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(二在公元前0年左右,古希臘的 學(xué)派就曾用或小卵石來表示數(shù),如果用小卵石表的數(shù)能分成兩個相等的部分,那么這數(shù)叫偶數(shù),不能被分成兩個相等的部分的數(shù)叫奇。用數(shù)學(xué)的觀點來看,雖然奇數(shù)與數(shù)都有無窮個,但它們有一個共同點:②所有偶數(shù)都是用2除的余數(shù)為0。即02468,2整除的數(shù)叫做偶數(shù),不能被22的倍數(shù),所以通常用2k這個式子來表示偶數(shù)(k是整數(shù)因為任何奇數(shù)除以2其余數(shù)總是1,所以通常用式子2k1來表示奇數(shù)(這里k是整數(shù)特別注意,因為02整除,所以0是偶數(shù)。在自然數(shù)中,最小的奇數(shù)是1,最小的偶數(shù)是0性質(zhì)1偶數(shù)偶數(shù)(偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù))偶數(shù)(奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù))奇數(shù)(偶數(shù)奇數(shù)奇數(shù)2:偶數(shù)奇數(shù)偶數(shù)(推廣開來還可以得到:偶數(shù)個奇數(shù)相加得偶數(shù))偶數(shù)偶數(shù)(推廣開就是:偶數(shù)個偶數(shù)相加得偶數(shù))奇數(shù)奇數(shù)(推廣開就是:奇數(shù)個奇數(shù)相加得奇數(shù)性質(zhì)3:任何一個奇數(shù)一定不等于任何一個偶數(shù)。 107564,他做得對嗎【分析】等式左邊是偶數(shù),153107564是偶數(shù),根據(jù)奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù),等式右邊是奇數(shù),21開始,依據(jù)后一數(shù)是前一數(shù)加上32010個數(shù)排成一行:147,102010奇數(shù)奇數(shù)奇數(shù)。13也就是說,在147,10,……中,每一個數(shù)與前一個數(shù)的奇偶性不同。由此可知,這行數(shù)的奇偶性與其序數(shù)的奇偶性相同。所以第2010(1)112334556(2)(12 1003)(10041005因為每相鄰的4個數(shù)中有2個奇數(shù),所以12,……,1003所以和12 03為偶數(shù),因而積為偶數(shù)12345678910因此某些加號變成減號后所得結(jié)果仍然是奇數(shù),不可能是365123,……,1992變其奇偶性而123 199211992 2
【例6】100個自然數(shù),它們的總和是10000,在這些數(shù)里,奇數(shù)的個數(shù)比偶數(shù)的個數(shù)多.那么這些數(shù)里偶 的個數(shù)多,奇數(shù)至少有52個,因此偶數(shù)至多只有48個.
的尾數(shù)為 【分析】
的尾數(shù)與9999的尾數(shù)相同,觀察99,19,1所以可知9的偶次冪的尾數(shù)為1,奇次冪的尾數(shù)為9,而99是個奇數(shù),所以可知尾數(shù)為故這12個整數(shù)中至少有六個偶數(shù)。93A,將緊接它們之后的3BAB能否等于111111111(共9個1)?ABAB為偶數(shù),而111111111篇【例10】如下圖所示的十二張牌,2點、6點、10點各四張。你能從中選出七張牌,使上面點數(shù)之和恰等于52嗎?說明理由。由于各牌點數(shù)都等于2奇數(shù),即221623,1025但52226因此,無論怎樣從十二張牌中選取七張牌,其點數(shù)之和都不會等于5211】甲、乙兩個哲人將正整數(shù)5至11分別寫在7【分析】甲手中的3張卡片上分別寫了68和10甲知道其余4張卡片上分別寫了哪些數(shù),但不知道它們之中的哪兩張落到了乙的手中。于是3126688237。問:原來寫的三個整數(shù)能否為135如果原來三個數(shù)為135,為三奇數(shù),無論怎樣,操作一次后一定為二奇一偶,總之,無論怎樣操作,總是兩奇一偶,而66,88,237是兩偶一奇,這就發(fā)生所以,原來寫的不可能為135 某一個月中有三個星期天的日期剛好是偶數(shù)號,請問這個月的5號是星期幾【分析】根據(jù)生活經(jīng)驗,一個月有4周,由植樹問題的相關(guān)知識可知:這4最多有5個星期天。由于一周是以7天為一個周期,所以,如果這周的星期天是x號,那么下周的星期天將是(x7)第1第3第4第5奇偶奇偶奇偶奇偶奇偶所以第一個星期天的日期可能是:×月2號、×月4號、……第12第3第12第3第4第5×月2×月9×月16×月23×月30×月4×月11×月18×月25×月32由此可知,這個月的第一個星期天只能是2號。所以,這個月的5【例14】 從1,2,3,4,5,6,7,8,9中任意選出三個數(shù),使它們的和為偶數(shù),共有幾種不同【分析】3個數(shù)的和是偶數(shù)有2三個都是偶數(shù),從2468里選3個有4兩個奇數(shù)一個偶數(shù),從135792個有102468里選一個有4種可能,根據(jù)乘法原理有10440綜上所述,共有44044篇【例15】 在51個連續(xù)的奇數(shù)1、3、5、……、101中選取k個數(shù),使得它們的和為1949,那么k的最【分析】因為1358587(1872
,13589(1 所以k4544個奇數(shù)的和為偶數(shù)不等于1949,所以k43,而358587193611935,1949193514,所以358385101193587 。成立,所以k的最大值為43【例16】 ,“““17】線段ABAB線段中間插入n個交點,或染紅色,或染藍色,得到n1條兩兩互不的小線段。試證:兩個端點不同色的小線段的條數(shù)AB中插入第一點時,無論紅或藍色,兩端色不同的線段仍是一條。端點不同色的線段數(shù)(1條)多0或2條,為1或3同理,每增加一個點,端點不同色的線段增加0或2條,為偶數(shù)。所以,對于任意整數(shù)n,端點不同色的線段總是奇數(shù)條?!纠?8】 有大、小兩個盒子,其中大盒內(nèi)裝1001枚白棋和1000枚同樣大小的黑棋子,小盒內(nèi)裝有足夠多的黑棋。每次從大盒內(nèi)隨意摸出兩枚棋子:問:從大盒內(nèi)摸了1999{取枚同色棋子{取枚同色棋子{{枚}
{取枚異色棋子{取枚白子{取枚白子{取枚}通過上面分析可知,每操作一次棋子的總數(shù)都要減少1枚,所以在不斷操作下去的過程中,摸了1999次棋子后,大盒內(nèi)棋子要減少1999枚,此時大盒內(nèi)還剩:1001100019992枚,數(shù)第1第3數(shù)第1第3第4第19991000?顯然,根據(jù)上述規(guī)律,第1999次操作后數(shù)將有奇數(shù)枚。而此時大盒中僅剩2枚棋子,所以必然是1枚1枚【例19】今有101枚硬幣,其中有50枚是,每枚在重量上與真幣相差1克?,F(xiàn)有一架帶指針AA的真假,當A是真幣時,天平會呈現(xiàn)出什么樣的狀態(tài);當A是時,天平又會呈現(xiàn)出什么樣的狀態(tài)。如果A是真幣,由于剩余的100枚硬幣中有50枚。而50是一個偶數(shù),而偶數(shù)奇數(shù)奇數(shù);偶數(shù)偶數(shù)所以這50枚無論怎樣分配在天平的兩端,天平顯示出來的重量差為偶數(shù)如果A是,由于剩余的100枚硬幣中有49枚。而49是一個奇數(shù),而:奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù);所以這49枚無論怎樣分配在天平的兩端,天平顯示出來的重量差為奇數(shù)。首先,將所取出的硬幣A放在一旁,將其余100枚硬幣分放在天平兩端:A是真幣;20】n盞有拉線開關(guān)的燈亮著,規(guī)定每次拉動(n1個開關(guān),能否把所有的燈都關(guān)上?請證【分析】當n為奇數(shù)時,因為要關(guān)上一盞燈,必須經(jīng)過奇數(shù)次拉動它的開關(guān)。因為nn個奇數(shù)的和為奇數(shù)。因為規(guī)定每次拉動(n1(n1是偶數(shù);所以按規(guī)定拉動開關(guān)的總次數(shù)一定是偶數(shù)。因為奇數(shù)偶數(shù);所以,當n為奇數(shù)時,不能按規(guī)定將所有燈都關(guān)上。n為偶數(shù)時,設(shè)燈的編號為12、3、……、n第1次,1號燈不動,拉動其余開關(guān);第22第33號燈不動,拉動其余開關(guān);……第nn號燈不動,拉動其余開關(guān)。【例21】“好運”運動會有21個國家組團參加,將這些國家分別記為A1,A2,……,A20,A21它們各自的代表團的人數(shù)依次是30,29,……,11,10,每團中都有一個團長。開幕式上要求最后。入場時,按先后順序給每個人依次編號為1,23419,420(10 2930103021 —A20—A21,則有多少個團長的號碼是奇數(shù)(2)如果不規(guī)定各代表團的入場順序,那么最多可以有多少個團長的號碼為奇數(shù)?【分析(1根據(jù)編號標準各團長的號碼分別是:30,3029,302928,……,302928 10,于是知道在21A2A3A6A7A18A19。2510(2)依題述的入場方式,我們要將3029,……,11,10使前12321個數(shù)之和這21個結(jié)果中的奇數(shù)最多或最少。而10~30中共有10個奇數(shù),所以相鄰兩結(jié)果中奇偶性不同的共有10一個和最多出現(xiàn)在上述的兩個對中,故至少有1025也至少有1025521516最少有5個團長的號碼為奇數(shù),于是最多有21516
1所以前1000個數(shù)中 21667個奇數(shù) 有3個不同的自然數(shù)組成一等式:□+△+○=□△-○,這三個數(shù)中最多有多少個奇數(shù)【分析】因為有241241如果這三個數(shù)中有2個奇數(shù)和1個偶數(shù),那么等式左邊必為偶數(shù),等式右邊必為奇數(shù),不可能。 02 23 你能不能將自然數(shù)1到9分別填入33的方格中,使得每個橫行中的三個數(shù)之和都是偶數(shù)而它也恰是九個數(shù)之和,即123 945, 能否將1~16這16個自然數(shù)填入44的方格表中(每個小方格只填一個數(shù),使得各行之及各列之和恰好是8將所有的行和與列和相加,所得之和為44的方格表中所有數(shù)之和的2倍。即為(123 1516)21617。而8個連續(xù)的自然數(shù)之和設(shè)為:44的方格表中各行之和及各列之和恰好是8個連續(xù)的自然數(shù),應(yīng)有8k281617即2k7417,顯然左端為奇數(shù),右端為偶數(shù),得出【補充1】如果把10000個3的冪(其指數(shù)都是自然數(shù))全部相加起來,那么總和能等于3333【分析】不可能.因為3的冪都是奇數(shù),而10000個奇數(shù)的總和是偶數(shù),不可能等于3333【補充22009個珠子,給每一珠子染兩次顏色,或兩次全紅,或兩次全藍,或一次紅、一設(shè)第一次染m個珠子為紅色,第二次必然還僅染這m個珠子為紅色.則染紅色次數(shù)為2m2m2009為奇數(shù),偶數(shù)奇數(shù),所以假設(shè)不成立?!狙a充3】國際象棋比賽的獎金總數(shù)為10000元,發(fā)給前五名.每一名的獎金都不一樣,名次的錢數(shù) 32個第三名就相當于五人總獎金數(shù)10000為偶數(shù)且大于1000015
()2200【補充4】用代表整數(shù)的字母a、b、c、d寫成等式組:abcda2003,abcdb2005,abcdc2007abcdd2009。試說明:符合條件的整數(shù)a、b、c、d是否abcd12003bacd12005c(abd1)2007,d(abc1)因為 、 、2007、2009均為奇數(shù);所以,整數(shù)a、b、c、d均為奇數(shù)所以abcdabcdaabcdb、abcdcabcdd均為偶數(shù)。因為偶數(shù)奇數(shù);所以,等式不成立。所以不存在符合條件的整數(shù)a、b、c、d【補充
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