平面解析幾何基礎(chǔ)知識

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§07.直線和圓的方程知識要點一、直線方程.直線的傾斜角：一條直線向上的方向與季由正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直線與尤軸平行或重合時，其傾斜角為0故直線傾斜角的范圍是0。<ay180°（0<ay冗）?注：①當?=90°或x之時，直線l垂直于x軸，它的斜率不存在.21②每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與x軸垂直的直線不存在斜率外，其余每一條直線都有惟一的斜率，并且當直線的斜率一定時，其傾斜角也對應(yīng)確定.直線方程的幾種形式：點斜式、截距式、兩點式、斜切式.特別地，當直線經(jīng)過兩點（a,0）,（0,b），即直線在x軸，y軸上的截距分別為a,b（a豐0,b豐0）時，直線方程是：-+丄=1?ab注：若y一2x-2是一直線的方程，則這條直線的方程是y一2x-2，但若

33y一|x-2（x>0）則不是這條線.附：直線系：對于直線的斜截式方程y=kx+b，當k,b均為確定的數(shù)值時，它表示一條確定的直線，如果k,b變化時，對應(yīng)的直線也會變化.①當b為定植，k變化時，它們表示過定點（0,b）的直線束.②當k為定值，b變化時，它們表示一組平行直線.⑴兩條直線平行：lIIlok=k兩條直線平行的條件是：①l和l是兩條不重合的直線.②在l1212121和l的斜率都存在的前提下得到的.因此，應(yīng)特別注意，抽掉或忽視其中任一個2“前提”都會導(dǎo)致結(jié)論的錯誤.（一般的結(jié)論是：對于兩條直線l,l，它們在y軸上的縱截距是b,b，則1212lIIlok=k，且b壬b或l,l的斜率均不存在，即AB=BA是平行的必要不充121212121212分條件，且C豐C12推論：如果兩條直線l,l的傾斜角為a,a則lIIloa=a.12121212⑵兩條直線垂直：

兩條直線垂直的條件：①設(shè)兩條直線l和l的斜率分別為k和k，則有1212l丄lokk=-1這里的前提是l,l的斜率都存在?②/丄lOk=0，且l的斜率不1212121212存在或k=0，且l的斜率不存在.(即AB+AB=0是垂直的充要條件)211221直線的交角：⑴直線l到l的角(方向角)；直線l到l的角，是指直線l繞交點依逆時針方12121向旋轉(zhuǎn)到與l重合時所轉(zhuǎn)動的角0，它的范圍是(0,兀)，當0^90。時tan0=—?2 1+G2⑵兩條相交直線l與l的夾角：兩條相交直線l與l的夾角，是指由l與l相交121212所成的四個角中最小的正角0，又稱為l和l所成的角，它的取值范圍是12,0,「當0工,0,「當0工90。，5.過兩直線l1:A1x+B1y+C1=0的交點的直線系方程l2:A2x+B2y+C2=0則有tan0=1+kk12Ax+By+C+九(Ax+By+C)=0(九為參數(shù)，Ax+By+C=0不包括在內(nèi))1112222226.點到直線的距離：⑴點到直線的距離公式：設(shè)點P(x0,y°)，直線l:Ax+By+C=0,P到l的距離為d，則有d=IAx0+By0+C?A2+B2注：1.兩點P1(x1,y1)>P2(x2,y2)的距離公式：IpP21=J(x2-x])2+(y2-y)2?特例：點P(x,y倒原點0的距離：|OP1=Jx2+y22.定比分點坐標分式。若點P(x,y)分有向線段PP■所成的比為凋亦PP，其中1212P1(x1,y1),P2(x2,y2)?則特例，中點坐標公式；重要結(jié)論，三角形重心坐標公式。3.直線的傾斜角(0°Wa<180°)、斜率:k=tana4-過兩點P(x,y),P(x,y)的直線的斜率公式：k=y2-yi?(叫豐x2)111222x-x 1221

當X1=x2,yi豐y2(即直線和X軸垂直)時’直線的傾斜角a=90。，沒有斜率⑵兩條平行線間的距離公式：設(shè)兩條平行直線1111：Ax+By+C1=0,l2：Ax+By+C2=0(C^C2)，它們之間的距離為d，則有d=上匚￡丄.A2+B2注；直線系方程與直線：Ax+By+C=0平行的直線系方程是：Ax+By+m=0.(m^R,CHm).與直線：Ax+By+C=0垂直的直線系方程是：Bx-Ay+m=0.(mGR)過定點(x1,y1)的直線系方程是：A(x-x1)+B(y-y1)=0(A,B不全為0)過直線-、12交點的直線系方程:(A1x+B1y+C1)+入(A2x+B2y+C2)=0(入GR)注：該直線系不含l2.7.關(guān)于點對稱和關(guān)于某直線對稱：⑴關(guān)于點對稱的兩條直線一定是平行直線，且這個點到兩直線的距離相等.⑵關(guān)于某直線對稱的兩條直線性質(zhì)：若兩條直線平行，則對稱直線也平行，且兩直線到對稱直線距離相等.若兩條直線不平行，則對稱直線必過兩條直線的交點，且對稱直線為兩直線夾角的角平分線.⑶點關(guān)于某一條直線對稱，用中點表示兩對稱點，則中點在對稱直線上(方程)，過兩對稱點的直線方程與對稱直線方程垂直(方程②)①②可解得所求對稱點.注：①曲線、直線關(guān)于一直線(y=±x+b)對稱的解法：y換X，X換y.例：曲線f(x,y)=0關(guān)于直線y=x-2對稱曲線方程是f(y+2,x-2)=0.曲線C:f(x,y)=0關(guān)于點(a,b)的對稱曲線方程是f(a-x,2b-y)=0.二、圓的方程.⑴曲線與方程：在直角坐標系中，如果某曲線c上的與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)建立了如下關(guān)系：曲線上的點的坐標都是這個方程的解.以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.那么這個方程叫做曲線方程；這條曲線叫做方程的曲線(圖形).⑵曲線和方程的關(guān)系，實質(zhì)上是曲線上任一點M(x,y)其坐標與方程f(x,y)=0的一種關(guān)系，曲線上任一點(x,y)是方程f(x,y)=0的解；反過來，滿足方程f(x,y)=0的解所對應(yīng)的點是曲線上的點.注：如果曲線C的方程是f(x,y)=0，那么點P0(x0,y)線C上的充要條件是f(x0,y0)=0圓的標準方程：以點C(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標準方程是(x-a)r=2當D2+E2—4F=0時，方程表示一個點[—D，——.I22丿當r=2當D2+E2—4F=0時，方程表示一個點[—D，——.I22丿當D2+E2—4FY0時，方程無圖形(稱虛圓).注：①圓的參數(shù)方程：$=a+rC0S°(9為參數(shù)).y=b+rsin9方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是：B=0且A=C豐0且D2+E2—4AFA0.圓的直徑或方程：已知A(x,y)B(x,y)n(x-x)(x-x)+(y-y)(y-y)=0(用向11221212量可征). 點和圓的位置關(guān)系：給定點m(x0,y0)及圓C:(x-a)2+(y—b)2=r2.M在圓C內(nèi)o(x0—a)2+(y0—b)2Yr2M在圓C上o(x0—a)2+(y0—b)2=r2M在圓C夕卜o(x0—a)2+(y0—b)2Ar2 直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)圓圓C:(x—a)2+(y—b)2=r2(rA0)； 直線l:Ax+By+C=0(A2+B2豐0);圓心C(a,b)到直線l的距離d=應(yīng)+Bb+C.A2+B2特例：圓心在坐標原點，半徑為r的圓的方程是：x2+y2=r2.注：特殊圓的方程：①與;軸由相切的圓方程(x-a)2+(y土b)2=b2[r=|bI,圓心(a,b)或(a,-b)]與y軸相切的圓方程(x土a)2+(y-b)2=a2 [r=laI,圓心(a,b)或(—a,b)]與;軸y軸都相切的圓方程(x土a)2+(y土a)2=a2 [r=laL圓心(±a,±a)]圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.當D2+E2—4FA0時，方程表示一個圓，其中圓心C[—D— ，半徑I2^2丿JVD2+E2—4F

d=r時，l與C相切；附：若兩圓相切，則|X2+y2+%+F1=0=相減為公切線方程.b2+y2+D2x+E2y+F2=0dYr時，l與C相交；附：公共弦方程C：設(shè)^y2+Dx+Ey+F=01丿1r1C2：X2+y2+D2X+E2y+F20有兩個交點，則其公共弦方程為(D廠D2)x+(E1-E2)y+(F]-F2)=0-dAr時，l與C相離.附：若兩圓相離，則|x2+y2+Dix+Eiy+F1=0n相減為圓心OO的連線的中與線[x2+y2+D2x+E2y+F2=0 12方程.由代數(shù)特征判斷：方程組|(x-a)2+(y-b)2=r2用代入法，得關(guān)于x(或y)的一

Ax+Bx+C=0元二次方程，其判別式為A，貝V：A=0ol與C相切；AA0ol與C相交；Ay0ol與C相離.注：若兩圓為同心圓則x2+y2+D1x+E1y+F1=0，x2+y2+D2x+E2y+F2=0相減，不表示直線.圓的切線方程：圓x2+y2=r2的斜率為k的切線方程是y=kx土 r過圓x2+y2+Dx+Ey+F=0上一點P(x,y)的切線方程為：xx+yy+Dx+x0+Ey+y0+F=0.000022①一般方程若點(X0,y0)在圓上，則(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=R2.特別地，過圓x2+y2=r2上一點P(x0,y的切線方程為x°x+y°y=r2?②若點(x0,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則＜y1-y②若點(x0,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則＜b-y-k(a-x)|，聯(lián)立求出kn

R= 1 1R2+1程.求切點弦方程：方法是構(gòu)造圖，則切點弦方程即轉(zhuǎn)化為公共弦方程.如圖：ABCD四類共圓.已知00的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0…①又以ABCD為圓為方程為(x-x^)(x-a)+(y-ya)(x-b)=k2…②R2=(^-")2+(兒旳2…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即為所求.4三、曲線和方程1.曲線與方程：在直角坐標系中，如果曲線C和方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：1)曲線C上的點的坐標都是方程f(x,y)=0的解(純粹性)；2)方程f(x,y)=0的解為坐標的點都在曲線C上(完備性)。則稱方程f(x,y)=0為曲線C的方程，曲線C叫做方程f(x,y)=0的曲線。求曲線方程的方法：.1)直接法：建系設(shè)點，列式表標,簡化檢驗;2)參數(shù)法;3)定義法，4)待定系數(shù)法.高中數(shù)學(xué)第八章-圓錐曲線方程考試內(nèi)容：橢圓及其標準方程．橢圓的簡單幾何性質(zhì)．橢圓的參數(shù)方程．雙曲線及其標準方程．雙曲線的簡單幾何性質(zhì)．拋物線及其標準方程．拋物線的簡單幾何性質(zhì)．考試要求：掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)，了解橢圓的參數(shù)方程．掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)．掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì)．了解圓錐曲線的初步應(yīng)用．§08.圓錐曲線方程知識要點一、橢圓方程.1.橢圓方程的第一定義：IpfJ+Ipf\=2aRIff2方程為橢圓IpfJ+Ipf\=2a<\f^f21無軌跡，Ipf1+IpfI=2a=If(f」以尸f2為端點的線段⑴①橢圓的標準方程：2i.中心在原點，焦點在x軸上：竺+出=1(arbRo)-ii-中心在原點，焦點在y軸a2b2上：出+丘=i@rbR0)-a2b2②一般方程：Ax2+By2=1(AR0,BR0)?③橢圓的標準參數(shù)方程：—+—=1的參數(shù)方a2b2程為F=acose(—象限°應(yīng)是屬于0Y0YE)?TOC\o"1-5"\h\zy=bsin0 2⑵①頂點：(土a,0)(0,±b)或(0,±a)(±b,0).②軸：對稱軸：X軸，y軸；長軸長2a，短軸長2b?③焦點：(-c,0)(c,0)或(0,-c)(0,c)?④焦距：|fFJ=2c,c=、'a2—b2?⑤準線：x=±竺或y=±竺.⑥離心率：e=￡(0yeY1)?⑦焦點半徑：c c a設(shè)P(xy)為橢圓—+止=1(aRbR0)上的一點，F(xiàn),F為左、右焦點a+則,IpfI=a—exn'0^0丿 a2b2 1 2 1 02 0由橢圓方程的第二定義可以推出.設(shè)P(x,y)為橢圓—+丘=1(aRbR0)上的一點，F(xiàn),F為上、下焦點=a則y」PFI=a—eynb2a2 1 2 1 0 2由橢圓方程的第二定義可以推出.由橢圓第二定義可知：|pF|=e(x+竺)=a+ex(xY0),IpF1=e(J)=ex—a(xR0)歸結(jié)起1 0c 0 0 2c0 0 0來為“左加右減”.注意：橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)：得N(acos0,bsin0)t方程的軌跡為橢圓.

⑧通徑：垂直于X軸且過焦點的弦叫做通經(jīng).坐標：d=絲2（-c,b2）和（c,b2）a2 aa⑶共離心率的橢圓系的方程：橢圓旦+22=i（a》b》0）的離心率是a2b2e=-（c八a2-b2），方程總+21=心是大于0的參數(shù)，a》b》0）的離心率也是a a2b2￡我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程.a⑸若P是橢圓：計+琴=1上的點.F1，F(xiàn)2為焦點，若/嚴2小則ApF1F2的面積為b2tan2（用余弦定理與|PF」+|PFJ=2a可得）.若是雙曲線，則面積為b2-cot-2二、雙曲線方程.雙曲線的第一定義：⑴①雙曲線標準方程：||PFJ-IPFJ|=2aYF￡2方程為雙曲線||PFJ-IPFJ|=2aRIff21無軌跡llPFJ-IffJ|=2a=IfF2以F],F⑴①雙曲線標準方程：蘭-=1(a，bR0),丘-竺=1(a,bR0).一般方程:a2 b2 a2 b2Ax2+Cy2=1(ACY0).⑵①i.焦點在x軸上:頂點：（a,0）,（-a,0）焦點：（c,0）,（-c,0）準線方程x=±吐漸近線方程：蘭土丄=0或c ab旦-丘=0a2b2ii.焦點在y軸上：頂點：（0,—a）,（0,a）-焦點：（0,c）,（0,-c）-準線方程：y=±旦?漸c近線方程：丄±蘭ab參數(shù)方程：近線方程：丄±蘭ab參數(shù)方程：$=asec。y=btan0x=btan。y=asec0②軸x,y為對稱軸，實軸長為2a,虛軸長為2S焦距2C.③離心率e=￡.④準a線距込（兩準線的距離）；通徑絲2.⑤參數(shù)關(guān)系c2=a2+b2,e=￡.⑥焦點半c a a徑公式：對于雙曲線方程蘭—2!=1（f,F分別為雙曲線的左、右焦點或分別a2b2 1 2為雙曲線的上下焦點）“長加短減”原則：

MF卜ex0+a構(gòu)成滿足MfI-IMF|=2aMF」「ex0—a（與橢圓焦半徑不同，橢圓\MF|=ex-a 1 2 MF=—ex+a2020焦半徑要帶符號計算,\MFI=ey—ao|MFI=ey+a0|mFI=—ey0+a|mFI=—焦半徑要帶符號計算,\MFI=ey—ao|MFI=ey+a0|mFI=—ey0+a|mFI=—ey0—a20▲.yF⑶等軸雙曲線：雙曲線x2—y2=±a2稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為y=±x，離心率e=「2-⑷共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.空—丘八與竺—竺=—九互為共軛雙曲線，它們具有共同a2 b2a2b2的漸近線：蘭—丘=0.⑸共漸近線的雙曲線系方程：亡=九（九工0）的漸近線方程為竺—21=0如果▲y3雙曲線的漸近線為蘭±工=0時，它的雙曲線方程可設(shè)為旦—亡=九（九刊）.ab a2b23例如：若雙曲線一條漸近線為y=1x且過p（3,-丄），求雙曲線的方程22 解：令雙曲線的方程為：竺—y2「（―0），代入（3,—丄）得蘭—亡=1.4 2 8 2⑹直線與雙曲線的位置關(guān)系：區(qū)域①：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計2條；區(qū)域②：即定點在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計3條；區(qū)域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計4條；區(qū)域④：即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計2條；區(qū)域⑤：即過原點，無切線，無與漸近線平行的直線.小結(jié)：過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、4條.（2）若直線與雙曲線一支有交點，交點為二個時，求確定直線的斜率可用代入“△”法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號.3⑺若P在雙曲線C—亡=i，則常用結(jié)論1：P到焦點的距離為m=n則P到兩a2b2準線的距離比為m:n.簡證：PFJH=_ed2一常用結(jié)論2：從雙曲線一個焦點到另一條漸近線的距離等于b.、拋物線方程.3.設(shè)p》0，拋物線的標準方程、類型及其幾何性質(zhì):y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py圖形▲ 隹占八、、八、、F仔，0）F（-f，0）F（吋）f（0,-彳）準線x=-p2x=22y=-匕2y=&2范圍x>0,yeRx<0,yeRxeR,y>0xeR,y<0對稱軸x軸y軸頂點（0，0）離心率e=1隹占八、、八、、l—F=2+x1'—F=號+-lx1l—F=2+y1l—F=2+lyJ注：①ay2+by+c=x頂點（坯仝-厶?4a 2a②y2=2px（p豐0）則焦點半徑PF=x+—；x2=2py（p豐0）則焦點半徑為|pF|2③通徑為2p,這是過焦點的所有弦中最短的.④y2=④y2=2px（或x2=2py）的參數(shù)方程為<x=2pt2（或<y=2ptx=2pt）y=2pt2t為參數(shù)）.四、圓錐曲線的統(tǒng)一定義..圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)到定點F和定直線l的距離之比為常數(shù)e的點的軌跡.當0YeY1時，軌跡為橢圓；當e=1時，軌跡為拋物線；當e>1時，軌跡為雙曲線；當e=0時，軌跡為圓（e=-，當c=0,a=b時）.a圓錐曲線方程具有對稱性.例如：橢圓的標準方程對原點的一條直線與雙曲線的交點是關(guān)于原點對稱的.

因為具有對稱性，所以欲證AB=CD,即證AD與BC的中點重合即可.注：橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線定義1.到兩定點F],F2的距離之和為定值2a(2a>|F]F21)的點的軌跡1.到兩定點F],F2的距離之差的絕對值為定值2a(0v2av|F]F2|)的點的軌跡2.與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.(0<e<1)2.與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.(e>1)與定點和直線的距離相等的點的軌跡.圖形方程標準方程X2+y2=1(a〉b>0)a2b2X2-y2=1(a>0,b>0a2b2)y2=2px參數(shù)方程fx二acos0[y二bsin0(參數(shù)e為離心角)fx=asec0[y=btan0(參數(shù)0為離心角)[x2pt2(t為參數(shù))〔y=2pt范圍一a xa,-b yb|x| a,yRx0中心原點0(0,0)原點0(0,0)頂點(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)對稱軸x軸，y軸；長軸長2a,短軸長2bx軸，y軸；實軸長2a,虛軸長2b.x軸隹占八、、八、、FjcQ,F2(-c,0)F,(c,0),F2(-c,0)F亶，0)焦距j2c(c=pa2—b2)2c(c=Ja2+b2)離心率e=—(0<e<1)ae=—(e〉1)ae=1準線a2x=土———a2x=土———x=-匕2漸近線±by=±_xa焦半徑r=a土exr=土(ex土a)r=x+匕2通徑2b2a2b2a2p焦參數(shù)a2a2P橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程的其他形式及相應(yīng)性質(zhì).等軸雙曲線共軛雙曲線方程y2=ax與x2=ay的焦點坐標及準線方程.共漸近線的雙曲線系方程.因該注意的問題：直線方程的幾種形式：點斜式、斜截式、兩點式、截矩式、一般式．以及各種形式的局限性，（如點斜式不適用于斜率不存在的直線，所以設(shè)方程的點斜式或斜截式時，就應(yīng)該先考慮斜率不存在的情形）。設(shè)直線方程時，一般可設(shè)直線的斜率為k,你是否注意到直線垂直于x軸（3\時，斜率k不存在的情況（例如：一條直線經(jīng)過點-3,-3，且被圓I2丿x2+y2二25截得的弦長為8,求此弦所在直線的方程。該題就要注意，不要漏掉x+3=0這一解.）簡單線性規(guī)劃問題的可行域求作時，要注意不等式表示的區(qū)域是相應(yīng)直線的上方、下