第2章-輻射探測中的統(tǒng)計學

“隨機性”是核輻射測量的本質(zhì)屬性，輻射測量中涉及到的各種現(xiàn)象都是隨機的：為什么要討論統(tǒng)計規(guī)律？具有確定的半衰期和衰變規(guī)律但，能否準確預(yù)知某個原子核何時衰變？兩個相鄰γ光子的時間間隔有多大？單位時間內(nèi)發(fā)出了多少射線？源發(fā)射射線：X/γ射線、中子與物質(zhì)發(fā)生相互作用是個概率事件。帶電粒子在介質(zhì)中損耗能量產(chǎn)生的電子－離子對的數(shù)目是不確定的。X/γ射線、中子與物質(zhì)發(fā)生相互作用產(chǎn)生次級帶電粒子（如電子、質(zhì)子），進而發(fā)生電離形成的電子－離子對數(shù)目也是隨機的。探測器測量射線：放射源探測器1當前第1頁\共有94頁\編于星期三\8點過程的隨機性結(jié)果的統(tǒng)計性每次測量得到的結(jié)果都是有同有異的異結(jié)果（例如計數(shù)值）是不同的：100，99，103，98，100……當然，偶爾也會有相同的結(jié)果同服從同樣的統(tǒng)計分布在同樣的測量條件下，不同次的測量結(jié)果之間存在的差異，稱之為統(tǒng)計漲落——fluctuation。統(tǒng)計漲落是輻射測量過程中的內(nèi)在屬性，是無法消除的。統(tǒng)計漲落決定了輻射測量過程精度的極限，實際的精度只能比這個精度差（因為還要再考慮其它客觀因素的影響）研究統(tǒng)計規(guī)律的意義：探測裝置是否正常？不同次測量，結(jié)果過分不一致，儀器可能不穩(wěn)定不同次測量，結(jié)果過分一致，也有問題“猜測”！如何理解測量結(jié)果——單次測量結(jié)果提供了什么信息？如何確定實驗條件，例如：為了測源的活度，測量時間應(yīng)為多久？2當前第2頁\共有94頁\編于星期三\8點輻射測量過程中的統(tǒng)計規(guī)律√§7.1 概率論基礎(chǔ)知識§7.2 核衰變數(shù)與探測器計數(shù)的漲落分布§7.3 電離過程的漲落與法諾（Fano）分布§7.4 粒子束脈沖的總電離電荷量的漲落§7.5 輻射粒子與信號的時間分布§7.6 計數(shù)統(tǒng)計誤差的傳遞§7.7 測量數(shù)據(jù)的檢驗3當前第3頁\共有94頁\編于星期三\8點§7.1 概率論基礎(chǔ)知識一些基本概念分布函數(shù)與數(shù)字表征幾種典型的概率分布隨機變量的運算與組合4當前第4頁\共有94頁\編于星期三\8點一.一些基本概念：隨機事件、概率和隨機變量隨機試驗：一定條件下的每次觀測。隨機事件：隨機試驗的各種結(jié)果。隨機變量：代表隨機事件的數(shù)量ξ。樣本：由N次測量中隨機變量的取值構(gòu)成：5當前第5頁\共有94頁\編于星期三\8點概率實驗的平均值：概率：描述在某種隨機試驗中的各個隨機事件出現(xiàn)的可能性出現(xiàn)事件A的次數(shù)總試驗次數(shù)事件A發(fā)生的概率6當前第6頁\共有94頁\編于星期三\8點隨機變量隨機變量可以分為兩類：離散型隨機變量：可取值是有限個或“可列個”分立的數(shù)值。該類型隨機變量用ξ表示，其可取值用xi表示。連續(xù)型隨機變量：可取值是整個數(shù)軸或某一區(qū)間內(nèi)的所有數(shù)值。連續(xù)型隨機變量及其可取值則用X和x表示。7當前第7頁\共有94頁\編于星期三\8點二.隨機變量的分布函數(shù)與數(shù)字表征離散型隨機變量ξ連續(xù)型隨機變量X可取值分布函數(shù)概率分布概率密度函數(shù)相互關(guān)系歸一性8當前第8頁\共有94頁\編于星期三\8點數(shù)字表征隨機變量有兩個重要的數(shù)字表征：數(shù)學期望方差數(shù)學期望：E(ξ)或E(X)，簡稱為期望，又稱為平均值、均值。描述的是隨機變量的平均值。對于離散型隨機變量ξ，其數(shù)學期望的定義為：對于連續(xù)型隨機變量X，其數(shù)學期望的定義為：9當前第9頁\共有94頁\編于星期三\8點算術(shù)平均值：將若干次實驗中隨機變量所取的數(shù)值加在一起，再用實驗次數(shù)除后，得到的平均值成為算術(shù)平均值。算術(shù)平均值→數(shù)學期望：當實驗次數(shù)無限增加時，算術(shù)平均值將無限的接近數(shù)學期望。10當前第10頁\共有94頁\編于星期三\8點方差、均方根偏差方差：D(ξ)或D(X)，描述的是隨機變量偏離其均值的程度。在應(yīng)用中引入與隨機變量具有相同量綱的量，它是方差的平方根，稱為標準差、均方根偏差，記作：對于離散隨機變量ξ，其方差D(ξ)為：對于連續(xù)型隨機變量X，其方差D(X)為：11當前第11頁\共有94頁\編于星期三\8點相對均方偏差相對均方偏差在實用中，我們會經(jīng)常用到相對均方偏差（與以后將要學習到的能量分辨率有關(guān)），也稱為相對均方漲落。相對均方偏差：相對均方根偏差：方差反映的是隨機變量在絕對意義上的分布離散程度。相對方差反映的是隨機變量在相對意義上的分布離散程度。12當前第12頁\共有94頁\編于星期三\8點相對均方根偏差(示例)期望值：400實測平均值：401.16均方根偏差：20.68相對均方根偏差：5.17%期望值：100實測平均值：100.54均方根偏差：9.66相對均方根偏差：9.66%√相對離散度小，測量結(jié)果更精確哪個結(jié)果更精確13當前第13頁\共有94頁\編于星期三\8點一些相似概念的區(qū)分偏差(deviation)和殘差(residual)偏差殘差期望值平均值當真值未知的情況下，一般以殘差代替偏差。14當前第14頁\共有94頁\編于星期三\8點準確度與精密度準確度(accuracy)測量值與被測對象真值的一致程度?？捎脺y量值的平均值與真值的差來描述。精密度(precision)測量的可重復(fù)性或可靠性。可用測量的均方偏差來描述。2008北京：4.4環(huán)2004雅典：脫靶（普拉納爾）埃蒙斯15當前第15頁\共有94頁\編于星期三\8點系統(tǒng)誤差與偶然誤差系統(tǒng)誤差(systematicerrors)由于：儀器本身的不準確或?qū)嶒灧椒ù致曰驅(qū)嶒炘聿煌晟贫鴮?dǎo)致的測量值與實際值之間的誤差。系統(tǒng)誤差難于發(fā)現(xiàn)。無法通過統(tǒng)計的方法來進行分析，因為所有的數(shù)據(jù)都同時偏大或者偏小。偶然誤差(randomerrors)由于各種偶然因素對：實驗者測量儀器測量對象的物理量構(gòu)成影響而導(dǎo)致的測量誤差。利用大量的實驗數(shù)據(jù)，可以實現(xiàn)對偶然誤差的統(tǒng)計分析。偶然誤差可以對通過對大量測量值進行平均的方法來進行削弱。所有的實驗結(jié)果都有系統(tǒng)誤差和偶然誤差的問題!16當前第16頁\共有94頁\編于星期三\8點系統(tǒng)誤差影響測量的準確度偶然誤差影響測量的精密度在核輻射的測量中，偶然誤差是一項主要的誤差，其來源有二：核事件的隨機性導(dǎo)致的統(tǒng)計漲落；測量儀器在正常工作條件下的測量誤差；其中，統(tǒng)計漲落是由核事件的內(nèi)在物理屬性所決定的，無法消除。關(guān)于偶然誤差17當前第17頁\共有94頁\編于星期三\8點三.幾種常用的概率分布在本課程中將會遇到的幾種概率分布：二項分布(BinomialDistribution)泊松分布(PoissonDistribution)高斯分布(GaussianDistribution)

或者稱為

正態(tài)分布(NormalDistribution)伯努力試驗(Bernoullitrial)18當前第18頁\共有94頁\編于星期三\8點伯努力試驗伯努力試驗(Bernoullitrial)一次試驗，其結(jié)果只有兩種可能，A和A’：例如：投擲硬幣，正面朝上還是背面朝上？新生的嬰兒，是男孩還是女孩？蚊子在經(jīng)受殺蟲劑后是否會死掉？一個原子核在經(jīng)過時間T之后，是否發(fā)生了衰變？衰變的概率：p沒有衰變的概率：1-p將這樣的試驗重復(fù)做N次，如果各次試驗的結(jié)果互不影響，就得到了N重伯努力試驗。19當前第19頁\共有94頁\編于星期三\8點伯努力試驗、二項分布N重伯努力試驗：數(shù)學期望：……t=012Nt=T123x-1xp……方差：當p很小時，方差：x的取值范圍為：x=n的概率為：若每個原子核在T時間后發(fā)生衰變的概率為p以x表示在T時間后發(fā)生衰變的原子核的數(shù)目，則：二項分布20當前第20頁\共有94頁\編于星期三\8點二項分布、泊松分布若N很大(≥100)，p很小(≤0.01)時：N很大p很小N>>n二項分布→泊松分布二項分布的期望值21當前第21頁\共有94頁\編于星期三\8點泊松分布泊松分布只有一個參數(shù)，即數(shù)學期望值m方差：m均方根偏差：不同期望值的泊松分布22當前第22頁\共有94頁\編于星期三\8點高斯分布當m>>1時,泊松分布可以簡化為高斯分布泊松分布高斯分布23當前第23頁\共有94頁\編于星期三\8點例題源發(fā)射粒子的數(shù)目服從泊松分布，用泊松分布來做的難處是什么？24當前第24頁\共有94頁\編于星期三\8點例題解：所求概率當K=1,2,3時，相應(yīng)的概率分別為0.683,0.955,0.99725當前第25頁\共有94頁\編于星期三\8點四.隨機變量的運算與組合復(fù)雜隨機變量往往可以分解為由若干簡單的隨機變量運算、組合而成?？捎靡阎暮唵坞S機變量的分布函數(shù)與數(shù)字表征來求復(fù)雜隨機變量的分布函數(shù)和數(shù)字表征。26當前第26頁\共有94頁\編于星期三\8點相互獨立隨機變量的運算組合設(shè)隨機變量Y=f(X1,X2,...,Xi,...,Xn)是若干隨機變量X1,X2,...,Xi,...,Xn的函數(shù)，其函數(shù)的表達形式可以是這些變量的四則運算，也可能是更復(fù)雜的函數(shù)形式；Y的可取值及其概率分布是受各Xi的可取值和概率分布共同決定的。一般來說，Y的概率分布是比較復(fù)雜的；一些簡單情況下Y與Xi的概率分布或數(shù)字表征之間的關(guān)系：相互獨立的隨機變量的和與差的方差是各隨機變量的方差的和。相互獨立的隨機變量的積的方差并非是各隨即變量的方差的積。相互獨立的服從泊松分布的隨機變量之差常數(shù)不服從泊松分布服從和27當前第27頁\共有94頁\編于星期三\8點示例28當前第28頁\共有94頁\編于星期三\8點串級（或級聯(lián)）隨機變量設(shè)對應(yīng)于試驗條件組A定義一個隨機變量1對應(yīng)于另一試驗條件組B定義另一隨機變量2且二者相互獨立按以下規(guī)則定義一個新的隨機變量：輻射測量中經(jīng)常會遇到級聯(lián)、倍增過程的漲落問題這些問題可以用串級型隨機變量的概念及運算規(guī)則來處理。29當前第29頁\共有94頁\編于星期三\8點再按條件組B作1i次試驗，實現(xiàn)了隨機變量2的1i個可取值；什么是串級隨機變量?先按條件組A作一次試驗，實現(xiàn)了隨機變量1的一個可取值1i；將這些可取值加起來得到一個值i，并將此值定義為一個新的隨機變量的一個可取值；這里，隨機變量為隨機變量1與2的“串級”隨機變量。1為此串級隨機變量的第一級2為此串級隨機變量的第二級30當前第30頁\共有94頁\編于星期三\8點串級隨機變量的特點(1)期望值：(2)方差：(3)相對方差：重要結(jié)論：假如第一級隨機變量的數(shù)學期望很大，那么就可以忽略第二級隨機變量的相對方差對串級隨機變量的相對方差的貢獻。注意這里！31當前第31頁\共有94頁\編于星期三\8點串級隨機變量的特點(4)由兩個伯努利型隨機變量1和2串級而成的隨機變量

仍是伯努利型隨機變量。即

仍是只有兩個可取值(0,1)的伯努利型隨機變量。

(5)由遵守泊松分布的隨機變量1與伯努利型隨機變量2串級而成的隨機變量

仍遵守泊松分布。若伯努利型隨機變量1

的正結(jié)果發(fā)生概率為

p1,2

的正結(jié)果發(fā)生概率為

p2，則

正結(jié)果發(fā)生概率為：設(shè)1的平均值為m1,而2的正結(jié)果發(fā)生概率為p2，則

的平均值為：32當前第32頁\共有94頁\編于星期三\8點串級隨機變量的特點對N個相互獨立的隨機變量1,2…

,N串級而成的N級串級隨機變量，有：可以得到什么啟示？串級隨機變量的相對均方偏差主要決定于第一級隨機變量的相對誤差。（成立條件是什么？）閃爍體的分辨率，與PMT陽極收集到的電子數(shù)NA有關(guān)，NA是三級串級變量：閃爍光子數(shù)nph對每個閃爍光子PMT第一打拿極收集到的電子數(shù)TPMT的倍增系數(shù)M33當前第33頁\共有94頁\編于星期三\8點√§7.1 概率論基礎(chǔ)知識§7.2 核衰變數(shù)與探測器計數(shù)的漲落分布§7.3 電離過程的漲落與法諾（Fano）分布§7.4 粒子束脈沖的總電離電荷量的漲落§7.5 輻射粒子與信號的時間分布§7.6 計數(shù)統(tǒng)計誤差的傳遞§7.7 測量數(shù)據(jù)的檢驗34當前第34頁\共有94頁\編于星期三\8點§7.2 核衰變數(shù)與探測器計數(shù)的漲落分布核衰變數(shù)的漲落放射性測量的統(tǒng)計誤差35當前第35頁\共有94頁\編于星期三\8點一.核衰變數(shù)的漲落放射性衰變是一種隨機過程，放射性衰變規(guī)律為：在0~t

時間內(nèi)，原來N0個放射性核中，發(fā)生了衰變的核的平均數(shù)為：當N0很大時，對一個核而言，它在0~t時間內(nèi)發(fā)生衰變的概率為：36當前第36頁\共有94頁\編于星期三\8點每一個放射性原子核在時間t內(nèi)發(fā)生衰變是一個概率事件。是伯努力事件!發(fā)生衰變的概率：不發(fā)生衰變的概率：N0個原子核，彼此之間相互獨立，則發(fā)生的衰變是N0重伯努力事件，總衰變原子核數(shù)N服從二項分布。37當前第37頁\共有94頁\編于星期三\8點例如137Cs源：半衰期為30.17年在有限的時間t（秒、分、小時、天）范圍內(nèi)，滿足二項分布→泊松分布的兩個條件：p很小：≤0.01N0很大：≥100所以，在

t

時間內(nèi)發(fā)生的總衰變數(shù)N服從泊松分布！對于長壽命核素構(gòu)成的放射源衰變常數(shù)很小總原子核數(shù)目很大10μCi的源，總的原子核數(shù)目N0為：5.1×1014個38當前第38頁\共有94頁\編于星期三\8點總衰變數(shù)N服從泊松分布：N的期望值：N的方差：泊松分布：“期望值”=“方差”當總衰變數(shù)N較大時，泊松分布→高斯分布源的活度較大，即N0較大時間t延長39當前第39頁\共有94頁\編于星期三\8點二.放射性測量的統(tǒng)計誤差放射性核衰變具有統(tǒng)計分布探測器輸出計數(shù)的統(tǒng)計分布輻射探測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計誤差射線與物質(zhì)相互作用過程的隨機性因此在某個測量時間內(nèi)對樣品進行測量得到的計數(shù)值同樣是一個隨機變量40當前第40頁\共有94頁\編于星期三\8點探測器輸出脈沖數(shù)的統(tǒng)計分布脈沖探測器的特點：輸出脈沖數(shù)t時間內(nèi)射入探測器的粒子數(shù)放射源在t時間內(nèi)發(fā)射出的總粒子數(shù)脈沖計數(shù)器的測量過程可以劃分為三個基本過程en3為一個三級串級型隨機變量。源的發(fā)射粒子數(shù)n1：0～t時間段內(nèi)，n1服從泊松分布進入探測器的粒子數(shù)n2：n2亦服從泊松分布被探測器測到的粒子數(shù)n3：n3服從泊松分布Ωγ未被探測到4π-Ω未射入探測器的γ若源非各向同性，結(jié)論依然成立，只是立體角因子要做修正41當前第41頁\共有94頁\編于星期三\8點結(jié)論：放射源在t時間內(nèi)發(fā)射的粒子數(shù)n1遵守泊松分布探測器相應(yīng)的輸出脈沖數(shù)n3也遵守泊松分布探測器輸出脈沖數(shù)的平均值為源發(fā)射的平均粒子數(shù)與幾何因子及探測器效率之積如果源非各向同性，上述結(jié)論仍然成立，只是立體角（幾何）因子需要進行調(diào)整探測器輸出脈沖數(shù)的統(tǒng)計分布42當前第42頁\共有94頁\編于星期三\8點輻射探測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計誤差粒子計數(shù)——探測器輸出的脈沖信號數(shù)目服從統(tǒng)計分布：m較?。骸此煞植糾較大：～高斯分布方差為m當m比較大時，m與有限次測量值的平均值或者單次測量值N相差不大。則對標準偏差的估計可以如下進行：注意：這里表示的標準偏差僅僅由統(tǒng)計漲落引起，不包含其它因素引起的標準偏差。43當前第43頁\共有94頁\編于星期三\8點樣本方差是總體方差的無偏估計，可以由樣本方差來估計有限次測量的方差σS不僅包括統(tǒng)計誤差，也反映了測量過程中其它偶然因素的貢獻，可用于數(shù)據(jù)檢驗：若計數(shù)測量結(jié)果遵從泊松分布，則可以表示為：任意一次測量值ni落在區(qū)間內(nèi)的概率為68.3%置信區(qū)間置信度在測量過程中：以相對標準偏差來表示測量值的離散程度：44當前第44頁\共有94頁\編于星期三\8點示例請大家作一個估算：欲使探測器計數(shù)測量值的相對均方根偏差（反映數(shù)據(jù)的精度）達到20%,10%,1%，計數(shù)的測量值分別應(yīng)該達到多少？計數(shù)的測量值分別應(yīng)為：25，100，10000為了提高探測器計數(shù)的測量精度，應(yīng)該怎么辦？增大立體角增大探測器的探測效率(本征)增大源強延長測量時間45當前第45頁\共有94頁\編于星期三\8點√§7.1 概率論基礎(chǔ)知識§7.2 核衰變數(shù)與探測器計數(shù)的漲落分布§7.3 電離過程的漲落與法諾（Fano）分布§7.4 粒子束脈沖的總電離電荷量的漲落§7.5 輻射粒子與信號的時間分布§7.6 計數(shù)統(tǒng)計誤差的傳遞§7.7 測量數(shù)據(jù)的檢驗46當前第46頁\共有94頁\編于星期三\8點電離過程的漲落與法諾(Fano)分布帶電粒子射入物質(zhì)與原子的核外電子發(fā)生非彈性碰撞電離過程的漲落：“電子－正離子”對（氣體）“電子－空穴”對（半導(dǎo)體）通過庫侖力使之電離碰撞是隨機性的N次碰撞，N很大，形成的離子對數(shù)目為：每次碰撞都是一個伯努力試驗：形成離子對或不形成，概率為E0：入射帶電粒子能量W：產(chǎn)生一個離子對所需能量。是泊松分布嗎？產(chǎn)生的離子對的數(shù)目是有漲落的N重伯努力試驗二項分布泊松分布47當前第47頁\共有94頁\編于星期三\8點前述模型比較粗略，并不準確這種電離過程漲落的分布稱之為：法諾分布總的碰撞次數(shù)是不確定的碰撞過程是不獨立的碰撞產(chǎn)生的總離子對數(shù)目并不能簡單地用泊松分布來表達引入法諾因子(Fanofactor)UgoFanoBornJuly28,1912

Turin,ItalyDiedFebruary13,2001

Chicago,Illinois每次碰撞時所導(dǎo)致的離子對的動能也是不同的僅僅激發(fā)，沒有電離。電離，離子對的動能是不同的。電離出的電子可以再次發(fā)生電離。48當前第48頁\共有94頁\編于星期三\8點IonizationYieldofRadiations.II.TheFluctuationsoftheNumberofIons，U.Fano(1947)快電子與介質(zhì)原子的每次碰撞過程中，可能發(fā)生的三種情況的能量損失是不同的：激發(fā)而不電離電離，但只能發(fā)生一次電離，且次級電子也可以發(fā)生電離這三種反應(yīng)各有其相應(yīng)的反應(yīng)截面：法諾因子F的范圍：1/3～1/2(氣體)0.1~0.15(半導(dǎo)體)不同材料的Fanofactor不同，需要依靠實驗來測定。離子對數(shù)損失能量平均電離能入射粒子連續(xù)碰撞的結(jié)果之間是相互獨立的。Fano因子Fano的結(jié)果對于H：F~0.47:100kV電子F~0.43:1kV電子49當前第49頁\共有94頁\編于星期三\8點√§7.1 概率論基礎(chǔ)知識§7.2 核衰變數(shù)與探測器計數(shù)的漲落分布§7.3 電離過程的漲落與法諾（Fano）分布§7.4 粒子束脈沖的總電離電荷量的漲落§7.5 輻射粒子與信號的時間分布§7.6 計數(shù)統(tǒng)計誤差的傳遞§7.7 測量數(shù)據(jù)的檢驗50當前第50頁\共有94頁\編于星期三\8點§7.4粒子束脈沖的總電離電荷量的漲落探測器有三種主要的工作方式：脈沖型工作方式（對單個粒子進行探測）通過脈沖探測器對逐個輻射粒子進行探測測得的信號與單個入射粒子相對應(yīng)脈沖計數(shù)的個數(shù)與入射的粒子數(shù)對應(yīng)單個輸出信號的幅度反映入射粒子的能量累計型工作方式（粒子束脈沖）粒子束脈沖在探測器內(nèi)產(chǎn)生的總電離效果，形成一個大脈沖脈沖幅度與粒子束內(nèi)粒子數(shù)和能量有關(guān)。累計型工作方式（穩(wěn)定粒子束流）穩(wěn)定粒子束流在探測器內(nèi)產(chǎn)生的平均電離效應(yīng)。又稱電流型工作方式。輸出一個直流電流(電壓)信號，該信號的大小一般正比于粒子束流的大小。集裝箱檢測系統(tǒng)的探測器就是工作在粒子束脈沖的累計型工作方式。51當前第51頁\共有94頁\編于星期三\8點討論粒子束脈沖（累計型）總電離電荷量的漲落問題高能物理領(lǐng)域輻射成像領(lǐng)域電子束電子靶入射X射線脈沖被檢測物體透射X射線脈沖輸出信號探測器eeee以集裝箱檢測系統(tǒng)為例：9MeV電子加速器軔致輻射（回想第6章）100mA，5μs持續(xù)時間3.1×1012個X光子/脈沖立體角：>2.86×10-8(4π)源探距離：10米探測器：6mm×6mm射入探測器的X光子為：n1=8.9×104個X光子/脈沖n1：被探測器測量的光子數(shù)目，是個隨機變量，泊松分布n1n2n2：每個被探測到的光子在探測器內(nèi)產(chǎn)生的離子對數(shù)目，服從法諾分布。εε：探測器對入射光子的本征探測效率。NN：粒子束脈沖在探測器內(nèi)形成的離子對數(shù)目，與輸出信號幅度成正比粒子束脈沖的總電離電荷量的漲落52當前第52頁\共有94頁\編于星期三\8點n1in2j輸出信號N輸出信號N是n1和n2的串級型隨機變量其總離子對數(shù)平均值相對標準偏差若n1服從泊松分布，n2服從法諾分布53當前第53頁\共有94頁\編于星期三\8點√§7.1 概率論基礎(chǔ)知識§7.2 核衰變數(shù)與探測器計數(shù)的漲落分布§7.3 電離過程的漲落與法諾（Fano）分布§7.4 粒子束脈沖的總電離電荷量的漲落§7.5 輻射粒子與信號的時間分布§7.6 計數(shù)統(tǒng)計誤差的傳遞§7.7 測量數(shù)據(jù)的檢驗54當前第54頁\共有94頁\編于星期三\8點§7.5輻射粒子與信號的時間分布相鄰信號脈沖（或粒子）的時間間隔相鄰“進位脈沖”的時間間隔55當前第55頁\共有94頁\編于星期三\8點一.相鄰兩個信號脈沖的時間間隔核輻射事件及探測器的計數(shù)服從泊松分布單位時間內(nèi)的脈沖數(shù)具有期望值m相鄰兩個脈沖的時間間隔T是一連續(xù)型隨機變量T服從什么樣的分布呢？對于一個平均計數(shù)率為m的情況，其脈沖間的平均時間間隔是多少？單位時間m個信號T：服從什么分布？m個信號(周期信號)tt時間內(nèi)出現(xiàn)脈沖數(shù)為n的概率為：泊松分布脈沖的時間序列56當前第56頁\共有94頁\編于星期三\8點兩個相鄰脈沖時間間隔為t的條件：于是有：所以，隨機變量T的概率密度函數(shù)為：即：0時刻tt+dt0~t…無信號…在第一個脈沖發(fā)生后的t時間內(nèi)沒有脈沖發(fā)生；在t后的dt時間內(nèi)有一個脈沖發(fā)生。57當前第57頁\共有94頁\編于星期三\8點相鄰兩個脈沖時間間隔T服從指數(shù)分布。1/mm/em期望值：方差：表明：第二個脈沖出現(xiàn)在短時間內(nèi)的概率較大。58當前第58頁\共有94頁\編于星期三\8點下一個信號什么時候到來？前面講到的是兩個相鄰信號之間的時間間隔分布（實驗員一直在監(jiān)視、記錄著所有信號）。實驗員開始觀察實驗員開始觀察Ts：服從什么分布？T：服從指數(shù)分布服從同樣的指數(shù)分布閱讀：RadiationDetectionandMeasurementP.98如果選擇任意一個時間開始觀察，那么下一個信號什么時候到來呢（實驗員一覺醒來，什么時候能等到下一個信號呢）？59當前第59頁\共有94頁\編于星期三\8點下一個信號“馬上”就來！——你會擔心什么？測量系統(tǒng)對入射粒子的有響應(yīng)時間，叫做分辨時間。要控制計數(shù)損失<1%，允許計數(shù)率m<1104cps。對分辨時間為1s的系統(tǒng)，要實現(xiàn)控制計數(shù)損失<3%

：即分辨時間為1s的測量系統(tǒng)只能記錄37%的脈沖！對平均計數(shù)率為m=106cps的輻射事件相鄰事件的時間間隔大于1μs的概率：60當前第60頁\共有94頁\編于星期三\8點要控制計數(shù)損失<1%，允許的測量系統(tǒng)的最大分辨時間T為：對平均計數(shù)率為m=10ncps的輻射事件，要實現(xiàn)控制計數(shù)損失<3%

,求允許的測量系統(tǒng)的最大分辨時間T為：若測量系統(tǒng)的分辨時間T為10-(n+1)，則能記錄的脈沖為：61當前第61頁\共有94頁\編于星期三\8點在計數(shù)率比較高的時候，需要使用具有進位系數(shù)S的定標器來記錄探測器的輸出。此時，定標器每接受來自探測器的S個信號以后，才會產(chǎn)生一個定標器信號脈沖，稱作進位脈沖。0時刻tt+dt0~tS-1個信號二.相鄰進位脈沖的時間間隔設(shè)進位率為S，則相鄰進位脈沖的時間間隔為t的條件為：(1)在第一個脈沖發(fā)生后的t時間內(nèi)有S-1脈沖發(fā)生；(2)在t后的dt時間內(nèi)有一個脈沖發(fā)生。進位脈沖探測器“電信號”62當前第62頁\共有94頁\編于星期三\8點相鄰進位脈沖時間間隔T的概率密度函數(shù)為：T的期望值：T的方差：T的最可幾取值，令：0～t時刻來S-1個信號的概率t～t+dt時刻來1個信號的概率63當前第63頁\共有94頁\編于星期三\8點64當前第64頁\共有94頁\編于星期三\8點√§7.1 概率論基礎(chǔ)知識§7.2 核衰變數(shù)與探測器計數(shù)的漲落分布§7.3 電離過程的漲落與法諾（Fano）分布§7.4 粒子束脈沖的總電離電荷量的漲落§7.5 輻射粒子與信號的時間分布§7.6 計數(shù)統(tǒng)計誤差的傳遞§7.7 測量數(shù)據(jù)的檢驗65當前第65頁\共有94頁\編于星期三\8點§7.6計數(shù)統(tǒng)計誤差的傳遞在一般的核測量中，常涉及函數(shù)的統(tǒng)計誤差的計算，也就是誤差傳遞(ErrorPropagation)。若是相互獨立的隨機變量，其標準偏差相應(yīng)為，由這些隨機變量導(dǎo)出的任何量的標準偏差可以用下面公式求出：下面分析一些常見情況：66當前第66頁\共有94頁\編于星期三\8點(1)和差關(guān)系67當前第67頁\共有94頁\編于星期三\8點輻射測量中，本底總是存在的。本底包括宇宙射線、環(huán)境中的天然放射性及儀器噪聲等。這時，為求得凈計數(shù)需要進行兩次測量：樣品的凈計數(shù)為其標準偏差為例如：存在本底時凈計數(shù)誤差的計算第一次，沒有樣品，在時間t內(nèi)測得本底的計數(shù)為Nb；第二次，放上樣品，在相同時間內(nèi)測得樣品和本底的總計數(shù)為Ns。68當前第68頁\共有94頁\編于星期三\8點(2)倍數(shù)關(guān)系或69當前第69頁\共有94頁\編于星期三\8點例如，計數(shù)率的誤差：設(shè)在t時間內(nèi)記錄了N個計數(shù)，則計數(shù)率為n=N/t，計數(shù)率的標準偏差為：其相對標準偏差為：沒有t？70當前第70頁\共有94頁\編于星期三\8點(3)乘除關(guān)系或71當前第71頁\共有94頁\編于星期三\8點(4)平均計數(shù)的統(tǒng)計誤差對某樣品重復(fù)測量k次，每次測量時間t相同(等精度測量)，得到k個計數(shù)則在時間t內(nèi)的平均計數(shù)值為：由誤差傳遞公式，平均計數(shù)值的方差為：72當前第72頁\共有94頁\編于星期三\8點多次重復(fù)測量結(jié)果表達：平均計數(shù)的相對標準偏差：t沒有顯性出現(xiàn)？73當前第73頁\共有94頁\編于星期三\8點(5)不等精度獨立測量值的平均簡單的求平均不再合理！需要進行加權(quán)平均使測量精度高的數(shù)據(jù)在求平均值時的貢獻大，精度低的貢獻小。？如何確定一個合適的權(quán)重因子不等精度測量:例如：對計數(shù)率進行了k次獨立測量各次測量的時間并不相同，分別為ti，計數(shù)為Ni得到不同的ni74當前第74頁\共有94頁\編于星期三\8點先求各次測量的計數(shù)率及方差：可以設(shè)各次測量的權(quán)重為：設(shè)可以證明這是最佳權(quán)重方式75當前第75頁\共有94頁\編于星期三\8點計數(shù)率的加權(quán)平均值為：標準偏差為：相對標準偏差為：t沒有顯性出現(xiàn)？76當前第76頁\共有94頁\編于星期三\8點結(jié)果表示為：如果k次測量的時間均相等，則測量為等精度測量：

重要結(jié)論：就統(tǒng)計誤差而言，無論是一次測量還是多次測量，只要總的計數(shù)相同，多次測量的平均計數(shù)率相對誤差和一次測量的計數(shù)率的相對誤差是一致的。77當前第77頁\共有94頁\編于星期三\8點示例：不等精度下的加權(quán)平均測量時間（秒）12345678910計數(shù)13253735488078799682計數(shù)率（cps）1312.512.38.759.613.311.19.8810.78.2測量時間（秒）11121314151617181920計數(shù)103115133114154182177175195198計數(shù)率（cps）9.369.5810.28.1410.311.410.49.7210.39.9計數(shù)率的簡單平均結(jié)果：10.43cps計數(shù)率的加權(quán)平均結(jié)果：10.09cps進行一次不等精度測量的模擬實驗：在模擬實驗中，計數(shù)率的期望值為：10cps20次測量，測量時間分別為1，2，3，……，20秒，總測量時間為210秒。78當前第78頁\共有94頁\編于星期三\8點加權(quán)平均：計算所得期望值：10cps標準偏差：0.22cps簡單平均：計算所得期望值：10cps標準偏差：0.30cps進行10000次模擬實驗，利用簡單平均和加權(quán)平均得到的計數(shù)率結(jié)果為：示例：不等精度下的加權(quán)平均79當前第79頁\共有94頁\編于星期三\8點(6)存在本底時凈計數(shù)率誤差的計算第一次，在時間tb內(nèi)測得本底的計數(shù)為Nb；第二次，在時間ts內(nèi)測得樣品和本底的總計數(shù)為Ns。樣品的凈計數(shù)率為：標準偏差為：相對標準偏差為：80當前第80頁\共有94頁\編于星期三\8點(B)有本底存在時，需要合理分配樣品測量時間ts和本底測量時間tb(A)不考慮本底的影響根據(jù)：(7)測量時間的選擇81當前第81頁\共有94頁\編于星期三\8點為在規(guī)定的總測量時間T＝ts+tb內(nèi)使測量結(jié)果的誤差最小。得到：該條件下的相對方差為據(jù)此，在相對標準偏差給定的情況下，所需最小測量時間為：由極值條件：82當前第82頁\共有94頁\編于星期三