交換，端面處的導(dǎo)熱速率等于端面與流體之間的對(duì)流傳熱速率。

不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程中傳熱速率取決于介質(zhì)內(nèi)部熱阻和表面熱阻。一、忽略內(nèi)部熱阻的不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱—集總熱容法有一熱的金屬小球，浸泡在冷流體中。不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程中，傳熱速率取決于固體內(nèi)部熱阻和表面熱阻。亦即小球內(nèi)部的溫度分布除與材料的熱導(dǎo)率有關(guān)外，還與小球表面和周圍流體的對(duì)流傳熱系數(shù)有關(guān)。若固體的熱導(dǎo)率很大或內(nèi)熱阻很小，而環(huán)境流體與固體表面之間的對(duì)流傳熱系數(shù)很小或?qū)α鱾鳠釤嶙栎^大，便可忽略內(nèi)熱阻，即認(rèn)為在任一時(shí)刻固體內(nèi)部各處的溫度均勻一致，溫度梯度主要產(chǎn)生于小球表面的流體層內(nèi)。設(shè)金屬球密度ρ，比熱容cp，體積V

，表面積A，初使溫度均勻?yàn)閠0

，環(huán)境流體的主體溫度恒定為tb，流體與金屬球表面的對(duì)流傳熱系數(shù)為

h，且不隨時(shí)間變化。球坐標(biāo)系的熱傳導(dǎo)方程為由于金屬球的內(nèi)熱阻可忽略，溫度與位置無關(guān)，即故式(7-3)簡(jiǎn)化為因，金屬球發(fā)熱速率等于表面對(duì)流傳熱速率，即代入式(7-26)，得因故上式應(yīng)為初始條件為由于物體的溫度僅隨時(shí)間改變而與位置無關(guān)，不存在邊界條件。令，則式(7-26a)可化為初始條件為積分式(7-27)，得或該式即為忽略物體內(nèi)熱阻情況下物體溫度與時(shí)間的定量關(guān)系式。指數(shù)中的量可整理如下：令

Fo

稱為Fourier數(shù)，其物理意義表示時(shí)間之比，即無量綱時(shí)間。令

Bi

稱為

Biot

數(shù)，其物理意義為

Bi表示物體內(nèi)部的導(dǎo)熱熱阻與表面對(duì)流熱阻之比。當(dāng)Bi大時(shí)，表示傳熱過程中物體內(nèi)部的導(dǎo)熱熱阻起控制作用，物體內(nèi)部存在較大的溫度梯度。不能采用集總熱容法。當(dāng)Bi小時(shí)，表示物體內(nèi)部的熱阻很小，表面對(duì)流傳熱的熱阻起控制作用，在起控制作用，物體內(nèi)部的溫度梯度很小，在同一瞬時(shí)各處溫度較為均勻。

將式(7-30)、式(7-31)代入式(7-28)得研究表明，當(dāng)Bi<0.1時(shí)，系統(tǒng)的傳熱可用集總熱容法處理，此時(shí)可用式(7-28)或式(7-32)計(jì)算物體溫度與時(shí)間的關(guān)系，其結(jié)果與實(shí)際比較不超過5％。二、忽略表面熱阻的不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱忽略表面熱阻的不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程發(fā)生在表面熱阻比內(nèi)阻很小的情況，即Bi

>>

0.1時(shí)，由于表面熱阻可忽略，表面溫度

ts

在

θ′>0

的所有時(shí)間內(nèi)均為一個(gè)常數(shù),其數(shù)值基本等于環(huán)境溫度。(一)半無限大固體的不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱半無限大固體是指從

x

=

0

的界面開始向正的

x方向及其它兩個(gè)坐標(biāo)(y,z)方向無限延伸的物體。在導(dǎo)熱開始時(shí)，物體的初始溫度為

t0，然后突然將左端面的溫度變?yōu)?/p>

ts，且維持不變。假設(shè)除物體的左右兩端面外，其它表面均絕熱。由于右端面在無限遠(yuǎn)處，其溫度在整個(gè)過程中均維持導(dǎo)熱開

始時(shí)的初始溫度t0不變。

這類導(dǎo)熱問題可視為沿

x

方向的無內(nèi)熱源的一維導(dǎo)熱問

題。柱坐標(biāo)系的熱傳導(dǎo)方程為對(duì)于沿

x方向的無內(nèi)熱源的一維導(dǎo)熱，即式(7-2)化簡(jiǎn)為(用

θ

表示時(shí)間)初始條件和邊界條件為采用合成變量法求解式(7-33)引入變量η，即令于是有

將式(7-35)、式(7-36)代入式(7-33)，整理得式(7-37)中的自變量?jī)H為η，故可寫成常微分方程，即式(7-38)對(duì)應(yīng)的定界條件為令將式(7-39)代入式(7-38)，得將式(7-40)分離變量并積分，得將式(7-41)積分，得將定解條件(2)代入式(7-42)，得故得再將定解條件(1)代入式(7-42)，得故得將C1、C2代入式(7-42)，得或式中誤差函數(shù)為式(7-44)即為半無限大固體在加熱或冷卻過程中不同時(shí)刻的溫度分布表達(dá)式。式中可視為在

θ

瞬時(shí)物體某一位置x處的溫度t同左端面溫度ts

之差與最大溫度差之比。當(dāng)時(shí)，表示物體某位置x處的溫度已經(jīng)冷卻或加熱到了左端面的溫度ts

，此時(shí)由式(7-44)知查得由于

x

為一有限值，所以

θ=

∞，即需要無限長(zhǎng)時(shí)間物體各處(除左端面外)才能達(dá)到左端面的溫度

ts

。但實(shí)際情況是，經(jīng)過某一足夠長(zhǎng)的時(shí)間之后，t即開始以漸進(jìn)的方式趨近于ts

。半無限大物體不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱時(shí)的熱流速率半無限大物體的初始溫度為t0，當(dāng)其左端面溫度突然變?yōu)?/p>

ts

且維持不變時(shí)，單位時(shí)間經(jīng)左端面流入物體或自物體流出的熱量可由Fourier定律計(jì)算。設(shè)左端面的面積為A，則瞬時(shí)的導(dǎo)熱通量為由式(7-43)求得由式(7-34)求得故上式代入式(7-45)，得即式(7-46)即為半無限大物體不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程中,瞬時(shí)通過

x

=

0

平面的熱通量表達(dá)式。在0～θ

時(shí)間內(nèi)通過x

=

0平面的總熱量為積分得(二)兩個(gè)端面均維持恒定溫度的大平板的不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱假定除垂直于平板兩端面的方向外，其它側(cè)面上所傳導(dǎo)的熱量均可忽略不計(jì)，在此情況下，具有兩個(gè)平行端面的大平板中的導(dǎo)熱問題，可視為一維導(dǎo)熱問題處理。兩個(gè)端面相互平行，設(shè)其間距為

2l，平板的初始溫度

t0

各處均勻?，F(xiàn)令兩個(gè)端面的溫度突然變?yōu)?/p>

ts，且在整個(gè)導(dǎo)熱過程中維持不變。熱傳導(dǎo)方程仍為式(7-33)

，即初始條件平板兩端面維持恒定條件，即第一類邊界條件采用分離變量法求解熱傳導(dǎo)方程，并滿足初始條件和邊界條件。引入無量綱數(shù)無量綱溫度無量綱長(zhǎng)度無量綱時(shí)間依式(7-48)～式(7-50)，可求得將上述結(jié)果代入式(7-33)

，得相應(yīng)的定界條件變?yōu)槭?7-51)中的L*和Fo

為自變量，而T*為函數(shù)。為線性齊次偏微分方程，可采用分離變量法求解。因令于是有將上述結(jié)果代入式(7-51)

，得分離變量，得固有只有當(dāng)上式中的常數(shù)小于零時(shí)，該式才可能有滿足定解條件的非零解，所以設(shè)λ

稱為特征值。由式(7-54)

，可得分別對(duì)上兩式求解，得將式(7-57)、式(7-58)

代入式(7-52)，得或積分常數(shù)A、B可有定解條件(1)、(2)、(3)確定。

應(yīng)用邊界條件(3)，即將式(7-59)對(duì)L*求導(dǎo)數(shù)，即將邊界條件(3)代入式(7-60)，得因，故于是式(7-59)變?yōu)閼?yīng)用邊界條件(2)，即將邊界條件(2)代入式(7-62)，得由于A=0，故B≠0，則由式(7-63)可得由式(7-64)可知，特征值λ

可以有無限多個(gè)，即將式(7-65)中的λi值代入式(7-62)，得式(7-66)為式(7-51)的一個(gè)特解。線性齊次方程式(7-51)的通解為應(yīng)用邊界條件(1)，即將邊界條件(1)代入式(7-67)，得該式為Fourier級(jí)數(shù)，Bi為Fourier級(jí)數(shù)的系數(shù)，由正交性原理得積分得解得或?qū)i

值代入式(7-67)，最后得T*的表達(dá)式為式(7-70)即為式(7-33)的解。該式表示平板兩個(gè)平行端面維持恒溫情況下進(jìn)行導(dǎo)熱時(shí)某瞬間板內(nèi)的溫度分布。由給定的時(shí)間和位置定出Fo

和L*

，然后通過該式計(jì)算

T*

，最后即可得到給定的時(shí)間和位置條件下的溫度t值。式(7-70)還可以用于平板一個(gè)端面絕熱，另一個(gè)端面驟然升溫至

ts

情況下的導(dǎo)熱計(jì)算。由于大平板的溫度分布在中心面兩側(cè)完全對(duì)稱，因此中心面的溫度梯度為零，即這也是絕熱情況下的邊界條件，因此一個(gè)端面絕熱平板的不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題完全可以用式(7-70)計(jì)算。關(guān)于防火墻問題墻的一面驟然被加熱至ts，熱流不穩(wěn)定地通入墻壁，墻的另一面絕熱，絕熱面的溫度為tc。因?qū)⑸鲜酱胧?7-70)，得即式(7-71)表明：(1)防火墻材料的熱導(dǎo)率應(yīng)越小越好,而比熱容和密度應(yīng)越大越好。假定，代入式(7-71)并取級(jí)數(shù)的第一項(xiàng)，得可知，絕熱面溫度

tc

隨

α

的減小而減小，亦即

k

減小或

ρcp增大均會(huì)使

α

減小，從而使

tc

降低。(2)絕熱面溫度升高到某一定值所需的時(shí)間與墻壁厚度的平方成正比。由式(7-71)可知而所以，當(dāng)

θ

和

l2

做同樣程度的改變時(shí)將不影響絕熱面溫度的變化，亦即絕熱面溫度升高到某一定值所需的時(shí)間與墻壁厚度的平方成正比。三、內(nèi)部熱阻和表面熱阻均不能忽略時(shí)的大平板的不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱假定大平板的厚度為2l，其初始溫度t0均勻，然后突然將其置于主體溫度為tb

的流體中，兩端面與流體之間的對(duì)流傳熱系數(shù)h為已知。熱流沿x方向亦即垂直于兩端面的方向流動(dòng)。在此情況下熱傳導(dǎo)方程仍為式(7-33)

，即初始條件兩平板端面與周圍介質(zhì)有熱交換，即第三類邊界條件

ts(θ)為任一瞬時(shí)平板表面的溫度，此溫度隨時(shí)間而變；tb

為流體介質(zhì)的主體溫度，假定為恒定值。采用分離變量法對(duì)式(7-33)求解，并使其滿足定界條件(1)、(2)、(3)，結(jié)果為式中

λi為特征值，通過下式確定通常將特征值

λi表示為將式(7-74)代入式(7-72)，最后得溫度分布方程為式(7-75)表述了大平板兩端面與周圍介質(zhì)有熱交換時(shí)平板內(nèi)部的溫度隨時(shí)間的變化規(guī)律，式中δi值通過式(7-73)和式(7-74)確定。由于應(yīng)用式(7-75)計(jì)算

t與

x、θ

的關(guān)系相當(dāng)麻煩，在工程實(shí)際中，將式(7-75)無量綱化后，繪制成算圖，采用圖算法。無量綱溫度；無量綱時(shí)間相對(duì)熱阻；相對(duì)位置t0—物體的初始溫度；tb—周圍流體介質(zhì)的溫度，為恒定值；t—某一瞬時(shí)、某一位置處的溫度；h—物體表面與周圍流體介質(zhì)之間的對(duì)流傳熱系數(shù)；k,α

—分別為物體的熱導(dǎo)率和熱擴(kuò)散系數(shù)；x1—平板的半厚度或由絕熱面算起的厚度；x—由平板中心面或絕熱面至某點(diǎn)的距離。圖7-8的適用條件：無限大平板(一維)不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱；物體內(nèi)部無熱源；物體的初始溫度均勻，為t0；第三類邊界條件；物體表面的溫度隨時(shí)間而變，但流體介質(zhì)的主體溫度tb為恒定值。圖7-9的適用條件：無限長(zhǎng)圓柱(一維)不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱；物體內(nèi)部無熱源；物體的初始溫度均勻，為t0；第三類邊界條件；物體表面的溫度隨時(shí)間而變，但流體介質(zhì)的主體溫度tb為恒定值。圖7-10的適用條件：球體的不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱；物體內(nèi)部無熱源；物體的初始溫度均勻，為t0；第三類邊界條件；物體表面的溫度隨時(shí)間而變，但流體介質(zhì)的主體溫度tb為恒定值。四、多維不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱將一維分析解推廣到二維和三維導(dǎo)熱問題中的

Newman法則。一平板，其

z

方向?yàn)闊o限大，x和y方向上的長(zhǎng)度分別為

2x1、2y1。物體的熱導(dǎo)率為

k，初始溫度均勻，為

t0?，F(xiàn)驟然將其置于主體溫度為

tb

的流體介質(zhì)中，物體各表面與介質(zhì)間的對(duì)流傳熱系數(shù)為。此情況的導(dǎo)熱為二維(

x,y方向

)的不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，并屬于第三類邊界條件。該物體在時(shí)間θ、位置(x,y)處的無量綱溫度為分別為沿x和y方向進(jìn)行一維不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱時(shí)的無量綱溫度。式(7-80)表明，二維不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，可化為兩個(gè)一維不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題處理，二維不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱時(shí)的無量綱溫度可以用兩個(gè)一維不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的無量綱溫度的乘積表示。可由式(7-75)或由算圖得出。其他形狀的簡(jiǎn)單物體，亦可視為由無限平面和無限長(zhǎng)圓柱等適當(dāng)組合而成。然后將物體的二維或三維導(dǎo)熱問題化為2個(gè)或3個(gè)一維導(dǎo)熱問題處理，而這些一維導(dǎo)熱的解的乘積即為該物體多維導(dǎo)熱問題的解。如圖，邊長(zhǎng)為2x1、2y1、2z1的長(zhǎng)方體，即可視為，各為2x1、

2y1、2z1的大平板相互切割而成。沿

x、y、z各個(gè)方向的不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，在某時(shí)刻θ，某位置(

x,y,z

)處的溫度可采用下式計(jì)算，即又如圖，半徑為

r1、高度為

2x1

的短圓柱體，可視為由無限長(zhǎng)圓柱和無限大平板垂直切割而成。在某時(shí)刻

θ，某位置(x,y,z)處的溫度可采用下式計(jì)算，即五、一維不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的數(shù)值解對(duì)于非規(guī)則的邊界