關(guān)于“灰色預(yù)測模型”講解

灰色模型

研究組員：孫秀華09060722

施更俊09060721王剛09060723王琰09060724吳凱09060726

葉加彬09060729目錄一、灰色模型的概述二、灰色模型建模三、例題灰色系統(tǒng)理論及起源1982年，中國學(xué)者鄧聚龍教授創(chuàng)立的灰色系統(tǒng)理論，是一種研究少數(shù)據(jù)、貧信息不確定性問題的新方法。灰色系統(tǒng)理論以“部分信息已知，部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”不確定性系統(tǒng)為研究對(duì)象，主要通過對(duì)“部分”已知信息的生成、開發(fā)，提取有價(jià)值的信息，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行行為、演化規(guī)律的正確描述和有效監(jiān)控?；疑到y(tǒng)模型對(duì)實(shí)驗(yàn)觀測數(shù)據(jù)沒有什么特殊的要求和限制，因此應(yīng)用領(lǐng)域十分寬廣。不確定性方法的比較概率統(tǒng)計(jì)、模糊數(shù)學(xué)和灰色系統(tǒng)理論是三種最常用的不確定性系統(tǒng)研究方法。其研究對(duì)象都具有某種不確定性。模糊數(shù)學(xué)著重研究“認(rèn)知不確定”問題，其研究對(duì)象具有“內(nèi)涵明確，外延不明確”的特點(diǎn)問題，主要是憑經(jīng)驗(yàn)借助于隸屬函數(shù)進(jìn)行處理。例：年輕人概率統(tǒng)計(jì)研究的是“隨機(jī)不確定”現(xiàn)象，著重于考察“隨機(jī)不確定”現(xiàn)象的歷史統(tǒng)計(jì)規(guī)律，考察具有多種可能發(fā)生的結(jié)果之“隨機(jī)不確定”現(xiàn)象中每一種結(jié)果發(fā)生的可能性大小。其出發(fā)點(diǎn)是大樣本，并要求對(duì)象服從某種典型分布。灰色系統(tǒng)理論著重研究“小樣本”、“貧信息”不確定性問題，并依據(jù)信息覆蓋，通過序列算子的作用探索事物運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)實(shí)規(guī)律。其特點(diǎn)是“少數(shù)據(jù)建?！?，著重研究“外延明確，內(nèi)涵不明確”的對(duì)象。例如：總?cè)丝诳刂圃?5億到16億之間。三種不確定性系統(tǒng)研究方法的比較分析項(xiàng)目灰色系統(tǒng)概率統(tǒng)計(jì)模糊數(shù)學(xué)研究對(duì)象貧信息不確定隨機(jī)不確定認(rèn)知不確定基礎(chǔ)集合灰色朦朧集康托集模糊集方法依據(jù)信息覆蓋映射映射途徑手段灰序列算子頻率統(tǒng)計(jì)截集數(shù)據(jù)要求任意分布典型分布隸屬度可知側(cè)重點(diǎn)內(nèi)涵內(nèi)涵外延目標(biāo)現(xiàn)實(shí)規(guī)律歷史統(tǒng)計(jì)規(guī)律認(rèn)知表達(dá)特色小樣本大樣本憑經(jīng)驗(yàn)灰色系統(tǒng)理論的研究與應(yīng)用灰色系統(tǒng)理論的研究對(duì)象“部分信息已知，部分信息未知”的“小樣本、貧信息”不確定性系統(tǒng)?；疑到y(tǒng)理論的研究內(nèi)容灰哲學(xué)、灰哲學(xué)、灰生成、灰分析、灰建模、灰預(yù)測、灰決策、灰控制、灰評(píng)估、灰數(shù)學(xué)等?；疑到y(tǒng)理論的應(yīng)用領(lǐng)域農(nóng)業(yè)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)管理、環(huán)境科學(xué)、醫(yī)藥衛(wèi)生、礦業(yè)工程、教育科學(xué)、水利水電、圖像信息、生命科學(xué)、控制科學(xué)等。

灰色系統(tǒng)的模型

通過下面的數(shù)據(jù)分析、處理過程，我們將了解到，有了一個(gè)時(shí)間數(shù)據(jù)序列后，如何建立一個(gè)基于模型的灰色預(yù)測。

1.數(shù)據(jù)的預(yù)處理

首先我們從一個(gè)簡單例子來考察問題.

【例】

設(shè)原始數(shù)據(jù)序列對(duì)數(shù)據(jù)累加

于是得到一個(gè)新數(shù)據(jù)序列

歸納上面的式子可寫為

稱此式所表示的數(shù)據(jù)列為原始數(shù)據(jù)列的一次累加生成，簡稱為一次累加生成.顯然有

可見圖7.1上的曲線有明顯的擺動(dòng)，圖7.2呈現(xiàn)逐漸遞增的形式，說明原始數(shù)據(jù)的起伏已顯著弱化.可以設(shè)想用一條指數(shù)曲線乃至一條直線來逼近累加生成數(shù)列

將上述例子中的

分別做成圖7.1，圖7.2.圖7.2圖7.1為了把累加數(shù)據(jù)列還原為原始數(shù)列，需進(jìn)行后減運(yùn)算或稱相減生成，它是指后前兩個(gè)數(shù)據(jù)之差，如上例中歸納上面的式子得到如下結(jié)果：一次后減其中2.建模原理給定觀測數(shù)據(jù)列經(jīng)一次累加得設(shè)滿足一階常微分方程（7.1）（7.2）（7.3）

其中是常數(shù)，稱為發(fā)展灰數(shù)；稱為內(nèi)生控制灰數(shù)，是對(duì)系統(tǒng)的常定輸入.此方程滿足初始條件的解為(7.3)’對(duì)等間隔取樣的離散值（注意到）則為

(7.4)灰色建模的途徑是一次累加序列（7.2）通過最小二乘法來估計(jì)常數(shù)a與u.因

留作初值用，故將

用差分代替微分，又因等間隔取樣，

分別代入方程(7.3),

類似地有于是，由式（7.3）有

故得：由于

涉及到累加列

的兩個(gè)時(shí)刻的值，因此，

取前后兩個(gè)時(shí)刻的平均代替更為合理，即將

替換為

把

項(xiàng)移到右邊，并寫成向量的數(shù)量積形式

(7.5)

將（7.5）寫為矩陣表達(dá)式令這里，T表示轉(zhuǎn)置.令(7.6)則(7.6)式的矩陣形式為方程組(7.6)’，用最小二乘法估計(jì)為

(7.6)＇(7.7)把估計(jì)值

代入（7.4）式得時(shí)間響應(yīng)方程由(7.8)式算得的

是擬合值；

為預(yù)報(bào)值.這是

的擬合值，用后減運(yùn)算還原，

就可得原始序列

的擬合值

可得原始序列

預(yù)報(bào)值.(7.8)相對(duì)于一次累加序列3.精度檢驗(yàn)(1)殘差檢驗(yàn)：分別計(jì)算（3）預(yù)測精度等級(jí)對(duì)照表，見表7.1.

由于模型是基于一階常微分方程（7.3）建立的，故稱為一階一元灰色模型，記為GM(1,1).須指出的是，建模時(shí)先要作一次累加，因此要求原始數(shù)據(jù)均為非負(fù)數(shù).否則，累加時(shí)會(huì)正負(fù)抵消，達(dá)不到使數(shù)據(jù)序列隨時(shí)間遞增的目的.如果實(shí)際問題的原始數(shù)據(jù)列出現(xiàn)負(fù)數(shù)，可對(duì)原始數(shù)據(jù)列進(jìn)行“數(shù)據(jù)整體提升”處理.注意到一階常微分方程是導(dǎo)出GM(1,1)模型的橋梁，在我們應(yīng)用GM(1,1)模型于實(shí)際問題預(yù)測時(shí)，不必求解一階常微分方程（7.3）.4.GM(1,1)的建模步驟

綜上所述，GM(1,1)的建模步驟如下：例題銷售額預(yù)測

隨著生產(chǎn)的發(fā)展、消費(fèi)的擴(kuò)大，市場需求通?？偸窃黾拥?，一個(gè)商店、一個(gè)地區(qū)的銷售額常常呈增長趨勢(shì).因此，這些數(shù)據(jù)符合建立灰色預(yù)測模型的要求。

【例】表7.2列出了某公司1999—2003年逐年的銷售額.試用建立預(yù)測模型，預(yù)測2004年的銷售額，要求作精度檢驗(yàn)。

表7.2逐年銷售額（百萬元）年份19992000200120022003

序號(hào)12345

2.8743.2783.3373.3903.679

【例】

表7.2列出了某公司1999—2003年逐年的銷

售額.試用建立預(yù)測模型，預(yù)測2004年的銷售額，要求作精度檢驗(yàn)。

解（1）由原始數(shù)據(jù)列計(jì)算一次累加序列結(jié)果見表7.3.

表7.3一次累加數(shù)據(jù)年份19992000200120022003序號(hào)123452.8743.2783.3373.3903.6792.8746.1529.48912.87916.558（2）建立矩陣：謝謝觀賞！有不足之處，請(qǐng)老師和同學(xué)指正。若有疑問之處，請(qǐng)課后交流！問題的提出:已知一組實(shí)驗(yàn)數(shù)求它們的近似函數(shù)關(guān)系y＝f(x).需要解決兩個(gè)問題:1.確定近似函數(shù)的類型

根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布規(guī)律

根據(jù)問題的實(shí)際背景2.確定近似函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有誤差,不能要求機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束最小二乘法

偏差有正有負(fù),值都較小且便于計(jì)算,可由偏差平方和最小為使所有偏差的絕對(duì)來確定近似函數(shù)f(x).最小二乘法原理:設(shè)有一列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分布在某條曲線上,通過偏差平方和最小求該曲線的方法稱為最小二乘法,找出的函數(shù)關(guān)系稱為經(jīng)驗(yàn)公式.,它們大體機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束特別,當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)分布近似一條直線時(shí),問題為確定a,b

令滿足:使得解此線性方程組即得a,b稱為法方程組機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.為了測定刀具的磨損速度,每隔1小時(shí)測一次刀具的厚度,得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下:找出一個(gè)能使上述數(shù)據(jù)大體適合的經(jīng)驗(yàn)公式.解:

通過在坐標(biāo)紙上描點(diǎn)可看出它們大致在一條直線上,列表計(jì)算:故可設(shè)經(jīng)驗(yàn)公式為27.026.826.526.326.125.725.324.80123456701234567機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束得法方程組解得故所求經(jīng)驗(yàn)公式為0027.0074924.8137.628140208.5717.0機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束為衡量上述經(jīng)驗(yàn)公式的優(yōu)劣,計(jì)算各點(diǎn)偏差如下:稱為均方誤差,對(duì)本題均方誤差它在一定程度上反映了經(jīng)驗(yàn)函數(shù)的好壞.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束偏差平方和為27.026.826.526.326.125.725.324.80123456727.12526.51825.91125.30326.82126.21425.60725.000－0.125－0.0180.189－0.003－0.0210.0860.093－0.200稱為均方誤差,對(duì)本題均方誤差它在一定程度上反映了經(jīng)驗(yàn)函數(shù)的好壞.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束偏差平方和為27.026.826.526.326.125.725.324.80123456727.12526.51825.91125.