2020年數學中考最值問題試題總匯含答案

初中代數、幾何所有最值問題

一代數問題中的最值問題

1、從-3,-2,-1,4,5中任取兩個數相乘，所得積中最大值為。，最小值為6,求；的值？

b

.4

答案：？

2、若。,b,c都是大于1的自然數，且個=252b,求〃的最小值？

答案：42.

解析：252b可以分成某數基的形式。252b=6X6X7b,b=7,即a=6X7=42.

X即

3、下面是按一定規(guī)律排列的一組數：

第一個數：1-11+二fl

2<2)

1(-1Y(-1)2Y(-1戶

第二個數：-11+_||1+__II1+___I

3I2W314J

I(-1V(-1)2Y卜1)3(-1)4Y(7產

第二個數：-Ii+_|i1+____||i+_____||1+||i+_____?

412A3JI4A人6J

第n個釉

if-1V(->)2V/)3r(_1產n

_-|l+_U+____II1+?.......H+?

IT/4J—(72〃J

那么在第10個數，第11個數，第12

個數中，最大數是？

答案：第10個。

1-n

解析:第〃個數是把"=10,〃=11,"=12,"=13分別代入得出答案。

2("+1)

4、已知:「說是整數，求滿足條件的最小整正數"的值?

答案：5

解析.20n=4X5Xn,因為.20月是整數,20n是一個完全平方數，，n的最小值為5

4、當（m+n）z+1取最小值時，求」--+相』的值?

答案：0

解析：（m+n）?+1取最小值，m+n=0時最小。再用特值法求出答案。

5、設a=35。,6=440,c=53。,求a,6,c中最大和最小的是？

答案：最大是6,最小時°。

解析：350=35,O,440=44,O,530=53，°

v44>35>53,>a>c

二.b最大,c最小.

6^已知正整數。,方,。(其中滿足a"c=M+30,求a+b+c的最大值和最小值。？

答案：最大值是33,最小值是13.

舟慚：vabc-ah=30,/.a/,(c-l)=5x6^1x30

又「為正整數，且a工b?.當a"=5且c-l=6時有最小值。，a=5,b=l,c=7

Q+b+c=3

當〃>(。_1)=以30時有最大值，ab=30,c-\=1

a=30,b=1,c=2,.,.a+b+c=32>

6x2+12x+10

7、求分式「--------的值的最小值？

x2+2x+2

統4

解析：把分子與分母看成是兩個二次函數，分別求出最小值在比商得出答案。

8、已知三角形的三邊a、b、c都是正整數，且[a,b,c]=60,(a.b)=4,(b.c)=3.

求a+b+c的最小值？

答案：31

解析：由[a,b,c]=6O可知，A,B,C的最小公倍數是60,60=2X2X3X5,由(a,b)=4

可知，a,b的最大公約數是4,；.a=4,b=12,由(b,c)=3可知，b,c的最大公約數是3,

c=15,且a=4>b=12,c=15能組成三角形。.,.a+b+c=31

9、2020年2月20S,全國19省市對口支援湖北的16個市，為援鄂的白衣天使驕傲。將

176名醫(yī)護逆行者分成甲乙兩組，因感染人的不斷增加，將從甲組抽出16名醫(yī)護到乙組，

這時乙組人數比甲組人數的m倍還多31人，求乙組原來至少有多少人？

答案：131

解析：這是帶參數的二元一次方程組。設甲原來有x人，乙原來有y人，

卜+y=176

lv-i6=a(v+16)+31

整理得用+1Vx,y,m都是整數，.?.當m=5或29或144時此方程為整數。

?,.當m=5時，y值最小。最小值為131.

9、有兩個整數的和，差，積，商的和為144,求這兩個數對有幾種可能？這兩數和的最小

值是多少？這兩數積的最大值是多少？

答案：有7對(11,11)(一13,-13),(3,27),(-5,-45),(2,32),(—4,-64)

(-2,-288)。和最大值是34,積最大值是576.

解析：設兩數分別是x,y,由題意可知：(x+1)+(x->)+孫+L=144

y

整理得;±3+1)2=1X32x42

y

分類討論"=1,3+1)2=144；

y

當t=9時3+1)2=16

y

當士=16時(y+l)2=9

y

當「=144時3+1)2=1,解出四種情況得出答案。

Y

10^如果兩個數x,歹滿足x+y+3=10-7-工一歹,求x+y的最小值。答案：一3

解析：設、+>=加，任根據緝對值地幾何意R可得出答案。

11>已知非負數x,yfz滿足與^=231=設卬=3x+4y+5z,求卬的最大值和最小值？

答案：最小值：19；最大值：35，

3

解析：題目中w含三個未知數，但這三個未知數滿足一個等式，因此用換元法得出一個新的方程,

將題目簡化。

12、已知實數x,yf求〃7=5/一4切+/—4工+6的最小值和當它取最小值時工與?的值？

答案：x=2,y=4f最小值：2

解析：把右邊進行配方成完全平方，利用非負數的性質來求最小值。

13、已知a,b,c是三個非負數，并滿足3Q+26+C=5,2Q+6-3c=1,設機=3a+b-7c,

記x為根的最大值，y為〃?的最小值。求中的值。

a=7c-3

解析：由條件組成方程組，解得a,6的值,代入m=3a+b-7c,

/=7-llc

37

zn=3c-2.又a,b,c為非負數，故一一

711

當c=Z時，x---當c=2時，y=-—：

111177

平面幾何中的最值問題：幾何模型(代數幾何化；兩點之間線段最短；三角形三邊關系)；函

數模型。

幾何模型：

【幾何數化求最值】

代

1、如圖，是由9個等邊三角形組成的裝飾圖，已知中間最小的三角形的邊長為1cm,現在

要此圖的外圍鑲一條彩帶，問彩帶最少要多長？

答案:30

解析：AG=x轉化成方程來解。

【兩點之間線段最短】

1、如圖，在一條船筆直的公路MN的同旁有兩個新開發(fā)區(qū)A,B,已知AB=10千米，直線

AB與公路MN的夾角/AON=30°,新開發(fā)區(qū)B到公路MN的距離BC=3千米。

⑴求新開發(fā)區(qū)A到公路MN的距離。

⑵現從MN上某一點P處向新開發(fā)區(qū)A,B修兩條公PA,PBo使點P到新開發(fā)區(qū)A,B的距

離和最短，請用尺規(guī)作圖找出P的位置（保留作圖痕跡，不寫畫法），并求出此時的最小值？

答案：⑴8千米⑵將軍飲馬模型求p點。PA+PB的最小值是14千米。

解析：⑴作AD_LMN與D點，利用Rt△中30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出答案

⑵

過B作HB'_LMN,連接AB'交MN與點P,P點即為所求。PA+PB的最小值就是AB

過A作AH_LHB',垂足為H,根據三角函數可知HB=5,HB'=11,

AH=5KAB,=dAH2+HB，=+11?=\4=PA+PB

【三角形三邊關系】：

1、如圖、在△ABC中，AC=BC=2,/ACB=90°,P為BC邊上一定點，(不與點B,C重合)，Q為AB邊

上一動點，設BP=a,(0<a<2),請寫出CQ+PQ的最小值？并說明理由。

答案:^4+a2

解析：找Q點有兩種方法：圖2是作P點關于AB的對稱點P',連接cp'交AB于Q點；圖3是作C關

于AB的對稱點，連接C'P,交AB于點Q。

在圖2中，放yBP，中，CP'=>/CB2+BP,2=V4+a2

/.CQ+PQ=V4+a2

2、在AABC中，ZA=15°,AB是定長，點D,E分別在AB,AC上運動，連接BE,ED,若BE+ED的值最

小值是2,求AB的長。

圖1

答案：AB=4

解析：作B關于AC的對稱點B',過B'作B'D±AB,交AC于E。連接AB'

由對稱性可知AB=AB',DB'=DE+BE性,/BAB'=30°

AB=AB'=---=4

sin30°

3、如圖，平行四邊形ABCD中，NBAD=60°,AB=6,BC=2,P為CD邊上的一動點,

則*爭。的最小值?

答案；：3右

解析：過作BH_LAD的延長線與H點。?.,AB〃DC；./HDC=NA=60°,

.,.BH=sin60°X6=3^

HP=sin60°xDP=—xDP,

2

BH=HP+BP=—OP+PS=3V3

2

4、BM=6.P西】如圖，在正方形ABCD中，AB=8,AC與BD交于0點，N是0A的中點，點M在BC上，且

B\I=6.P為對角線上一點，貝UPM-PN的最大值是____.

圖1

答案：2

解析：找N關于BD的對稱點N',連接MN'交BD于P點。

根據題意易得;AN=ON=ON'=N'C=2V2

CNCM2V2

=-,ZNCM=NACB

BC'8尤8

.“NCMiACB,

NMIAB,PM_LBC

PM=tan45°xMB=6

NNCM=CN'M=ZPN'N=ZPNC=45°

NP==PN'=4

PM-PN=6-4=2

【幾何中面積最值】：本質是各種圖形的面積公式，方法：轉化成1、總面積等于部分面積和;

2、轉化成函數問題。

1、如圖，RtZ\ABC中，ZB=90°,AB=4,BC=3,動點P從A以2個單位每秒的速度向B運動，動點Q

以1個單位速度每秒從B向C運動，當時間為多少時，四邊形APQC的面積最??？

答案：1

解析：此題所求面積是總面積（不變）-apeQ的面積。要使此面積最小，只有三角形的面積

最大。

設時間為，，&BPQ=^SPxBQ=-r2+2z

2

當仁一=1時，面積最大，此時四邊形4PQC的面積最小。

2x(-1)

2,如圖，平行四邊形ABCD中，AB=4,BC=3,ZBAD=120°,E為BC上一動點，（不與B重合），

作EF_LAB與點F,設BE=x,ADEF的面積為S,當E運動到何處時，$有最大面積，最大值為多

少？

答案：E與C重合時（x=3）,最大值為34

解析：由題可知，s與x是函數關系，故延長FE,DC交于點G

.".FG1DGVZBAD-12O0,由三角函數可求得EF,DG的長。

S=-EFXDG=-—X2+^-X

288

其中0<xM3

11V3

..Yb_k_H牝

?X-----7=-，-----Y0

2a"行］28

2x-

I8J

.,.當x=3時s的值最大，最大值=3VJ

3、如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，ZA=60°,M是AD的中點，N是AB邊上的一動點，將AAMN

沿MN所在的直線翻折得到△△'MN,連接A'C,則A'C的長度的最小值是多少？

解析：核心方法：求一條線段的最值問題一般是將這條線段轉化到頂點所在線段線段上，線段

共線，最小值用減法，最大值用加法。

此題要求A'C的最小值，故把A'C轉化到線段CM上,用CM-MA'.過M作MHLCD的延長線與H點。

VZA=60°Z1=.60°,,Z2=30

是中點，...AM=MD=1,...HD=l/2,""=當

HC=-

2

MC=\IMH2+HC2=V7

由翻折性質可知：AM=MA=\

：.AC=V7-1

【圓中的最值問題】1、圓中最大弦是直徑，2、圓外點與圓上點的最短距血和最長距離，3、

動點定角對定線段作輔助圓。

1、在aABC中，ZA=60°,a=2,求aABC的面積的最大值？

答案：內

解析：ZA=60°（定角）對的邊a=2（定線段），點是動點，作輔助圓--------以a為弦，圓周

角為60°作圓，要使三角形面積最大，底邊不變，高必須最大，故4ABC為等邊時a邊上的高最

大。有等邊三角形的面積=彳“。得出答案。

2、如圖，RSABC中,ABXBC,AB=6,BC=4,P是AABC內部一動點，且滿足NPAB=NPBC,求線

段CP的長的最小值？

解析：由題意可知NAPB=90°（定角），所對的邊AB=6（定線段），P是動點，，作以AB為直徑

的。。，CP的最小值轉化成圓外點與圓上點的最短距離，就是圓外點P與圓心0連線交。。于P點。

.?.0B=6+2=3,BC=4,，0C=5,0P=0B=3,

：.CP=2

3、在RtZkABC中,NACB=90°,AC=8,BC=3,點D是BC邊上一動點,連接AD,交以CD為直徑的圓與

點E，求線段BE的長度的最小值。

c

c

01

圖

圖12

答案：1

解析：圖2由題意易知/CEA=90°（定角），所對的邊AC=8（定線段），E點是動點，...以三點

C,E,A作圓,

BE=B0j

ZACB=90°

CO|=g/C=gx8=4=EO],3c=3

BO】=5,

BE=BOj-EO1=5-4=1

4、如圖，△ABC為等邊三角形，AB=2,若P為AABC內一動點，且滿足NPAB=/ACP,求線段PB長

度的最小值？

圖2

2拒

答案：3

解析：圖2,由題意易知：NAPC=120"（定角），AC=AB=2（定線段），點為動點，

P

述

...過三點A,C,P作圓，易知AOPA為等邊三角形，由垂徑定理知0A=AE+sin60°==3=0P

4Ji

4=2+COS30°=—

3

.PRnRcp4行2百2VI

??rr>=OB-Or=-----------------=--------

333

【解析幾何中的最值問題】：1、二次函數圖像的最值；解題方法：在區(qū)間取兩端；

2、函數圖像與幾何圖形中的最問題：

值

解題的核心：用解剖法各個擊破（題中告訴啥就干啥）

1、已知二次函數y=x?—2x+2在tWxWt+1時有最小值是t,求t的值？

答案：1或2

解析1：有題意可知：對稱軸x=l,開口向上，

當*丸+1時，函數有最小值t.

可得方程：t=(t+l)2—2(t+1)+2此方程無解

當對稱軸x=l在t與t+1之間時，最小值t=l;

當x在對稱軸的右邊時，y隨x的增大而增大，止匕時x=t有最小值t,即t=t?-2t+2

解得：t=l或2

綜合上述：t的值為1或2.

解析2：在區(qū)間取兩端。

當x=t是函數值最小為t,代入得t=t2