量子力學(xué)中的算符

量子力學(xué)中的算符第一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二第一節(jié)算符operator算符算符是指作用在一個(gè)函數(shù)上得出另一個(gè)函數(shù)的運(yùn)算符號(hào)

就是一個(gè)算符算符的引入規(guī)則如果量子力學(xué)中的力學(xué)量F在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量，則表示這個(gè)力學(xué)量的算符由經(jīng)典表示式F(r,p)中將動(dòng)量p換為動(dòng)量算符得出第二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二名稱(chēng)力學(xué)量Operator算符坐標(biāo)動(dòng)量勢(shì)能動(dòng)能總能量角動(dòng)量經(jīng)常遇到的力學(xué)量所對(duì)應(yīng)的算符第三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二簡(jiǎn)并degeneration當(dāng)算符?的某一本征值n的本征函數(shù)不止一個(gè)，而是f個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的函數(shù)n1、n2、

nf，則稱(chēng)該本征值f度簡(jiǎn)并。若一個(gè)算符作用在波函數(shù)上得出一個(gè)常數(shù)乘以該波函數(shù)，如，則稱(chēng)此方程為該算符的本征方程，稱(chēng)此常數(shù)fn為算符F的第n個(gè)本征值，波函數(shù)為fn相應(yīng)的本征波函數(shù)算符的本征值和本征函數(shù)第四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二線(xiàn)性算符linearoperator設(shè)u1、u2為任意函數(shù)，c1、c2是任意兩個(gè)復(fù)常數(shù)，如果則稱(chēng)?為線(xiàn)性算符

x、d/dx是線(xiàn)性算符，而開(kāi)方運(yùn)算不是線(xiàn)性算符量子力學(xué)中用來(lái)表示力學(xué)量的算符，都是線(xiàn)性算符是態(tài)疊加原理的要求設(shè)根據(jù)態(tài)的疊加原理也就是假設(shè)說(shuō)是二度簡(jiǎn)并的也是算符?的本征態(tài)，應(yīng)有當(dāng)?為線(xiàn)性算符時(shí)第五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二1厄米算符Hermitianoperator設(shè)u、v為兩個(gè)任意函數(shù)，如果算符?滿(mǎn)足則稱(chēng)?為厄米算符量子力學(xué)中代表力學(xué)量的算符必須是線(xiàn)性厄米算符

——量子力學(xué)的又一基本概念厄米算符在任意狀態(tài)下的平均值必須是實(shí)數(shù)力學(xué)量觀測(cè)值必須是實(shí)數(shù)，要求算符的本征值是實(shí)數(shù)線(xiàn)性厄米算符的作用就是把態(tài)空間中的一個(gè)元素變成另一個(gè)元素線(xiàn)性厄米算符的本征函數(shù)構(gòu)成一個(gè)正交歸一的函數(shù)系第六頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二（1）厄米算符本征函數(shù)的正交歸一性(Orthonormality)（2）完備性(Completeness)設(shè)1、2、、n，是某一線(xiàn)性厄米算符的本征函數(shù)系，任何與{n}滿(mǎn)足同樣邊界條件且在同樣區(qū)間定義的波函數(shù),都可以按{n}展開(kāi)，即厄米算符的本征函數(shù)(本征態(tài))具有正交、完備性若在每個(gè)r處，此無(wú)窮級(jí)數(shù)都收斂到Ψ(r,t)，則稱(chēng){n}是完備的第二節(jié)第七頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二2力學(xué)量的平均值(AverageValues)(1)力學(xué)量處于本征態(tài)時(shí)設(shè)厄米算符?的本征函數(shù)分別為1、2、、n，所屬的本征值為，1、2、n，當(dāng)體系處于n時(shí)，力學(xué)量A有確定的值n，（2）當(dāng)體系處于?的非本征態(tài)時(shí)，力學(xué)量A為何值？在非本征態(tài)中測(cè)量力學(xué)量的值為一平均值，當(dāng)體系處于算符?的非本征態(tài)時(shí)，測(cè)量力學(xué)量A所得為平均值，如果已經(jīng)歸一化，力學(xué)量的平均值為如果尚未歸一化，力學(xué)量的平均值為第八頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二利用歸一化條件用*左乘上式并對(duì)全空間積分根據(jù)本征函數(shù)的完全性力學(xué)量的平均值為：所以為在Ψn態(tài)中，A取λn的幾率第九頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二狀態(tài)時(shí)，粒子的能量？也就是說(shuō)，此時(shí)粒子不處于本征態(tài)。在此狀態(tài)下，測(cè)量粒子的能量由于波函數(shù)是歸一化的本征函數(shù)為：解：例：設(shè)粒子在一維無(wú)限勢(shì)阱(0,a)中運(yùn)動(dòng)，如果描述粒子狀態(tài)的波函數(shù)為第十頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二3軌道角動(dòng)量算符的本征值和本征函數(shù)(1)軌道角動(dòng)量算符定義若位勢(shì)與坐標(biāo)的方向無(wú)關(guān)，即，則稱(chēng)此位勢(shì)為中心力場(chǎng)粒子若在中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，角動(dòng)量是表征體系轉(zhuǎn)動(dòng)性質(zhì)的重要物理量為區(qū)別自旋角動(dòng)量，將其稱(chēng)之為軌道角動(dòng)量第三節(jié)第十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二(2)本征問(wèn)題Spherical-harmonicsl稱(chēng)為角量子數(shù)，表征角動(dòng)量的大小A的本征方程本征函數(shù)m稱(chēng)為磁量子數(shù)本征值為球諧函數(shù)，不僅應(yīng)當(dāng)在全空間有限，而且是一個(gè)單值函數(shù)第十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二例如：l=2時(shí)m可以取-2,-1,0,1,2;五個(gè)值本征值本征函數(shù)BLz的本征值和本征函數(shù)

Lz表示體系的軌道角動(dòng)量在z軸方向的投影一個(gè)本征值對(duì)應(yīng)2l+1個(gè)本征函數(shù)，本征值是2l+1度簡(jiǎn)并的第十三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二(3)討論算符的本征值是量子化的，只能取斷續(xù)值除了的基態(tài)外，算符的所有本征值都是簡(jiǎn)并的，且簡(jiǎn)并度為第十四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二例題若粒子處于狀態(tài)求：分別測(cè)量的可能取值與相應(yīng)的取值概率解：首先判斷波函數(shù)是否是歸一化的狀態(tài)其次計(jì)算各種條件下各力學(xué)量的可能取值和取值概率在態(tài)下，相應(yīng)的取值概率公式為第十五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二4類(lèi)氫原子的波函數(shù)和能量本征值(1)分離變量法求解定態(tài)方程，可以得到滿(mǎn)足波函數(shù)條件的解設(shè)

在球坐標(biāo)下，薛定諤方程變?yōu)轭?lèi)氫原子中的電子有三個(gè)自由度，因此要用三個(gè)量子數(shù)n,l,m來(lái)描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

Rnl(r)是徑向函數(shù)是角度部分的波函數(shù)，稱(chēng)球諧函數(shù)主量子數(shù)：n角量子數(shù)：l磁量子數(shù)：m能量角動(dòng)量角動(dòng)量在z軸上的投影第四節(jié)第十六頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二（2）本征能量能量取下列離散值時(shí)，才有滿(mǎn)足波函數(shù)有限性條件的解電子的能量只與量子數(shù)n有關(guān),n稱(chēng)為主量子數(shù)玻爾第一軌道半徑氫原子的基態(tài)能量為若要使處于基態(tài)的氫原子電離，必須外加

13.6eV的能量隨量子數(shù)n的增加，氫原子能級(jí)間隔越來(lái)越小，當(dāng)n→∞時(shí)能級(jí)接近連續(xù)分布?xì)湓幽芗?jí)圖EoE1E2第十七頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二（3）能級(jí)的簡(jiǎn)并度電子的能級(jí)En只與主量子數(shù)n有關(guān)對(duì)應(yīng)一個(gè)n值，l可以取0,1,2n-1共n個(gè)對(duì)應(yīng)一個(gè)l值，m又可以取0,1,2,…l共2l+1個(gè)

l、m不同，函數(shù)的形式不同同一能量級(jí)對(duì)應(yīng)著不同的本征函數(shù)——庫(kù)侖場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子能級(jí)是簡(jiǎn)并的簡(jiǎn)并度為電子的能級(jí)是n2度簡(jiǎn)并的第十八頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二例1對(duì)能級(jí)簡(jiǎn)并度是9，9個(gè)不同的波函數(shù)(9個(gè)不同的本征態(tài))有相同的能量它們是例2：氫原子中的電子處于狀態(tài)，求：(1)歸一化的波函數(shù)(2)能量有無(wú)確定值？如果沒(méi)有，求其可能值和取這些值的幾率，并求平均值？(3)角動(dòng)量有無(wú)確定值？如果沒(méi)有，求其可能值和取這些值的幾率，并求平均值？(4)角動(dòng)量的z分量有無(wú)確定值？如果有，求其本征值第十九頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二利用本征函數(shù)的正交性，得到所以歸一化的波函數(shù)為解:(1)設(shè)歸一化常數(shù)為A，利用歸一化條件第二十頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二(2)所以此波函數(shù)不是能量的本征函數(shù)，在此態(tài)中能量無(wú)確定值，能量的可能值為E2和E3，能量的平均值為(3)容易證明此波函數(shù)不是角動(dòng)量平方算符的本征態(tài)第二十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二角動(dòng)量平方的可能值為L(zhǎng)2平均值：第二十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二是其本征函數(shù)，本征值為(4)第二十三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二作業(yè)題：1氫原子中的電子處于求:(1)歸一化的波函數(shù)；

(2)能量有無(wú)確定值？如沒(méi)有，求其能量的可能值和取這些值的幾率

(3)角動(dòng)量平方有無(wú)確定值？如果有求其本征值

(4)角動(dòng)量的z分量有無(wú)確定值？如果沒(méi)有？求其可能值和取這些值的幾率2氫原子能量簡(jiǎn)并度是多少？寫(xiě)出n＝2的所有可能的能量狀態(tài)講義：P7414任選兩道第二十四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二量子力學(xué)中可以進(jìn)一步通過(guò)代表不同力學(xué)量的算符間所滿(mǎn)足的關(guān)系，來(lái)判斷哪些力學(xué)量可以同時(shí)取確定值，哪些力學(xué)量不可以同時(shí)取確定值，引入了對(duì)易的概念算符?、?

不對(duì)易如果兩個(gè)算符?、?

，先后作用到一個(gè)波函數(shù)上，作用的結(jié)果與作用的順序無(wú)關(guān)，如兩個(gè)算符?、?對(duì)易可以同時(shí)測(cè)定如果兩個(gè)算符滿(mǎn)足兩個(gè)算符反對(duì)易1算符的對(duì)易關(guān)系commutationrelation第二十五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期二（1）坐