2022-2023學(xué)年海南省?？谑懈咭荒昙壪聝詫W(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年海南省?？谑懈咭幌聦W(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．集合，集合，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】因為集合，集合，所以.故選：C.2．若復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】，.故選：A3．向量，向量，滿足，則（

）A．6 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平面向量平行的坐標(biāo)表示列式可得結(jié)果.【詳解】因為，，，所以，得.故選：A4．已知，，，則的大小關(guān)系為A． B．C． D．【答案】A【分析】利用利用等中間值區(qū)分各個數(shù)值的大小．【詳解】；；．故．故選A．【點睛】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時要根據(jù)底數(shù)與的大小區(qū)別對待．5．在中，角的對邊為，則“”成立的必要不充分條件為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)必要不充分條件的定義可逐項分析排除可得答案.【詳解】在中，對與A，當(dāng)時，所以；當(dāng)時，由得到，是“”成立的充要條件，錯誤；對于B，當(dāng)時，所以；當(dāng)時，由得到，是“”成立的充要條件，錯誤；對于C，當(dāng)時，，得到；當(dāng)時，由正弦定理得到，即，所以，由于，得到，所以是“”成立的充要條件，錯誤；對于D，當(dāng)時，，得到；當(dāng)時，由正弦定理得，即，由于，所以或，即或者，所以是“”成立的必要不充分條件，正確.故選：D.【點睛】結(jié)論點睛：本題考查必要不充分條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對應(yīng)集合與對應(yīng)集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對的集合與對應(yīng)集合互不包含．6．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二倍角的正弦公式變形后，再弦化切可得結(jié)果.【詳解】.故選：B7．將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的值可能為（

）A． B． C．3 D．4【答案】A【分析】先利用平移變換得到，再根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】由已知可得，.因為，，所以.因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以，又，所以，所以的值可能為，故選：A8．已知函數(shù)，若關(guān)于的函數(shù)有6個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)的圖象判斷的解的情況，從而得出關(guān)于的方程的根的分布情況，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式組解出的范圍.【詳解】作出的函數(shù)圖象如下：設(shè)，則當(dāng)或時，方程只有1解，當(dāng)時，方程有2解，當(dāng)時，方程有3解，當(dāng)時，方程無解.因為關(guān)于的函數(shù)有6個不同的零點，所以關(guān)于的方程在上有兩解，所以，解得.故選：B．二、多選題9．關(guān)于復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的結(jié)論中正確的是（

）A．的虛部為B．C．在復(fù)平面所對應(yīng)的點位于第四象限D(zhuǎn)．若，則的最大值為【答案】BCD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可得A不正確；根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可得B正確；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得C正確；D正確.【詳解】的虛部為，故A不正確；，故B正確；在復(fù)平面所對應(yīng)的點為位于第四象限，故C正確；若，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，所以，故D正確.故選：BCD10．已知函數(shù)則（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱C．函數(shù)為偶函數(shù)D．函數(shù)的圖像向左平移個單位后關(guān)于軸對稱，則可以為【答案】BD【分析】利用最小正周期公式判斷A，利用代入檢驗法判斷B，根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷C，根據(jù)函數(shù)圖象變換結(jié)論及誘導(dǎo)公式判斷D.【詳解】對選項A：因為，所以的最小正周期為，錯誤；對選項B：當(dāng)時，，所以是的一條對稱軸，正確；對選項C：易知函數(shù)的定義域為，又，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，錯誤；對選項D：函數(shù)的圖像向左平移個單位后得到，由題意，函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，所以，即，當(dāng)時，，即函數(shù)的圖像向左平移個單位后關(guān)于軸對稱，則可以為，D正確.故選：BD11．下列命題為真命題的是（

）A．冪函數(shù)的圖像過點，則B．函數(shù)的定義域為，則的定義域為C．，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則D．關(guān)于的方程與的根分別為，，則【答案】ACD【分析】對于A，用待定系數(shù)法求解即可；對于B，根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義域的求法求解即可；對于C，利用奇偶性推出周期，根據(jù)周期求解即可；對于D，利用、、的圖象的對稱性即可.【詳解】對于A，設(shè)，則，得，所以，故A正確；對于B，因為函數(shù)的定義域為，即，所以，由，得，即的定義域為，故B不正確；對于C，因為是奇函數(shù)，所以，因為是偶函數(shù)，所以，所以，即，所以，所以，所以，，則的一個周期為，所以，故C正確；對于D，依題意得，，所以分別為函數(shù)、的圖象與函數(shù)的圖象的交點的橫坐標(biāo)，又因為、的圖象都關(guān)于直線對稱，自身關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)、的圖象與函數(shù)的圖象的交點也關(guān)于對稱，聯(lián)立，得，得，因為的中點為，所以，故D正確.故選：ACD12．下列命題為真命題的是（

）A．是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點，則的最小值為B．已知的三個內(nèi)角分別為，動點滿足，，則動點的軌跡一定經(jīng)過的重心C．在中，若，則為銳角三角形D．為內(nèi)部一點，，則，，的面積比為【答案】ABD【分析】對于A，建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出的最小值可判斷A正確；對于B，取的中點為，過作直線的垂線，垂足為，將化為，可得B正確；對于C，推出為銳角，根據(jù)銳角三角形的定義可判斷C不正確；對于D，取的中點為，的中點為，由，推出為的中點，可判斷D正確.【詳解】對于A，取的中點，以為原點，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：則，，，設(shè)，則，，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故的最小值為，故A正確；對于B，取的中點為，過作直線的垂線，垂足為，則，，因為，所以，所以，所以與共線，因為，所以動點的軌跡為射線（不含點），一定經(jīng)過三角形的重心，故B正確；對于C，在中，若，則，則，則為銳角，一個銳角不能推出三角形為銳角三角形，故C不正確；對于D，取的中點為，的中點為，連接，如圖：因為，所以，所以，所以，所以，所以，即，所以為的中點，所以，，，所以，故D正確.故選：ABD三、填空題13．函數(shù)的定義域為______.【答案】【分析】由函數(shù)式有意義，即對數(shù)的真數(shù)大于0，解一元二次不等式可得.【詳解】由題意由，即，解得，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：14．如圖，兩點在河的兩岸，在同側(cè)的河岸邊選取點，測得的距離，，，則，兩點間的距離為______米【答案】【分析】求出，應(yīng)用正弦定理，即可求解.【詳解】由題意，，由正弦定理得，故兩點間的距離為米.故答案為：15．在中，內(nèi)角的對邊分別為，，，且滿足，若為邊上中線，，，則______.【答案】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式求出，利用兩邊平方可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，因為，所以，因為為邊上中線，所以，所以，所以，所以，化簡得，解得或（舍）.故答案為：.16．，都有，且，，，，使得成立，則的范圍是______.【答案】【分析】先通過偶函數(shù)性質(zhì)求出函數(shù)及的解析式，再求在區(qū)間上的最小值，最后對分類討論，結(jié)合的最小值求得的取值范圍.【詳解】，都有，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即，所以，故，所以，因為，，使得成立，所以函數(shù)在上的最小值不小于函數(shù)在上的最小值，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)有最小值為，又的對稱軸為，，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得，由題意，且，所以；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得，由題意，且，所以；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，可得，由題意，且，所以；綜上可知，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：恒成立問題或者存在性問題都是轉(zhuǎn)化為最值問題，動軸定區(qū)間上二次函數(shù)的最值問題要注意討論完整性.四、解答題17．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期及對稱軸；(2)若，求函數(shù)的值域．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）利用三角恒等變換得到，由求出最小正周期，并利用整體法求出對稱軸；（2）由得到，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)值域.【詳解】（1），故最小正周期，對稱軸滿足：，，故對稱軸為，．（2）由（1）可知，，則，，故．故函數(shù)的值域為．18．已知在直角三角形中，，（如圖所示）(1)若以為軸，直角三角形旋轉(zhuǎn)一周，求所得幾何體的表面積.(2)一只螞蟻在問題（1）形成的幾何體上從點繞著幾何體的側(cè)面爬行一周回到點，求螞蟻爬行的最短距離.【答案】(1)(2)【分析】（1）若以為軸，直角三角形旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體為以為半徑，高的圓錐，由圓錐的表面積公式，即可求出結(jié)果．（2）利用側(cè)面展開圖，要使螞蟻爬行的最短距離，則沿點B的母線把圓錐側(cè)面展開為平面圖形（如圖）最短距離就是點B到點的距離，代入數(shù)值，即可求出結(jié)果．【詳解】（1）在直角三角形中，由即，得，若以為軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體為以為半徑，高的圓錐，則，其表面積為.（2）由問題（1）的圓錐，要使螞蟻爬行的最短距離，則沿點的母線把圓錐側(cè)面展開為平面圖形，最短距離就是點到點的距離，，在中，由余弦定理得.19．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足.(1)求C；(2)若角C的平分線交AB于點D，且，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡即可得解；（2）利用等面積法求出的關(guān)系，再利用基本不等式即可得解.【詳解】（1）因為，由正弦定理得，即，所以，又，則，所以，又因，所以；（2）因為角C的平分線交AB于點D，所以，由，得，即，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為.20．已知在中，是邊的中點，且，設(shè)與交于點．記，．(1)用，表示向量，；(2)若，且，求的余弦值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)平面向量的基底與三角形法則即可用，表示向量，；（2）由得，代入向量數(shù)量積公式即可求得的余弦值.【詳解】（1）（2）∵三點共線，由得，，即，∴，∴，∴的余弦值為.21．長春某日氣溫y（℃）是時間t（，單位：小時）的函數(shù)，該曲線可近似地看成余弦型函數(shù)的圖象．(1)根據(jù)圖像，試求（，，）的表達(dá)式；(2)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示，某種特殊商品在室外銷售可獲3倍于室內(nèi)銷售的利潤，但對室外溫度要求是氣溫不能低于23℃．根據(jù)（1）中所得模型，一個24小時營業(yè)的商家想獲得最大利潤，應(yīng)在什么時間段（用區(qū)間表示）將該種商品放在室外銷售，單日室外銷售時間最長不能超過多長時間？（忽略商品搬運(yùn)時間及其它非主要因素，理想狀態(tài)下！）【答案】(1)，(2)應(yīng)在時間段將該種商品放在室外銷售，單日室外銷售時間最長不能超過（小時）【分析】（1）結(jié)合函數(shù)圖象，由求得A，b，再由求得T，再將，代入求解；（2）由（1）得到解析式，令求解.【詳解】（1）解：根據(jù)以上數(shù)據(jù)知，，解得，；由，解得，所以；由時，，即，解得，即，；所以，；由，解得；所以，；（2）令，得，即，；解得，；當(dāng)時，，所以24小時營業(yè)商家想獲得最大利潤，應(yīng)在時間段將該種商品放在室外銷售，且單日室外銷售時間最長不能超過（小時）．22．已知函數(shù)，.(1)若，求函數(shù)在的值域；(2)若，求的值；(3)令，則，已知函數(shù)在區(qū)間有零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3).【分