第二講可靠性模型

第二講可靠性模型第一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一內(nèi)容背景知識可靠性模型概述單一失效模型可靠性增長模型第二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一1.背景知識

隨機性和概率磨刀不誤砍材工本部分材料來源于第三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一樣本空間1、樣本空間：實驗的所有可能結(jié)果所組成的集合稱為樣本空間，記為S={e}；2、樣本點:試驗的每一個結(jié)果或樣本空間的元素稱為一個樣本點,記為e.

3、由一個樣本點組成的單點集稱為一個基本事件,也記為e.

第四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一隨機事件試驗中可能出現(xiàn)或可能不出現(xiàn)的情況叫“隨機事件”,簡稱“事件”.記作A、B、C等任何事件均可表示為樣本空間的某個子集.稱事件A發(fā)生當且僅當試驗的結(jié)果是子集A中的元素兩個特殊事件:必然事件S

、不可能事件例如對于試驗硬幣拋3次

，以下A、

B、C即為三個隨機事件:A＝“至少出一個正面”＝{HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH}；B=“兩次出現(xiàn)同一面”={HHH,TTT}C=“恰好出現(xiàn)一次正面”={HTT，THT，TTH}

再如，試驗E6中D＝“燈泡壽命超過1000小時”＝{x:1000<x<T(小時）}。第五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一概率的定義及其運算從直觀上來看，事件A的概率是指事件A發(fā)生的可能性?P（A）應(yīng)具有何種性質(zhì)？?拋一枚硬幣，幣值面向上的概率為多少？擲一顆骰子，出現(xiàn)6點的概率為多少？出現(xiàn)單數(shù)點的概率為多少？向目標射擊，命中目標的概率有多大？第六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一若某實驗E滿足1.有限性：樣本空間S＝{e1,e2,…,en};2.等可能性：（公認）P(e1)=P(e2)=…=P(en).則稱E為古典概型也叫等可能概型。古典概型與概率第七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一設(shè)事件A中所含樣本點個數(shù)為N(A)，以N(S)記樣本空間S中樣本點總數(shù)，則有P(A)具有如下性質(zhì)(1)0

P(A)1；(2)P()＝1；P()=0(3)AB＝，則P(AB

)＝P(A)＋P(B)古典概型中的概率:第八頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一例:有三個子女的家庭,設(shè)每個孩子是男是女的概率相等,則至少有一個男孩的概率是多少?設(shè)A--至少有一個男孩,以H表示某個孩子是男孩N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}第九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一某人向目標射擊，以A表示事件“命中目標”，P（A）=？?定義:事件A在n次重復試驗中出現(xiàn)nA次，則比值nA/n稱為事件A在n次重復試驗中出現(xiàn)的頻率，記為fn(A).

即

fn(A)＝nA/n.頻率與概率第十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一歷史上曾有人做過試驗,試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時，出現(xiàn)正反面的機會均等。實驗者nnHfn(H)DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.5005第十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一頻率的性質(zhì)(1)0

fn(A)1；(2)fn(S)＝1；fn()=0(3)可加性：若AB＝

，則

fn(AB)＝fn(A)＋fn(B).實踐證明：當試驗次數(shù)n增大時，fn(A)逐漸趨向一個穩(wěn)定值。可將此穩(wěn)定值記作P(A)，作為事件A的概率第十二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一1.定義若對隨機試驗E所對應(yīng)的樣本空間中的每一事件A，均賦予一實數(shù)P(A)，集合函數(shù)P(A)滿足條件：(1)P(A)≥0；(2)P(S)＝1； (3)可列可加性：設(shè)A1，A2，…,是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P(A1A2…)＝P(A1)＋P(A2)+….(1.1)則稱P(A)為事件A的概率。第十三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一2.概率的性質(zhì)(1)有限可加性：設(shè)A1，A2，…An,是n個兩兩互不相容的事件，即AiAj＝

，(ij),i,j＝1,2,…,n,則有

P(A1

A2

…

An)＝P(A1)＋P(A2)+…P(An);(3)事件差

A、B是兩個事件，則P(A-B)=P(A)-P(AB)

(2)單調(diào)不減性：若事件AB，則P(A)≥P(B)第十四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一(4)加法公式：對任意兩事件A、B，有

P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)該公式可推廣到任意n個事件A1，A2，…，An的情形；(3)互補性：P(A)＝1－P(A);(5)可分性：對任意兩事件A、B，有

P(A)＝P(AB)＋P(AB).

第十五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一隨機變量的概念定義.

設(shè)S={e}是試驗的樣本空間，如果量X是定義在S上的一個單值實值函數(shù)即對于每一個eS，有一實數(shù)X=X(e)與之對應(yīng)，則稱X為隨機變量。隨機變量常用X、Y、Z或、、等表示隨機變量的特點:

1X的全部可能取值是互斥且完備的2X的部分可能取值描述隨機事件第十六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一顧名思義，隨機變量就是“其值隨機會而定”的變量，正如隨機事件是“其發(fā)生與否隨機會而定”的事件．機會表現(xiàn)為的試驗結(jié)果，一個隨機試驗有許多可能的結(jié)果，到底出現(xiàn)哪一個要看機會，即有一定的概率．最簡單的例子如擲骰子，擲出的點數(shù)X是一個隨機變量，它可以取1，…，6等6個值．到底是哪一個，要等擲了骰子以后才知道．因此又可以說，隨機變量就是試驗結(jié)果函數(shù)．從這一點看，它與通常的函數(shù)概念又沒有什么不同．把握這個概念的關(guān)鍵之點在于試驗前后之分：在試驗前我們不能預知它將取何值，這要憑機會，“隨機”的意思就在這里，一旦試驗后，取值就確定了．比如你在星期一買了—張獎券，到星期五開獎．在開獎之前，你這張獎券中獎的金額X是一個隨機變量，其值耍到星期五的“抽獎試驗”做過以后才能知道．第十七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一

明白了這一點就不難舉出一大堆隨機變量的例子．比如，你在某廠大批產(chǎn)品中隨機地抽出100個，其中所含廢品數(shù)X；一月內(nèi)某交通路口的事故數(shù)X；用天平秤量某物體的重量的誤差X；隨意在市場上買來一架電視機，其使用壽命X等等，都是隨機變量．若把隨機變量X取所有可能值的概率計算出來，列成一個表格，則很容易算出任何一個由X取值落在某一區(qū)域表示的事件，如擲骰子，至少擲出1點的概率。第十八頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一關(guān)于隨機變量(及向量)的研究，是概率論的中心內(nèi)容．這是因為，對于一個隨機試驗，我們所關(guān)心的往往是與所研究的特定問題有關(guān)的某個或某些量，而這些量就是隨機變量．當然，有時我們所關(guān)心的是某個或某些特定的隨機事件．例如，在特定一群人中，年收入十萬元以上的高收入者，及年收入在8000元以下的低收入者，各自的比率如何，這看上去像是兩個孤立的事件．可是，若我們引進一個隨機變量的X：X＝隨機抽出一個人其年收入，則X是我們關(guān)心的隨機變量．上述兩個事件可分別表為X＞10萬和X＜0.8萬．這就看出：隨機事件這個概念實際上是包容在隨機變量這個更廣的概念之內(nèi)．也可以說：隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量則是一種動態(tài)的觀點，一如數(shù)學分析中的常量與變量的區(qū)分那樣．變量概念是高等數(shù)學有別于初等數(shù)學的基礎(chǔ)概念．同樣，概率論能從計算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個更高的理論體系，其基礎(chǔ)概念是隨機變量．第十九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一離散型隨機變量定義:若隨機變量X取值x1,x2,…,xn,…且取這些值的概率依次為p1,p2,…,pn,…,則稱X為離散型隨機變量，而稱P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)

為X的分布律或概率分布?？杀頌?/p>

X～P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)，或…X

x1 x2

…

xK …

Pk p1 p2 … pk …第二十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一(1)pk0,k＝1,2,…;(2)

例1設(shè)袋中有5只球，其中有2只白3只黑?，F(xiàn)從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數(shù)X為k的概率。解k可取值0，1，2分布律的性質(zhì)第二十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一幾個常用的離散型分布

（一）貝努里(Bernoulli)概型與二項分布1.(0-1)分布若以X表示進行一次試驗事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從(0－1)分布(兩點分布)

X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,(0<p<1)k＝0，1或第二十二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一若以X表示n重貝努里試驗事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布。

記作X~B（n,p)

,其分布律為：2.

定義設(shè)將試驗獨立重復進行n次，每次試驗中，事件A發(fā)生的概率均為p，則稱這n次試驗為n重貝努里試驗.第二十三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一例.從某大學到火車站途中有6個交通崗,假設(shè)在各個交通崗是否遇到紅燈相互獨立,并且遇到紅燈的概率都是1/3.(1)設(shè)X為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù),求X的分布律.(2)求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率.(1)X~B(6,1/3),于是,X的分布律為:第二十四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一泊松定理設(shè)隨機變量Xn~B(n,p),(n＝0,1,2,…),且n很大，p很小，記=np，則

第二十五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一（二.）泊松(Poisson)分布P()X～P{X＝k}＝,k＝0,1,2,…(0)第二十六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一泊松定理表明，泊松分布是二項分布的極限分布，當n很大，p很小時，二項分布就可近似地看成是參數(shù)=np的泊松分布第二十七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一隨機變量的分布函數(shù)

一、分布函數(shù)的概念

定義設(shè)X是隨機變量，對任意實數(shù)x，事件{Xx}的概率P{Xx}稱為隨機變量X的分布函數(shù)。記為F(x)，即

F(x)＝P{Xx}.

易知，對任意實數(shù)a,b(a<b),P{a<Xb}＝P{Xb}－P{Xa}＝F(b)－F(a).第二十八頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一分布函數(shù)的性質(zhì)

1、單調(diào)不減性：若x1<x2,則F(x1)F(x2);2、歸一性：對任意實數(shù)x，0F(x)1，且

3、右連續(xù)性：對任意實數(shù)x，反之，具有上述三個性質(zhì)的實函數(shù)，必是某個隨機變量的分布函數(shù)。故該三個性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。第二十九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一一般地，對離散型隨機變量

X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函數(shù)為例

設(shè)隨機變量X具分布律如右表解

X012P0.10.60.3試求出X的分布函數(shù)。第三十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一連續(xù)型隨機變量:一、概率密度

1.定義:

對于隨機變量X，若存在非負函數(shù)f(x)，(-<x<+)，使對任意實數(shù)x，都有則稱X為連續(xù)型隨機變量，f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù).常記為X～f(x),(-<x<+)第三十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一密度函數(shù)的幾何意義為第三十二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一二、幾個常用的連續(xù)型分布1.均勻分布若X～f(x)＝則稱X在(a,b)內(nèi)服從均勻分布。記作X~U(a,b)對任意實數(shù)c,d(a<c<d<b)，都有第三十三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一2.指數(shù)分布若X～則稱X服從參數(shù)為>0的指數(shù)分布。其分布函數(shù)為第三十四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一正態(tài)分布是實踐中應(yīng)用最為廣泛，在理論上研究最多的分布之一，故它在概率統(tǒng)計中占有特別重要的地位。3.正態(tài)分布第三十五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一其中為實數(shù)，

>0，則稱X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布,記為N(,2)，可表為X～N(,2).若隨機變量第三十六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一

(1)單峰對稱

密度曲線關(guān)于直線x=對稱；

f()＝maxf(x)＝.正態(tài)分布有兩個特性：第三十七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一(2)的大小直接影響概率的分布越大，曲線越平坦，越小，曲線越陡峻，。正態(tài)分布也稱為高斯(Gauss)分布第三十八頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一4.標準正態(tài)分布

參數(shù)＝0，2＝1的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記作X~N(0,1)。第三十九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一一般的概率統(tǒng)計教科書均附有標準正態(tài)分布表供讀者查閱(x)的值。如，若Z~N（0，1）,（0.5)=0.6915,P{1.32<Z<2.43}=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066注：(1)(x)＝1－(－x)；

(2)若X～N(,2)，則正態(tài)分布表第四十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一2.可靠性模型概述第四十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一目標在開發(fā)過程中，如果我們能夠?qū)M件或者系統(tǒng)預測失效的概率估計下一次失效的平均時間預測（遺留）失效的個數(shù)

將大大有助于我們提高軟件的質(zhì)量.這樣的任務(wù)是可靠性模型的目標.第四十二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一可靠性模型可靠性模型引入缺陷:產(chǎn)品的特點(e.g.,程序大小)開發(fā)過程(e.g.,軟件工具和技術(shù)，人員的經(jīng)驗等.)去除缺陷:失效的發(fā)現(xiàn)

(e.g.,extentofexecution,operationalprofile)修復活動的質(zhì)量環(huán)境第四十三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一兩類可靠性問題單一失效描述:系統(tǒng)（組件）中失效的概率是多少?多重失效描述:如果系統(tǒng)（組件）在時刻t1,t2,…,ti-1,失效，那么它在時刻ti

失效的概率是多少?第四十四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一失效描述（1）失效的時間失效之間間隔的時間到給定的時間累計的失效在一個時間間隔內(nèi)經(jīng)歷的失效Failureno.Failuretimes(hours)Failureinterval(hours)1101021993321344311558156701278818810315912522101502511169191219930132313214256251529640Timebasedfailurespecification第四十五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一失效描述（2）失效的時間失效之間間隔的時間到給定的時間累計的失效在一個時間間隔內(nèi)經(jīng)歷的失效Time(s)CumulativeFailuresFailuresininterval30226053907212081150102180111210121240131270141Failurebasedfailurespecification第四十六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一模型分類Timedomain

:

日歷時間還是執(zhí)行時間Category

:

失效的數(shù)目是有限的還是無限的.Type

:

依據(jù)時間，經(jīng)歷的失效數(shù)目的分布情況.Class(onlyfinitecategory):

失效強度依據(jù)時間的函數(shù)形式.Family(onlyinfinitecategory):

依據(jù)經(jīng)歷的失效的期待數(shù)目，失效強度的函數(shù)形式.第四十七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一各種可靠性模型（1）指數(shù)失效類模型(ExponentialFailureClassModels)Jelinski-Morandamodel(JM)NonhomogeneousPoissonProcessmodel(NHPP)SchneidewindmodelMusa’sBasicExecutionTimemodel(BET,基本指數(shù)模型)Hyperexponentialmodel(HE)Others第四十八頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一各種可靠性模型（2）WeibullandGammaFailureClassModelsWeibullmodel(WM)S-shapedReliabilityGrowthmodel(SRG)BayesianModelsLittlewood-VerrallModelInfiniteFailureCategoryModelsDuane’smodelGeometricmodelMusa-OkumotoLogarithmicPoissonmodel（對數(shù)泊松模型）第四十九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一另一種分類（1）失效間隔時間模型Jelinski-Moranda(ExponentialFailureModel)Musa-Basic(ExponentialFailure

Model)NHPP(ExponentialFailure

Model)Geometric(InfiniteFailure

Model)Musa-Okumoto(InfiniteFailure

Model)Littlewood-Verrall(BayesianModel)第五十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一另一種分類（2）失效統(tǒng)計模型GeneralizedPoissonShick-WolvertonYamadaS-shapedNHPP(ExponentialFailure

Model)Schneidewind(ExponentialFailure

Model)第五十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一模型的選擇投影有效性（ProjectiveValidity）：從過去和當前的失效行為預測將來失效行為的能力假設(shè)的質(zhì)量（QualityofAssumption）：能否有效的檢測假設(shè)的正確性可應(yīng)用性（Applicability）：針對不同的軟件，不同的開發(fā)階段，不同的操作環(huán)境的有效性簡單性（Simplicity）：易于理解，易于估計參數(shù)，易于收集所需的數(shù)據(jù)第五十二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一3.單一失效模型SingleFailureModel第五十三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一硬件可靠性模型均勻模型:失效的概率是固定的.指數(shù)模型:失效的概率隨時間按照指數(shù)規(guī)律發(fā)生變化ftTftT第五十四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一單一失效模型（1）概率密度函數(shù)ProbabilityDensityFunction(PDF):

顯示到給定時刻t為止，失效的概率PDF的一個一般形式為指數(shù)分布我們經(jīng)常需要知道在失效前，組件正常工作的時間，也就是說，從時間0到t，失效的概率.第五十五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一單一失效模型（2）累積密度函數(shù)(CDF):

顯示直到給定的時刻t，累計的失效概率.對于指數(shù)分布,CDF為:第五十六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一單一失效模型（3）可靠性函數(shù)(R):

顯示一個組件的功能直到時刻t依舊不失效的的概率.對于指數(shù)分布,R為:第五十七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一單一失效模型（4）什么是失效時間T的期待值?它是概率密度函數(shù)(PDF)的平均值,被稱為失效平均時間meantimetofailure(MTTF)對于指數(shù)分布,MTTF為:第五十八頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一單一失效模型（5）失效時間中值Mediantimetofailure(tm):

一個特定的時間點tm

，在該點前的失效概率和在其后的失效概率是一樣的.失效率FailureRatez(t):

概率密度函數(shù)除以可靠性函數(shù).

對于指數(shù)分布,z(t)

為:λ第五十九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一失效率的含義系統(tǒng)在時間間隔[t1,t2]中失效的概率為失效率為如果t1前沒有發(fā)生失效，在[t1,t2]中每單位時間發(fā)生失效的概率從極限的角度第六十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一它表示了在元件的生命周期中失效概率的變化盡管在某時刻兩個設(shè)計的可靠性可能一樣，但是在該點的失效率可能不一樣第六十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一單一失效模型（6）系統(tǒng)可靠性:

為各個組件的可靠性的乘積.對于指數(shù)分布:第六十二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一單一失效模型（7）系統(tǒng)累計失效率（SystemCumulativeFailureRate）:

所有的組件的失效率之和.對于指數(shù)分布:第六十三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一4.可靠性增長模型ReliabilityGrowthModel第六十四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一可靠性增長模型（1）我們可以假定所有的失效（例如用類似的硬件組件替換原來的，失效密度函數(shù)(probabilitydensityfunction,PDF)都是相同的.軟件中，我們需要“修復”問題，通過修復，系統(tǒng)應(yīng)該有更低的失效概率(orlongerΔti=ti-ti-1).因此，我們需要一個可靠性增長模型

(i.e.,可靠性隨時間的變化).第六十五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一可靠性增長模型（2）一般的可靠性增長模型為:基本的指數(shù)模型（BasicModel,Musa)對數(shù)泊松模型(LogarithmicPoisson,Musa-Okumoto)基本的指數(shù)模型假定在無限的時間內(nèi)存在有限個失效(ν0).對數(shù)泊松模型假定無限個失效.第六十六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一模型的有效性在軟件生命周期中，軟件系統(tǒng)一般經(jīng)過多次變化（升級）.這些模型符合一次修改的情形而不是整個生命周期RevisionPeriod1RevisionPeriod4第六十七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一可靠性增長模型（3）可靠性增長模型中的參數(shù):失效強度Failureintensity(λ):

每自然或者時間單位的失效個數(shù).執(zhí)行時間Executiontime(τ):

程序運行的時間.執(zhí)行時間可能與日歷時間不一樣.經(jīng)歷的平均失效的個數(shù)(μ):

在一個時間區(qū)間中，經(jīng)歷的平均失效個數(shù).第六十八頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一可靠性增長模型（5）失效強度(λ)versus

執(zhí)行時間(τ)第六十九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一例子（基本模型）假定初始的失效強度為10失效/執(zhí)行小時，總的失效為100，10個小時的失效強度為（對數(shù)泊松模型），初始失效強度同上，失效強度衰減系數(shù)為0.02/失效第七十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一可靠性增長模型（6）失效強度(λ)versus經(jīng)歷的平均失效個數(shù)(μ)

第七十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期一例子假定一個程序在無限的時間范圍內(nèi)將經(jīng)歷100個失效，初始的失效強度為10個失效/執(zhí)行小時，目前已經(jīng)經(jīng)歷了50個失效，那么目前的失效強度為假定初始的失效強度為10