高等數(shù)學(xué)大一125函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)

第五講函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)一、泰勒級(jí)數(shù)二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)一、泰勒級(jí)數(shù)二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)和函數(shù)求和展開冪級(jí)數(shù)引言?例意義近似計(jì)算理論研究研究問題在什么條件下能展開為冪級(jí)數(shù);的展開式在什么范圍內(nèi)成立;的展開式是否唯一;的展開式如何確定.在收斂域內(nèi)和函數(shù)求和展開冪級(jí)數(shù)引言?例意義近似計(jì)算理論研究研究問題在什么條件下能展開為冪級(jí)數(shù);的展開式在什么范圍內(nèi)成立;的展開式是否唯一;的展開式如何確定.令令令令在收斂域內(nèi)和函數(shù)求和展開冪級(jí)數(shù)引言?例意義近似計(jì)算理論研究研究問題在什么條件下能展開為冪級(jí)數(shù);的展開式在什么范圍內(nèi)成立;的展開式是否唯一;的展開式如何確定.在收斂域內(nèi)和函數(shù)求和展開冪級(jí)數(shù)引言?例意義近似計(jì)算理論研究研究問題在什么條件下能展開為冪級(jí)數(shù);的展開式在什么范圍內(nèi)成立;的展開式是否唯一;的展開式如何確定.在收斂域內(nèi)和函數(shù)求和展開冪級(jí)數(shù)引言?例意義近似計(jì)算理論研究研究問題在什么條件下能展開為冪級(jí)數(shù);的展開式在什么范圍內(nèi)成立;的展開式是否唯一;的展開式如何確定.令令令令f(x)能展開成(x-x0)的冪級(jí)數(shù)f(x)在x0處有任意階導(dǎo)數(shù)?例定義設(shè)f(x)在x0處有任意階導(dǎo)數(shù),稱為f(x)在x0處的泰勒級(jí)數(shù)(x0=0時(shí),稱為麥克勞林級(jí)數(shù)).若在包含x0的某區(qū)間I內(nèi),等式成立,稱上式為f(x)的泰勒展開式(x0=0時(shí),稱為麥克勞林展開式).?證明令則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是:設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0

的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù),定理

在該鄰域內(nèi)f(x)的泰勒公式中的余項(xiàng)當(dāng)時(shí)的極限為零,即在收斂域內(nèi)和函數(shù)求和展開冪級(jí)數(shù)引言?例意義近似計(jì)算理論研究研究問題在什么條件下能展開為冪級(jí)數(shù);的展開式在什么范圍內(nèi)成立;的展開式是否唯一;的展開式如何確定.在收斂域內(nèi)和函數(shù)求和展開冪級(jí)數(shù)引言?例意義近似計(jì)算理論研究研究問題在什么條件下能展開為冪級(jí)數(shù);的展開式在什么范圍內(nèi)成立;的展開式是否唯一;的展開式如何確定.函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)一、泰勒級(jí)數(shù)二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)一、泰勒級(jí)數(shù)二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)（一）直接展開法（二）間接展開法二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)（一）直接展開法（二）間接展開法展開步驟1.求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x=0處的值;2.寫出麥克勞林級(jí)數(shù),并求出其收斂半徑R;3.判別在收斂區(qū)間(－R,R)內(nèi)是否為0．將函數(shù)展開成x的冪級(jí)數(shù).解:其收斂半徑為對(duì)任何有限數(shù)

x,其余項(xiàng)滿足故(在0與x

之間)故得級(jí)數(shù)例1將展開成x的冪級(jí)數(shù).解:得級(jí)數(shù):其收斂半徑為對(duì)任何有限數(shù)x,其余項(xiàng)滿足例2將函數(shù)展開成x

的冪級(jí)數(shù),其中m為任意常數(shù).于是得級(jí)數(shù)由于級(jí)數(shù)在開區(qū)間(－1,1)內(nèi)收斂.因此對(duì)任意常數(shù)m,例3解:則為避免研究余項(xiàng),設(shè)此級(jí)數(shù)的和函數(shù)為稱為二項(xiàng)展開式

.注(1)在x＝±1處的收斂性與m有關(guān).(2)當(dāng)m為正整數(shù)時(shí),級(jí)數(shù)為x

的m次多項(xiàng)式,由此得上式就是代數(shù)學(xué)中的二項(xiàng)式定理.對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)展開式分別為二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)（一）直接展開法（二）間接展開法二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)（一）直接展開法（二）間接展開法間接展開法利用一些已知的函數(shù)展開式,通過冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算(如四則運(yùn)算,逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分)以及變量代換等,將所給的函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù).例把換成把