第一章-概率與分布課件

第一章概率與分布【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解事件等的基本概念及運(yùn)算關(guān)系，統(tǒng)計(jì)概率、主觀概率和概率的基本性質(zhì)。2.了解隨機(jī)變量及其分布函數(shù)的概念。3.掌握古典概率及計(jì)算，概率的加法公式、乘法公式及計(jì)算，條件概率與事件獨(dú)立性的概念及計(jì)算，離散型、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布及性質(zhì)，數(shù)學(xué)期望和方差等常用數(shù)字特征及其性質(zhì)，二項(xiàng)分布、泊松分布、正態(tài)分布等分布的性質(zhì)及概率計(jì)算。4.（技能培養(yǎng)）學(xué)會(huì)用Excel計(jì)算二項(xiàng)分布、泊松分布、正態(tài)分布等常用分布的概率。案例1-1某種彩票每周開獎(jiǎng)一次，每次中大獎(jiǎng)的可能性是十萬(wàn)分之一，若你每周買一張彩票，盡管你堅(jiān)持了十年（每年52周），但是從未中過大獎(jiǎng)。問題：買彩票十年從未中過大獎(jiǎng),該現(xiàn)象是否正常？案例1-2某地區(qū)流行某種傳染病，患者約占3%，為此該地區(qū)的某高校決定對(duì)全校5000名師生進(jìn)行抽血化驗(yàn)?，F(xiàn)有兩個(gè)方案：（1）逐個(gè)化驗(yàn)；（2）按5人一組分組，并將血液混在一起化驗(yàn)，若發(fā)現(xiàn)有問題再對(duì)5人逐個(gè)化驗(yàn)。問題：試比較哪種方案更好？第一節(jié)隨機(jī)事件和概率一、隨機(jī)事件為了研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，我們把各種科學(xué)實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)等統(tǒng)稱為試驗(yàn)（experiment）。如果試驗(yàn)具有下列特點(diǎn)：（1）試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；（3）進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)（randomexperiment），簡(jiǎn)稱試驗(yàn)。

樣本空間（samplespace），記為

。基本事件（elementalevent）或樣本點(diǎn)（samplepoint），記為ω。隨機(jī)事件(randomevent)，簡(jiǎn)稱事件（event），通常用大寫字母A、B、C

表示。事件A發(fā)生。必然事件（certainevent），記為

。不可能事件（impossibleevent），記為

。二、事件間的關(guān)系和運(yùn)算（一）事件的包含與相等（二）事件的和(或并)（三）事件的積(或交)（四）事件的差（五）互不相容事件（六）對(duì)立事件（七）事件的運(yùn)算律（1）交換律：A+B=B+A；AB=BA。（2）結(jié)合律：(A+B)+C=A+(B+C)；(AB)C=A(BC)。（3）分配律：(A+B)C=AC+BC

；

A+(BC)=(A+B)(A+C)。（4）差積轉(zhuǎn)換律：（5）德·摩根(DeMorgan)對(duì)偶律：

事件式與事件的運(yùn)算順序事件式（eventexpression）：以運(yùn)算符號(hào)聯(lián)結(jié)起來的事件表示式。在事件式中，事件的運(yùn)算順序：先求“對(duì)立”，再求“積”，最后求“和”、“差”，遇有括號(hào)，先算括號(hào)內(nèi)的。例1-3現(xiàn)從一批含有次品的藥品中連續(xù)抽取3件，設(shè)A、B、C分別表示抽取的第一件、第二件、第三件為合格品，試用A、B、C分別表示下列事件。（1）“只有一件合格”（2）“至少一件合格”（3）“3件都合格”（4）“3件全不合格”三、概率的定義定義1-1事件A發(fā)生的概率（probability）是事件A在試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性大小的數(shù)值度量，用P(A)表示。（一）統(tǒng)計(jì)概率頻率的穩(wěn)定性

（stabilityofrelativefrequency）我國(guó)歷次普查中男性占的比例大致接近于0.515普查年份總?cè)丝谀行耘阅行哉伎側(cè)丝诘谋壤?9535943530799286360.518219646945835652338060.5133198210081851944488740.5152199011336858495548730.5160200012658365355612280.5163統(tǒng)計(jì)概率的定義例1-4例1-4（關(guān)于抽煙和肺癌的關(guān)系調(diào)查）在某城市隨機(jī)抽取10萬(wàn)個(gè)40歲以上從不抽煙的男性和10萬(wàn)個(gè)40歲以上抽煙的人，根據(jù)隨訪結(jié)果表明，前一組最后因肺癌死亡的是30個(gè)，而后一組是600個(gè)。因此我們得到：（二）古典概率定義1-4設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)具有如下兩個(gè)特征（1）樣本空間所含的基本事件只有有限個(gè)；（2）每一個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等則稱試驗(yàn)所對(duì)應(yīng)的概率模型為古典概型（classicalprobabilitymodel）或有限等可能概型。古典概率的定義定義1-5對(duì)于給定的古典概型，若樣本空間中基本事件總數(shù)為m，而事件A包含其中的n個(gè)基本事件，則稱比值為事件A的古典概率（classicalprobability），記為P(A)，即實(shí)際求解古典概率問題時(shí)，往往需要用排列組合知識(shí)及概率性質(zhì)。例1-6已知10件藥品中有2件為次品。無(wú)放回的任取3件進(jìn)行檢驗(yàn)，求取出3件中恰有1件次品的概率。（三）主觀概率定義1-6人們根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)和所掌握的多方面信息，對(duì)事件發(fā)生的可能性大小加以主觀的估計(jì)，由此確定的概率稱為主觀概率（subjectiveprobability）。（四）概率的基本性質(zhì)1.（非負(fù)性）對(duì)任一事件A,有0≤P(A)≤1；2.（規(guī)范性）必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P()＝1，P()＝0；3.（可列可加性）對(duì)于兩兩互不相容事件

A1,A2,…,An,…,(AiAj=,ij)，有

P(A1+A2+…+An+…)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)+…四、概率的加法公式定理1-1（一般加法公式）對(duì)于任意兩個(gè)事件A、BP(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)推論1-1（互不相容事件加法公式）如果事件A與B互不相容，即AB=，則有P(A+B)=P(A)+P(B)

如果A1,A2,…,An是兩兩互不相容的事件，則有P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。推論1-2（對(duì)立事件公式）對(duì)事件A及其對(duì)立事件，有P(A)=1－P()，P()=1－P(A)。推論1-3（事件之差公式）對(duì)任意兩個(gè)事件A、B，有P(A

－B)=P(A)－P(AB)

特別地，當(dāng)AB時(shí)，有P(A

－

B)=P(A)－P(B)例1-7例1-7在某一特定的人群中研究患糖尿病和高血壓兩種疾病的關(guān)系，已知有5%的人患糖尿病,4%的人患高血壓,其中有1%的人既患糖尿病又患高血壓?，F(xiàn)從中任取一人，試求：（1）被抽查到的人患糖尿病或高血壓的概率；（2）被抽查到的人既非糖尿病又非高血壓的概率五、條件概率與事件的獨(dú)立性（一）條件概率定義1-7設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(A)>0

，稱

為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率（conditionalprobability）。例1-9某藥廠生產(chǎn)一批藥品共20件，其中有18件是合格藥品，從這些藥品中不放回地連續(xù)取兩次，每次取一件藥品。求在第一次取得合格藥品的條件下，第二次取得合格藥品的概率。（二）概率的乘法公式（三）事件的獨(dú)立性定義1-8設(shè)

A、B是兩個(gè)隨機(jī)事件，如果P(AB)=P(A)P(B)則稱事件

A與

B是相互獨(dú)立的，簡(jiǎn)稱獨(dú)立。定理1-3

（1）如果P(A)>0（或P(B)>0）,則事件A

與B

獨(dú)立的充要條件是

P(B|A)=P(B)（或P(A|B)=P(A)）；（2）若A與B相互獨(dú)立，則A與，與B，與也相互獨(dú)立。定理1-4

（1）A、B事件相互獨(dú)立的充要條件是

P(A|B)=P(A)具體應(yīng)用時(shí)，通常先由實(shí)際意義判斷事件A與B的相互獨(dú)立性，再利用上述獨(dú)立事件公式P(AB)=P(A)P(B)來計(jì)算事件A、B同時(shí)發(fā)生的概率。

例1-10

甲乙兩人獨(dú)立射擊同一目標(biāo)，已知甲擊中目標(biāo)的概率是0.7，乙擊中目標(biāo)的概率是0.6，求（1）甲、乙兩人都擊中目標(biāo)的概率；（2）甲、乙兩人中至少一人擊中目標(biāo)的概率。案例1-1某種彩票每周開獎(jiǎng)一次，每次中大獎(jiǎng)的可能性是十萬(wàn)分之一，若你每周買一張彩票，盡管你堅(jiān)持了十年（每年52周），但是從未中過大獎(jiǎng)。問題：買彩票十年從未中過大獎(jiǎng),該現(xiàn)象是否正常？第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布一、隨機(jī)變量二、離散型隨機(jī)變量及其分布例1-12一批藥品共10件，其中有兩件不合格，現(xiàn)在接連進(jìn)行不放回抽樣，每次抽一個(gè)，直到抽到合格藥品為止。求抽取次數(shù)的概率分布。三、連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布連續(xù)型隨機(jī)變量X的性質(zhì)例1-13四、隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的某些概率特征的數(shù)字為隨機(jī)變量的數(shù)字特征(numericalcharacteristic)（一）數(shù)學(xué)期望例1-15例1-16數(shù)學(xué)期望的重要性質(zhì)：案例1-2

某地區(qū)流行某種傳染病，患者約占3%，為此該地區(qū)的某高校決定對(duì)全校5000名師生進(jìn)行抽血化驗(yàn)?，F(xiàn)有兩個(gè)方案：（1）逐個(gè)化驗(yàn)；（2）按5人一組分組，并將血液混在一起化驗(yàn)，若發(fā)現(xiàn)有問題再對(duì)5人逐個(gè)化驗(yàn)。問題：試比較哪種方案更好？（二）方差方差的定義公式例1-17方差的重要公式例1-18方差的重要性質(zhì)例1-19第三節(jié)常見隨機(jī)變量的分布一、二