高中數(shù)學-橢圓及其標準方程教學設計學情分析教材分析課后反思

《橢圓及其標準方程》教學設計【教學目標：

】

1.掌握橢圓的定義及其標準方程；通過對橢圓標準方程的探求，熟悉求曲線方程的一般方法.

2.在橢圓概念的形成過程及其標準方程的推導過程中,培養(yǎng)學生的歸納概括能力、動手實踐能力、分析問題、解決問題的能力及運算能力.

3.在教學中充分揭示“數(shù)”與“形”的內(nèi)在聯(lián)系，體會數(shù)形美的統(tǒng)一，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生敢于探索，勇于創(chuàng)新的精神.

教學重點和難點:

1.重點：感受建立曲線方程的基本過程，掌握橢圓的標準方程及其推導方法.

為了突出重點，讓學生動手實踐，自主探索，通過畫圖揭示橢圓上的點所要滿足的條件由此得出定義，推出方程.

2.難點：橢圓標準方程的推導.

為了突破難點，關鍵是抓住“怎樣建立坐標系”和“怎樣簡化方程”兩個環(huán)節(jié)來進行方程的推導.

(一)創(chuàng)設情境，引入課題

本節(jié)課的開始由視頻“神舟十號”無人飛船飛天引入。提出問題:

“神州十號”

的軌道是什么形狀？

待學生回答后,請學生敘述生活中見到的橢圓形象，并用課件展示我所搜集的橢圓形象，讓學生形成橢圓的感性認識，引入課題.

[設計意圖]

這一過程充分調(diào)動學生的學習興趣，激發(fā)學生的探究心理,為引出新知做鋪墊.通過舉例和展示生活中橢圓形的圖片，讓學生認識到橢圓和日常生活關系密切.使他們感受數(shù)學的應用價值，同時培養(yǎng)學生學會用數(shù)學眼光去觀察周圍事物的能力.

(二)實驗探索，形成概念

有了對橢圓的感性認識,如何來研究橢圓呢?

提出問題1：曲線可以看作適合某種條件的點的集合或軌跡.

橢圓是滿足什么條件的點的軌跡呢？

這時借助于多媒體演示橢圓的畫法，請學生用老師準備的學具動手畫圖，并思考問題.在學生思考的過程中我繼續(xù)用問題引導：問題2：圓是如何定義的,圓是滿足什么條件的點的軌跡呢?學生回答后我繼續(xù)追問：問題3：在畫圖的過程中，哪些量在變，哪些量保持不變

？學生根據(jù)自己的實驗，觀察回答：“兩定點間的距離沒變，繩子的長度沒變，點在運動.”

我繼續(xù)提問4：你們能根據(jù)剛才畫橢圓的過程，類比圓的定義，歸納概括出橢圓的定義嗎？

先讓學生獨立思考,嘗試歸納,然后進行小組合作交流

,教師重點關注學困生,適時給予點撥指導.幾分鐘后,大部分學生都能得到橢圓的定義:“平面內(nèi)與兩個定點的距離之和為常數(shù)的點的軌跡叫橢圓.”

接著對得到的概念進行剖析，提出問題：這個常數(shù)是任意的嗎？

給學生兩分鐘時間進行思考、討論、交流，嘗試找出答案，若有困難，教師借助于演示實驗再次探索觀察，學生不難發(fā)現(xiàn)，這個常數(shù)必須大于兩定點間的距離.這樣，就得到了完整的橢圓定義平面內(nèi)與兩個定點、的距離之和等于常數(shù)（大于|FF|）的點的軌跡叫做橢圓。定點F1、F2叫做橢圓的焦點，F(xiàn)1、F2間的距離叫做橢圓的焦距。

[設計意圖]這一過程充分體現(xiàn)了新課標要求的以教師為主導，學生為主體的理念，提高了學生的歸納概括能力，并培養(yǎng)其思維的嚴謹性.

(三)合理建系，導出方程

給出橢圓的定義后，教師即可指出：由橢圓定義，知道了它的基本幾何特征，這只是一種“定性”的描述，但是對于這種曲線還具有哪些性質(zhì)，尚需進一步研究.

根據(jù)解析幾何的基本思想方法，我們需要利用坐標法先建立橢圓的方程“定量”的描述，然后通過對橢圓的方程的討論，來研究其幾何性質(zhì).

提出問題1：用坐標法求曲線方程的步驟有哪些?問題2：如何來求橢圓的方程呢?

在學生回答問題1的基礎上，啟發(fā)引導學生嘗試求橢圓的方程。

教師指出，如何建系是求曲線方程重要而關鍵的一步，請學生觀察橢圓的形狀，你認為怎樣選擇坐標系最合理？

先讓學生嘗試探究，并說明自己建系的理由.

學生可能會選擇多種建系方式，例如選擇以F1或者F2作為坐標原點，這時要加以引導說明:建系一般應遵循簡單、優(yōu)化的原則.使點的坐標、幾何量的表達簡單化，方程達到最簡潔，同時要注意充分利用圖形的對稱性.

在老師的引導下學生選擇這兩種方案來建系此時，我讓學生以第一種方案建系,設出動點M的坐標M(x,y),寫出動點M滿足的集合：P＝｛M

|│MF1│+│MF2│|

=2a｝

列出方程：

，對于這樣一個含有兩個根式的方程，學生在之前的學習中沒有遇到，大多數(shù)學生的學習活動因此而受阻，我適時啟發(fā)引導學生，對于含有兩個二次根式的方程的化簡，應先去其中的一個根式，將其單獨放在等號的一邊，兩邊平方。同樣的辦法再去另一個根號。

對以上的過程要給學生充足的時間，相信學生，讓學生獨立完成，教師重點關注學困生，適時加以點撥.讓學生嘗試方程的化簡，叫一名中等學生板演，相信大多數(shù)學生都能得到這個方程：

教師指出該方程還不夠簡潔對稱,能否使其更簡潔一些呢？我結合圖形，引導學生觀察a、c

，引入字母b,這樣不僅簡化了方程，還使得字母b具有明確的幾何意義.得到方程

.

告訴學生這就是橢圓的方程，稱之為橢圓的標準方程，它的焦點在x軸上.

得到了焦點在x軸上的橢圓的方程，我繼續(xù)提問：你能得到焦點在y軸上的

橢圓方程嗎？

大多數(shù)學生會不假思索地說：再按剛才的方法推一遍即可.我啟發(fā)學生，還有更簡單的辦法嗎？不急于讓學生回答，給兩分鐘時間讓他們思索、討論，此時，會有學生發(fā)現(xiàn)只要將坐標軸交換一下，也就是將方程中的x,y互換即可得到焦點在y軸上的橢圓的標準方程：

得到方程

.

告訴學生這就是橢圓的方程，稱之為橢圓的標準方程，它的焦點在x軸上.

得到了焦點在x軸上的橢圓的方程，我繼續(xù)提問：你能得到焦點在y軸上的

橢圓方程嗎？

大多數(shù)學生會不假思索地說：再按剛才的方法推一遍即可.我啟發(fā)學生，還有更簡單的辦法嗎？不急于讓學生回答，給兩分鐘時間讓他們思索、討論，此時，會有學生發(fā)現(xiàn)只要將坐標軸交換一下，也就是將方程中的x,y互換即可得到焦點在y軸上的橢圓的標準方程：

[設計意圖]

這樣設計使學生完全成了學習的主人，由被動的接受變成主動的獲取。通過討論，讓學生互相交流，互相學習，培養(yǎng)他們的合作意識和謙虛好學的品質(zhì)。在師生互動的過程中，讓學生體會數(shù)學的嚴謹，使他們的觀察能力、運算能力、推理能力得到訓練，滲透數(shù)形結合的數(shù)學思想。并感受橢圓方程、圖形的對稱美，獲得成功的喜悅！

(四)對比分析，加深認識

為了強化認識，我設計了如下表格:

標準方程+=1+=1圖形

a,b,c關系焦點坐標焦點位置在x軸上在y軸上

[設計意圖]通過填表，進行對比總結，不僅使學生加深了對橢圓定義和標準方程的理解，有助于教學目標的實現(xiàn)，而且使學生體會和學習類比的思想方法，為后邊雙曲線、拋物線及其它知識的學習打下基礎。

（五）課堂小結（1）橢圓的定義及其標準方程；（2）標準方程中的關系；（3）焦點所在的軸與標準方程形式之間的關系（六）作業(yè)布置：P28

習題2.2.（1）

2【學情分析】(1)在學習本課之前學生已學習了直線和圓的方程及其性質(zhì)，曲線與方程的關系，對解析幾何有一定的了解，已有一定的觀察、分析、解決問題的能力.這為本節(jié)課的學習奠定了必要的知識基礎。(2)在日常生活中，學生對橢圓有了一定的認識，但仍沒有上升到成為“概念”的水平，將感性認識理性化將會是對他們的一個挑戰(zhàn)，含有兩個根式的方程的化簡也會使學生的探究受阻，教師要適時加以點撥?！拘Ч治觥勘竟?jié)課目標明確，結構安排科學合理，重點突出，層次分明，運用了談話式，啟發(fā)式教學方法，學生積極參與，踴躍發(fā)言，聯(lián)系現(xiàn)實生活，比如：人造衛(wèi)星運行軌跡，紅旗、豐田等汽車的標志外形都是橢圓，圓柱形盛水杯子傾斜時的截面也是橢圓，讓學生感覺到數(shù)學就在身邊，只要我們用心觀察就會把我們學習的知識和現(xiàn)實聯(lián)系起來。整堂課課堂氣氛融洽活躍，通過實物，課件演示把本節(jié)課的難點很容易的就解決了。通過本節(jié)課的學習，使學生不但掌握了新的知識，而且掌握了一定的數(shù)學方法，提高了邏輯思維能力，運算能力，看到了數(shù)學的對稱美，提高了學生學習數(shù)學的興趣，充分體現(xiàn)了現(xiàn)代的教學模式，以學生為主，教師為輔，精講多練，達到了本節(jié)課的預期效果?！窘滩姆治觥俊稒E圓及其標準方程》是人教A版普通高中課程選修2-1第二章的第二節(jié)內(nèi)容，在前面學生已經(jīng)學習了運用坐標法研究直線和圓的性質(zhì)，及曲線與方程的關系，對橢圓概念與方程的研究是坐標法的深入，為后面研究雙曲線、拋物線提供了基本模式和理論基礎，因此，“橢圓及其標準方程”起到了承上啟下的重要作用?！驹u測練習】【教學反思】本節(jié)借助幾何畫板的演示功能，使學生通過點的運動，觀察到橢圓的軌跡的特征。多媒體創(chuàng)設問題的情境，讓探究式教學走進課堂，喚醒學生的主體意識，發(fā)展學生的主體能力，讓學生在參與中學會學習、學會合作、學會創(chuàng)新.學生雖然對橢圓圖形有所了解，但只限于感性認識，缺少理性的思考、探索和創(chuàng)新，這與缺乏必要的數(shù)學思想和方法密切相關.本節(jié)課從實例出發(fā)，用多媒體結合本課題設計了一對動點有規(guī)律的運動作一些理性的探索和研究.在教材處理上，大膽創(chuàng)新，根據(jù)橢圓定義的特點，結合學生的認識能力和思維習慣在概念的理解上，先突出“和”，在此基礎上再完善“常數(shù)”取值范圍.在標準方程的推導上，并不是直接給出教材中的“建系”方式，而是讓學生自主地“建系”，通過所得方程的比較，得到標準方程，從中去體會探索的樂趣和數(shù)學中的對稱美和簡潔美.在對教材中“令”的處理并不是生硬地過渡，而是通過課件讓學生觀察在當為橢圓短軸端點時(但這一幾何性質(zhì)并不向?qū)W生交待)，特征三角形所體現(xiàn)出來的幾何關系，再做變換.【課標分析】《橢圓及其標準方程》是人教A版普通高中課程選修2-1第二章的第二節(jié)內(nèi)容.課程標準對這部分內(nèi)容的要求是：“經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程，掌握橢圓的定義、標準方程及簡單幾何性質(zhì)”根據(jù)教學內(nèi)容的地位和作用，結合學生的實際，確定了以下教學目標：

1.掌握橢圓的定義及其標準方程；通過對橢圓標準方程的探求，熟悉求曲線方程的一般方法。

2.在橢圓概念的形成過程及其標準方程的推導過程中,培養(yǎng)學生的歸納概括能力、動手實踐能力、分析問題、解決問題的能力及運算