【全國通用高考數(shù)學一輪導學案】第五章-§52-等差數(shù)列及其前n項和課件

數(shù)學浙（文）§5.2

等差數(shù)列及其前n項和第五章數(shù)列基礎知識·自主學習題型分類·深度剖析思想方法·感悟提高練出高分1.等差數(shù)列的定義如果一個數(shù)列

，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的

，通常用字母

表示.從第2項起，每一項減去它的前一項所得的差都等于同一個常數(shù)公差d2.等差數(shù)列的通項公式如果等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，那么它的通項公式是

.3.等差中項如果

，那么A叫做a與b的等差中項.an＝a1＋(n－1)d4.等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：an＝am＋

(n，m∈N*).(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則

.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為

.(4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列.(n－m)dak＋al＝am＋an2d(5)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為

的等差數(shù)列.5.等差數(shù)列的前n項和公式設等差數(shù)列{an}的公差為d，其前n項和Sn＝

或Sn＝

.md6.等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關系數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù)).7.等差數(shù)列的前n項和的最值在等差數(shù)列{an}中，a1>0，d<0，則Sn存在最

值；若a1<0，d>0，則Sn存在最

值.大小思考辨析判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若一個數(shù)列從第二項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列.(

)(2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(

)(3)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的.(

)×√√返回(4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù).(

)(5)數(shù)列{an}滿足an＋1－an＝n，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列.(

)(6)已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列.(

)××√題號答案解析1234CBB4

Enter解析解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，故選C.例1

(1)在數(shù)列{an}中，若a1＝－2，且對任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，則數(shù)列{an}前10項的和為(

)解析答案思維升華題型一等差數(shù)列基本量的運算例1

(1)在數(shù)列{an}中，若a1＝－2，且對任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，則數(shù)列{an}前10項的和為(

)題型一等差數(shù)列基本量的運算由2an＋1＝1＋2an所以數(shù)列{an}是首項為－2，公差為

的等差數(shù)列，解析答案思維升華例1

(1)在數(shù)列{an}中，若a1＝－2，且對任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，則數(shù)列{an}前10項的和為(

)題型一等差數(shù)列基本量的運算由2an＋1＝1＋2an所以數(shù)列{an}是首項為－2，公差為

的等差數(shù)列，C解析答案思維升華例1

(1)在數(shù)列{an}中，若a1＝－2，且對任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，則數(shù)列{an}前10項的和為(

)題型一等差數(shù)列基本量的運算(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題.C解析答案思維升華例1

(1)在數(shù)列{an}中，若a1＝－2，且對任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，則數(shù)列{an}前10項的和為(

)題型一等差數(shù)列基本量的運算(2)數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.C解析答案思維升華例1

(2)(2013·課標全國Ⅰ)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m等于(

)A.3

B.4C.5

D.6解析答案思維升華由題意得am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，故d＝1，因為Sm＝0，例1

(2)(2013·課標全國Ⅰ)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m等于(

)A.3

B.4C.5

D.6解析答案思維升華因為am＋am＋1＝Sm＋1－Sm－1＝5，故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d＝－(m－1)＋2m－1＝5,即m＝5.例1

(2)(2013·課標全國Ⅰ)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m等于(

)A.3

B.4C.5

D.6解析答案思維升華因為am＋am＋1＝Sm＋1－Sm－1＝5，故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d＝－(m－1)＋2m－1＝5,即m＝5.例1

(2)(2013·課標全國Ⅰ)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m等于(

)A.3

B.4C.5

D.6解析答案思維升華C(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題.例1

(2)(2013·課標全國Ⅰ)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m等于(

)A.3

B.4C.5

D.6解析答案思維升華C(2)數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.例1

(2)(2013·課標全國Ⅰ)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m等于(

)A.3

B.4C.5

D.6解析答案思維升華C跟蹤訓練1

(1)若等差數(shù)列{an}的前5項和S5＝25，且a2＝3，則a7等于(

)A.12

B.13

C.14

D.15公差d＝a3－a2＝2，a7＝a2＋5d＝3＋5×2＝13.BA.16

B.24

C.36

D.48解析∵S4＝2＋6d＝20，∴d＝3，故S6＝3＋15d＝48.D∴數(shù)列{an}的公差為2.C例2

(1)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9等于(

)A.63

B.45C.36

D.27解析答案思維升華題型二等差數(shù)列的性質(zhì)及應用例2

(1)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9等于(

)A.63

B.45C.36

D.27由{an}是等差數(shù)列，得S3，S6－S3，S9－S6為等差數(shù)列.即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6),得到S9－S6＝2S6－3S3＝45,故選B.解析答案思維升華題型二等差數(shù)列的性質(zhì)及應用例2

(1)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9等于(

)A.63

B.45C.36

D.27由{an}是等差數(shù)列，得S3，S6－S3，S9－S6為等差數(shù)列.即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6),得到S9－S6＝2S6－3S3＝45,故選B.解析答案思維升華題型二等差數(shù)列的性質(zhì)及應用B例2

(1)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9等于(

)A.63

B.45C.36

D.27B在等差數(shù)列{an}中，數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差數(shù)列；{}也是等差數(shù)列.等差數(shù)列的性質(zhì)是解題的重要工具.解析答案思維升華題型二等差數(shù)列的性質(zhì)及應用例2

(2)若一個等差數(shù)列前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數(shù)列的項數(shù)為(

)A.13

B.12C.11

D.10解析答案思維升華因為a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，又因為a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，例2

(2)若一個等差數(shù)列前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數(shù)列的項數(shù)為(

)A.13

B.12C.11

D.10解析答案思維升華所以3(a1＋an)＝180，從而a1＋an＝60，即n＝13.例2

(2)若一個等差數(shù)列前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數(shù)列的項數(shù)為(

)A.13

B.12C.11

D.10解析答案思維升華所以3(a1＋an)＝180，從而a1＋an＝60，即n＝13.例2

(2)若一個等差數(shù)列前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數(shù)列的項數(shù)為(

)A.13

B.12C.11

D.10解析答案思維升華A在等差數(shù)列{an}中，數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差數(shù)列；{}也是等差數(shù)列.等差數(shù)列的性質(zhì)是解題的重要工具.例2

(2)若一個等差數(shù)列前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數(shù)列的項數(shù)為(

)A.13

B.12C.11

D.10解析答案思維升華A解析答案思維升華由等差數(shù)列的性質(zhì)可得{}也為等差數(shù)列，設其公差為d.∴d＝1.解析答案思維升華＝－2014＋2015＝1，∴S2016＝1×2016＝2016.解析答案思維升華＝－2014＋2015＝1，∴S2016＝1×2016＝2016.解析答案思維升華2016在等差數(shù)列{an}中，數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差數(shù)列；{}也是等差數(shù)列.等差數(shù)列的性質(zhì)是解題的重要工具.解析答案思維升華2016跟蹤訓練2

(1)設數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a3＋a4＋a5＝12，則a1＋a2＋…＋a7等于(

)A.14

B.21

C.28

D.35解析∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4，∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.C(2)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S10＝10，S20＝30，則S30＝________.解析∵S10，S20－S10，S30－S20成等差數(shù)列，∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，∴40＝10＋S30－30，∴S30＝60.60題型三等差數(shù)列的判定與證明(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；題型三等差數(shù)列的判定與證明(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；題型三等差數(shù)列的判定與證明(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}中的最大項和最小項，并說明理由.(2)求數(shù)列{an}中的最大項和最小項，并說明理由.所以當n＝3時，an取得最小值－1，當n＝4時，an取得最大值3.思維升華等差數(shù)列的四個判定方法：(1)定義法：證明對任意正整數(shù)n都有an＋1－an等于同一個常數(shù).(2)等差中項法：證明對任意正整數(shù)n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可遞推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根據(jù)定義得出數(shù)列{an}為等差數(shù)列.(3)通項公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p對任意正整數(shù)n恒成立，根據(jù)定義判定數(shù)列{an}為等差數(shù)列.(4)前n項和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根據(jù)Sn，an的關系，得出an，再使用定義法證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列.跟蹤訓練3

(1)若{an}是公差為1的等差數(shù)列，則{a2n－1＋2a2n}是(

)A.公差為3的等差數(shù)列B.公差為4的等差數(shù)列C.公差為6的等差數(shù)列D.公差為9的等差數(shù)列解析∵a2n－1＋2a2n－(a2n－3＋2a2n－2)＝(a2n－1－a2n－3)＋2(a2n－a2n－2)＝2＋2×2＝6，∴{a2n－1＋2a2n}是公差為6的等差數(shù)列.答案C答案A典例：(1)在等差數(shù)列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，則此數(shù)列前10項的和S10等于(

)A.45 B.60 C.75 D.90高頻小考點7等差數(shù)列的前n項和及其最值思維點撥解析典例：(1)在等差數(shù)列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，則此數(shù)列前10項的和S10等于(

)A.45 B.60 C.75 D.90高頻小考點7等差數(shù)列的前n項和及其最值求等差數(shù)列前n項和，可以通過求解基本量a1，d，代入前n項和公式計算，也可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)：a1＋an＝a2＋an－1＝…；思維點撥解析典例：(1)在等差數(shù)列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，則此數(shù)列前10項的和S10等于(

)A.45 B.60 C.75 D.90高頻小考點7等差數(shù)列的前n項和及其最值由題意得a3＋a8＝9，A思維點撥解析(2)在等差數(shù)列{an}中，S10＝100，S100＝10，則S110＝________.思維點撥解析溫馨提醒(2)在等差數(shù)列{an}中，S10＝100，S100＝10，則S110＝________.求等差數(shù)列前n項和，可以通過求解基本量a1，d，代入前n項和公式計算，也可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)：a1＋an＝a2＋an－1＝…；思維點撥解析溫馨提醒(2)在等差數(shù)列{an}中，S10＝100，S100＝10，則S110＝________.方法一設數(shù)列{an}的公差為d，首項為a1，思維點撥解析溫馨提醒(2)在等差數(shù)列{an}中，S10＝100，S100＝10，則S110＝________.所以a11＋a100＝－2，－110思維點撥解析溫馨提醒(2)在等差數(shù)列{an}中，S10＝100，S100＝10，則S110＝________.利用等差數(shù)列的性質(zhì)求Sn，突出了整體思想，減少了運算量.－110思維點撥解析溫馨提醒(3)已知等差數(shù)列{an}的首項a1＝20，公差d＝－2，則前n項和Sn的最大值為________.思維點撥解析溫馨提醒(3)已知等差數(shù)列{an}的首項a1＝20，公差d＝－2，則前n項和Sn的最大值為________.思維點撥解析溫馨提醒求等差數(shù)列前n項和的最值，可以將Sn化為關于n的二次函數(shù)，求二次函數(shù)的最值，也可以觀察等差數(shù)列的符號變化趨勢，找最后的非負項或非正項.(3)已知等差數(shù)列{an}的首項a1＝20，公差d＝－2，則前n項和Sn的最大值為________.因為等差數(shù)列{an}的首項a1＝20，公差d＝－2，代入求和公式得，思維點撥解析溫馨提醒(3)已知等差數(shù)列{an}的首項a1＝20，公差d＝－2，則前n項和Sn的最大值為________.又因為n∈N*，所以n＝10或n＝11時，Sn取得最大值，最大值為110.110思維點撥解析溫馨提醒(3)已知等差數(shù)列{an}的首項a1＝20，公差d＝－2，則前n項和Sn的最大值為________.利用函數(shù)思想求等差數(shù)列前n項和Sn的最值時，要注意到n∈N*；110思維點撥解析溫馨提醒(4)(2014·北京)若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當n＝________時，{an}的前n項和最大.思維點撥解析溫馨提醒(4)(2014·北京)若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當n＝________時，{an}的前n項和最大.求等差數(shù)列前n項和的最值，可以將Sn化為關于n的二次函數(shù)，求二次函數(shù)的最值，也可以觀察等差數(shù)列的符號變化趨勢，找最后的非負項或非正項.思維點撥解析溫馨提醒(4)(2014·北京)若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當n＝________時，{an}的前n項和最大.∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0.∵a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<－a8<0.∴數(shù)列的前8項和最大，即n＝8.8思維點撥解析溫馨提醒(4)(2014·北京)若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當n＝________時，{an}的前n項和最大.利用函數(shù)思想求等差數(shù)列前n項和Sn的最值時，要注意到n∈N*；8思維點撥解析溫馨提醒返回方法與技巧1.等差數(shù)列的判斷方法(1)定義法：an＋1－an＝d(d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.(2)等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列.(3)通項公式：an＝pn＋q(p，q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.(4)前n項和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.方法與技巧2.方程思想和化歸思想：在解有關等差數(shù)列的問題時可以考慮化歸為a1和d等基本量，通過建立方程(組)獲得解.3.等差數(shù)列性質(zhì)靈活使用，可以大大減少運算量.4.在遇到三個數(shù)成等差數(shù)列問題時，可設三個數(shù)為(1)a，a＋d，a＋2d；(2)a－d，a，a＋d；(3)a－d，a＋d，a＋3d等，可視具體情況而定.失誤與防范1.當公差d≠0時，等差數(shù)列的通項公式是n的一次函數(shù)，當公差d＝0時，an為常數(shù).2.公差不為0的等差數(shù)列的前n項和公式是n的二次函數(shù)，且常數(shù)項為0.若某數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項不為0的二次函數(shù)，則該數(shù)列不是等差數(shù)列，它從第二項起成等差數(shù)列.返回234567891101.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＋a7＝－8，a2＝2，則數(shù)列{an}的公差d等于(

)A.－1 B.－2 C.－3 D.－423456789101解得a1＝5，d＝－3.方法二a1＋a7＝2a4＝－8，∴a4＝－4，∴a4－a2＝－4－2＝2d，∴d＝－3.C2.已知等差數(shù)列{an}滿足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，則有(

)A.a1＋a101>0 B.a2＋a100<0C.a3＋a99＝0 D.a51＝5134567891102所以a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝0.C3.設數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，則a37＋b37等于(

)A.0 B.37 C.100D.－3724567891103解析設{an}，{bn}的公差分別為d1，d2，則(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，∴{an＋bn}為等差數(shù)列，又a1＋b1＝a2＋b2＝100，∴{an＋bn}為常數(shù)列，∴a37＋b37＝100.C4.等差數(shù)列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，則{an}的前n項和Sn的最大值為(

)A.S4

B.S5C.S6D.S723567891104∴Sn的最大值為S5.B5.在等差數(shù)列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此數(shù)列的前10項和S10＝36，前18項和S18＝12，則數(shù)列{|an|}的前18項和T18的值是(

)A.24 B.48C.60D.8423467891105解析由a1>0，a10·a11<0可知d<0，a10>0，a11<0，∴T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18＝S10－(S18－S10)＝60.C23457891106解析設等差數(shù)列的公差為d，解得d2＝4，即d＝±2.由于該數(shù)列為遞增數(shù)列，故d＝2.∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.2n－17.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，則當Sn取最大值時，n的值是________.23456891107解析依題意得2a6＝4,2a7＝－2，a6＝2>0，a7＝－1<0；又數(shù)列{an}是等差數(shù)列，因此在該數(shù)列中，前6項均為正數(shù)，自第7項起以后各項均為負數(shù)，于是當Sn取最大值時，n＝6.6234567911089.在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；23456781109解設等差數(shù)列{an}的公差為d，則an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.從而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)若數(shù)列{an}的前k項和Sk＝－35，求k的值.23456781109解由(1)可知an＝3－2n，由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7.10.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1<0，S2015＝0.(1)求Sn的最小值及此時n的值；23456789110解設公差為d，則由S2015＝0?23456789110∵a1<0，n∈N*，∴當n＝1007或1008時，Sn取