第十二講相干照明衍射受限系統(tǒng)的成像分析

第十二講相干照明衍射受限系統(tǒng)的成像分析第一頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一一透鏡的孔徑效應(yīng)

輸入面緊貼透鏡的情況比較簡(jiǎn)單，可直接利用透鏡孔徑作為變換積分域進(jìn)行計(jì)算。對(duì)于物在透鏡后方，物面上被照明的區(qū)域是透鏡的孔徑沿會(huì)聚光錐在物面上的投影。透鏡孔徑的衍射效應(yīng)可以用在物面上孔徑投影的衍射效應(yīng)做等效替代。被積函數(shù)增加一個(gè)因子：

物在透鏡前時(shí)，用幾何光學(xué)近似，也就是考慮物面與透鏡之間的距離相對(duì)于透徑直徑而言不是很大的情況。這時(shí)光波從物到透鏡之間的傳播可看做直線傳播，并忽略透鏡的孔徑衍射。這樣的條件，在實(shí)用的絕大多數(shù)問(wèn)題中都是能得到滿足的。于是有

第二頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一課堂練習(xí)采用下圖所示的光路對(duì)某一維物體作空間頻譜分析，它所包含的最低空間頻率為20周/mm，最高空間頻率為200周/mm，照明光波長(zhǎng)為0.6微米,若希望譜面上最低空間頻率與最高空間頻率之間間隔為50mm,透鏡的焦距應(yīng)取多大?第三頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一課堂練習(xí)解答第四頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一成像系統(tǒng)的普遍模型

任意成像系統(tǒng)都可以分成三個(gè)部分：1、從物平面到入瞳平面為第一部分；2、從入瞳平面到出瞳平面為第二部分；3、從出瞳平面到像平面為第三部分。光波在一、三兩部分空間的傳播可按菲涅耳衍射處理。第二部分的透鏡系統(tǒng)，在等暈條件下可當(dāng)做一個(gè)“黑箱”來(lái)處理黑箱的兩個(gè)邊端分別是入瞳和出瞳，只要能夠確定這黑箱的兩個(gè)邊端的性質(zhì)，整個(gè)系統(tǒng)的性質(zhì)便可確定，不必深究其內(nèi)部結(jié)構(gòu)。

第五頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一光學(xué)系統(tǒng)“黑箱”的邊端性質(zhì)

為了確定系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，需要知道這個(gè)黑箱對(duì)點(diǎn)光源發(fā)出的球面波的變換作用，即當(dāng)入瞳平面上輸入發(fā)射球面波時(shí)，出瞳平面透射的波場(chǎng)特性。對(duì)于實(shí)際光組，這一邊端性質(zhì)千差萬(wàn)別，但總可以分成兩類：衍射受限系統(tǒng)和有像差的系統(tǒng)

當(dāng)像差很小或者系統(tǒng)的孔徑和視場(chǎng)都不大，實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)就可近似看做衍射受限系統(tǒng)。這時(shí)的邊端性質(zhì)就比較簡(jiǎn)單，物面上任一點(diǎn)源發(fā)出的發(fā)散球面波投射到入瞳上，被光組變換為出瞳上的會(huì)聚球面波。

有像差系統(tǒng)的邊端條件是，點(diǎn)光源發(fā)出的發(fā)散球面波投射到入瞳上，出瞳處的透射波場(chǎng)明顯偏離理想球面波，偏離程度由波像差決定。

阿貝認(rèn)為衍射效應(yīng)是由于有限的入瞳大小引起的，瑞利提出衍射效應(yīng)來(lái)自有限大小的出瞳。由于一個(gè)光瞳只不過(guò)是另一個(gè)光瞳的幾何像，這兩種看法是等價(jià)的。衍射效應(yīng)可以歸結(jié)為入瞳或出瞳對(duì)于成像光波的限制，本書采用瑞利的說(shuō)法。

第六頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一二相干照明衍射受限系統(tǒng)的成像分析

任何平面物場(chǎng)分布都可以看做是無(wú)數(shù)小面元的組合，而每個(gè)小面元都可看做一個(gè)加權(quán)的函數(shù)。對(duì)于一個(gè)透鏡或一個(gè)成像系統(tǒng)，如果能清楚地了解物平面上任一小面元的光振動(dòng)通過(guò)成像系統(tǒng)后，在像平面上所造成的光振動(dòng)分布情況，通過(guò)線性疊加，原則上便能求得任何物面光場(chǎng)分布通過(guò)系統(tǒng)后所形成的像面光場(chǎng)分布，進(jìn)而求得像面強(qiáng)度分布。這就是相干照明下的成像過(guò)程。這里關(guān)鍵是求出任意小面元的光振動(dòng)所對(duì)應(yīng)的像場(chǎng)分布。

第七頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一任意小面元的光振動(dòng)所對(duì)應(yīng)的像場(chǎng)分布

--點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)

當(dāng)該面元的光振動(dòng)為單位脈沖即δ函數(shù)時(shí)，像場(chǎng)分布函數(shù)叫做點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)或脈沖響應(yīng)

通常用

表示物平面上點(diǎn)的單位脈沖通過(guò)成像系統(tǒng)后在像平面上點(diǎn)產(chǎn)生的光場(chǎng)分布首先研究在相干照明下，一個(gè)消像差的正薄透鏡對(duì)透明物成實(shí)像的情況推導(dǎo)透鏡點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的簡(jiǎn)圖

第八頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一討論方法物體放在透鏡前距離為的輸入平面上，在透鏡后距離為的共軛面上觀察成像情況。假定緊靠物體后的復(fù)振幅分布為，點(diǎn)處發(fā)出的單位脈沖為。沿光波傳播方向，逐面計(jì)算三個(gè)特定平面上的場(chǎng)分布：緊靠透鏡前的平面上的場(chǎng)分布緊靠透鏡后的平面上的場(chǎng)分布觀察平面上的場(chǎng)分布這樣就可最終導(dǎo)出一個(gè)點(diǎn)源的輸入輸出關(guān)系。

第九頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一緊靠透鏡前后的光場(chǎng)復(fù)振幅分布利用菲涅耳公式，緊靠透鏡前的平面上的場(chǎng)分布為

省去撇號(hào)，略去常數(shù)相位因子，上式可寫

此波面通過(guò)孔徑函數(shù)為焦距為的透鏡后，復(fù)振幅為

第十頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一單位脈沖引起的復(fù)振幅分布即點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)

由透鏡后表面到觀察面，光場(chǎng)的傳播滿足菲涅耳衍射，于是物平面上的單位脈沖在觀察面上引起的復(fù)振幅分布即點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)可寫作將的表達(dá)式代入并略去包括-1在內(nèi)的常數(shù)相位因子得

利用物像平面的共軛關(guān)系滿足高斯公式，得到

第十一頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的化簡(jiǎn)條件積分號(hào)前的相位因子

不影響最終探測(cè)的強(qiáng)度分布，可以略去與物面坐標(biāo)有關(guān)的相位因子在求物面上各點(diǎn)對(duì)像面光場(chǎng)的貢獻(xiàn)時(shí)，要參與積分，不可隨意略去當(dāng)透鏡的孔徑比較大時(shí)，物面上每一物點(diǎn)產(chǎn)生的脈沖響應(yīng)是一個(gè)很小的像斑，能夠?qū)τ谙衩嫔宵c(diǎn)光場(chǎng)產(chǎn)生有意義貢獻(xiàn)的，必定是物面上以幾何成像所對(duì)應(yīng)的以物點(diǎn)為中心的微小區(qū)域。在這個(gè)區(qū)域內(nèi)可近似地認(rèn)為坐標(biāo)值不變，其大小與點(diǎn)的共軛物坐標(biāo)相同，即可作以下近似式中，是成像透鏡的橫向放大率第十二頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的最后形式

通過(guò)近似后的兩個(gè)相位因子都不再依賴于物面坐標(biāo)，因此不會(huì)影響像平面上的強(qiáng)度分布，全可以略去。這樣一來(lái)，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的形式成為

將橫向放大率代入，則

式中，

，是物點(diǎn)對(duì)應(yīng)的像點(diǎn)坐標(biāo)第十三頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的物理意義（1）在近軸成像條件下，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)只與像面坐標(biāo)差有關(guān)，這說(shuō)明透鏡成像系統(tǒng)是空不變的，即

因此，透鏡的脈沖響應(yīng)就等于透鏡孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣，其中心位于理想像點(diǎn)處。透鏡孔徑的衍射作用明顯與否，是由孔徑線度相對(duì)于波長(zhǎng)和像距的比例決定的，為此對(duì)孔徑平面上的坐標(biāo)做如下變換，令代入點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)表達(dá)式得

第十四頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的物理意義（2）當(dāng)孔徑大小比

大得多時(shí)，在坐標(biāo)中，在無(wú)限大的區(qū)域內(nèi)的值均為1。這樣一來(lái)

這時(shí)物點(diǎn)成像為一個(gè)像點(diǎn)，即幾何光學(xué)理想像，因此幾何光學(xué)是波動(dòng)光學(xué)的極限情況，“無(wú)限大”孔徑的情況第十五頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一衍射受限系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)

透鏡的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，是一般光學(xué)系統(tǒng)的特殊情況，下面我們將其推廣到衍射受限光學(xué)系統(tǒng)所謂衍射受限是指不考慮系統(tǒng)的幾何像差，僅僅考慮系統(tǒng)的衍射限制如果忽略衍射效應(yīng)的話，點(diǎn)物通過(guò)系統(tǒng)后形成一個(gè)理想的點(diǎn)像。一般的衍射受限系統(tǒng)可由若干共軸球面透鏡組成，這些透鏡既可以是正透鏡，也可以是負(fù)透鏡，而且透鏡也不一定是薄的系統(tǒng)對(duì)光束大小的限制是由系統(tǒng)的孔徑光闌決定的，也就是說(shuō)在考察衍射受限系統(tǒng)時(shí)，實(shí)際上主要是考察孔徑光闌的衍射作用?？讖焦怅@在物空間所成的像稱為入射光瞳，簡(jiǎn)稱入瞳；孔徑光闌在像空間所成的像稱為出射光瞳，簡(jiǎn)稱出瞳。對(duì)整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)而言，入瞳和出瞳保持物像共軛關(guān)系。由入射光瞳限制的物方光束必定能全部通過(guò)系統(tǒng)，成為被出射光瞳所限制的像方光束。下面我們?yōu)檫@樣的系統(tǒng)建立一個(gè)普遍模型

第十六頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一成像系統(tǒng)的普遍模型

任意成像系統(tǒng)都可以分成三個(gè)部分：1、從物平面到入瞳平面為第一部分；2、從入瞳平面到出瞳平面為第二部分；3、從出瞳平面到像平面為第三部分。光波在一、三兩部分空間的傳播可按菲涅耳衍射處理。第二部分的透鏡系統(tǒng)，在等暈條件下可當(dāng)做一個(gè)“黑箱”來(lái)處理黑箱的兩個(gè)邊端分別是入瞳和出瞳，只要能夠確定這黑箱的兩個(gè)邊端的性質(zhì)，整個(gè)系統(tǒng)的性質(zhì)便可確定，不必深究其內(nèi)部結(jié)構(gòu)。

第十七頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一光學(xué)系統(tǒng)“黑箱”的邊端性質(zhì)

為了確定系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，需要知道這個(gè)黑箱對(duì)點(diǎn)光源發(fā)出的球面波的變換作用，即當(dāng)入瞳平面上輸入發(fā)射球面波時(shí)，出瞳平面透射的波場(chǎng)特性。對(duì)于實(shí)際光組，這一邊端性質(zhì)千差萬(wàn)別，但總可以分成兩類：衍射受限系統(tǒng)和有像差的系統(tǒng)

當(dāng)像差很小或者系統(tǒng)的孔徑和視場(chǎng)都不大，實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)就可近似看做衍射受限系統(tǒng)。這時(shí)的邊端性質(zhì)就比較簡(jiǎn)單，物面上任一點(diǎn)源發(fā)出的發(fā)散球面波投射到入瞳上，被光組變換為出瞳上的會(huì)聚球面波。

有像差系統(tǒng)的邊端條件是，點(diǎn)光源發(fā)出的發(fā)散球面波投射到入瞳上，出瞳處的透射波場(chǎng)明顯偏離理想球面波，偏離程度由波像差決定。

阿貝認(rèn)為衍射效應(yīng)是由于有限的入瞳大小引起的，瑞利提出衍射效應(yīng)來(lái)自有限大小的出瞳。由于一個(gè)光瞳只不過(guò)是另一個(gè)光瞳的幾何像，這兩種看法是等價(jià)的。衍射效應(yīng)可以歸結(jié)為入瞳或出瞳對(duì)于成像光波的限制，本書采用瑞利的說(shuō)法。

第十八頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一出射光瞳決定的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)

由物點(diǎn)發(fā)出的球面波，在像方得到的將是一個(gè)被出射光瞳所限制的球面波，這個(gè)球面波是以理想像點(diǎn)為中心的。由于出射光瞳的限制作用，在像平面上將產(chǎn)生以理想像點(diǎn)為中心的出瞳孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射花樣

物面上點(diǎn)的單位脈沖通過(guò)衍射受限系統(tǒng)后在與物面共軛的像面上的復(fù)振幅分布，即點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)為

式中，是與和無(wú)關(guān)的復(fù)常數(shù)；是出瞳函數(shù)（常稱光瞳函數(shù)），在光瞳內(nèi)其值為1，在光瞳外其值為零；是光瞳面到像面的距離，已不是通常意義下的像距。還要說(shuō)明，在推導(dǎo)公式時(shí)，同樣略去了關(guān)于和的二次相位因子

出瞳的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣中心在幾何光學(xué)的理想像點(diǎn)處

第十九頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一衍射受限系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的普遍表達(dá)式

同樣對(duì)物平面上的坐標(biāo)和光瞳平面上的坐標(biāo)做坐標(biāo)變換，令得到如果光瞳對(duì)于足夠大時(shí)，坐標(biāo)中，在無(wú)限大區(qū)域內(nèi)光瞳函數(shù)都為1，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)變成

當(dāng)可以忽略光瞳的衍射時(shí)，點(diǎn)的脈沖通過(guò)衍射受限系統(tǒng)后在像面上得到的仍然是點(diǎn)脈沖，這便是幾何光學(xué)理想成像情況像點(diǎn)位于第二十頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一相干照明下衍射受限系統(tǒng)的成像規(guī)律

一個(gè)確定的物分布總可以很方便地分解成無(wú)數(shù)函數(shù)的線性組合，而每個(gè)函數(shù)可按點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)式求出其響應(yīng)，因此成像規(guī)律不難得到然而，在像平面上將這些無(wú)數(shù)個(gè)脈沖響應(yīng)合成的結(jié)果和物面照明情況有關(guān)物面上照明是相干的，則這無(wú)數(shù)個(gè)脈沖在像平面上的響應(yīng)便是相干疊加本節(jié)先討論相干照明情況，非相干照明情況留在下面去討論像的復(fù)振幅分布可以按疊加積分公式表達(dá)為物的復(fù)振幅分布與脈沖響應(yīng)函數(shù)的疊加積分

但是，在這個(gè)疊加積分出現(xiàn)了三組坐標(biāo)，并不是嚴(yán)格意義上的卷積

第二十一頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一理想成像的像分布上述卷積積分中的三組坐標(biāo)之間是有聯(lián)系的，因此卷積積分可改寫為實(shí)際上，這個(gè)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換意義是使物面上的坐標(biāo)和像面上坐標(biāo)歸一化用理想成像的脈沖響應(yīng)

代入卷積積分便可得到理想成像的像分布理想像的分布形式與物的分布形式是一樣的，只是放大了M倍。第二十二頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一衍射受限成像系統(tǒng)的卷積積分

為將成像過(guò)程用標(biāo)準(zhǔn)的卷積形式表示，先將點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)重新定義一下代入卷積積分就變成因此，物通過(guò)衍射受限系統(tǒng)后的像分布是的理想像和點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的卷積，這就表明，對(duì)于更普遍的情形，衍射受限成像系統(tǒng)仍可看成線性空不變系統(tǒng)

第二十三頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)與光瞳函數(shù)的關(guān)系對(duì)于經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)有這說(shuō)明點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是光瞳函數(shù)的傅里葉變換，由此可見(jiàn)光瞳函數(shù)對(duì)于衍射受限系統(tǒng)成像的重要性

由于是空不變的，可以用原點(diǎn)處的脈沖響應(yīng)表示成像系統(tǒng)的特性，即

第二十四頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一小結(jié)本節(jié)的目的在于建立一個(gè)比較嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)，從而是光學(xué)傳遞函數(shù)的應(yīng)用能夠更加可靠而且更加易于推廣，易于被廣泛接受嚴(yán)格的理論涉及的主要有兩個(gè)方面，一是由于積分內(nèi)的變量必須的近似，二是由于物像坐標(biāo)不同必須的坐標(biāo)變換使用的研究方法是上一節(jié)給出的會(huì)聚光照明的菲涅耳衍射的結(jié)果就是孔徑的傅里葉變換結(jié)果得到，物通過(guò)衍射受限系統(tǒng)后的像分布是的理想像和點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的卷積。這就表明，對(duì)于更普遍的情形，衍射受限成像系統(tǒng)仍可看成線性空不變系統(tǒng)對(duì)于相干光照明衍射受限系統(tǒng)來(lái)講，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是光瞳函數(shù)的傅里葉變換，由此可見(jiàn)光瞳函數(shù)對(duì)于衍射受限系統(tǒng)成像的重要性

第二十五頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一例題

一個(gè)余弦型振幅光柵，復(fù)振幅透過(guò)率為放在如圖所示成像系統(tǒng)的物面上，用單色光傾斜照明，平面波傳播方向在平面內(nèi)，與Z軸夾角為。透鏡焦距為，孔徑為。（1）求物體透射光場(chǎng)的頻譜；（2）使像平面出現(xiàn)條紋的最大角等于多少？求此時(shí)的像面強(qiáng)度分布。第二十六頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一解答

(1)單色傾斜照明光可以表示為物體透射光場(chǎng)則可以表示為物體透射光場(chǎng)的頻譜為第二十七頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一解答續(xù)一

(2)求像面強(qiáng)度分布可以應(yīng)用成像的卷積公式由于在本題光路中放大率為一，上式中幾何像可表示為

點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)則為式中光瞳函數(shù)的自變量實(shí)際上就是空間頻率，或者說(shuō)這里的光瞳函數(shù)已經(jīng)是以空間頻率為自變量的光瞳函數(shù)。歸一化的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是以空間頻率為自變量的光瞳函數(shù)的傅氏變換。第二十八頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一解答續(xù)二

計(jì)算像面強(qiáng)度分布可以進(jìn)一步應(yīng)用卷積定理幾何像的傅氏變換可用前面計(jì)算的物的頻譜表示為

點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的頻譜則為

第二十九頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一解答續(xù)三

幾何像的傅氏變換是三個(gè)函數(shù)，其反變換都是平面波。點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的頻譜就是光瞳函數(shù)，不是一就是零。要使像平面出現(xiàn)條紋時(shí)，頻譜中至少要有兩個(gè)函數(shù)能夠與出瞳函數(shù)乘積不為零，變換成為平面波射到物面上相干涉形成條紋。出瞳在這里就是透鏡框，因此要求與出瞳函數(shù)乘積不為零就要求另一個(gè)函數(shù)的位置比第一個(gè)離光瞳中心更遠(yuǎn)，只需要兩個(gè)函數(shù)時(shí)就不用考慮了采用近軸光學(xué)近似時(shí)，角度的正弦等于其弧度值，上面兩個(gè)不等式中左右兩邊分別要求第三十頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一解答續(xù)四

在達(dá)到前面給出的最大值，即時(shí)，幾何像的傅氏變換中的三項(xiàng)只剩下兩項(xiàng)，這兩個(gè)函數(shù)與光瞳函數(shù)的乘積還是函數(shù)，而且因?yàn)楣馔瘮?shù)在光瞳范圍內(nèi)取值為一，兩個(gè)函數(shù)前的系數(shù)也不變進(jìn)一步作反變換可以得到像面上的光場(chǎng)分布為光強(qiáng)分布則為光場(chǎng)分布的模平方具體計(jì)算就不在這里寫了。

第三十一頁(yè)，共三十四頁(yè)，編輯于2023年，星期一另一解法續(xù)五