2012-2021北京重點區(qū)高三（上）期末數(shù)學匯編：數(shù)列章節(jié)綜合

2012-2021北京重點區(qū)高三（上）期末數(shù)學匯編

數(shù)列章節(jié)綜合

一、單選題

1.（2021.北京東城.高三期末）已知｛4｝是公差為”的等差數(shù)列，為其前〃項和.若S,=34+3,則〃=

()

A.B.-1C.1D.2

2.（2015?北京東城?高三期末（理））設等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S.,若%+%=4,則S”等于

A.12B.18C.22D.44

3.（2016?北京西城?高三期末（理））FwN：=44+2”是"數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2019?北京西城?高三期末（文））設｛《,｝是等比數(shù)列，則"4＜出''是''數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)例」”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2012?北京朝陽?高三期末（理））已知數(shù)列｛見｝的前〃項和為S“，且S.=24-1）,則。2等于

A.B.1C.2D.4

6.（2021?北京海淀.高三期末）數(shù)列｛qj的通項公式為%=〃2-3〃，“eN,前〃項和為S“，給出下列三個結(jié)論:

①存在正整數(shù)〃%〃（帆X”）,使得在=整;

②存在正整數(shù)加,使得4”+?！?2*7T;

③記T1t=????,,（〃=1,2,3,…）則數(shù)歹U｛%｝有最小項，

其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①B.③C.①③D.①②③

7.（2019?北京海淀?高三期末（理））已知等差數(shù)列｛%｝滿足4=2,公差1*0,且4M2嗎成等比數(shù)列，貝儲=

A.1B.2C.3D.4

）已知數(shù)列｛q｝是公比為2的等比數(shù)列，且滿足，-%=0,

8.（2020?北京?海淀高三期末(理)則知的值為

A.2B.4C.8D.16

9.（2013?北京海淀?高三期末（理））已知數(shù)列｛%｝是公比為g的等比數(shù)列，且0rq=4,4=：8,則q+g的值

為

A.3B.2C.3或一2D.3或一3

二、填空題

10.（2012?北京朝陽?高三期末（理））已知數(shù)列｛a“｝（〃eM）滿足：4=log,"，?+2）（〃eN"）,定義使

aca2-a.-……?4為整數(shù)的數(shù)k（&eN*）叫做企盼數(shù)，則區(qū)間U,2011］內(nèi)所有的企盼數(shù)的和為.

11.（2021?北京海淀?高三期末）設等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”.若-5、與、七成等差數(shù)列，則數(shù)列｛%｝的公比

為.

12.（2018?北京海淀?高三期末（理））已知公差為1的等差數(shù)列｛4｝中，％,生，%成等比數(shù)列，則｛《,｝的前

100項和為.

13.（2016?北京海淀?高三期末（理））已知等比數(shù)列｛《,｝的公比為2,若%+4=4,則4+包=.

14.（2020?北京海淀?高三期末）在等差數(shù)列｛%｝中，若%=5,%=2,則％=.

15.（2014?北京海淀.高三期末（文））已知實數(shù)a>0且axl,函數(shù)，若數(shù)列｛%｝滿足4=f（"）

/（"）=｛""I

ax+b,x>3.

（〃€“），且｛a,,｝是等差數(shù)列，則。=—,b=—.

三、雙空題

16.（2019?北京東城?高三期末（理））若等差數(shù)列｛an｝和等比數(shù)列｛bn｝滿足al=-l,bl=2,a3+b2=-l,試寫出一組

滿足條件的數(shù)列｛an｝和｛bn｝的通項公式：an=,bn=.

17.（2012?北京東城?高三期末（理））在等差數(shù)列｛氏｝中，若%+%=4,%+G=-2,則數(shù)列｛““｝的公差等于

,其前"項和S"的最大值為.

18.（2018?北京西城?高三期末（理））數(shù)列｛%｝是公比為2的等比數(shù)列，其前〃項和為S”.若%=；，則%

=-------;=-------

19.（2019?北京朝陽?高三期末（文））已知數(shù)列為等比數(shù)列，S,,為其前”項的和，若a。4=64,4=32,

則<?=;Ss=.

20.（2020?北京朝陽?高三期末）已知等差數(shù)列｛凡｝的公差為2,若叫，%，%成等比數(shù)列，則/=;數(shù)列

他“｝的前〃項和的最小值為.

21.（2018?北京朝陽?高三期末（理））已知數(shù)列｛可｝滿足。用（?>2）,%=p,生=4（。，養(yǎng)/?）.設

S.=￡>,,則4。=;520|8=.（用含P，4的式子表示）

;=|

四、解答題

22.（2016?北京東城?高三期末（理））設｛七｝是一個公比為例4>0,〃=1）的等比數(shù)列，且它的前4項和S4=匕，

4q,3%,2%成等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列5.｝的通項公式；

（2）令仇=4+2〃（〃=1,2,3」..），求數(shù)列｛?｝的前〃項和.

23.（2018?北京東城?高三期末（文））已知等差數(shù)列｛即｝滿足，〃=1,。2+如=10.

（I）求｛〃〃｝的通項公式；

（n）若，=4+2%,求數(shù)列｛尿｝的前w項和.

24.（2018?北京東城?高三期末（文））已知應｝是等差數(shù)列，｛〃｝是等比數(shù)列，且6=々=2,%+/=22,

她=甌

（1）數(shù)列他“｝和｛仇｝的通項公式;

（2）設c.=a“-b”,求數(shù)列｛cj前〃項和.

25.（2016?北京東城?高三期末（文））已知等差數(shù)列｛《,｝的前n項和為SR,且滿足4=2,S3=12.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

（2）若成等比數(shù)列，求正整數(shù)4的值.

26.（2014?北京東城?高三期末（文））已知｛aj是一個公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a3a5=45,a?+a6=14.

（I）求｛a,,｝的通項公式；

（H）若數(shù)列｛b“｝滿足：?+專?+…+*=a“+l（〃€N*）,求｛5｝的前n項和.

參考答案

1.c

【解析】

根據(jù)應｝是公差為d的等差數(shù)列，且邑=3%+3,利用等差數(shù)列的前〃項和公式求解.

【詳解】

因為｛%｝是公差為d的等差數(shù)列，且S?=3“+3,

所以3q+34=3q+3,

解得d=l,

故選：C

2.C

【詳解】

由等差數(shù)列的性質(zhì)，得=。3+。9=4,則S=叁a；巴"11X2=22.

考點：等差數(shù)列.

3.B

【分析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合等比數(shù)列的定義和性質(zhì)進行判斷即可.

【詳解】

解：若4,=。，則滿足“3=44+2,但數(shù)列｛4｝不是等比數(shù)列，即充分性不成立，

反之若數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，則a3=44+2,成立，即必要性成立，

即“V〃wN*,*=44+2”是“數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列”的必要不充分條件，

故選：B.

【點睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)等比數(shù)列的定義是解決本題的關鍵.

4.B

【分析】

fa>0fa<0

由“<生,可得q(4-l)>0,解得'或'根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性的判定方法，結(jié)合充分、必要條

[q>1I”1(<7x0)

件的判定方法，即可求解，得到答案.

【詳解】

,,fa,>0fa.<0

設等比數(shù)列｛a,,｝的公比為4,則q<生，可得q(g-l)>o,解得，或《“小，

卜>11"1(叱0)

此時數(shù)列｛q｝不一定是遞增數(shù)列；

[a.>0fa.<0

若數(shù)列｛見｝為遞增數(shù)列，可得'，或二一

口>1[0<^<1

所以“4<4”是"數(shù)列｛《,｝為遞增數(shù)列”的必要不充分條件.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式與單調(diào)性，以及充分條件、必要條件的判定，其中解答中熟記等比數(shù)列的單調(diào)

性的判定方法是解答本題的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.

5.D

【分析】

在S,,=2（a“-1）中，分別令〃=1,〃=2即可得結(jié)果.

【詳解】

由S.=2（4-1）,

令”=1,可得S]=2（%-1）=4=4=2,

再n=2,可得$2=2（々7）=4+“2=“2=4,

故選D.

【點睛】

本題主要考查數(shù)列的基本概念，以及特值法的應用，屬于基礎題.

6.C

【解析】

由4=〃2-3〃，令?！?0,求得。3=0,得到邑=$3,可判定①正確；由當“23時，??>0,且單調(diào)遞增，結(jié)合基

本不等式，可判定②不正確：由4=-2,4=-2,%=0,且當〃>3時，??>0,且單調(diào)遞增，可判定③正確.

【詳解】

由題意，數(shù)列｛q｝的通項公式為勺=/-3〃，

令?！?0,即〃2-3”=0,解得〃=3或〃=0（舍去），即。3=°，

所以52=&，即存在正整數(shù)加,〃（〃件〃），使得S,“=S"，所以①正確；

由4=〃2-3〃，可得當〃23時，%20,且單調(diào)遞增，

當孫〃€口,3]且見〃eN*時，可得%220,所以a“,+a,產(chǎn)2ja,“a”；

當,","€[3,+00）且加,〃6%+時，am+a?>2y]amalt,當且僅當％,=?！皶r等號成立，

綜上可得，不存在正整數(shù)犯〃（機/〃），使得%+4=2瘋]，所以②不正確；

由數(shù)列｛/｝的通項公式為為=/-3〃，

可得4=-2,2=-2嗎=0,且當〃>3時，a?>0,且單調(diào)遞增，

所以7；,=4%…%（〃=1,2,3,…），所以當”=1時,數(shù)列｛4｝有最小項工=-2,所以③正確.

故選：C.

7.D

【分析】

先用公差d表示出結(jié)合等比數(shù)列求出乩

【詳解】

出=2+44=2+43,因為4，%,%成等比數(shù)列，所以(2+斤=2(2+44),解得d=4.

【點睛】

本題主要考查等差數(shù)列的通項公式.屬于簡單題，化歸基本量，尋求等量關系是求解的關鍵.

8.C

【詳解】

試題分析：

由題知：因為

電

4—4/=0,..%=1.:a4=a/=1x8=8.

考點：等比數(shù)列

9.D

【詳解】

a.a,=4a.=1a,=-1

試題分析：???｛「。'或｛'C，...4+4=3或—3.

%=89=2q=-2

考點：等比數(shù)列的通項公式.

10.2026

【分析】

利用換底公式化簡4小…4,再由對數(shù)的定義得出A=)-2。為正整數(shù))，然后由Z的范圍求出所有女值，應用分

組求和法求得數(shù)列的和.

【詳解】

解：由題意…9=log23」og34…?log-C+2)=k>g23^^.?^?W=k>g2(L+2),

log,3log式氏+1)

設log?伏+2)=f(，為正整數(shù))，則女+2=2"k=2'-2,

V*e[1,2011],k=22-2,23-2,24-2,.-210-2,

其和為Q2—2)+(2'-2)+…+(2'-2)=(22+23+…+2忖)-18=2"-18=2026.

故答案為2026.

【點睛】

本題考查數(shù)列新定義問題，掌握對數(shù)的換底公式是解題關鍵.同時要掌握數(shù)列的求和方法：分組求和及等比數(shù)列前

〃項和公式，本題屬于中檔題.

11.3或-1

【解析】

先設等比數(shù)列的公比為4,根據(jù)題中條件，列出方程求解，即可得出結(jié)果.

【詳解】

設等比數(shù)列｛4｝的公比為q,

因為等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為s“，+、邑、生成等差數(shù)列，

所以2S2=-號+ay,則2(a,+%)=-《+%,

因止匕3a,+2%=%,所以/-2q-3=0,解得q=3或q=-l.

故答案為：3或-1.

12.5050

【詳解】

由題意得，4，%，%構(gòu)成等比數(shù)列，所以=4?q=(4+"尸=4(《+3"),

即(q+1尸=4(4+3),解得q=l,

所以數(shù)列｛q｝的前100項的和為S^EOOxl+W^^xGSOSO.

13.6

【詳解】

試題分析：

2

由題知：+。3=2al+4%=6al=A,:.ax--.

22cl8r

所以的+a4=—H-x8=—=6.

333

考點：等比數(shù)列

14.0

【詳解】

試題分析：設等差數(shù)列｛%｝的公差為4,由已知得6-%=3〃=一3,所以d=—l,所以%=%+5"=5-5=0.

考點：等差數(shù)列的通項公式.

15.2,0

【詳解】

試題分析：；an=｛：；'+b雋：'，二數(shù)列｛%｝中的項分別為"，3。+"44+b,…，由于｛叫是等差數(shù)列，

2a2=a+3a+bS.2(3a+b)=a2+(4a+b),/.a=2,b=0.

考點：等差數(shù)列的定義.

16.-n2

【分析】

設等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q,由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，解方程可得d,q,即可得到

所求通項公式，注意答案不唯一.

【詳解】

等差數(shù)列｛a,,｝的公差設為d,等比數(shù)列｛b,,｝的公比設為夕，

——1,b、=2,"3+A=—1,nJ_1+2d+2q=—1,

即為d=-q,可取d=-l,可得4=1,Ijllja,,=-l-(?-1)=-?,h?=2,

故答案為f,2.

【點睛】

本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式的運用，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題.

17.-357

【詳解】

a5+a-,=4,4+4=-2,,4=2,%=-L，d=-3,q=17,所以前6項的和最大$6=里幺鏟4=57

18.2,-3—

4

【詳解】

3

?2=a,X2=11=1X2"-'=2'-,0一2。31,故答案為2”一,日.

45

245=1-2=J4

19.2126

【解析】

根據(jù)題意只需將44%=64及%=32中的%,由，生都用基本量4和4表示出來，解出％和4,進而利用等比數(shù)列

求和公式即可求出$6.

【詳解】

心3=64,a“=4,(7=2,

由已知得＜即解得

—32,q/=32,4=2,

所以56=2(］；)=126.

故答案為：2；126

【點睛】

本題主要考查等比數(shù)列的通項公式及前〃項和公式的應用，屬于基礎題.

20.-6-20

【解析】

運用等比數(shù)列中項的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項公式，解方程可得首項，即可得到〃2,再由等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合

二次函數(shù)的最值求法，即可得到所求最小值.

【詳解】

解：等差數(shù)列｛〃〃｝的公差d為2,

若〃/,43,。4成等比數(shù)列，

可得田2=4心4,

即有(aj+2d)2=ai(aj+3d),

化為ajd=-4d2,

解得ai=-8,ci2=-8+2=-6；

數(shù)歹!J｛〃〃｝的前幾項和+(〃-1)d

=-Sn+n(〃-1)=n2-9n

(9、281

=(n-—)幺---,

24

當〃=4或5時，S〃取得最小值-20.

故答案為：-6,-20.

【點睛】

本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查等比數(shù)列中項的性質(zhì)，以及二次函數(shù)的最值的求法，考查運

算能力，屬于中檔題.

21.-pp+q

【詳解】

由川可得4-2="向-““，兩式相加可得a“+2=-a,i，即4,+3=-?！?，凡+6=?！?，所以數(shù)列｛4｝是周期為6

6

的周期數(shù)列，4。=4=4+3=-4=-P；由%+3=-%可得56=?7；=(4+%)+(/+%)+(%+4)=°，所以

/=!

S201s=336x0+67)+^=^+q,故答案為一夕，P+Q.

2

22.(1)an=2'-'；(2)2"+n+n-l

【分析】

(1)通過44，3%,2%成等差數(shù)列，利用首項、公比表示出前三項計算可知公比為2,利用前四項和計算可知首

項，進而可得通項公式；

(2)通過(1)可知a=2"'+2”，進而利用分組法求和即可.

【詳解】

解：(1)Q4%,3%,2a3成等差數(shù)列，

2x3/=4q+2a3,

又??,數(shù)列伍”｝是等比數(shù)列，

2

6atq=4a,+2atq,即/_3q+2=0,

解得：q-2或q=l(舍)，

又.鵬=15,

...”上匚2=15,即4=1,

1-2

二數(shù)列(??)是首項為1、公比為2的等比數(shù)列，

二數(shù)列｛““｝通項公式。“=2?。?/p>

(2)由(1)可知2=2"-'+2〃5=1,2,3...),

,數(shù)列他,｝的前〃項和為

2°+2xl+2'+2x2+---+2"-'+2x?

=(2°+2'+.--+2"-')+(2xl+2x2+---+2xn)

=—+2.皿

1-22

=2"+〃2+〃-i

【點睛】

本題考查數(shù)列的通項及前〃項和，考查分組法求和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題.

23.(I)a?=2n-l(II)/+|(4"-1)

【分析】

(I)利用等差數(shù)列，求出數(shù)列的公差，然后求解｛〃“｝的通項公式；(H)通過“=%+2,，利用等差數(shù)列以及等

比數(shù)列求和公式求解數(shù)列他,｝的前〃項和.

【詳解】

(I)設｛%｝的公差為"，

因為4+。4=2%TO,所以％=5.

所以。3=2〃=5-1=4,解得d=2.

所以4=4+(Z2-1)J=1+(/?-1)X2=2Z2-1.

(II)由(I)知，勿=2"1+221,

所以也｝的前〃項和為優(yōu)+4+…+仇=口+3+…+(2〃-l)]+e+23+…+2?"T)

=[1+(2〃-1)]X〃/(1-4")="2-(4，，T

21-43''

【點睛】

本題主要考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的概念，以及數(shù)列的求和，屬于高考中?？贾R點，難度不大；常見的數(shù)列求

和的方法有公式法即等差等比數(shù)列求和公式，分組求和類似于?！?4,+",其中｛%｝和｛2｝分別為特殊數(shù)列，裂項

相消法類似于4=后晶，錯位相減法類似于%=。“?"，其中｛%｝為等差數(shù)列，｛2｝為等比數(shù)列等.

31+n+l++4,,+|

24.(1)a?=3n-l,b?=2",neN*;(2)'"-2+2,—--2,ne/V*.

22

【詳解】

試題分析：(I)設等差數(shù)列｛叫的公差為4等比數(shù)列出｝的公比為/因為。3+6=24=22,所以

q=ll=2+3d.解得d=3.又因為她嚴結(jié)5=%=效，所以4=自=2,即可以得出數(shù)列｛4｝和也｝的通項公式；

(II)由(I)知，也=2",〃sN*.因此％=?！?么=3〃-1-2",由等差數(shù)列，等比數(shù)列的前n