高中數(shù)學蘇教版選修23教學案152二項式系數(shù)的性質及應用

1．5.2二項式系數(shù)的性質及應用eq\a\vs4\al([對應同學用書P21])(a＋b)n的綻開式的二次式系數(shù)，當n取正整數(shù)時可以表示成如下形式：問題1：你從上面的表示形式可以直觀地看出什么規(guī)律？提示：在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個1等距離的項的系數(shù)相等；在相鄰的兩行中，除1以外的其余各數(shù)都等于它“肩上〞兩個數(shù)字之和．問題2：計算每一行的系數(shù)和，你又看出什么規(guī)律？提示：2,4,8,16,32,64，…，其系數(shù)和為2n.問題3：二項式系數(shù)最大值有何規(guī)律？提示：n＝2,4,6時，中間一項最大，n＝3,5時中間兩項最大．二項式系數(shù)的性質一般地，(a＋b)n綻開式的二項式系數(shù)Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n)有如下性質：(1)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；(2)Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)；(3)當r＜eq\f(n－1,2)時，Ceq\o\al(r,n)＜Ceq\o\al(r＋1,n)；當r＞eq\f(n－1,2)時，Ceq\o\al(r＋1,n)＜Ceq\o\al(r,n)；(4)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.1．與首末兩端“等距離〞的兩個二項式系數(shù)相等．2．當n為偶數(shù)時，二項式系數(shù)中，以Ceq\f(n,2)n最大；當n為奇數(shù)時，二項式系數(shù)中以Ceq\f(n－1,2)n和Ceq\f(n＋1,2)n(兩者相等)最大．3．二項綻開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)和奇數(shù)項的二項式系數(shù)和相等．eq\a\vs4\al([對應同學用書P22])二項綻開式中系數(shù)的和[例1](1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.[思路點撥]依據綻開式的特點，對x合理賦值，將系數(shù)別離出來，通過式子的運算求解．[精解詳析]令x＝1，那么a0＋a1＋a2＋…a7＝－1①令x＝－1，那么a0－a1＋a2＋…－a7＝37②(1)令x＝0，那么a0＝1，∴a1＋a2＋…＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝eq\f(－1－37,2)＝－1094.(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝eq\f(－1＋37,2)＝1093.(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a7＝37＝2187.[一點通](1)“賦值法〞是求二項綻開式系數(shù)問題常用的方法，留意取值要有利于問題的解決，可以取一個值或幾個值，也可以取幾組值，解決問題時要防止漏項等狀況．(2)一般地，二項式綻開式f(x)的各項系數(shù)和為f(1)，奇次項系數(shù)和為eq\f(1,2)[f(1)－f(－1)]，偶次項系數(shù)和為eq\f(1,2)[f(1)＋f(－1)]．1．設(2x－1)6＝a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0，那么|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝________.解析：∵Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(2x)6－r(－1)r＝(－1)r26－rCeq\o\al(r,6)x6－r，∴ar＝(－1)r26－rCeq\o\al(r,6).∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝[2×(－1)－1]6＝36.答案：362．二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,x)))n的綻開式中各項系數(shù)的和為________．解析：依題意得，該二項綻開式中的各項系數(shù)的和為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12－\f(1,1)))n＝0.答案：03．(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a5；(2)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；(3)求a1＋a3＋a5.解：(1)令x＝1，那么a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1.①(2)令x＝－1，那么－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5＝－243.②∵|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝－243.(3)a1＋a2＋a3＝eq\f(①＋②,2)＝－121.二項式系數(shù)的性質[例2](1＋2x)n的綻開式中第6項與第7項的系數(shù)相等，求綻開式中二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最大的項．[思路點撥]求(a＋bx)n的綻開式中系數(shù)最大的項，通常用待定系數(shù)法，即先設綻開式中的系數(shù)分別為A1，A2，…，An＋1，再設第r＋1項系數(shù)最大，由不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ar＋1≥Ar，,Ar＋1≥Ar＋2，))確定r的值．[精解詳析]T6＝Ceq\o\al(5,n)(2x)5，T7＝Ceq\o\al(6,n)(2x)6，依題意有Ceq\o\al(5,n)25＝Ceq\o\al(6,n)26?n＝8.∴(1＋2x)8的綻開式中，二項式系數(shù)最大的項為T5＝Ceq\o\al(4,8)(2x)4＝1120x4.設第r＋1項系數(shù)最大，那么有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r,8)·2r≥C\o\al(r－1,8)·2r－1，,C\o\al(r,8)·2r≥C\o\al(r＋1,8)·2r＋1))，解得5≤r≤6.∴r＝5或r＝6.∴系數(shù)最大的項為T6＝1792x5，T7＝1792x6.[一點通](1)奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和相等，但這并不意味著等號兩邊的個數(shù)相同．當n為偶數(shù)時，奇數(shù)項的二項式系數(shù)多一個；當n為奇數(shù)時，奇數(shù)項的二項式系數(shù)與偶數(shù)項的二項式系數(shù)個數(shù)相同．(2)系數(shù)最大的項不肯定是二項式系數(shù)最大的項，只有當二項式系數(shù)與各項系數(shù)相等時，二者才全都．(3)求綻開式中系數(shù)最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同的，需依據各項系數(shù)的正、負變化狀況，一般采納列不等式(組)，解不等式(組)的方法求得．4．(a＋b)n的二項綻開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，那么n＝________.解析：∵(a＋b)n的二項綻開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，∴二項綻開式共有9項，即n＋1＝9，∴n＝8.答案：85．在二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(3,x)))n的綻開式中，各項系數(shù)之和為A，各項二項式系數(shù)之和為B，且A＋B＝72，那么綻開式中常數(shù)項的值為________．解析：令x＝1，得各項系數(shù)的和為4n，而各項的二項式系數(shù)的和等于2n，依據，得方程4n＋2n＝72，解得n＝3.所以二項綻開式的通項Tr＋1＝Ceq\o\al(r,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)))3－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x)))r＝3rCeq\o\al(r,3)xeq\f(3,2)－eq\f(3,2)r，明顯當r＝1時，Tr＋1是常數(shù)項，值為3Ceq\o\al(1,3)＝9.答案：96．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(2,3)＋3x2))5的綻開式中，求：(1)二項式系數(shù)最大的項；(2)系數(shù)最大的項．解：(1)∵n＝5，綻開式共6項，二項式系數(shù)最大的項為第3、4兩項，∴T3＝Ceq\o\al(2,5)(xeq\f(2,3))3(3x2)2＝90x6，T4＝Ceq\o\al(3,5)(xeq\f(2,3))2(3x2)3＝270xeq\f(22,3).(2)設綻開式中第r＋1項系數(shù)最大，那么Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(2,3)))5－r(3x2)r＝3rCeq\o\al(r,5)xeq\f(10＋4r,3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3rC\o\al(r,5)≥3r－1C\o\al(r－1,5)，,3rC\o\al(r,5)≥3r＋1C\o\al(r＋1,5)，))∴eq\f(7,2)≤r≤eq\f(9,2)，∴r＝4.即綻開式中第5項系數(shù)最大，T5＝Ceq\o\al(4,5)(xeq\f(2,3))(3x2)4＝405xeq\f(26,3).利用二項式定理解決整除問題[例3]求證：2n＋2·3n＋5n－4(n∈N*)能被25整除．[思路點撥]將2n＋2·3n＋5n－4＝4·6n＋5n－4轉化為25的倍數(shù)即可證明．[精解詳析]原式＝4·6n＋5n－4＝4·(5＋1)n＋5n－4＝4·(Ceq\o\al(0,n)·5n＋Ceq\o\al(1,n)·5n－1＋Ceq\o\al(2,n)·5n－2＋…＋Ceq\o\al(n,n))＋5n－4＝4(Ceq\o\al(0,n)·5n＋Ceq\o\al(1,n)·5n－1＋…＋Ceq\o\al(n－2,n)·52＋Ceq\o\al(n－1,n)·51)＋4Ceq\o\al(n,n)＋5n－4＝4(Ceq\o\al(0,n)·5n＋Ceq\o\al(1,n)·5n－1＋…＋Ceq\o\al(n－2,n)·52)＋20n＋4＋5n－4＝4(Ceq\o\al(0,n)·5n＋Ceq\o\al(1,n)·5n－1＋…＋Ceq\o\al(n－2,n)·52)＋25n.以上各項均為25的整數(shù)倍，故2n＋2·3n＋5n－4能被25整除．[一點通]利用二項式定理證明或推斷整除問題，一般要進行合理變形，常用的變形方法就是拆數(shù)，往往是將冪底數(shù)寫成兩數(shù)的和，并且其中一個數(shù)是除數(shù)的倍數(shù)，這樣能保證被除式綻開后的大局部項含有除式的因式，進而可推斷或證明被除數(shù)能否被除數(shù)整除，假設不能整除那么可求出余數(shù)．7．求證：5151－1能被7整除．證明：5151－1＝(49＋2)51－1＝Ceq\o\al(0,51)·4951＋Ceq\o\al(1,51)·4950·2＋…＋Ceq\o\al(50,51)·49·250＋Ceq\o\al(51,51)·251－1.易知除Ceq\o\al(51,51)·251－1以外各項都能被7整除．又251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－1＝Ceq\o\al(0,17)717＋Ceq\o\al(1,17)·716＋…＋Ceq\o\al(16,17)·7＋Ceq\o\al(17,17)－1＝7·(Ceq\o\al(0,17)·716＋Ceq\o\al(1,17)·715＋…＋Ceq\o\al(16,17))．明顯能被7整除，所以5151－1能被7整除．8．求證：對任何非負整數(shù)n,33n－26n－1可被676整除．證明：當n＝0時，原式＝0，可被676整除．當n＝1時，原式＝0，也可被676整除．當n≥2時，原式＝27n－26n－1＝(26＋1)n－26n－1＝(26n＋Ceq\o\al(1,n)26n－1＋…＋Ceq\o\al(n－2,n)·262＋Ceq\o\al(n－1,n)·26＋1)－26n－1＝26n＋Ceq\o\al(1,n)26n－1＋…＋Ceq\o\al(n－2,n)·262.每一項都含262這個因數(shù)，故可被262＝676整除．綜上所述，對一切非負整數(shù)n,33n－26n－1可被676整除．1．用賦值法求多項式系數(shù)和求綻開式中的系數(shù)或綻開式中的系數(shù)的和、差的關鍵是給字母賦值，賦值的選擇那么需依據所求的綻開式系數(shù)和特征來確定．一般對字母賦的值為1或－1，但在解決詳細問題時要敏捷把握．2．二項式系數(shù)的性質(1)求二項式系數(shù)最大的項，依據二項式系數(shù)的性質，n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)最大，n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大．(2)求綻開式中系數(shù)最大的項的問題，可設第r＋1項的系數(shù)Tr＋1最大，那么滿意不等式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Tr＋1≥Tr,Tr＋1≥Tr＋2))，由不等式組解出r的值．3．余數(shù)及整除問題(1)求余數(shù)問題求余數(shù)的關鍵是將原數(shù)進行合理、科學的拆分，然后借助二項綻開式進行分析．假設最終一項為哪一項一個小于除數(shù)的正數(shù)，那么該數(shù)就是所求的余數(shù)；假設是負數(shù)，那么還要進行簡潔的加、減運算產生．(2)整除問題整除問題實際上就是求余數(shù)是否為零，因此求解整除問題可以借助于求余數(shù)問題綻開思路．[對應課時跟蹤訓練(九)]一、填空題1．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))n的綻開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，那么第四項為________．解析：由題設，得Ceq\o\al(0,n)＋eq\f(1,4)×Ceq\o\al(2,n)＝2×eq\f(1,2)×Ceq\o\al(1,n)，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(不合題意，舍去)，那么eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))8的綻開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)x8－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))r，令r＋1＝4，得r＝3，那么第四項為T4＝Ceq\o\al(3,8)x5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝7x5.答案：7x52．假設eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)－\f(1,\r(x))))n的綻開式中各項系數(shù)之和為64，那么綻開式的常數(shù)項為________．解析：令x＝1,2n＝64?n＝6.由Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)·36－r·xeq\f(6－r,2)·(－1)r·x－eq\f(r,2)＝(－1)rCeq\o\al(r,6)36－rx3－r，令3－r＝0?r＝3.所以常數(shù)項為－Ceq\o\al(3,6)33＝－20×27＝－540.答案：－5403．假設eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3＋\f(1,x2)))n綻開式中只有第6項的系數(shù)最大，那么n＝________.解析：由題意知，綻開式中每一項的系數(shù)和二項式系數(shù)相等，第6項應為中間項，那么n＝10.答案：104．(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，那么a8＝________.解析：(1＋x)10＝[2－(1－x)]10其通項公式為：Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)210－r(－1)r(1－x)r，a8是r＝8時，第9項的系數(shù)．所以a8＝Ceq\o\al(8,10)22(－1)8＝180.答案：1805．假設Ceq\o\al(3n＋1,23)＝Ceq\o\al(n＋6,23)(n∈N*)且(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，那么a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝________.解析：由Ceq\o\al(3n＋1,23)＝Ceq\o\al(n＋6,23)，得3n＋1＝n＋6(無整數(shù)解，舍去)或3n＋1＝23－(n＋6)，解得n＝4，問題即轉化為求(3－x)4的綻開式中各項系數(shù)和的問題，只需在(3－x)4中令x＝－1，即得a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝[3－(－1)]4＝256.答案：256二、解答題6．二項式(2x－3y)9的綻開式中，求：(1)二項式系數(shù)之和；(2)各項系數(shù)之和；(3)全部奇數(shù)項系數(shù)之和．解：設(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(1)二項式系數(shù)之和為Ceq\o\al(0,9)＋Ceq\o\al(1,9)＋Ceq\o\al(2,9)＋…＋Ceq\o\al(9,9)＝29.(2)各項系數(shù)之和為a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝1，y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.(3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，①令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－…－a9＝59，②將①②兩式相加，得a0＋a2