高中數(shù)學人教B版三學案：2．2.2　用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2.2。2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征[學習目標]1．會求樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標準差、方差．2．理解用樣本的數(shù)字特征來估計總體數(shù)字特征的方法．3．會應用相關知識解決簡單的統(tǒng)計實際問題．[知識鏈接］1．在數(shù)據(jù)2，2,3,4,4，5,5,6，7，8中眾數(shù)為2，4，5。2．一組數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)的個數(shù)所得到的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．例如,數(shù)據(jù)1,2,3,3，4，5的平均數(shù)為3.［預習導引］1．有關概念(1）眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)（即頻率分布最大值所對應的樣本數(shù)據(jù)）叫這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．若有兩個或兩個以上的數(shù)據(jù)出現(xiàn)得最多，且出現(xiàn)的次數(shù)一樣，則這些數(shù)據(jù)都叫眾數(shù)；若一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多,則沒有眾數(shù)．(2）中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．(3)平均數(shù)：指樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)．即eq\x\to（x）＝eq\f（1,n）(x1＋x2＋…＋xn）．2．平均距離假設樣本數(shù)據(jù)是x1，x2，…，xn，eq\x\to（x）表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．xi到eq\x\to（x）的距離是|xi－eq\x\to（x）｜（i＝1，2，…，n）．于是，樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn到eq\x\to(x）的“平均距離”是S＝eq\f（｜x1－\x\to（x）｜＋|x2－\x\to(x)|＋…＋｜xn－\x\to（x）｜,n)。3．標準差由于平均距離中含有絕對值，運算不太方便，因此改用如下公式來計算標準差s＝eq\r(\f（1,n)［x1－\x\to（x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to（x）2］）。顯然，標準差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。詷藴什羁梢杂脕砜坍嫈?shù)據(jù)的分散程度的大小．4．方差標準差s的平方s2,即s2＝eq\f(1，n）［(x1－eq\x\to(x）)2＋（x2－eq\x\to(x）)2＋…＋（xn－eq\x\to（x）)2］叫這組數(shù)據(jù)的方差．方差也是用來測量樣本數(shù)據(jù)的分散程度的特征數(shù)．在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上，方差與標準差是一樣的．但在解決實際問題時，一般多采用標準差。要點一眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的簡單運用例1在上一節(jié)調(diào)查的100位居民的月均用水量的問題中，制作出了這些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:從中可以看出,月均用水量的眾數(shù)估計是________;中位數(shù)是________；平均數(shù)為________．答案2。25t2。02t2。02t解析眾數(shù)大致的值就是樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中最高矩形的中點的橫坐標，因此眾數(shù)估計是2。25t；在樣本中，有50％的個體小于或等于中位數(shù)，也有50％的個體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)使得在它左邊和右邊的直方圖的面積應該相等，由此可以估計中位數(shù)的值，下圖中虛線代表居民月均用水量的中位數(shù)的估計值，此數(shù)據(jù)值為2.02t。平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,是直方圖的平衡點，因此，每個小矩形的面積與小矩形底邊中點的橫坐標的乘積之和為平均數(shù)，平均數(shù)為2。02t.規(guī)律方法根據(jù)樣本頻率分布直方圖，可以分別估計總體的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)．（1）眾數(shù)：最高矩形下端中點的橫坐標；（2）中位數(shù)：直方圖面積平分線與橫軸交點的橫坐標;（3)平均數(shù)：每個小矩形的面積與小矩形底邊中點的橫坐標的乘積之和．跟蹤演練1在一次中學生田徑運動會上,參加男子跳高的17名運動員的成績?nèi)绫硭荆撼煽儯▎挝唬簃)1.501。601。651。701.751.801。851。90人數(shù)23234111分別求這些運動員成績的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)．解在17個數(shù)據(jù)中，1。75出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75.上面表里的17個數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的順序排列的,其中第9個數(shù)據(jù)1。70是最中間的一個數(shù)據(jù)，即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1。70；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是eq\x\to(x)＝eq\f(1，17）（1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1）＝eq\f（28。75,17)≈1。69（m）．答17名運動員成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次為1.75m，1。70m,1。69m.要點二平均數(shù)和方差的運用例2甲、乙兩機床同時加工直徑為100cm的零件，為檢驗質(zhì)量，各從中抽取6件測量，數(shù)據(jù)為：甲：9910098100100103乙:9910010299100100(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差;（2）根據(jù)計算結(jié)果判斷哪臺機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．解(1)eq\x\to（x)甲＝eq\f(1，6）（99＋100＋98＋100＋100＋103）＝100，eq\x\to（x)乙＝eq\f(1,6）（99＋100＋102＋99＋100＋100）＝100。seq\o\al(2,甲)＝eq\f（1，6）［(99－100）2＋(100－100)2＋（98－100)2＋(100－100）2＋(100－100)2＋(103－100）2］＝eq\f(7，3),seq\o\al(2，乙)＝eq\f（1，6)［（99－100）2＋（100－100）2＋（102－100）2＋（99－100)2＋（100－100)2＋（100－100）2］＝1。（2)兩臺機床所加工零件的直徑的平均值相同，又seq\o\al(2，甲)＞seq\o\al(2,乙)，所以乙機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．規(guī)律方法1.幾個性質(zhì)：（1）若x1,x2,…，xn的平均數(shù)是eq\x\to（x），那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\x\to（x)＋a。（2）數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn與數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a,…，xn＋a的方差相等．(3）若x1,x2,…，xn的方差為s2，那么ax1，ax2,…,axn的方差為a2s2。2．(1）方差的基本公式:s2＝eq\f（1,n)［（x1－eq\x\to(x)）2＋（x2－eq\x\to（x）)2＋…＋（xn－eq\x\to(x))2］．（2）方差的簡化公式：s2＝eq\f（1,n）[(xeq\o\al（2,1)＋xeq\o\al（2,2）＋…＋xeq\o\al(2，n））－neq\x\to(x）2]．或?qū)懗蓅2＝eq\f(1，n)(xeq\o\al(2,1）＋xeq\o\al(2,2）＋…＋xeq\o\al（2，1））－eq\x\to（x）2，即方差等于原數(shù)據(jù)平方和的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方．跟蹤演練2(1)(2013·山東高考）將某選手的9個得分去掉1個最高分,去掉1個最低分，7個剩余分數(shù)的平均分為91，現(xiàn)場作的9個分數(shù)的莖葉圖后來有一個數(shù)據(jù)模糊，無法辨認,在圖中以x表示：87794010x91則7個剩余分數(shù)的方差為（）A。eq\f(116，9）B。eq\f(36，7)C．36D.eq\f（6\r(7),7)答案B解析∵由題意知去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)是87，90,90,91,91,94,90＋x?！噙@組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是eq\f（87＋90＋90＋91＋91＋94＋90＋x，7)＝91，∴x＝4.∴這組數(shù)據(jù)的方差是eq\f（1,7）(16＋1＋1＋0＋0＋9＋9)＝eq\f(36,7)。（2)（2013·江蘇高考)抽樣統(tǒng)計甲、乙兩位射擊運動員的5次訓練成績（單位：環(huán))，結(jié)果如下：運動員第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892則成績較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運動員成績的方差為________．答案2解析由表中的數(shù)據(jù)計算可得eq\x\to（x）甲＝90,eq\x\to(x）乙＝90,且方差seq\o\al(2，甲)＝eq\f（87－902＋91－902＋90－902＋89－902＋93－902，5)＝4。seq\o\al（2，乙)＝eq\f（89－902＋90－902＋91－902＋88－902＋92－902，5）＝2。所以乙運動員的成績較穩(wěn)定，方差為2。要點三頻率分布與數(shù)字特征的綜合應用例3已知一組數(shù)據(jù)：125121123125127129125128130129126124125127126122124125126128（1)填寫下面的頻率分布表：分組頻數(shù)頻率[121，123）[123,125）[125，127）［127，129)［129,131］合計(2）作出頻率分布直方圖；（3）根據(jù)頻率分布直方圖或頻率分布表求這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)．解(1）分組頻數(shù)頻率[121,123)20.1[123，125）30。15［125,127）80.4續(xù)表分組頻數(shù)頻率[127，129)40.2[129,131］30.15合計201(2）(3）在[125,127）中的數(shù)據(jù)最多，取這個區(qū)間的中點值作為眾數(shù)的近似值，得眾數(shù)126，事實上,眾數(shù)的精確值為125.圖中虛線對應的數(shù)據(jù)是125＋2×eq\f（5，8）＝126。25，事實上中位數(shù)為125.5。使用“組中值”求平均數(shù)：eq\x\to（x）＝122×0.1＋124×0。15＋126×0。4＋128×0.2＋130×0.15＝126。3，平均數(shù)的精確值為eq\x\to(x)＝125。75。規(guī)律方法1.利用頻率分布直方圖估計數(shù)字特征：（1）眾數(shù)是最高的矩形的底邊的中點．(2）中位數(shù)左右兩側(cè)直方圖的面積相等．（3）平均數(shù)等于每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標．2．利用直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為估計值，與實際數(shù)據(jù)可能不一致．跟蹤演練3某中學舉行電腦知識競賽，現(xiàn)將高一參賽學生的成績進行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0.30、0。40、0。15、0。10、0.05。求：（1)高一參賽學生的成績的眾數(shù)、中位數(shù)；（2）高一參賽學生的平均成績．解（1）由圖可知眾數(shù)為65,又∵第一個小矩形的面積為0。3，∴設中位數(shù)為60＋x，則0.3＋x×0。04＝0.5，得x＝5，∴中位數(shù)為60＋5＝65。（2)依題意，平均成績?yōu)?5×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0。05＝67,∴平均成績約為67.1．下面是高一(18）班十位同學的數(shù)學測試成績：82,91,73,84，98,99，101，118，98，110,則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是()A．98 B．99C．98。5 D．97。5答案A解析將這組數(shù)據(jù)按從小到大排列為73，82，84，91,98,98,99，101，110，118，則最中間的兩個數(shù)為98，98，故中位數(shù)是eq\f（1,2）（98＋98)＝98。2．下列各數(shù)字特征中，能反映一組數(shù)據(jù)離散程度的是(）A．眾數(shù) B．平均數(shù)C．標準差 D．中位數(shù)答案C3．樣本101,98,102,100，99的標準差為(）A.eq\r（2) B．0C．1 D．2答案A解析樣本平均數(shù)eq\x\to（x）＝100，方差為s2＝2，∴標準差s＝eq\r(2)，故選A.4．甲乙兩名學生六次數(shù)學測驗成績(百分制）如圖所示．①甲同學成績的中位數(shù)大于乙同學成績的中位數(shù)；②甲同學的平均分比乙同學高；③甲同學的平均分比乙同學低;④甲同學成績的方差小于乙同學成績的方差上面說法正確的是(）A．③④ B．①②④C．②④ D．①③答案A解析甲的中位數(shù)為81，乙的中位數(shù)為87.5，故①錯，排除B、D;甲的平均分eq\x\to(x）＝eq\f（1，6）（76＋72＋80＋82＋86＋90)＝81，乙的平均分eq\x\to（x)′＝eq\f(1，6）（69＋78＋87＋88＋92＋96)＝85,故②錯，③對，故選A。5．(2013·湖北高考)某學員在一次射擊測試中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下：7，8,7，9,5,4，9,10,7,4則：（1)平均命中環(huán)數(shù)為________；(2）命中環(huán)數(shù)的標準差為________．答案（1）7(2)2解析利用平均值和標準差公式求解．（1）eq\x\to(x)＝eq\f(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4，10)＝7。（2)s2＝eq\f(1，10）［(7－7)2＋（8－7）2＋（7－7)2＋（9－7)2＋(5－7）2＋(4－7)2＋(9－7）2＋(10－7）2＋（7－7)2＋（4－7)2]