2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義：第六章-勾股定理-(二十八)-垂美四邊形模型

勾股定理模型（二十八）——垂美四邊形模型模型講解模型講解【定義】對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.【結(jié)論】如圖，四邊形ABCD的對角線AC⊥BD，則①AB2＋CD2＝AD2＋BC2.②S四ABCD＝12【證明】①②S四ABCD＝12BD·a＋12BD·c＝12口訣口訣典例秒殺典例秒殺典例1☆☆☆☆☆定義∶我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形⑴概念理解;如圖1，在四邊形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，那么四邊形ABCD是垂美四邊形嗎?請說明理由.⑵性質(zhì)探究：如圖2，垂美四邊形ABCD的兩組對邊AB，CD與BC，AD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出你的猜想，并說明理由。⑶問題解決∶如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE①求證∶△GAB≌△CAE.②若AC=2，AB=5，則GE=__________。【解析】（1）四邊形ABCD是垂美四邊形，理由如下∶∵AB=AD，∴點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上，∵CB=CD，∴點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上，∴直線AC是線段BD的垂直平分線，∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形.（2）AB2＋CD2=BC2＋AD2，理由如下∶如圖，∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°.由勾股定理得AD2＋BC2=AE2＋DE2＋BE2＋CE2,AB2＋CD2=AE2＋BE2＋CE2＋DE2,∴AB2＋CD2=BC2＋AD2.（3）如圖，①連接CG，BE.∵∠CAG=∠BAE=90°,∴∠CAG＋∠BAC=∠BAE＋∠BAC,即∠GAB=∠CAE.在△GAB和△CAE中，AG=AC,∠GAB=∠CAE,AB=AE,∴△GAB≌△CAE(SAS).②∵△GAB≌△CAE，∴∠ABG=∠AEC，又∵∠AEC＋∠AME=90°，∠BMC=∠AME，∴∠ABG＋∠BMC=90°，∴∠BNC=90°，即CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，∴CG2＋BE2=CB2+GE2∵AC=2,AB=5,∴BC=21,CG=22,BE=52,∴GE2=CG2＋BE2-CB2=37，∴GE=37.典例2☆☆☆☆☆如圖，△AOB和△COD都是等邊三角形，AO=BO=2，CO=DO=1求AC2＋BD2小試牛刀小試牛刀1.（★★★★★）數(shù)學(xué)活動(dòng)∶圖形的變化問題情境∶如圖1，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90o，E是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E與A，C不重合），以CE為邊在△ABC外作等腰直角△ECD，∠ECD=90°，連接BE，AD.猜想線段BE，AD之間的關(guān)系.（1）獨(dú)立思考∶請直接寫出線段BE，AD之間的關(guān)系.（2）合作交流∶“希望”小組受上述問題的啟發(fā)，將圖1中的等腰直角△ECD繞著點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置，BE交AC于點(diǎn)H,交AD于點(diǎn)O.（1）中的結(jié)論是否仍然成立?請說明理由.（3）拓展延伸∶“科技”小組將⑵中的等腰直角△ABC改為Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，將等腰直角△ECD改為Rt△ECD，∠ECD=90°，CD=4，CE=3.試猜想BD2＋AE2是否為定值，結(jié)合圖3說明理由.直擊中考直擊中考1.在四邊形ABCD中，AC⊥BD，AB=7，CD=11，BC=13，則AD=_______.勾股定理是計(jì)算的工具，識(shí)別環(huán)境和了解模型背后約結(jié)論至關(guān)重要，等腰直角三角形手拉手全等模型容易出現(xiàn)垂美四邊形勾股定理模型（二十八）——垂美四邊形模型答案：小試牛刀解析（1）BE=AD，BE⊥AD.∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∴BC=AC,CE=CD,∠BCE=∠ACD=90°,∴△BCE≌△ACD,∴BE=AD,∠CEB=∠CDA.∴∠CBE＋∠CEB=90°,∴∠CBE＋∠CDA=90°,∴BE⊥AD.（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，理由∶∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°,∴AC=BC.∵△CDE是等腰直角三角形，∠ECD=90°,∴CD=CE,∴∠ACB＋∠ACE=∠ECD+∠ACE,∴∠BCE=∠ACD,∴△BCE≌△ACD,∴BE=AD,∠CBE=∠CAD.∵∠BHC=∠AHO,∠CBH＋∠BHC=90°,∴∠CAD＋∠AHO=90°,∴∠AOH=90,∴BE⊥AD.（3）是定值，理由∶∵∠ECD=90°,∠ACB=90°,∴∠ACB=∠ECD,∴∠ACB＋∠ACE=∠ECD＋∠ACE，∴∠BCE=∠ACD.∵AC=8,BC=6,CD=4,CE=3,∴BC:AC=CE:CD=3:4,∴△BCE∽△ACD,∴∠CBE=∠CAD.∵∠BHC=∠AHO,∠CBH＋∠BHC=90°，∴∠CAD＋∠AHO=90°,∴∠AOH=90°,∴BE⊥AD,∴∠BOD=∠AQE=90°,∴BD2=OB2＋OD2，AE2=OA2＋OE2，AB2=OA2+OB2，DE2=OE2+OD2，∴BD2＋AE2=OB2＋OD2＋OA2＋OE2=AB2＋DE2,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6,∴AB2=100,在