2021-2022學(xué)年陜西省咸陽市秦都區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2021-2022學(xué)年陜西省咸陽市秦都區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題

一、單選題

1.不等式（》-1）（苫-2）>0的解集是（）

A.{x|x<l或x>2}B.{x|l<x<2j

C.{x|x<lagx>2）D.1x|l<x<2}

【答案】A

【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求解即可.

【詳解】由不等式（x—l）（x—2）>0,

解得x<l或x>2,

所以不等式的解為：{x|x<l或x>2}.

故選：A.

2.已知命題P：2'4x+l.則命題。的否定是（）

A.HxeR,2X>x+lB.BxeR,2X>x+1

C.VxeR,2x<x+\D.VxeR,2x>x+l

【答案】D

【分析】由特稱（存在）量詞命題的否定是全稱量詞命題直接可得.

【詳解】由特稱（存在）量詞命題的否定是全稱量詞命題直接可得：

命題。：HxeR,2*4x+l.則命題。的否定是VxeR,2x>x+l,

故選：D.

3.若拋物線C：d=2py的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）,則拋物線C的方程為（）

A.x2=-2yB.x2=2yC.x2--4yD.x2=4y

【答案】D

【分析】由已知條件可得5=1,求出P,從而可求出拋物線的方程.

【詳解】因?yàn)閽佄锞€C：V=2p），的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）,

所以5=1，得P=2,

所以拋物線方程為x?=4y,

故選：D

4.已知實(shí)數(shù)a,。在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則下列式子中正確的是()

-------------->

ba0X

A.->-B.a2>b2C.b-a>0D.1^6/<|tz|Z?

ha

【答案】A

【解析】根據(jù)圖象可得6<。<0,逐一分析選項(xiàng)，即可得答案.

【詳解】對于A：由圖象可得〃<a<(),所以!〉,，故A正確；

ba

對于B：因?yàn)閎<a<0,所以/<從，所以B錯誤；

對于C：因?yàn)閎<a,所以6-a<0,故C錯誤；

對于D：當(dāng)匕=-2,a=-l時，滿足6<a<0,此時W=2,同=1,

所以&網(wǎng)=-2力同=-2,即回〃=同6,故D錯誤,

故選：A

5.已知直線/的方向向量為2=(-1,0,-1),平面a的法向量為［=(1,0,1),則直線/與平面a的位置

關(guān)系是()

A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.無法確定

【答案】A

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)可得￡=-入從而可判斷線面關(guān)系.

【詳解】由題設(shè)可得￡=-/；，故直線/與平面a垂直.

故選：A.

6.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為若4=10,%=6,則當(dāng)S,,取最大值時，〃的值為()

A.6B.7C.6或7D.7或8

【答案】C

【分析】先求出通項(xiàng)公式，利用前"項(xiàng)和的定義即可判斷出S.取最大值時，〃的值.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,

因?yàn)椤?=1°，“4=6,

[a.=a.+d=10

所以2,A，

[%=q+34=6

解得:｛：]；：，所以a“=4+（〃T）d=14—2〃.

要使S“取最大值，只需把所有正項(xiàng)都加上，

所以a〃=4+（〃-1”=14-2〃20,

所以〃W7.

記S6=4最大.

故選：C.

7.已知XGR,則“L<1”是"X>1”的（）

X

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)必要不充分條件的定義可得答案.

【詳解】因?yàn)椤?1”不能推出如x=-1,

X

“X>1”能夠推出

X

所以'4<1”是“X>1”的必要不充分條件.

X

故選：B

8.在正四面體中，棱長為1,且。為棱A8的中點(diǎn)，則定.而的值為（）

A.—B.-C.—D.!

4422

【答案】D

【分析】結(jié)合題意畫出正四面體，由中點(diǎn)性質(zhì)可得兩=g（陽+而），則元.麗可代換為

PC-（PA+PB）,由向量數(shù)量積公式即可求解

D

【詳解】B

如圖，因?yàn)镈為棱A3的中點(diǎn)，所以而=；(而+方)，

PCPD=^PC(PA+PB)=^(PCPA+PCPB),因?yàn)閹缀误w為正四面體，故而與刀夾角為60。,

_______________1------1f111

同理方與定夾角為60。，PCPA=PCPB=lxlxcos60°=-,故尸CPO=jx—+不=不，

22122j2

故選：D

9.己知命題P：“到點(diǎn)(1,0)的距離比到直線x=-2的距離小1的動點(diǎn)的軌跡是拋物線”，命題4：“1

和100的等比中項(xiàng)大于4和14的等差中項(xiàng)”，則下列命題中是假命題的是()

A.pvqB.77AqC.PA(P)D."V(F)

【答案】B

【分析】對于命題。，設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),則根據(jù)條件可得動點(diǎn)的軌跡方程，從而可判斷該命題

的正誤.對于命題4,求出等比中項(xiàng)和等差中項(xiàng)后可判斷其正誤，再結(jié)合復(fù)合命題的真假判斷方法可

得正確的選項(xiàng).

【詳解】對于命題。，設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),則J(x-iy+y2=|x+2|-l,

當(dāng)x2-2時，有y2=4x；

當(dāng)x<—2時，有/=8x+8,但此時8x+8<(),故/=8x+8不成立，

故動點(diǎn)的軌跡方程為>2=4x,軌跡為拋物線，故。正確.

對于4，“1和100的等比中項(xiàng)為±10,而4和14的等差中項(xiàng)為9,

故兩者大小關(guān)系不確定，從而4錯誤.

故四個命題中，PF,。入(p),pv(r/)均為真命題，?人<7為假命題，

故選：B.

10.第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會，又稱2022年北京冬季奧運(yùn)會，將于2022年2月在北京和張家口

舉行，北京冬奧會會徽以漢字“冬”為靈感來源，運(yùn)用中國書法的藝術(shù)形態(tài)，將厚重的東方文化底蘊(yùn)

與國際化的現(xiàn)代風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出新時代的中國新形象、新夢想.會徽圖形上半部分展現(xiàn)滑冰運(yùn)

動員的造型，下半部分表現(xiàn)滑雪運(yùn)動員的英姿.中間舞動的線條流暢且充滿韻律，代表舉辦地起伏的

山巒、賽場、冰雪滑道和節(jié)日飄舞的絲帶，下部為奧運(yùn)五環(huán)，不僅象征五大洲的團(tuán)結(jié)，而且強(qiáng)調(diào)所有

參賽運(yùn)動員應(yīng)以公正、坦誠的運(yùn)動員精神在比賽場上相見.其中奧運(yùn)五環(huán)的大小和間距按以下比例

(如圖)：若圓半徑均為12,則相鄰圓圓心水平距離為26,兩排圓圓心垂直距離為11,設(shè)五個圓的

圓心分別為O/,02,03,04,05,若雙曲線C以O(shè)/,03為焦點(diǎn)、以直線。2。4為一條漸近線，則C

的離心率為（）

D.2

【答案】A

=可）"可得?

如圖建立直角坐標(biāo)系，過。4向X軸引垂線，垂足為A,易知QA=11,02A=13

b11

11.已知橢圓C：5+犬=?>1）的離心率為母，P為橢圓C上的一個動點(diǎn)，定點(diǎn)A（—1,0）,則|PA|

的最大值為（）

35

A.—B.2C.-D.3

22

【答案】B

【分析】根據(jù)橢圓的離心率e=￡=、1X=』，求出橢圓方程，再利用兩點(diǎn)間距離公式和點(diǎn)尸在圓

a\CT2

上，換成關(guān)于點(diǎn)P橫坐標(biāo)的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值即可求解.

【詳解】因?yàn)闄E圓C：+f=的離心率為孝,

所以橢圓的離心率e，=Jl-t=L又按=1，則標(biāo)=2,

a\a22

所以橢圓方程為片+/=1,設(shè)橢圓上一動點(diǎn)P(%,%),則yj=2-2x02,

2

所以陷=收+1)2+%2=J_/2+23+3,因?yàn)?/p>

所以當(dāng)天=1時，|網(wǎng)取最大值2,

故選：B.

12.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討

論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成

等差數(shù)列.對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)

分別為3,4,6,9,13,18,24,則該數(shù)列的第10項(xiàng)為()

A.39B.45C.48D.58

【答案】C

【分析】由題意，根據(jù)高階等差數(shù)列的定義判斷出該數(shù)列后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成新的等差數(shù)列，

即可求解.

【詳解】因?yàn)?一3=1,6-4=2,9-6=3,13—9=4,18—13=5,24—18=6,

而1,2,3,4,5,6構(gòu)成等差數(shù)列，

所以為-24=7,解得：％=31；

%-31=8,解得：的=39；

%-39=9,解得：即,=48.

故該數(shù)列的第10項(xiàng)為48.

故選：C

二、填空題

13.已知橢圓(+5=1的左、右焦點(diǎn)分別為小區(qū),P為橢圓上一點(diǎn)，若附|=7,則|尸周=

【答案】3

【分析】根據(jù)橢圓的定義列方程，求得歸圖的值.

【詳解】依題意可知“=，2a=l。,根據(jù)橢圓的定義歸用+歸閭=勿=1(),歸閭=1()_歸團(tuán)=3,

故答案為：3.

14.在AABC中，內(nèi)角的對邊分別為a,0,c,若瘋?sinA=acos3,則角3的大小為.

【答案】7

0

【分析】利用正弦定理邊化角可求得tan8,由此可得反

【詳解】由正弦定理得：V3sinBsinA=sinAcosB,

*/AG（0,7C）,「.sinAwO,/.>/3sinB=cosB,即tan3=-^-,

又3￡（0,7l）,.一二2.

6

故答案為：T,.

6

x+y-220

15.若變量x,>滿足約束條件7->+240,則目標(biāo)函數(shù)z=x-2y的最大值為,

y<4

【答案】-4

【分析】畫出可行域，平移基準(zhǔn)直線x-2y=0到可行域邊界位置，結(jié)合圖像求得z的最大值.

x+y-2=0Jx=O

【詳解】

x-y+2-0[_v=2

畫出可行域如下圖所示，由圖可知，當(dāng)平移基準(zhǔn)直線x-2y=0到可行域邊界點(diǎn)（0,2）時,

z取得最大值為0-2X2=T.

故答案為：-4

16.如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，CC、=上,AB=BC=6,AC=2,則二面角與-AC-8

的大小為.

Bi

【分析】由題意以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面ABC和平面ACS,

的法向量，再由二面角的向量公式即可得出答案.

【詳解】因?yàn)槿庵鵄BC-A4a為直三棱柱，且AB=8C=0，AC=2,

所以AB'+BC?=AC。則

以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，3(0,0,0),《0,也0),A(立0,0),耳(0,0,碼,

設(shè)元=(O,O,l)_L平面ABC,而=(x,y,z)_L平面ACB,,

撫=卜后,五,0),麗=卜尤,0,石),

n-AC=0-\Z2x+>/2y=0

所以—=><

iiAB.=0-&x+百z=0

令人=1,則y=1,z=旦,

3

所以沅=1,1,4

<一

i一一rh'fi

則cos見〃=EW

所以二面角4-AC-3的大小為60。.

三、解答題

17.己知等比數(shù)列｛%｝滿足q=l,%=8,3為數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵若S“=63,求〃的值

【答案】⑴％=2"T

（2）〃=6

【分析】（1）利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式可構(gòu)造方程求得公比0進(jìn)而得到%;

（2）利用等比數(shù)列求和公式可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.

【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為則%=4q3=g3=8,解得：q=2,\a“=2"1

1-2"

（2）S,,=-------=63,\2"=64,解得：n=6.

"1-2

18.已知關(guān)于x的不等式好+2皿+機(jī)+220的解集為R.求：

（1）實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

9

⑵函數(shù)/（，"）=，"+——-的最小值

m+2

【答案】⑴[T，2]

（2）4

【分析】（1）利用判別式的正負(fù)即可求解；

（2）利用基本不等式即可求解.

【詳解】（1）???不等式產(chǎn)+2爾+〃2+220的解集為R.

AA=4m2-4（m+2）<0,解得一14m42

???實(shí)數(shù)"的取值范圍為[T2].

（2）由（1）知一1K2,：.l<ni+2<4

9QI0-

?,?函數(shù)+——=（〃z+2）+———2>2J（w+2）?———2=4,

''m+2'）〃2+2V，m+2

9

當(dāng)且僅當(dāng)〃z+2=-即加=1時取等號

"1+2

/（加）的最小值為4.

19.已知橢圓C：5+馬=1（。沙＞0）的長軸頂點(diǎn)與雙曲線1-4=1的焦點(diǎn)重合，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)

abio9

A愕,0

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為尸|、入，點(diǎn)尸在橢圓C上，且尸耳，尸巴，求點(diǎn)尸到X軸的距離.

V21,2

【答案】⑴工+2=1

259

璉

【分析】（1）根據(jù)已知條件求得。,匕，從而求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)P（，%〃），根據(jù)尸耳，尸工列方程，結(jié)合P在橢圓上求得〃，進(jìn)而求得尸到x軸的距離.

【詳解】（1）對于雙曲線有J演萬=5,

169

且百在橢圓c上，

。=5

所以,503,解得。=5,b=3,

橢圓C的方程為工+二=1.

259

（2）設(shè)P的〃）,耳（TO）,名（4,0）,

22

由PF、±PF2,得尸耳?尸瑪=（-4-ATI,-n）（4—m,—n）=m-16+n=0①,

22

又也+2=1②，

259

o

由①②解得〃=±=,

4

、.9

???點(diǎn)P到x軸的距離為了.

4

20.如圖，在從RC中，。是BC上的點(diǎn)，AB=3^3,BD=4,C=^,再從條件①、條件②這兩個條件

中選擇一個作為已知，求:

A

（1）角B的大?。?/p>

（2）AACD的面積.

條件①：AD=-J1；條件②：AC=3.

【答案】（1）B=g具體選擇見解析；（2）空.

62

【解析】選擇條件①：（1）利用余弦定理即可求解；

（2）由（1）可得”WC為直角三角形，利用三角形的面積公式：5=；岫所11（7即可求解.

選擇條件②：（1）利用正弦定理即可求解.

（2）由（1）可得"RC為直角三角形，利用三角形的面積公式：S=g“6sinC即可求解.

【詳解】選擇條件①：

解：（1）在△ABD中AB=3x/l8￡>=4,AD=>/7,

山余弦定理，得

AB?+8》一3(3哥-斤_73

2AB?BD2x3>/3x4-2

因?yàn)?<8<乃，

所以8=g.

O

（2）由（1）知，8=3，

O

77TT

因?yàn)椤?丁，所以N8AC=z.

32

所以"RC為直角三角形.

所以AC=3,BC=6.

又因?yàn)?。=4,所以C￡>=2.

2222

選擇條件②：

兀

解：（1）在AABC中,AC=3,A8=36，C=—.

由正弦定理A冬r=上A3R，得sinB=1

sinBsinC2

由題可知0<6<C=F，

3

所以5=9.

6

(2)由(1)知，B=￥，

6

TTTT

因?yàn)閏=§,所以NBAC='.

所以小BC為直角三角形，

得BC=6.

又因?yàn)?=4,所以CD=2.

所以SAc°=LAC-C￡>-sinC=1x3x2x且=更.

42222

21.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長方體ABCD—A'B'CD,且AD=A4，=1,43=2,點(diǎn)E在棱

AB上移動.

(1)證明：lyELAD；

(2)當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時，求直線AC與平面OEC所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵畫

30

(分析】(1)設(shè)AE=f(0VtW2),求出。乞=,A'D=(-1,0,-1),利用向量法能求出DEYAD；

(2)求出平面D'EC的法向量3=(1,1,2),利用向量法能求出直線AC與平面D'EC所成角的正弦值.

【詳解】(1)證明:^AE=t(0<t<2),D\0