現(xiàn)代信號(hào)處理教程-胡廣書(清華)

第頁(yè)共頁(yè)現(xiàn)代信號(hào)處理教程-胡廣書(清華)現(xiàn)代信號(hào)處理教程-胡廣書(清華)第12章雙正交小涉及小波包我們?cè)谏弦徽陆o出了正交小波的構(gòu)造方法。正交小波有許多好的性質(zhì)，如j,k(t),φj,k(t)=δ(k?k')，j,k(t),ψj,k(t)=δ(k?k')，j,k(t),ψj,k(t)=0，此'''外，尺度函數(shù)和小波函數(shù)都是緊支撐的，有著高的消失矩等等。Daubechies給出的正交小波的構(gòu)造方法可以方便的構(gòu)造出所需要的小波(如DBN，SymN，CoifN)。但是，正交小波也有缺乏之處，即φ(t)和ψ(t)都不是對(duì)稱的，盡管SymN和CoifN接近于對(duì)稱，但畢竟不是真正的對(duì)稱，因此，這在實(shí)際的信號(hào)處理中將不可防止地帶來(lái)相位失真。φ(t)和ψ(t)的不對(duì)稱性來(lái)自所使用的共軛正交濾波器組H0(z)和H1(z)的不對(duì)稱性。我們已在7.8節(jié)討論了具有線性相位的雙正交濾波器組的根本概念，給出了可準(zhǔn)確重建的雙正交濾波器組的設(shè)計(jì)方法。本章，我們把這些內(nèi)容引入到小波分析^p，給出合適小波變換的雙正交濾波器組準(zhǔn)確重建的條件，給出雙正交條件下的多分辨率分析^p及雙正交小波的構(gòu)造方法，最后簡(jiǎn)要討論小波包的根本概念12.1雙正交濾波器組如今，我們結(jié)合小波變換的需要來(lái)研究雙正交濾波器組的內(nèi)在關(guān)系及實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確重建的條件。所謂“小波變換的需要”是指在用H0(z)對(duì)a0(z)分解時(shí)需要將H0(z)和H1(z)的或0(n)=h0(?n),1(n)=h1(?n)，系數(shù)作時(shí)間上的翻轉(zhuǎn)，即用的是H0(z?1)及H1(z?1)，見(10.6.1)式及圖10.6.2。將圖10.6.2的正變換和圖10.6.3的反變換結(jié)合起來(lái)，我們可得到如圖12.1.1所示的一級(jí)分解和重建的類似于兩通道濾波器組的信號(hào)流圖。注意，圖中用于?0(z)和H?1(z)，它們分別是重建的濾波器不再是圖10.6.3中的H0(z)和H1(z)，而是HH0(z)和H1(z)的對(duì)偶濾波器。有關(guān)“對(duì)偶”的概念見1.6節(jié)，在下面的討論中將涉及對(duì)偶濾波器的作用。如今我們來(lái)分析^p該圖中各信號(hào)之間的關(guān)系及實(shí)現(xiàn)PR的條件。由第七章關(guān)于兩通道濾波器組的理論，我們有-352-圖12.1.1雙正交濾波器組)a1(n)=a0(n)?0(2n)=∑a0(k)h0(k?2n)=a0(k),h0(k?2n)(12.1.1a)kd1(n)=a0(n)?1(2n)=∑a(k)h(k?2n)=1ka0(k),h1(k?2n)(12.1.1b)?(n)+d'(n)?h?(n)?0(n)=a1'(n)?ha011?(n?2l)+d(l)h=∑a1(l)h∑1?1(n?2l)0ll(12.1.2)將(12.1.1)式代入(12.1.2)式，有?(n?2l)?0(n)=∑a0(k),h0(k?2l)a0l+∑l?(n?2l)0(k),h1(k?2l)1(12.1.3)(12.1.1)式是用一組向量{h0(k?2n),h1(k?2n),n,k∈Z}對(duì)a0(n)作分析^p，(12.1.3)式是用?(n?2l),h?(n?2l),n,l∈Z對(duì)a(n)作綜合。(12.1.3)式還可表為一組對(duì)偶向量h010?(n?2l)(k)?0(n)=∑h0(k?2l),ha00l{}+∑l?(n?2l)(k)h1(k?2l),h10-353-(12.1.4)顯然，假如?(n?2l)=δ(n?k)h0(k?2l),h0?(n?2l)=δ(n?k)h1(k?2l),h1那么(12.1.5a)(12.1.5b)?0(n)=2a0(n)a從而實(shí)現(xiàn)了準(zhǔn)確重建。(12.1.5)式的含意是，在圖12.1.1中，同一條支路上的兩個(gè)濾波器?(n)或h(n),h?(n)的偶序號(hào)位移之間是正交的。但是該式?jīng)]有涉及上下支路兩個(gè)h0(n),h011濾波器之間的關(guān)系。我們更關(guān)心的是這些濾波器系數(shù)的移位可否構(gòu)成小波分析^p中的基函數(shù)。下面的兩個(gè)定理清楚地答復(fù)了該問題。定理12.1對(duì)圖12.1.1所示的兩通道濾波器組，對(duì)任意的輸入信號(hào)a0(n)，其準(zhǔn)確重建的充要條件是：*?0(ω)+H1*(ω+π)H?1(ω)=0H0(ω+π)H(12.1.6a)(12.1.6b)及?0(ω)+H1(ω)H?1(ω)=2H0(ω)H**證明：仿照(7.1.5)式的導(dǎo)出，有?(z)=1H(z?1)H?0(z)+H1(z?1)H?1(z)A0(z)A002+[]1?(z)A(?z)?(z)+H(?z?1)HH0(?z?1)H01102[](12.1.7)?(z)分別是a(n)和a?0(n)的z變換，A0(?z)是混迭分量。因此，為消除式中A0(z)、A00混迭失真，應(yīng)有?(z)+H(?z?1)H?(z)=0H0(?z?1)H011(12.1.8a)為保證系統(tǒng)的準(zhǔn)確重建，應(yīng)有?(z)+H(z?1)H?(z)=2cz?kH0(z?1)H011(12.1.8b)式中c和k均為常數(shù)。令c=1，k=0，(12.1.8)式對(duì)應(yīng)的頻率表示是：*?0(ω)+H1*(ω+π)H?1(ω)=0H0(ω+π)H-354-*?0(ω)+H1*(ω)H?1(ω)=2H0(ω)H于是定理得證。比照?qǐng)D7.1.1的兩通道濾波器組，其對(duì)應(yīng)的PR條件是〔見(7.1.5)式〕：H0(?z)G0(z)+H1(?z)G1(z)=0H0(z)G0(z)+H1(z)G1(z)=2(12.1.9a)(12.1.9b)將(12.1.9)和(12.1.8)式相比擬可以看出，在雙正交濾波器組的情況下，我們分別用?0(z)、H?(z)代替了G0(z)和G1(z)，并在分析^p濾波器組中，用H0(z?1)、H1(z?1)分H1別代替了H0(z)和H1(z)。其實(shí)，(12.1.8)式導(dǎo)出的原理和(12.1.9)式是完全一樣的。由(12.1.6a)式，有-(ω)-2?H1(ω)-H?H0(ω)0--?=-??H0(ω+π)H1(ω+π)-H1(ω)-0?(12.1.10)可求出-(ω)-H?H1(ω+π)?20--=-H(ω+π)?detωH0-?H1(ω)?(12.1.11)式中detH(ω)=H0(ω)H1(ω+π)?H1(ω)H0(ω+π)(12.1.12)?(z)和H?1(z)是穩(wěn)定的，detH(ω)在ω=?π~π的范圍內(nèi)顯然，為了保證對(duì)偶濾波器H0?0(z)和H?(z)是FIR的，detH(ω)應(yīng)取純延遲的形式。應(yīng)該非零。為了保證H1仿照(7.2.16)式對(duì)G0(z)和G1(z)的定義，我們可給出在雙正交條件下對(duì)偶濾波器和分析^p濾波器之間的關(guān)系：或-(ω+π)H1(ω)=e?j(2l+1)ωH0?(ω)=e?j(2l+1)ωH?(ω+π)H10(12.1.13a)(12.1.1____)?0(?z?1)H1(z)=z?(2l+1)H-355-(12.1.14a)?1(z)=z?(2l+1)H0(?z?1)H(12.1.14b)假定l=0，它們對(duì)應(yīng)的時(shí)域關(guān)系是?(1?n)h1(n)=(?1)n+1h0?(n)=(?1)n+1h(1?n)h10(12.1.15a)(12.1.15b)注意，上述時(shí)域、頻域關(guān)系均是在圖12.1.1中的穿插方向上給出的，它正好反映了雙正交濾波器組的特點(diǎn)。將(12.1.13)式代入(12.1.6)式，我們可得到如下的關(guān)系：-(ω)+H?(ω+π)H?(ω+π)=2H0(ω)H000(12.1.16a)或及-1(ω)+H1?(ω+π)H?1(ω+π)=2H1(ω)H(12.1.16b)或-1(ω)+H0?(ω+π)H?1(ω+π)=0H0(ω)H(12.1.17a)(12.1.17b)-0(ω)+H1?(ω+π)H?0(ω+π)=0H1(ω)H至此，我們給出了在雙正交濾波器組中的假設(shè)干根本關(guān)系，即(1)去除混迭條件：(12.1.6a)式；(2)PR條件：(12.1.6b)式；(3)保證PR條件和濾波器均為FIR的情況下，四個(gè)濾波器在時(shí)域和頻域的關(guān)系：(12.1.13)式～(12.1.17)式。回憶在共軛正交濾波器組的情況下，我們經(jīng)常用到的功率互補(bǔ)關(guān)系，即H0(ω)+H0(ω+π)=2，或H0(ω)H0(ω)+H0(ω+π)H0(ω+π)=2??22(12.1.18)?0(z)=H0(z)，那么(12.1.16a)式即變成(12.1.18)式，也即雙正交濾波器組變成了顯然，假設(shè)H正交濾波器組。有了以上討論的根底，我們可給出在小波分析^p中要用到的“基”的概念。-356-?0(z)和H?1(z)滿足準(zhǔn)定理12.2[8]假如圖12.1.1中的四個(gè)濾波器H0(z)，H1(z)，H確重建條件，且它們的傅里葉變換均是有界的，那么?(n?2l),h?(n?2l)},l∈Z和{h(n?2l),h(n?2l)},l∈Z{h0是L2(R)中的雙正交Riesz基。?及h?的偶序號(hào)項(xiàng)移位是雙正交的，我們需要證明如下三個(gè)證明：為證明h0、h1、h01關(guān)系成立：及?(k),h(k?2n)=δ(n)h00?(k),h(k?2n)=δ(n)h11(12.1.19a)(12.1.19b)?(k),h(k?2n)=h?(k),h(k?2n)=0h0110(12.1.19c)由(12.1.16a)式，有1-0(ω)+H0?(ω+π)H?0(ω+π)=1H0(ω)H2該式對(duì)應(yīng)的時(shí)域關(guān)系是∞[]-(2n)=h00k=?∞?(k)h(k?2n)=δ(n)∑h(12.1.20)于是(12.1.19a)式得證。同理，由(12.1.16b)式可證明(12.1.19b)式，而(12.1.17)式對(duì)應(yīng)的時(shí)域關(guān)系即是(12.1.19c)式。這樣，(12.1.19)式給出了三組正交關(guān)系。?，h，h?的偶序號(hào)位移可以構(gòu)成L2(R)中的雙正交Riesz基，它們還需滿足假設(shè)h0，h011如下的條件：∞11?ω∈[?π,π]，有≤∑?(ω+2kπ)≤Bk=?∞A2(12.1.21)?，h?(ω)是θ的傅里葉變換，此處θ代表h，h此即(10.2.11)式。式中A》0，B》0，θ001?。由本定理所給的條件，即它們的傅里葉變換都是有界的，所以(12.1.21)式滿足，因或h1-357-?，h及h?的偶序號(hào)移位構(gòu)成L(R)中的雙正交Riesz基。于是定理得證。此h0，h0112我們之所以說這些序列為“雙正交”基，是因?yàn)樵趫D12.1.21中的濾波器組中，上下支?正交，h和其對(duì)偶h?正交；同時(shí)，上下支路穿插正交，路各自是正交的，即h0和其對(duì)偶h011?。?，h正交于h即h0正交于h在雙正交濾波器中，我們并沒有強(qiáng)調(diào)H0(z)和H1(z)0注意，11之間的正交關(guān)系，而這一正交關(guān)系是共軛正交濾波器組中的根本關(guān)系。由此讀者可搞清正交和雙正交的區(qū)別?？傊谛〔ǖ亩喾直媛史治鯺p中，使用正交濾波器組時(shí)，分解濾波器和重建濾波器是一樣的，而在雙正交小波分析^p中，分析^p濾波器是H0和H1，而綜合濾波器?0和H?。是它們的對(duì)偶，即H1此外，(12.1.19a)和(12.1.19b)的雙正交關(guān)系與本章開頭所給出的(12.1.5)式的關(guān)系是一致的，只不過(12.1.19)式更簡(jiǎn)潔。12.2雙正交小波上一節(jié)我們討論了雙正交濾波器的根本概念、PR條件及各濾波器時(shí)域、頻域的關(guān)系。本節(jié)，我們將把雙正交濾波器組的概念引入雙正交小波變換，給出類似第十章的多分辨率分析^p。由(9.8.18)和(9.8.19)式，信號(hào)x(t)的離散小波變換是：WTx(j,k)=∫x(t)ψj,k(t)dt=x(t),ψj,k(t)j,k∈Z(12.2.1)令dj(k)=WTx(j,k)，那么dj(k)稱為小波系數(shù)，也即x(t)的DWT。我們可由dj(k)重建x(t)。由(9.8.20)式，有x(t)=∑∞j=0k=?∞∑d∞j?j,k(t)=∑(k)ψ∞j=0k=?∞∑∞?j,k(t)x(t),ψj,k(t)(12.2.2)?j,k(t)是ψj,k(t)的對(duì)偶小波。由以上兩式可以看出，小波ψj,k(t)用于信號(hào)的分析^p，式中ψ?j,k(t)用于信號(hào)的綜合。在正交小波的情況下，ψ?j,k(t)=ψj,k(t)。對(duì)偶小波ψ我們?cè)诘谑略敿?xì)討論了離散小波變換的多分辨率分析^p，引出了尺度函數(shù)φ(t)，證明-358-了在L2(R)中存在正交基φj,k(t)和ψj,k(t)，給出了φj,k(t)、ψj,k(t)和正交濾波器組的關(guān)系，即二尺度差分方程和(10.4.7)和(10.4.8)式的頻域關(guān)系。在雙正交濾波器組的情況下，分?)和兩個(gè)小波函數(shù)?，H?1)將產(chǎn)生兩個(gè)尺度函數(shù)(φ，φ解濾波器(H0，H1)和重建濾波器(H0?和ψ?0，H?)。其中φ和ψ對(duì)應(yīng)信號(hào)的分解，而φ?對(duì)應(yīng)信號(hào)的重建。它們和H0，H(ψ，ψ1?1相應(yīng)的時(shí)域和頻域的關(guān)系是：及H及φ(t)=2∑h0(n)φ(2t?n)n=?∞∞∞(12.2.3a)(12.2.____)(12.2.4a)(12.2.4b)?(t)=2hφ∑?0(n)φ?(2t?n)n=?∞∞ψ(t)=2∑h1(n)φ(2t?n)n=?∞∞?(n)φ?(2t?n)?(t)=∑hψ1n=?∞Φ(2ω)=1H0(ω)Φ(ω)2(12.2.5a)?(2ω)=1H?0(ω)Φ?(ω)ΦΨ(2ω)=1H1(ω)Φ(ω)2(12.2.5b)(12.2.6a)(12.2.6b)?(2ω)=1H?1(ω)Φ?(ω)Ψ2定理10.3給出了在正交濾波器組情況下H0(ω)和H1(ω)的關(guān)系，即(10.5.1)式。對(duì)應(yīng)雙正交濾波器組，這一關(guān)系變成：*?0(ω)+H0*(ω+π)H?0(ω+π)=2H0(ω)H(12.2.7)此即(12.1.6a)式。由(12.1.13)式，令l=0，那么分解和重建濾波器之間有如下關(guān)系：?0(?z?1)，或H1(ω)=e?jωH?0?(ω+π)H1(z)=z?1H-359-(12.2.8a)?1(z)=z?1H0(?z?1)，或H?1(ω)=e?jωH0?(ω+π)H(12.2.8b)?(t)都是低通的，ψ(t)和ψ?(t)都是帶通的。對(duì)同正交小波時(shí)一樣，我們要求φ(t)和φ?(z)是低通的，H(z)和H?(z)是高通的，即應(yīng)的，要求H0(z)和H011?0(ω)ω=π=0H0(ω)=H?1(ω)ω=0=0H1(ω)=H(12.2.9a)(12.2.9b)(12.2.10a)(12.2.10b)∫φ(t)dt=∫φ?(t)dt=1∫ψ(t)dt=∫ψ?(t)dt=0由(12.1.16)式，有?0(ω)ω=0=2，及H0(ω)=H?0(ω)ω=0=2H0(ω)H?1(ω)ω=π=2，及H1(ω)=H?1(ω)ω=π=H1(ω)H(12.2.11a)(12.2.11b)類似(10.4.14)式，可由(12.2.5)式導(dǎo)出H0(ω2j)Φ(ω)=∏j=1∞?(ω2j)H?(ω)=∏0Φ2j=1∞(12.2.12a)(12.2.12b)類似(10.4.15)式，可由(12.2.6)式導(dǎo)出H1(ω/2)∞H0(ω2j)Ψ(ω)=∏22j=2?(ω2j)?(ω/2)∞HH0?(ω)=1Ψ∏22j=2(12.2.13a)(12.2.1____)由上面的討論可知，在“雙正交”的情況下，我們?cè)诘谄哒录暗谑滤懻摰臑V波器?；H，H?1；φ，φ和ψ，ψ?。組及兩尺度差分方程各增加了一套“對(duì)偶”，即H0，H01上面各節(jié)給出了它們所應(yīng)滿足的時(shí)域及頻域關(guān)系。下面的定理將給出雙正交小波基的存在-360-性。?(ω)，使得定理12.3[42,5,8]假定存在兩個(gè)恒正的三角多項(xiàng)式p(ω)和pH0p+H0(+π)p(+π)=2p(ω)2222ω2ωω2ω(12.2.14a)(12.2.14b)ω?(ωp(ω)+H?(ω+π)p-(ω)H(+π)=2p002222?0(ω)在?π~π內(nèi)非零，那么H0(ω)、H22222并假定?(t)屬于L(R)，且滿足雙正交關(guān)系1．由(12.2.12)式定義的φ(t)和φ?(t?n)=δ(n)(t),φ(12.2.15)?j,k(t)是L2(R)中的雙正交Riesz基，即2．兩個(gè)小波函數(shù)序列ψj,k(t)和ψ?j,k(t)=δ(j?j')δ(k?k')j,k(t),ψ''(12.2.16)該定理的證明見文獻(xiàn)[42]。有了L2(R)中的雙正交基，我們可對(duì)x(t)作如下的分解：x(t)=∑2∞j=0k=?∞∑∞∞?j,k(t)x(t),ψj,k(t)?j,k(t)j,k(t)x(t),ψ(12.2.17)=∑∞j=0k=?∞∑?j,k(t)是L(R)中的Riesz基，那么必然存在常數(shù)A》0，B》0，使得既然ψj,k(t)，ψAx(t)≤∑x(t),ψj,k(t)j,k22≤Bx(t)22(12.2.18a)12?j,k(t)x(t)≤∑x(t),ψBj,k≤12x(t)A(12.2.18b)由上面的討論可知，在雙正交的情況下，我們并不要求{ψj,k}和{ψj,k'}之間是正交的，?}和{ψ?j',k}之間是正交的，僅要求也不要求{φj,k}和{ψj,k}之間，以及其對(duì)偶函數(shù){φj,k?'}之間以及{ψ}和{ψ?j',k'}之間是正交的，也即(12.2.15)和(12.2.16)式。正交{φj,k}和{φj,kj,k-361-性的放寬是使H0(z)及H1(z)具有線性相位，從而使φ(t)和ψ(t)更具有對(duì)稱性，從而減小了相位失真。在第十章的多分辨率分析^p中，我們假定Vj=close{φj,k,j,k∈Z}Wj=close{ψj,k,j,k∈Z}Vj=Vj+1⊕Wj+1，Wj⊥Vj(12.2.19a)(12.2.19b)并有(12.2.19c)?將產(chǎn)生兩個(gè)空間。除了(12.2.19a)和(12.2.19b)在雙正交情況下，尺度函數(shù)φj,k及其對(duì)偶φj,k式的關(guān)系外，還有?,j,k∈Z}?j=close{φVj,k?j=close{ψ?j,k,j,k∈Z}W(12.2.20a)(12.2.20b)及?j的嵌套關(guān)系是Vj和VV?1?V0?V1-?Vj?Vj+1?(12.2.21a)-?V-V--V?j?V?j+?V1(12.2.21b)?j，W和W?j之間有如下關(guān)系：此時(shí)，Wj不再是Vj的正交補(bǔ)空間，但Vj，Vj?j，V?j⊥WjVj⊥W(12.2.22a)(12.2.22b)?j?1=V?j⊕W?jVj?1=Vj⊕Wj，V由1.7節(jié)關(guān)于正交基的性質(zhì)，有k=?∞∞?(ω+2kπ)=0∑Φ(ω+2kπ)Φ-∞(12.2.23a)k=?∞?(ω+2kπ)=0∑Ψ(ω+2kπ)Ψ-362-(12.2.2____)雙正交小波下的快速算法和正交基小波下的快速算法根本一樣，區(qū)別是在重建時(shí)使用的是?(z)和H?1(z)。詳細(xì)的分解方程和重建方程是：對(duì)偶濾波器H0aj(n)=aj?1(n)?0(2n)=dj(n)=aj?1(n)?1(2n)=k=?∞∑a∞j?1(k)h0(k?2n)〔12.2.24a〕k=?∞∑a∞j?1(k)h1(k?2n)(12.2.24b)'?(n)+d'(n)?h?(n)aj?1(n)=aj(n)?h0j1∞∞=''k=?∞∑aj?(n?2k)+(k)h0k=?∞∑dj?(n?2k)(12.2.25)(k)h1式中aj(n)，dj(n)分別是aj(n)，dj(n)作二插值得到的序列，見圖12.1.1。12.3雙正交小波的構(gòu)造?(t)的構(gòu)造，而它們又都于分解濾波?(t)，φ(t)及φ雙正交小波的構(gòu)造包括ψ(t)，ψ?0(z)和H?(z)。(12.1.14)式給出了H1(z)、器H0(z)、H1(z)及用于重建的對(duì)偶濾波器H1?0(z)及H(z)的關(guān)系，因此，雙正交小波構(gòu)造的核心問題是H(z)和H?(z)的?(z)和HH0001構(gòu)造，這和正交小波的構(gòu)造過程是一樣的。如同第十一章關(guān)于正交小波的討論，在詳細(xì)給出雙正交小波的構(gòu)造方法之前，先討論一下有關(guān)支撐范圍、消失矩等有關(guān)的有關(guān)問題。1．支撐范圍?(n)都是FIR濾波器，?(t)，?(t)假如h0(n)和h由(12.2.3)和(12.2.4)式，φψ(t)及ψφ(t)，0?(n)的支撐范圍分別是N≤n≤N，N?≤n≤N?，那么將都具有有限支撐。假設(shè)h0(n)和h01212?(t)的支撐范圍分別是[N,N]和N?,N?，而小波函數(shù)ψ(t)和ψ?(t)的支撐范圍φ(t)和φ1212分別是[8][]-363-?+1N?N?+1-N-N+1N-N+1-N1?N221121，2?和-2222N?)/2它們的長(zhǎng)度都是(N2?N1+N212．消失矩?(ω)在ω=π處零點(diǎn)的數(shù)目。由定理?(t)消失矩的數(shù)目取決于H0(ω)和Hψ(t)和ψ0?(ω)在ω=π那么ψ(t)有p階消失矩。同理，假設(shè)H11.1，假設(shè)H0(ω)在ω=π處有p階零點(diǎn)，0?(z)時(shí)，應(yīng)盡量讓它們?(t)有p?階零點(diǎn)，那么ψ?階消失矩。因此，在構(gòu)造H0(z)和H處有p0在ω=π處有高階的重零點(diǎn)。3．規(guī)那么性此處不再詳細(xì)討論，其一般結(jié)論是：a)由(12.2.4a)式，φ(t)和ψ(t)有著一樣的規(guī)那么性；b)φ(t)和ψ(t)的規(guī)那么性隨著H0(ω)在ω=π處零點(diǎn)數(shù)的增加而增加；c)?(t)和ψ?0(ω)在ω=π處零點(diǎn)數(shù)的增加而增加；?(t)的規(guī)那么性也是隨著Hφ?0(ω)在ω=π處有不同的零點(diǎn)數(shù)，?(t)的規(guī)那么性那么ψ(t)和ψd)假如H0(ω)和H也不一樣。4．對(duì)稱性之所以使用雙正交小波，其目的是使H0(z)，H1(z)及其對(duì)偶濾波器具有線性相位，同時(shí)也使φ(t)和ψ(t)都具有對(duì)稱性。除Haar小波外，在正交小波的情況下，上述對(duì)稱性?(n)具有奇數(shù)長(zhǎng)且以n=0為對(duì)稱，那么φ(t)和φ?(t)是以是不可能實(shí)現(xiàn)的。假如h0(n)，h0?(n)具有偶?(t)是相對(duì)位移位中心為對(duì)稱的。假如h0(n)，ht=0為對(duì)稱的，而ψ(t)和ψ0?(t)是以t=1/2為中心作對(duì)稱，而ψ(t)和數(shù)長(zhǎng)且以n=1/2為中心作對(duì)稱，那么φ(t)和φ?(t)以其位移中心作反對(duì)稱。ψ-364-顯然，假設(shè)h0(n)，那么圖12.1.1中的H0(z)，h1(n)是對(duì)稱的，H1(z)都可改記為H0(z)和H1(z)，也即在對(duì)aj(n)作分解時(shí)無(wú)需再將h0(n)和h1(n)翻轉(zhuǎn)。5.?1?1?(z)的構(gòu)造H0(z)及H0?(z)具有線性相位，因此，它們的頻率響應(yīng)可表為：由于要求H0(z)及H0H0(ω)=ejkωH0(ω)?0(ω)=ejk?ωH?0(ω)H(12.3.1a)(12.3.1b)?(n)為這是和Daubechies正交小波的一個(gè)主要區(qū)別。在實(shí)際工作中，我們總選取h0(n)和h0實(shí)值序列。因此，又有?(ω)=H?(?ω)H0(ω)=H0(?ω)，H00(12.3.2)由(12.2.12)式，必有Φ(ω)=Φ(?ω)。同理，我們總是選擇φ(t)為實(shí)函數(shù)，因此又有?(t)。φ(t)=φ(?t)，即尺度函數(shù)φ(t)以t=0為對(duì)稱。同樣的結(jié)論適用于φ?(t)以t=1/2為對(duì)稱，例如，Haar小波的尺度函數(shù)即是如此。此時(shí)要求假設(shè)φ(t)和φ?0(ω)仍是偶對(duì)稱，但要增加一個(gè)移位因子，即H0(ω)、H?0(?ω)=ejωH?0(ω)H0(?ω)=ejωH0(ω)，H(12.3.3)?(z)，使其所形成的.濾波器組為雙正交濾波器如今的問題是，如何找到適宜的H0(z)及H0?(t)及ψ(t)，ψ?(t)的雙正交條件，即滿足：組，也即保證φ(t)、φ-0(ω)+H0?(ω+π)H?0(ω+π)=2H0(ω)H也即(12.1.16a)式。習(xí)慣上將該式兩邊取共軛，即-365-?0?(ω)+H0(ω+π)H?0?(ω+π)=2H0(ω)H(12.3.4)Cohen，Daubechies給出了不同類型的雙正交小波的構(gòu)造方法[42,5]，其要點(diǎn)是：?(ω)是(12.3.4)式的解，假設(shè)H(ω)=H(?ω)，那么(1).令H0(ω)固定，假定H0001?′?H0(ω)=H0(ω)+H0(?ω)2也是(12.3.4)式的解。將該式代入(12.3.4)式即可驗(yàn)證。[]?(n)是實(shí)序列，H(ω)、H?(ω)滿足(12.3.2)式，所以H(ω)、(2).因?yàn)閔0(n)、h0000?(ω)均應(yīng)是實(shí)系數(shù)的三角多項(xiàng)式，它們可分別寫成H0ω-H0(ω)=2?cos?P0(cosω)2-2l(12.3.5a)和ω-?0(ω)=2?H?cos?P0(cosω)2-2l?(12.3.5b)的形式。?0(ω)按(12.3.3)式的形式對(duì)稱，那么它們可表為假設(shè)H0(ω)、HH0(ω)=2e?jω/2ω-cos-2-2l+1P0(cosω)2l?+1(12.3.6a)?0(ω)=2e?jω/2?H?cos?2-ω??0(cosω)P(12.3.6b)的形式。(3).將(12.3.5)和(12.3.6)式分別代入(12.3.4)式，有2k2kω?ω-?0(cosω)+-0(?cosω)=2?cos?P0(cosω)P?sin?P0(?cosω)P2?2-?(12.3.7)?；對(duì)應(yīng)(12.3.6)式，k=l+l?+1。對(duì)應(yīng)(12.3.5)式，k=l+l由于?sin-ω??0(cosω)均可以表示為sin2ω的?=(1?cosω)/2，所以P0(cosω)，P22?-366-2函數(shù)，再令ω?ω-?2ω-?P?sin2?=P0?sin2?P?0?sin2?2-2-?2k2k(12.3.8)那么(12.3.7)式可表示為：ω?ω?ω?ω??cos?P(sin2)+?sin?P(cos2)=22?22?2-(4).令y=sin2(12.3.9)ω2，那么(12.3.9)式又可表為如下的Bezout方程：kk(1?y)P(y)+yP(1?y)=1(12.3.10)該方程和(11.4.5)式是一樣的，區(qū)別只是P(y)所表示的內(nèi)容。只要能求出P(y)，由(12.3.8)?(y)，從而可按(12.3.5)或(12.3.6)式構(gòu)造出H(z)和H?(z)。式，即可得到P0(y)和P000(5).(12.3.10)式的解由下式給出：?k?1+m?mk(12.3.11)P(y)=∑?y+yR(1?2y)-?mm=0-這和(11.4.7)式的結(jié)果是一樣的，式中R(y)是一奇對(duì)稱多項(xiàng)式，即R(y)=?R(1?y)。k?1?時(shí)，H(z)、H?0(z)以n=0為對(duì)稱當(dāng)k=l+l0?+1時(shí)，H(z)、H?0(z)以n=1/2為對(duì)稱k=l+l0?0(y)作不同的分解可得到不同類型的雙正交小波。選用不同的R，對(duì)P(y)=P0(y)PDaubechies重點(diǎn)給出了基于樣條函數(shù)的雙正交小波的構(gòu)造方法，同時(shí)也給出了H0(z)、?0(z)長(zhǎng)度接近相等的基于樣條函數(shù)的雙正交小波的構(gòu)造方法，現(xiàn)分別給以討論。H12.4雙正交樣條小波樣條函數(shù)是分段光滑且在連結(jié)點(diǎn)處具有一定光滑性的一類函數(shù)，它在數(shù)值逼近方面獲得了廣泛的應(yīng)用。其中基數(shù)B樣條(CardinalB-Spline)函數(shù)具有最小的支撐范圍且又容易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，因此被認(rèn)為是構(gòu)造小波函數(shù)的最正確候選者之一。而m次B樣條函數(shù)Nm(t)是一階B樣條函數(shù)N1(t)自身作m?1次卷積所得到的，N1(t)正是Haar小波的尺度函數(shù)，即-367-所以?1N1(t)=??00≤t其它(12.4.1)?t?N2(t)=N1(t)?N1(t)=?2?t?0?0≤t(12.4.2)?t2/2?32t-(3/2)-N3(t)＝N2(t)?N1(t)＝?41?(t?3)2?2?0?0≤t1≤t2≤t(12.4.3)依次類推，有Nm(t)=Nm?1(t)?N1(t)=Nm?2(t)?N1(t)?N1(t)=N1(t)?N1(t)-?N1(t)(12.4.4)?(t)等于Battle和Lemarie用上述的樣條函數(shù)構(gòu)造了小波[8]，其思路是令尺度函數(shù)φ?(t)往往以t=0為對(duì)稱，所以令Nm(t)?？紤]到φm=1?(t)=N(t)φ1(12.4.5)m=2?(t)=N(t+1)=?φ2?1?t?0t≤1其它(12.4.6)m=3?0.5(t+1)2?1≤t0≤t21≤t?其它0??(t)如圖12.4.1所示。由該圖可以看出，N(t)是不連續(xù)的，N(t)連續(xù)但m=1,2,3時(shí)的φ12一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，而N3(t)的一階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的，曲線已比擬光滑。當(dāng)m增大時(shí)，Nm(t)會(huì)變得更光滑。-368-圖12.4.1由Nm(t+1)得到尺度函數(shù)很容易證明(12.4.4)式所決定的Nm(t)的傅里葉變換是?jωmm-?1?e--jωm/2?jω?=e?sin?ω/2-ω/2-而對(duì)移位后的φ?(t)=Nm(t+1)，其傅里葉變換為mΦ?(ω)=e?jεω/2?sin?ω/2-ω/2-假如m為偶數(shù)，式中ε=0，假設(shè)m為奇數(shù)，那么式中ε=1。分析^p(12.4.6)式，我們發(fā)現(xiàn)φ?(t)=N(t+1)=1φ?(2t+1)+φ?(2t)+1222φ?(2t?1)滿足我們?cè)诘谑滤懻摰亩叨炔罘址匠?。同時(shí)，可求出-369-(12.4.8)(12.4.9)(12.4.10)122ω?lΦ+=+ωπ(2)cos∑332l=?∞∞2(12.4.11)是有界的。當(dāng)m=3時(shí)，?(2t?1)+φ?(2t?2)?(t)=N(t+1)=φ?(2t+1)+φ?(2t)+φφ3同樣也滿足二尺度差分方程，同理可求出14343414(12.4.12)8131?Φ(ω+2πl(wèi))=+cosω+cos2ω∑153030l=?∞∞2(12.4.13)?(t)可構(gòu)成一個(gè)多分辨率分析^p。由1.7節(jié)關(guān)于正交基頻域的性因此，在m=1,2,3時(shí)不同的φ?(t)的整數(shù)移位之間不構(gòu)成正交基。質(zhì)，由于(12.4.11)和(12.4.13)式的右邊不等于1，因此φ?(t)“正交化”由(9.8.40)式，我們可將φ，即令?⊥(ω)=Φ?(ω)Φ2-∞??∑Φ(ω+2πl(wèi))-k=?∞?12(12.4.14)?(t)，那么φ?(t?n)，n∈Z可形成一族正交基。再由第十?⊥(ω)作反變換，得尺度函數(shù)φ對(duì)Φ章的方法可得到正交歸一的小波函數(shù)。?(t)作(12.4.14)式的正交化，而直接用N(t)作適在雙正交的情況下，我們可不必對(duì)φm?(t)作為尺度函數(shù)，如(12.4.5)～(12.4.7)式所示。這樣選定φ?(t)后，Daubechies當(dāng)移位后的φ?0(y)=1。P(y)=P(y)，從而得到了在雙正令(12.3.11)式中的R(1?2y)等于零，并令P0?(z)的系數(shù)，即交條件下樣條小波分析^p濾波器H0(z)和重建濾波器H0ω-=2l??(ω)=2?Hcos-，N02-?N(12.4.15a)-370-ω-=2l?+1?0(ω)=2e?jω/2?H?cos?，N2-ω?Nl+l-1?N(12.4.15b)m-?+?+llmω1?2-H0(ω)=2?cos?∑?sin-，N=2l-22m-m=0--(12.4.16a)H0(ω)=2e?jω/2ω-cos-2-Nl+l??l+l?+m-2ω?m-?sin?，N=2l+1∑-2?m-m=0?(12.4.16b)(12.4.15a)和(12.4.15b)分別對(duì)應(yīng)(12.3.5b)式和(12.3.6b)式，而(12.4.16)式是(12.3.5a)式、(12.3.6a)式和(12.3.11)式的結(jié)合。?0(ω)僅和l?有關(guān)，而和l無(wú)關(guān)；由(12.4.16)式，H(ω)不由(12.4.15)式可以看出，H0?有關(guān)，也即H(ω)取決于N和N?。給定不同的N和N?，就可求但和l有關(guān)，而且還和l0?0(ω)。將(12.4.15)式和(12.4.8)及(12.4.9)式相比擬可以看出，尺度函數(shù)出一對(duì)H0(ω)和H?0(ω)中的N?等價(jià)，也即N-1即是得到φ(t)時(shí)由φ(t)的傅里葉變換的“階次m”和H。N1(t)卷積的次數(shù)，或稱之為φ(t)的“階次”?(t)、ψ(t)和ψ?(z)、φ(t)、φ?組合情況下H0(z)、H?(t)的系數(shù)?，F(xiàn)給出不同N和N0?=1，那么必有l(wèi)?=0，由(12.4.15b)式，有情況1.令NH0(ω)=2e?jω/2?ejω/2+e?jω/2?2?jω=1+e-22-[]所以[注]，?0(z)=H2(1+z?1)2即?(n)={0.707,0.707}h0令N=1，那么必有l(wèi)=0，由(12.4.16b)式，有-371-jω/2+e?jω/2?0?m-1?cosω-jω/2?e?H0(ω)=2e-?∑--22-m=0?m-?m=2(1+ejω)2=e?jω，故和本書定義的z=ejω有區(qū)別。[注]：Daubechies在文獻(xiàn)[5]中令z所以即H0(z)=2(1+z?1)2h0(n)={0.707,0.707}?(t)即是Haar尺度函數(shù)，即φ?(t)=1，對(duì)0≤t≤1，其余為零。又?=1時(shí)的尺度函數(shù)φ在N?(t)。?0(z)=H0(z)，由(12.2.12b)式，必有φ(t)=φ?=1時(shí)的H由于在N=N易知在該情況下的小波函數(shù)即是Haar小波，即?1??(t)=-1ψ(t)=ψ?0?0≤t我們知道，Haar小波屬正交小波，即DB1，但因?yàn)樗菍?duì)稱的，故又屬雙正交小波。?(t)，?(t)，?(t)分別為1φ?(t)。我們記在該情況下的φ(t)，φψ(t)和ψ1.1ψ(t)及1.1ψ1.1φ(t)，?，后面的1代表N，以下均一樣。前面的1代表N?=1的情況下，我們?cè)倭頝=3，那么必有l(wèi)=1，由(12.4.16b)式，有在Njω/2+e?jω/2-jω/2?eH0(ω)=e-2-3?1+m-1?cosm?-∑?m-?2?m=0-?1m2jω=e+3+e?jω+e?j2ω8[]?4?ejω?e?jω-??2-所以11111?1?H0(z)=2-z2+z++z?1+z?2?z?3?16221616-16?(t)不變，1.3φ(t)，1.3ψ(t)及1.3ψ?仍為1，所以，1φ?(t)可由上一節(jié)的公式推出。因?yàn)镹但MATLAB中的wavefun.m文件可用來(lái)產(chǎn)生這些函數(shù)，如圖12.4.2所示。-372-?=2，那么l?=1，由(12.4.5a)式，有情況2：令N?0(ω)=2(cosω)2=2(ejω+2+e?jω)H24?0(z)=H2(z+2+z?1)4再令N=2，那么l=1，由(12.4.16a)式，有?1+m-2ω?H0(ω)=cos∑?m-?sin2?2m=0--?2ω1m=即H0(z)=2jω(e+e?jω+2)(4?ejω?e?jω)81131?1?2-z2+z++z?1?z?2?8444?8??0(z)及H(z)，?和N的組合下的H按此方法類推，讀者不難得出在不同N如表12.4.10?和N的適宜組合是：所示。N?=1，N?=2，N?=3，NN=1,3,5N=2,4,6,8N=1,3,5,7,9?0(z)和H0(z)，特別是H0(z)，假設(shè)不考慮前面的2，其分母的由該表可以看出，H?(t)都?值下，φ系數(shù)都是2的整次冪，因此有利于在計(jì)算機(jī)上快速實(shí)現(xiàn)。此外，在不同的N?(t)，ψ(t)及是準(zhǔn)確的，這些都是樣條點(diǎn)雙正交小波的優(yōu)點(diǎn)。在不同組合下的φ(t)，φ?=1，?(t)如圖12.4.2~12.4.6所示。其中圖12.4.2給出的是NN=3和5時(shí)的φ(t)及ψ(t)。ψ?=1，N=3，圖中左邊標(biāo)的“bior1.3phi-D”，即是指雙正交小波的尺度函數(shù)φ(t)，對(duì)應(yīng)N“D”代表分解，右邊圖標(biāo)的“psi”指的是“ψ”。以下各圖的標(biāo)法均一樣。另外，圖中的橫坐標(biāo)是MATLAB按正的坐標(biāo)求出的，這和12.3節(jié)所給出的支撐范圍有區(qū)別。-373-?=1，N=3,5時(shí)用于分解的φ(t)和ψ(t)圖12.4.2N?(t)(圖中標(biāo)為phi-R，R代?=1，N?=2，N?=3和N?=4時(shí)的φ?qǐng)D12.4.5給出的是N?(t)即是Haar尺度函數(shù)，它即是圖12.4.1的(a)圖。而N?=1時(shí)的φ?=2表重建)。顯然，N?(t)即是圖12.4.1(b)，N?(t)即是圖12.4.1(c)。?=3時(shí)的φ時(shí)的φ它們分別是N1(t)，N2(t)和?(t)應(yīng)是N(t)。注意，φ?(t)只和N?=4時(shí)的φ?有關(guān)，而和N無(wú)關(guān)。N3(t)。顯然，圖中N4?=1，?=2，N=2；N?=3，N=3和N?=3，N=5圖12.4.6給出的是NN=3；N?有關(guān)，而且也和N有關(guān)。?(t)。顯然，ψ?(t)不僅和N時(shí)的ψ-374-?=3，N=3,5,7,9時(shí)用于分解的φ(t)和ψ(t)圖12.4.4，N-376-=1，N=3；N=2，N=2；N=3，N=3和N=3，N=5時(shí)用圖12.4.6，N?(t)于重建的ψ?=1,2,3時(shí)N取不同值時(shí)H?0(z)/2，H0(z)/2的系數(shù)，由于表12.4.1給出了在N?=2，N=6和8，N?=3，N=5,7和9時(shí)的H0(z)的系數(shù)過長(zhǎng)，故表中沒有列入，在N詳細(xì)數(shù)據(jù)可【參考文獻(xiàn)】：^p[5]。?0(z)及H0(z)的長(zhǎng)度差異甚大，由以上討論可知，按(12.4.15)或(12.4.16)式構(gòu)造出的H?(n)的長(zhǎng)度決定了h(n)的長(zhǎng)度。這樣，且N越大，這一差異越明顯。由(12.1.15a)式，h01一對(duì)分解濾波器H0(z)和H1(z)的長(zhǎng)度將會(huì)有著明顯的不同。這在一些應(yīng)用中將會(huì)帶來(lái)不便和費(fèi)事，特別是在語(yǔ)音和圖像處理方面。?0(z)和H(z)長(zhǎng)度不同的原因在于對(duì)P(y)=P(y)P?0(y)的分解，即(12.4.15)和H00(12.4.16)式是在假定P0(y)=1，P(y)=P0(y)情況下得到的。假設(shè)對(duì)P(y)作另外形式的分解，即?k?1+m?m-?P(y)=∑-m-y=P0(y)P0(y)，k=l+l，P0(y)≠1(12.4.17)m=0-k?1?0(y)分別代入(12.3.5)和(12.3.6)式，那么可得到保證在雙正交條件下且長(zhǎng)度然后將P0(y)和P?(z)和H(z)。Daubechies令[5]接近的H00P(y)=A∏(y?yi)∏(y2?2Re[zi]y+yi)2j=1j=1J1J2(12.4.18)表12.4.1?(z)，H(z)的系數(shù)H00-377-式中yj(j=1~J1)為P(y)的一階實(shí)根，yi,i=1~J2是P(y)的共扼復(fù)根，然后在保證?(y)系數(shù)始終為實(shí)數(shù)的情況下，考慮yj，y對(duì)P(y)和P?(y)的分配。P0(y)、P00i0?=4，N=4，即l?=l=2的情況下，有在N3?3+m?m?3+m-2ω?P(y)=∑-m-y=∑-m-?sin2??m=0?m=0--3m即P(z)=?5z3+40z2?131z+208?131z?1+40z?2?5z?3/16[]它有兩個(gè)實(shí)根，即z1=0.3289，z2=3.0470，兩對(duì)共扼復(fù)根，即z3,4=0.2841±j0.2432，-378-z5,6=2.0311±j1.7390。又由于-?cos?=?cos?2?2-?令z=ejωω?2lω?2l??ejω/2+e?jω/2-ejω+2+e?jω?=?=-?24--?142，那么上式等效為z+4z+6+4z[2?0(z)，它即屬于H也屬于H0(z)。+z?2/16。]?(z)，那么H?(z)的長(zhǎng)度為7。將余下的z3,4和z5,6賦假設(shè)將上面分解出的零點(diǎn)z1和z2賦給H00給H0(z)，那么H0(z)的長(zhǎng)度為9。這樣，二者的長(zhǎng)度根本相等，即滿足了(12.3.9)式，且又具有對(duì)稱性。?=5，N=5時(shí)，?=4，N=4存在兩種分解方式。相應(yīng)的系數(shù)如表12.4.2所示。N當(dāng)N?，φ，ψ?，φ，ψ?=N=5時(shí)的φ?和ψ如圖12.4.7所示，N?和ψ如圖12.4.8所示。時(shí)的φ?(t)，ψ?,，N=4時(shí)用于分解的φ(t),ψ(t)及用于重建的φ?(t)圖12.7.7N以上除雙正交小波外，Daubechies還構(gòu)造了接近于正交基的雙正交基函數(shù)，詳細(xì)內(nèi)容見文獻(xiàn)[5]，此處不再討論。-379-?(t)，ψ?,，N=5時(shí)用于分解的φ(t),ψ(t)及用于重建的φ?(t)圖12.4.8N表11.4.2具有接近長(zhǎng)度的雙正交小波對(duì)應(yīng)的濾波器系數(shù)-380-12.5正交小波包第十章討論的多分辨率分析^p將L2(R)空間逐層進(jìn)展分解，如將V0分成V1和W1，再將V1分成V2和W2,?，其中V0=V1⊕W1，V1=V2⊕W2，及V0=⊕+Wj。對(duì)同一尺度j，Vjj∈Z是低頻空間，Wj是高頻空間，因此，信號(hào)x(t)在Vj中的展開系數(shù)aj(n)反映了信號(hào)的“概貌”，而在Wj中的展開系數(shù)dj(n)反映了信號(hào)的“細(xì)節(jié)”，也即x(t)的小波系數(shù)。由于這種分解具有恒Q性質(zhì)，即在高頻端可獲得很好的時(shí)域分辨率而在低頻端可獲得很好的頻域分辨率，因此，這種分解相對(duì)均勻?yàn)V波器組和短時(shí)傅里葉變換有著許多突出的優(yōu)點(diǎn)，因此獲得了廣泛的應(yīng)用。但這種分解僅是將Vj逐級(jí)往下分解。而對(duì)Wj不再作分解。將W1和W2相比，顯然，W1對(duì)應(yīng)最好的時(shí)域分辨率，但是有著最差的頻域分辨率。這在既想得到好的時(shí)域分辨率又想得到好的頻域分辨率的場(chǎng)合是不能滿足需要的。當(dāng)然，在任何情況下，時(shí)域－頻域分辨率之間都要受到不定原理的制約，但是，我們畢竟可根據(jù)工作的需要在二者之間獲得最好的折中。例如，在多分辨率分解的根底上，我們可將Wj空間再作分解，如圖12.5.1所示。j=0j=1j=2j=3圖12.5.1V0空間的逐級(jí)分解在該圖的分解中，任取一組空間進(jìn)展組合，假如這一組空間：①能將空間V0覆蓋；②-381-互相之間不重合，那么稱這一組空間中的正交歸一基的集合構(gòu)造了一個(gè)小波包(waveletpacket)。顯然，小波包的選擇不是唯一的，也即對(duì)信號(hào)分解的方式不是唯一的。如在圖12.5.1中，我們可選擇①V31，W31，V32，W32，V33，W33，V34，W34；②V31，W31，W21，V22，W22；③V1，V22，W22等不同空間來(lái)組合，它們都可覆蓋V0，互相之間又不重合。如何決定最正確的空間組合及尋找這些空間中的正交歸一基便是小波包中的主要研究?jī)?nèi)容。圖12.5.1的空間分解可用圖12.5.2的濾波器組來(lái)實(shí)現(xiàn)。注意，在實(shí)現(xiàn)各級(jí)的卷積時(shí)，圖中濾波器H0,H1的系數(shù)要事先翻轉(zhuǎn)，即將hi(n)變成hi(?n),i=0,1。圖12.5.2圖12.5.1的濾波器組實(shí)現(xiàn)由該圖可以看出，基于小波包的信號(hào)分解也是用一對(duì)濾波器H0(z)和H1(z)來(lái)實(shí)現(xiàn)的。在第十章的多分辨率分析^p中，我們?cè)敿?xì)討論和論證了在Vj和Wj中分別存在正交歸一基φj,k(t)和ψj,k(t)，它們和共軛正交鏡像濾波器組H0(z)、H1(z)有如下關(guān)系：?tφ?j?2∞-t-=2∑h0(k)φ?j?1?k?-2?k=?∞(12.5.1a)-382-?tψ?j?2∞-t?=φhk2-j?1?k?∑1-2?k=?∞(12.5.1b)當(dāng)j=0時(shí)，有φ(t)=2∑h0(k)φ(2t?k)k=?∞∞(12.5.2a)(12.5.2b)ψ(t)=2∑h1(k)φ(2t?k)k=?∞∞此即二尺度差分方程。式中，h0(k)、h1(k)有如下關(guān)系：h1(k)=(?1)kh0(1?k)(12.5.3)在上述的多分辨率分析^p中，當(dāng)將Vj分解成Vj+1和Wj+1時(shí)，Vj中的正交歸一基基φj,k(t)產(chǎn)生了兩個(gè)正交歸一基φj+1,k(t)和ψj+1,k(t)，它們分別屬于Vj+1和Wj+1，生成方法即是(12.5.1)式的二尺度差分方程。由此我們可以設(shè)想，在圖12.5.1中，將W1分解生成W21和W22時(shí)，W1中的正交歸一基ψ1,k(t)也將會(huì)按照二尺度差分方程分別生成W21和W22中的正交歸一基。假如這一結(jié)論正確，那么圖12.5.1中的各個(gè)子空間將都存在正交歸一基。文獻(xiàn)[8]證明了這個(gè)一般結(jié)論。該結(jié)論可由下述定理來(lái)描繪：定理12.5令θj,k(t)是空間Uj中的正交歸一基，h0(k)，h1(k)是滿足(12.5.3)式的一對(duì)共軛正交濾波器，令θ0j+1(t)=k=?∞∑h(k)θ(2∞?jt?k)(12.5.4a)(12.5.4b)θ1j+1(t)=k=?∞∑h(k)θ(21∞?jt?k)那么1{θ0j+1,k(t),θj+1,k(t)},k∈Z是Uj中的正交歸一基。該定理的證明見文獻(xiàn)[8]。顯然，令Uj，Uj分別是θj+1,k(t)和θj+1,k(t)所產(chǎn)生的空間。自然有-383-111U0j+1⊕Uj+1=Uj+1(12.5.5)在圖12.5.1中，V0中有正交基φ0,k(t)，V1中有正交基φ1,k(t)，W1中有正交基ψ1,k(t)。按定理12.5，由ψ1,k(t)可生成W21，W22中的正交基。依次類推，我們可得到圖12.5.1中任一子空間中的正交歸一基。對(duì)于給定的尺度j，在圖12.5.1中，共有2j個(gè)子空間。為了討論的方便，我們將圖中的子空間統(tǒng)一標(biāo)記為Wj，Wj,?，Wj2p12j?1。如j=3，共有W3，W3,?，W3個(gè)子空間。2p+1017顯然，Wj對(duì)應(yīng)每一次剖分的低頻局部，而Wjp對(duì)應(yīng)其高頻局部，p=0,1,?,2j?1?1。令每一個(gè)子空間的正交歸一基為ψj,k(t)。由(12.5.1)及(12.5.4)式，有ψψ2p(2?(j+1)t)=2k=?∞2p+1∑h(k)ψ(2p0∞p1k=?∞∞?jt?k)(12.5.6a)(12.5.6b)(12.5.7a)(2?(j+1)t)=2∑h(k)ψ(2?jt?k)及2h0(k)=2p(2?(j+1)t),ψp(2?jt?k)2h1(k)=2p+1(2?(j+1)t),ψp(2?jt?k)(12.5.7b)由(12.5.5)式，有2p+1Wj2+p=Wjp1⊕Wj+1(12.5.8)顯然，當(dāng)p=0時(shí)，W0=W0即是空間V0，基函數(shù)ψp(2?jt?k)=ψ0(t?k)即是V0中的正交歸一基φ(t?k)，也即尺度函數(shù)。由圖12.5.1也可看出，Wj即是我們?cè)诘谑掠懻撨^的多分辨率分析^p中的空間Wj，因此Wj中的正交歸一基ψ1(2?jt?k)即是Wj中的正交歸一基ψj,k(t)，也即小波函數(shù)。由(12.5.6)式，令j=0，那么-384-1p01ψψ2p(t)=(t)=2k=?∞2p+1∑h(k)ψ(2t?k)p0k=?∞∞(12.5.9a)(12.5.9b)2∑h(k)ψ(2t?k)p1∞按照上述思路，只要我們給定了V0中的尺度函數(shù)φ(t)及相應(yīng)的小波函數(shù)ψ(t)，由(12.5.6)，或(12.5.9)式即可遞推地求出小波包分解中各個(gè)子空間中的基函數(shù)ψj,k(t)和ψj,k(t)。例12.5.1由(12.5.6)式，有對(duì)Harr小波，h0(0)=h0(1)=2p2p+1111，h1(0)=，h1(1)=?222ψ2pj+1(t)=2∑h0(k)ψjp(t?2jk)k=01ψ2p+1j+1(t)=2∑h1(k)ψjp(t?2jk)k=01當(dāng)j=0時(shí)，(2t)+ψ00(2t?1)ψ10(t)=ψ01(t)=ψ00(2t)?ψ00(2t?1)ψ1當(dāng)j=1時(shí)，ψ2(t)=ψ1(2t)+ψ1(2t?1)1(t)=ψ10(2t)?ψ10(2t?1)ψ22(t)=ψ11(2t)+ψ11(2t?1)ψ23(t)=ψ11(2t)?ψ11(2t?1)ψ2103ψ10(t)，ψ1(t)的寬度都是2T，而ψ2(t)~ψ2(t)的寬度為4T。j=1,2,3時(shí)的ψjp(t)分別示于圖12.5.3a，b和c。-385-圖12.5.31(a)ψ10(t),ψ1(t)由Harr小波生成的小波包03(b)ψ2(t)~ψ2(t)(c)ψ3(t)~ψ3(t)07例12.5.2令V0空間中的φ(t)為“DB5”小波對(duì)應(yīng)的尺度函數(shù)，當(dāng)j=3時(shí)，求出07W30~W37中的小波基ψ3(t)~ψ3(t)如圖12.5.4所示。-____-07圖12.5.4j=3時(shí)，由“DB5”小波生成的ψ3(t)~ψ3(t)上述兩例的分解過程可以形象地表為一個(gè)二進(jìn)制的樹構(gòu)造，如圖12.5.5所示。圖中結(jié)點(diǎn)處的數(shù)值即為(j,p)。MATLAB中的plottree命令文件可畫出此構(gòu)造圖。令x(t)∈L2(R)，那么a0(n)=x(t),φ(t?n)=x(t),ψ0(t?n)(12.5.10)是x(t)在空間V0=W0中的“概貌”。我們把它當(dāng)作一個(gè)樹狀濾波器組的輸入信號(hào)。在小-387-波圖12.5.5j=3時(shí)的二進(jìn)制樹構(gòu)造圖包的分解中，對(duì)任意的結(jié)點(diǎn)(j,p)，那么(0,0)(1,0)(2,0)(2,1)(2,2)(1,1))(2,3)(3,0)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(3,7)djp(n)=x(t),ψjp(t)為x(t)在該結(jié)點(diǎn)(或子空間Wj)處的小波包系數(shù)，它是x(t)和基函數(shù)ψ(2t?n)作內(nèi)積的結(jié)果。下述定理給出了小波包系數(shù)的快速計(jì)算方法。定理12.6在小波包的分解中，在結(jié)點(diǎn)(j+1,p)處的小波包系數(shù)由下式給出2pj+1pp?jd(k)=d(k)?0(2k)=pjm=?∞∑d∞∞pj(m)h0(m?2k)(12.5.11a)d2p+1j+1(k)=d(k)?1(2k)=ppjm=?∞∑dpj(m)h1(m?2k)(12.5.11b)而在結(jié)點(diǎn)(j,p)處的小波包系數(shù)dj可由下式重建：?p?2p+1?+djp(k)=d2khkdj+1j+1(k)?h1(k)0?2p+12p2p+1(12.5.12)式中dj+1(k)和dj+1(k)分別是dj+1(k)和dj+1(k)每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)插入一個(gè)零后所得到的序列。該定理的證明類似于定理10.6和定理10.7，此處不再討論。j=2時(shí)的分解與重建如?2p-388-圖12.5.6a和b所示。圖中d0(n)即是a0(n)。在圖〔a〕中，當(dāng)實(shí)現(xiàn)各級(jí)的卷積時(shí)，圖中濾波器H0,H1的系數(shù)同樣要事先翻轉(zhuǎn)，即將hi(n)變成hi(?n),i=0,1。02122232圖12.5.6基于濾波器組的小波包分解與重建〔a〕小波包分解,(b)小波包重建例12.5.3信號(hào)x(t)是MATLAB中所給的信號(hào)noisdopp.mat，如圖12.5.7a