大學物理 波動

第二篇振動與波2021/5/91第五章波動5.1機械波的產(chǎn)生和傳播彈性媒質(zhì)和波源——（機械波產(chǎn)生的條件）彈性媒質(zhì)：相鄰媒質(zhì)質(zhì)元間由彈性力互相聯(lián)系。波源：作機械振動的振源。波源處質(zhì)點的振動通過彈性介質(zhì)中的彈性力，將振動傳播開去，從而形成機械波。

波動是振動狀態(tài)的傳播，是能量的傳播，而不是質(zhì)點的傳播。機械振動在彈性媒質(zhì)中的傳播一波及描述波的幾個有關概念（1）機械波：2021/5/92(1)質(zhì)元并未“隨波逐流”波的傳播不是媒質(zhì)質(zhì)元的傳播(2)

“上游”的質(zhì)元依次帶動“下游”的質(zhì)元振動2021/5/93軟繩軟彈簧波的傳播方向質(zhì)點振動方向波的傳播方向質(zhì)點振動方向在機械波中，橫波只能在固體中出現(xiàn)；縱波可在氣體、液體和固體中出現(xiàn)。空氣中的聲波是縱波。液體表面的波動情況較復雜，不是單純的縱波或橫波。橫波：縱波2021/5/94地震波

地震波從震源以彈性波的形式向四面八方傳播。地震波在地球內(nèi)部傳播時稱為體波，當它到達地表，即產(chǎn)生沿地表（界面）傳播的波，稱為面波。

地震波在地球內(nèi)部（體波）的傳播有縱波（P

波）和橫波（S

波）兩種形式，并且縱波（P波）的傳播速度比橫波（S波）的傳播速度快（前者的速度在地殼內(nèi)是

5km/s，在地幔深處是14km/s，而后者的速度是

3km/s～8km/s）。

當?shù)卣鸢l(fā)生時，如果人站在震源正上方的地面上，會感覺到先上下顛（縱波引起的感覺）然后橫向搖（橫波引起的感覺）。隨堂小議地球內(nèi)部地震波速度分布圖

橫波是地震時造成建筑物破壞的主要原因。發(fā)生較大的近震時，一般人們先感到上下顛簸，過數(shù)秒到十幾秒后才感到有很強的水平晃動。2021/5/95地震的縱波和橫波間的時間差—自救時間

日本“（2004年）新潟縣中越地震”。在地震中，新干線發(fā)生了脫軌事故，這是日本新干線開通40年以來首次，為此日本輿論普遍對新干線應對地震等突發(fā)災害時的安全性提出了質(zhì)疑。地震時，縱波總是先到達地表，而橫波總落后一步。這樣，發(fā)生較大的近震時，一般人們先感到上下顛簸，過數(shù)秒到十幾秒后才感到有很強的水平晃動。這一點非常重要，因為縱波給我們一個警告，告訴我們造成建筑物破壞的橫波馬上要到了，快點作出防備。據(jù)稱日本新干線所采用的系統(tǒng)會讓列車在地震發(fā)生時，利用地震的縱波和橫波間的時間差自動停止運行，但是，由于此次新潟地震屬于縱波和橫波幾乎同時到來的直下型淺源地震，因此在列車制動前地震就已襲來，日本新干線相關負責人對于此后如何應對仍未想出最好的辦法。2021/5/96波線：沿波的傳播方向作的一些帶箭頭的線。波線的指向表示波的傳播方向。波陣面：在波動過程中，把振動相位相同的點連成的面(簡稱波面)。波前：在任何時刻，波面有無數(shù)多個，最前方的波面即是波前。波前只有一個。平面波：波面為平面球面波：波面為球面3.波陣面和波射線平面波波線波陣面球面波波陣面波線2021/5/97147101323568911122021/5/98波的特征：（1）：波是大量媒質(zhì)質(zhì)元的集體行為。—單位時間內(nèi)質(zhì)點振動的次數(shù)。周期—頻率媒質(zhì)中質(zhì)點的振動周期。二波的特征量—波長

波速

頻率振幅（2）：波具有時間周期性。（3）：波具有空間周期性。2021/5/99——沿波的傳播方向，兩個最鄰近的振動狀態(tài)相同的質(zhì)元間的距離。稱為波長，用表示。波長:(1）一個完整波的長度(2)質(zhì)元完成一次全振動的時間內(nèi),振動朝前傳播的距離（3）位相差兩點間距離—振動朝前傳播的速度質(zhì)元的振動速度波速沿波的傳播方向,各質(zhì)元的相位依次落后。b點比a點的相位落后：abxx傳播方向重要結論！2021/5/910可以證明：對于柔軟的繩索和弦線中橫波波速為

T為繩索或弦線中張力;為質(zhì)量線密度細長的棒狀媒質(zhì)中縱波波速為Y為媒質(zhì)的楊氏彈性模量;為質(zhì)量密度機械波的傳播速度完全取決于媒介質(zhì)的彈性性質(zhì)和密度。與頻率，波長，振幅無關2021/5/9115.2平面簡諧波的波動方程以橫波為例說明平面簡諧波的波動方程。已知O點振動方程：一波動方程的獲得平面簡諧波的波動方程2021/5/912也即p點的位相落后于O點相位：。（1）（2）波源帶動彈性媒質(zhì)中與其相鄰的質(zhì)點發(fā)生振動，振動相繼傳播到后面各相鄰質(zhì)點，其振動時間和相位依次落后。平面簡諧波的波動表式2021/5/913沿x

軸負方向傳播的平面簡諧波的表達式O

點簡諧運動方程：由P

點的振動得到波動表示式：yxo沿波的傳播方向,各質(zhì)點振動時間和相位依次落后2021/5/914（1）A點的速度大于零；（2）B點靜止不動；（3）C點向下運動；（4）D點的振動速度小于零。請指出你認為是對的答案

以波速

u沿

X

軸負向傳播的簡諧波

t

時刻的波形如下圖隨堂小議OXYuABCDA點向下運動，y<0；速度小于零。D點向下運動，y<0；速度小于零。ABCD2021/5/915例一ＳＯＸP已知：解：2021/5/916例二已知：解：sＸoP（x）2021/5/917二波動方程的物理意義（1）給定x，波動方程給出該處質(zhì)元的振動方程。（2）給定t，波動方程給出該時刻各質(zhì)元離開平衡位置位移的分布情況，即該時刻的波形圖。（3）t和x都變，波動方程給出任意質(zhì)元在任意時刻t的位移。即給出波形隨時間而變化的情況。2021/5/918解：（1）xoP例三：已知：求（1）：波動方程，

時的波形。（2）2021/5/919（2）o2021/5/920例：有一沿x軸正向傳播的平面波，其波速為u=1m·s-1，波長=0.04m，振幅A=0.03m．若以坐標原點恰在平衡位置而向負方向運動時作為開始時刻，試求：此平面波的波動表示式。解：（1）設原點的振動方程為其中A=0.03mT=/u=0.04(s)，=2/T=50當t=0時，y0=0，因此：cos=0；原點的振動方程：平面波的波動表示式：由于質(zhì)點速度小于零，所以

=

/22021/5/921解：o例已知：,沿X軸負向傳播,求：振幅，波長和波的周期、波動方程

t=0的波形如圖所示。設波動方程:2021/5/922o設波動方程:2021/5/923彈性波傳播到介質(zhì)中的某處，該處將具有動能和勢能。在波的傳播過程中，能量從波源向外傳播?？紤]棒中的體積V，其質(zhì)量為m

(m=V)。當波動傳播到該體積元時，將具有動能Wk和彈性勢能Wp。平面簡諧波可以證明§5-3波的能量與能流1.波的能量體積元的總機械能2021/5/924⑴由動能、勢能公式來看，波在傳播過程中任一質(zhì)元的動能和勢能都隨時間變化，且在同一時刻，位相相同，大小相等。既動能達到最大值時，勢能也達到最大；動能為零時，勢能也為零。a點：位移最大處，動能為零；沒有形變，形變勢能為零。b點：位移為零處，動能最大；形變最大，形變勢能最大。討論:介質(zhì)質(zhì)元（m

=

V）的機械能波動的能量與振動能量是有區(qū)別的。2021/5/925因為彈簧振子是保守孤立系統(tǒng)，而波的傳播過程中,質(zhì)元卻與周圍介質(zhì)有相互作用。⑵質(zhì)元機械能不是常量，而是隨時間作周期性變化，這與彈簧振子總的機械能是一常數(shù)不同。整個過程，介質(zhì)不積累能量。所以波的傳播過程也是能量的傳播過程。⑶質(zhì)元能量由0

逐漸增加為m2A2，表明該質(zhì)元從外部吸收能量；由m2A2逐漸減少為0，表明該質(zhì)元向外部輸出能量。體積元的總機械能2021/5/926能量密度：2.

能量密度（單位體積媒質(zhì)中波的能量）T平均能量密度：2021/5/927能流在介質(zhì)中垂直于波速方向取一面積S

，在單位時間內(nèi)通過S

的能量。平均能流：平均能流密度(波的強度)

通過與波傳播方向垂直的單位面積的平均能流，用I

來表示，即3.波的強度I的單位:瓦特/米2(W.m-2)2021/5/928對于球面波,若介質(zhì)不吸收能量通過兩球面的總能流相等在均勻不吸收能量的媒質(zhì)中傳播的平面波在行進方向上振幅不變。球面波振幅與離波源的距離成反比2021/5/9294.聲波按頻率范圍劃分：次聲波f<20Hz

聲波20<f<20000Hz超聲波f>20000Hz聲強是聲波的平均能流密度，即單位時間內(nèi)通過垂直于聲波傳播方向的單位面積的聲能量。痛覺閾：恰好能引起痛覺的最低聲強。聽覺閾：恰好能引起聽覺的最低聲強。聲強的上下限值隨頻率而異。在1000Hz時，正常人聽覺的最高聲強為1W/m2,最低聲強為10-12W/m2。將I0=10-12W/m2作為測定聲強的標準。聲強級單位為貝爾（bel）單位為分貝（dB），幾種典型聲音的聲強級：細語—10dB炮聲的聲強級—110dB聚焦超聲波的聲強級—210dB2021/5/930聲波在理想氣體中的傳播速度：氣體的摩爾質(zhì)量：氣體的比熱容比T：氣體的溫度（K）R：氣體常量

對同種氣體、在同一狀態(tài)下，各種不同頻率的聲波傳播速度相同。標準狀態(tài)下空氣中的聲速常溫下（20℃)

空氣中的聲速常溫下某些媒質(zhì)中的聲速鉛1300

海水1510鐵5000玻璃6000(m·s–1)媒質(zhì)聲速聲波在媒質(zhì)中傳播的速度。聲速與媒質(zhì)的特性和媒質(zhì)的溫度有關。聲速2021/5/931例:用聚焦超聲波的方式，可以在液體中產(chǎn)生強度達120kW/cm2的大振幅超聲波。設波源作簡諧振動，頻率為500kHz，液體的密度為1g/cm3，聲速為1500m/s，求這時液體質(zhì)點振動的振幅。解因I=uA22/2，所以可見液體中聲振動的振幅實際上是極小的。2021/5/9325.波的疊加與干涉駐波前面我們僅討論了一列波在介質(zhì)傳播的情況，如果有幾列波同時在同一介質(zhì)中傳播時而又相遇會怎么樣？波的獨立傳播定律當幾列波同時在同一介質(zhì)中傳播時，它們是各自獨立地進行的，與其它波的存在與否無關。如樂隊合奏、二重唱，空中無線電波很多(仍能分別接收各個電臺)

。如果這幾列波在空間某點處相遇，那么每一列波都將獨立地保持自己原有的特性(頻率、波長、振動方向等)傳播。1.波的疊加2021/5/933水滴圓形獨立傳播春意盈盈，細雨綿綿。2021/5/934在幾列波相遇處，質(zhì)元的振動是各列波單獨傳播時在該處引起的振動的合成。（2）波的疊加性。2.波的干涉（1）相干條件：振動方向相同頻率相同相位相同或相位差恒定相干波：滿足相干條件的幾列波稱為相干波。能發(fā)出相干波的波源稱為相干波源。2021/5/935A2()A1()A()Pr1r221ss（2）干涉的定量分析兩個相干波源波源S1和S2的振動方程分別為：S1和

S2單獨存在時,在P點引起的振動的方程為:P點的合振動方程為:振幅A2021/5/936振幅A（合振幅最大）（合振幅最?。┤?0=20，上述條件簡化為：（合振幅最大）（合振幅最?。┎ǔ滩畈ǔ滩?021/5/937因若I1=I2，疊加后波的強度：同頻率、同方向、相位差恒定的兩列波,在相遇區(qū)域內(nèi),某些位置振動始終加強,另一些位置的振動始終減弱,強度在空間形成穩(wěn)定分布，這一現(xiàn)象稱為波的干涉。干涉現(xiàn)象的強度分布2021/5/938同頻率、同方向、相位差恒定的兩列波,在相遇區(qū)域內(nèi),某些位置振動始終加強,另一些位置的振動始終減弱,強度在空間形成穩(wěn)定分布，這一現(xiàn)象稱為波的干涉。2021/5/939例：兩相干波源S1與S2相距5m，其振幅相等，頻率都是100Hz，位相差為；波在媒質(zhì)中的傳播速度為400m·s-1，試以S1

S2連線為坐標軸x，以S1

S2連線中點為原點，求S1

S2間因干涉而靜止的各點的坐標。解：已知S2在其左側產(chǎn)生的左行波的波動方程為:兩個振動的相差為:設：S1在其右側產(chǎn)生的右行波的波動方程為:xS1xS2OP2021/5/940當φ=

(2k+1)時，質(zhì)點由于兩波干涉而靜止，靜止點為x=2k，k為整數(shù)，但必須使x的值在-l/2到l/2之間，即-2.5到2.5之間．當k=-1、0和1時，可得靜止點的坐標為x=-2、0和2(m)

兩個振動的相差為:xS1S2OP2021/5/941兩列振幅相等的相干波，在同一直線上相向傳播時所產(chǎn)生的干涉現(xiàn)象。三駐波(一種特殊的干涉現(xiàn)象)

1駐波概念設有兩列相干波，分別沿X軸正、負方向傳播，其表達式為：

2

駐波定量分析（1）駐波的表達式駐波是干涉的特例。其合成波方程(駐波方程)為：2021/5/942簡諧振動位相簡諧振動的振幅它表示各點都在作簡諧振動，各點振動的頻率相同，是原來波的頻率。但各點振幅隨位置的不同而不同。2021/5/943波腹：波腹的位置為：波節(jié)的位置為：（2）

駐波的振幅分布波節(jié)：

2021/5/944X相鄰波腹間的距離為：相鄰波節(jié)間的距離也為2021/5/945（3）駐波的位相X*在波節(jié)兩側點的振動相位相反。

結論：*兩個波節(jié)之間的點其振動相位相同。2021/5/946能量分布（4）駐波能量分布波節(jié)體積元不動，始終動能Ek=0。（1）

其它各質(zhì)點同時到達最大位移時：波腹及其它質(zhì)點的動能Ek=0，波節(jié)處形變最大勢能EP最大。在波腹處相對形變最小，勢能最小。波腹附近各點速度最大Ek最大，波節(jié)及其它點無形變EP=0。（2）其它各質(zhì)點同時通過平衡位置時：平衡位置時，能量體現(xiàn)為動能，而動能集中在波腹附近。

能量從波腹傳到波節(jié)，又從波節(jié)傳到波腹，往復循環(huán)，駐波的能量不作定向傳播，其能量轉(zhuǎn)移過程是動能與勢能的相互轉(zhuǎn)移以及波腹與波節(jié)之間的能量轉(zhuǎn)移。所以駐波不傳播能量，最大位移時，能量體現(xiàn)為勢能，而勢能集中在波節(jié)附近。2021/5/947

駐波不傳播能量，“駐”字的三層含義：（1）駐波波形不傳播（2）駐波相位不傳播（3）駐波不傳播能量駐波是媒質(zhì)的一種特殊的運動狀態(tài)，穩(wěn)定態(tài)。這可從能流密度證明：因為能流密度等于平均能量密度乘波速，左行波與右行波能流密度之和為零。2021/5/9484.由入射波與反射波產(chǎn)生駐波固定端反射2021/5/9494.由入射波與反射波產(chǎn)生駐波自由端反射2021/5/950聲源水空氣聲源水玻璃由波密媒質(zhì)到波疏媒質(zhì)界面反射由波疏媒質(zhì)到波密媒質(zhì)界面反射當形成駐波時反射界面上總是出現(xiàn)波腹反射界面上總是出現(xiàn)波節(jié)振源固定端反射軟繩自由端反射總是出現(xiàn)波腹總是出現(xiàn)波節(jié)當形成駐波時4.由入射波與反射波產(chǎn)生駐波(1).實驗現(xiàn)象2021/5/951駐波駐波入射波入射波反射波反射波波疏媒質(zhì)波密媒質(zhì)XOY由波密媒質(zhì)入射在波疏媒質(zhì)界面上反射，在界面處，形成駐波時，總是出現(xiàn)波腹。反射波的振動相位總是與入射波的振動相位相同。波阻：介質(zhì)的密度和波速的乘積稱為波阻。波阻較大的介質(zhì)稱為波密介質(zhì)；波阻較小的介質(zhì)稱為波疏介質(zhì)。(2).理論分析2021/5/952yy入射波入射波駐波駐波反射波反射波波密媒質(zhì)波疏媒質(zhì)2l2lXYO由波疏媒質(zhì)入射在波密媒質(zhì)界面上反射，在界面處，形成駐波時，總是出現(xiàn)波節(jié)。反射波的振動相位總是與入射波的振動相位相反，即差了。半波損失折合成波程差反射波2021/5/953例1：一平面簡諧波y1=0.03cos(20t-x),在距離原點5m處有波密媒質(zhì)反射面AB,波傳至AB全部被反射。求:(1)反射波波動方程；(2)駐波方程;(3)0x5m內(nèi)波節(jié)、波腹位置0xAB5m解:求駐波方程的關鍵是求反射波波動方程,并且要特別注意介面反射是否有半波損失。由y1=0.03cos(20t-x)得到=2m,或u=20m·s-1,原點振動方程為:y0=0.03cos(20t)P0點振動傳到介面AB再反射到x處所通過的距離：介面反射有半波損失疏密x反射波的波動方程:2021/5/954(2)駐波方程即:所以波腹位置是:2021/5/955例2：如圖所示，一平面簡諧波沿X軸正方向傳播，BC為波密媒質(zhì)的反射面。波由P點反射，OP=3/4，DP=/6。在t=0時，O處質(zhì)點的合振動是經(jīng)過平衡位置向負方向運動。求D點處入射波與反射波的合振動方程。（設入射波與反射波的振幅皆為A，頻率為。）解：設O為坐標原點，入射波方程為則反射波的波動方程是合成波的波動方程（駐波）為oxDP入反波疏波密BC2021/5/956在t=0時，x=0處質(zhì)點y0=0，y0/t<0，所以：因此，D點處的合振動方程是oxDP入反波疏波密t=0時，

O處質(zhì)點的合振動是經(jīng)過平衡位置向負方向運動2021/5/957弦線長度等于半波長的整數(shù)倍時形成駐波?！?/p>

駐波條件兩端固定4.弦線上的駐波決定聲音的音調(diào)基頻二次諧頻諧頻的頻率和強度決定音色四次諧頻2021/5/958波源的頻率

是單位時間內(nèi)波源振動的次數(shù)或發(fā)出的‘完整波’的個數(shù)；波源媒質(zhì)觀察者有相對運動時，觀察者接受到的頻率不同于波源振動頻率的現(xiàn)象，稱為多普勒效應。5.6多普勒效應二多普勒效應的分析與定量研究觀察者接受到的頻率

是觀察者在單位時間內(nèi)接受到的振動數(shù)或完整的波數(shù)；2021/5/959sul1.波源和觀察者均相對于媒質(zhì)靜止波源的振動頻率觀察者測得的頻率'兩個相鄰等相位面之間的距離是一個波長觀察者測得的頻率'，是單位時間內(nèi)連續(xù)通過接收器的等相位面的數(shù)目，亦即單位時間內(nèi)連續(xù)通過接收器的完整的波的個數(shù)。觀察者測得的頻率就是波源的振動頻率2021/5/960sul2.波源靜止觀察者向波源運動波源的振動頻率觀察者測得的頻率'觀察者每秒接收到的整波數(shù)，即觀察者測得的頻率為觀察者測得的頻率是波源的振動頻率的倍。如果波源靜止觀察者背離波源運動，觀察者測得的頻率為頻率升高2021/5/961213132波面間距較窄波面間距較寬3.觀察者靜止，波源（相對于媒質(zhì)）向觀察者運動。先看一個普通現(xiàn)象通過手的抖動,讓繩子末端的小石頭在水面邊抖動邊移動它們所激起的水波的波陣面分布是一系列偏心圓。若在空氣中有一個振動頻率恒定的定向運動聲源，它所激起的聲波的波陣面分布，則是一系列偏心球面。2021/5/962··SS

運動的前方波長縮短→λ←*S2021/5/963us3.觀察者靜止，波源（相對于媒質(zhì)）向觀察者運動波源的振動頻率觀察者測得的頻率'觀察者測得的頻率為如果波源以速度VS離開觀察者，觀察者測得的頻率為運動的前方波長縮短=-vST。頻率升高2021/5/964s波源的振動頻率觀察者測得的頻率'4.觀察者和波源同時相對于媒質(zhì)運動這時觀察者每秒接收到的整波數(shù)，由觀察者的運動和波源運動兩種因素同時決定，觀察者測得的頻率為當波源和觀察者同時相向運動時當波源和觀察者同時相背運動時2021/5/965sun多普勒效應波源的振動頻率,觀察者測得的頻率'sun-(背)+(向)snusnu相向運動,頻率升高;背離運動,頻率降低2021/5/966

多普勒效應也給目前為人們所普遍接受的“大爆炸宇宙學”提供了一定的證據(jù)。光波頻率的變化使人感覺到是顏色的變化.如果恒星遠離我們而去，則光的譜線就向紅光方向移動，稱為紅移；如果恒星朝向我們運動，光的譜線就向紫光方向移動，稱為藍移。

天文學家將來自星球的光譜與地球上相同元素的光譜比較，發(fā)現(xiàn)星球光譜幾乎都發(fā)生紅移，這說明星體都在遠離地球向四面飛去。這一觀察結果被‘大爆炸’的宇宙學理論的倡導者視為其理論的重要證據(jù)。電磁波（例如：光波），也有多普勒效應2021/5/9