2023屆天津市和平區(qū)高三下學(xué)期數(shù)學(xué)一模試卷及答案

高三下學(xué)期數(shù)學(xué)一模試卷一、單項(xiàng)選擇題1.集合，，，那么〔

〕A.

{0}

B.

C.

D.

2.設(shè)，那么“〞是“〞的〔

〕A.

充分不必要條件

B.

必要不充分條件

C.

充要條件

D.

既不充分也不必要條件3.某校高三年級(jí)的全體學(xué)生參加體育測(cè)試，成績(jī)的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為：，，，.假設(shè)低于60分的人數(shù)是90，那么該校高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)是〔

〕A.

270

B.

300

C.

330

D.

3604.函數(shù)在的圖象大致為〔

〕A.

B.

C.

D.

5.設(shè)，，，那么，，的大小關(guān)系為〔

〕A.

B.

C.

D.

6.正方體的棱長(zhǎng)為2，那么三棱錐的體積為〔

〕A.

B.

C.

4

D.

67.拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線的兩條漸近線相互垂直，那么雙曲線的方程為〔

〕A.

B.

C.

D.

8.設(shè)函數(shù)，給出以下結(jié)論：①的最小正周期為；②在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；③將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是〔

〕A.

①②

B.

①③

C.

②③

D.

①②③9.，設(shè)函數(shù)，假設(shè)關(guān)于的方程恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是〔

〕A.

B.

C.

D.

二、填空題10.設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部等于________．11.在的展開式中，的系數(shù)是________.12.直線與圓相交于，兩點(diǎn)，那么線段的長(zhǎng)度為________.13.甲?乙兩名同學(xué)進(jìn)行籃球投籃練習(xí)，甲同學(xué)一次投籃命中的概率為，乙同學(xué)一次投籃命中的概率為，假設(shè)兩人投籃命中與否互不影響，那么甲?乙兩人各投籃一次，至少有一人命中的概率是________.14.，，那么的最小值為________.15.如圖，四邊形中，，，，，，，分別是線段，上的點(diǎn)，且，那么的最大值為________.三、解答題16.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，.〔1〕求的值；〔2〕求；〔3〕求的值.17.如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，側(cè)面是正方形，與交于點(diǎn)，，，，.〔1〕求證：平面；〔2〕求直線與平面所成角的正弦值；〔3〕假設(shè)點(diǎn)在線段上，且，求二面角的正弦值.18.橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為.〔1〕求橢圓的方程；〔2〕設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線不與坐標(biāo)軸垂直，直線與橢圓相交于點(diǎn)，，且線段的中點(diǎn)為，經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)作射線與橢圓交于點(diǎn)，假設(shè)四邊形為平行四邊形，求直線的方程.19.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，是等差數(shù)列，，，，.〔1〕求和的通項(xiàng)公式；〔2〕設(shè)的前項(xiàng)和為，，.①當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，求的最大值；②求證：.20.函數(shù)，.〔1〕當(dāng)時(shí)，直線與相切于點(diǎn)，①求的極值，并寫出直線的方程；②假設(shè)對(duì)任意的都有，，求的最大值；〔2〕假設(shè)函數(shù)有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，求證：.

答案解析局部一、單項(xiàng)選擇題1.【解析】【解答】由，又，，所以，那么。故答案為：C

【分析】利用絕對(duì)值不等式求解集的方法求出集合B，再利用交集和并集的運(yùn)算法那么，進(jìn)而求出集合。2.【解析】【解答】由可得，即，那么是的充分不必要條件，故答案為：A.

【分析】利用條件結(jié)合充分條件、必要條件的判斷方法，進(jìn)而推出是的充分不必要條件。3.【解析】【解答】根據(jù)頻率分布直方圖可得低于60分的頻率為：，故高三年級(jí)的總?cè)藬?shù)為。故答案為：B.

【分析】利用條件結(jié)合頻率分布直方圖中各小組的矩形的面積等于各小組的頻率，進(jìn)而結(jié)合頻數(shù)等于頻率乘以樣本容量，進(jìn)而求出高三年級(jí)的總?cè)藬?shù)。4.【解析】【解答】由于正切函數(shù)有意義，故需，即可排除A，B；由于為奇函數(shù)，其圖象應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可排除C，故答案為：D.

【分析】利用正切函數(shù)的定義域結(jié)合分式函數(shù)求定義域的方法，再結(jié)合交集的運(yùn)算法那么求出函數(shù)的定義域，再利用奇函數(shù)的定義判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再利用奇函數(shù)的圖象對(duì)稱性，進(jìn)而結(jié)合排除法找出函數(shù)的大致圖象。5.【解析】【解答】因?yàn)?，，?因?yàn)?，故，故答案為：C.

【分析】利用條件結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合特殊值對(duì)應(yīng)的指數(shù)與對(duì)數(shù)與a,b,c大小關(guān)系比較，進(jìn)而比較出a,b,c的大小。6.【解析】【解答】如圖三棱錐是由正方體截去四個(gè)小三棱錐又因?yàn)?，，所以。故答案為：B

【分析】因?yàn)槿忮F是由正方體截去四個(gè)小三棱錐再利用正方體的體積公式結(jié)合三棱錐的體積公式，再結(jié)合等體積法和作差法，進(jìn)而求出三棱錐的體積。7.【解析】【解答】拋物線的準(zhǔn)線方程為，故雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，而雙曲線的漸近線方程為，故即，故，故，故雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：。故答案為：D.

【分析】利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出準(zhǔn)線方程，進(jìn)而求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，得出雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，進(jìn)而求出c的值，再利用雙曲線的漸近線方程求解方法求出雙曲線漸近線方程，再結(jié)合雙曲線的兩條漸近線相互垂直，利用兩直線垂直斜率之積等于-1，進(jìn)而求出a,b的關(guān)系式，再利用雙曲線中a,b,c三者的關(guān)系式，進(jìn)而求出a,b的值，從而求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。8.【解析】【解答】由，所以的最小正周期為，故①正確；要求的單調(diào)增區(qū)間，即，而故②正確；將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，故③錯(cuò)誤．故答案為：A．

【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)為正弦型函數(shù)，再利用正弦型函數(shù)的最小正周期公式求出正弦型函數(shù)的最小正周期，再利用換元法將正弦型函數(shù)的轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的圖像求出正弦型函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性，再利用正弦型函數(shù)的圖像變換結(jié)合條件得不出函數(shù)的圖象，進(jìn)而找出結(jié)論正確的選項(xiàng)。9.【解析】【解答】因?yàn)殛P(guān)于的方程恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，故有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根且無實(shí)根或、各有一個(gè)實(shí)數(shù)根或無實(shí)根且有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.假設(shè)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，那么有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，故有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根不成立.假設(shè)、各有一個(gè)實(shí)數(shù)根，先考慮有一個(gè)實(shí)數(shù)根即有一個(gè)實(shí)數(shù)根，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，故，故.再考慮有一個(gè)實(shí)數(shù)根即有一個(gè)實(shí)數(shù)根.令，因?yàn)椋视幸粋€(gè)實(shí)數(shù)根.故時(shí)，、各有一個(gè)實(shí)數(shù)根.假設(shè)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根且無實(shí)根，因?yàn)闊o實(shí)根，那么由前述討論可得，因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的實(shí)數(shù)根，故，解得，綜上所述，，故答案為：D.

【分析】因?yàn)殛P(guān)于的方程恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，故有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根且無實(shí)根或、各有一個(gè)實(shí)數(shù)根或無實(shí)根且有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。再利用分類討論的方法結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系和二次函數(shù)的圖像，再利用函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍。二、填空題10.【解析】【解答】解：復(fù)數(shù)===的虛部為．故答案為：．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法那么、虛部的定義即可得出．11.【解析】【解答】的展開式的通項(xiàng)公式為，令，那么，故的系數(shù)為。故答案為：-15。

【分析】利用二項(xiàng)式定理求出展開式中的通項(xiàng)公式，再利用通項(xiàng)公式求出的系數(shù)。12.【解析】【解答】因?yàn)榈膱A心為，半徑，圓心到直線的距離，所以線段AB的長(zhǎng)為。故答案為：。

【分析】利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，再利用弦長(zhǎng)公式求出線段AB的長(zhǎng)。13.【解析】【解答】?jī)蓚€(gè)都不命中的概率為，故至少有一人命中的概率是。故答案為：。

【分析】利用獨(dú)立事件乘法求概率公式結(jié)合對(duì)立事件求概率公式，進(jìn)而求出甲?乙兩人各投籃一次，至少有一人命中的概率。14.【解析】【解答】因?yàn)?，，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以最小值為2。故答案為：2。

【分析】利用條件結(jié)合均值不等式求最值的方法得出，進(jìn)而變形求出的最小值。15.【解析】【解答】設(shè)那么那么，，，即，得，即，過C作過作那么，那么那么，那么由得，，函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸，當(dāng)時(shí)，故答案為：。

【分析】設(shè)那么再利用三角形法那么和共線定理，再結(jié)合平面向量根本定理求出再利用兩向量垂直數(shù)量積為0的等價(jià)關(guān)系，再利用數(shù)量積的運(yùn)算法那么結(jié)合數(shù)量積的定義，進(jìn)而求出，過C作過作那么，再利用正弦函數(shù)的定義、余弦函數(shù)的定義和正切函數(shù)的定義得出AD的長(zhǎng)，再利用得再利用數(shù)量積的定義結(jié)合二次函數(shù)圖象求最值的方法，進(jìn)而求出的最大值。三、解答題16.【解析】【分析】〔1〕利用條件結(jié)合余弦定理，進(jìn)而求出a的值。

〔2〕利用條件結(jié)合正弦定理，進(jìn)而求出角A的正弦值。

〔3〕利用余弦定理求出角A的余弦值，再利用二倍角的正弦公式和余弦公式，進(jìn)而求出角2A的正弦值和余弦值，再利用兩角和的正弦公式，進(jìn)而求出的值。

17.【解析】【分析】〔1〕分別取線段，的中點(diǎn)，，連接，，，那么，，，，可知四邊形和四邊形均為平行四邊形，再利用平行四邊形的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而推出線線平行，所以，再利用線線平行證出線面平行，即證出平面。

〔2〕依題意，以為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)表示求出向量的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積求向量夾角公式，進(jìn)而結(jié)合誘導(dǎo)公式求出直線與平面所成角的正弦值。

〔3〕依題意，以為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)表示求出向量的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積求向量夾角公式，進(jìn)而結(jié)合同角三角函數(shù)根本關(guān)系式，從而求出二面角的正弦值。

18.【解析】【分析】〔1〕利用橢圓的右焦點(diǎn)為，進(jìn)而求出c的值，再利用條件橢圓的離心率為，進(jìn)而求出a,c的關(guān)系式，再利用橢圓中a,b,c三者的關(guān)系式，從而求出a,b的值，進(jìn)而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

〔2〕利用兩種方法求解，方法一：由題意，設(shè)直線的方程為，且，再利用直線l與橢圓相交，聯(lián)立二者方程結(jié)合韋達(dá)定理，進(jìn)而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)求斜率公式求出直線OM的斜率，再利用斜截式設(shè)出直線OM的方程，再利用直線OM與橢圓相交，聯(lián)立二者方程求出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，再利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合中點(diǎn)的性質(zhì)，進(jìn)而求出k的值，從而求出直線的方程；方法二：求得的過程同方法一，再利用平行四邊形法那么結(jié)合共線定理求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)在橢圓上結(jié)合代入法求出k的值，進(jìn)而求出直線的方程。

19.【解析】【分析】〔1〕利用條件結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式和等差數(shù)列通項(xiàng)公式以及等比數(shù)列通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差、等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，再結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出數(shù)列和的通項(xiàng)公式。

〔2〕①利用條件結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，再結(jié)合和〔1〕中等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出，當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，，再利用數(shù)列的單調(diào)性得出當(dāng)且是奇數(shù)時(shí)，隨增大而減小，再利用函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出的最大值。②由①知，，再利用裂項(xiàng)相消的的方法，進(jìn)而結(jié)合放縮法證出。

20.【解析】【分析】〔1〕①利用