22-1函數(shù)的極限定義、性質

x的變化趨勢有:自變量的變化過程5/25/20231福州大學數(shù)學與計算機學院一、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限問題:5/25/20232福州大學數(shù)學與計算機學院1.xx0時f(x)的極限定義若存在常數(shù)A,對任意給定的正數(shù)>0,總存在正數(shù)>0,只要f的定義域中的點x滿足0<|xx0|<時，恒有|f(x)A|<成立，則稱常數(shù)

A是函數(shù)f(x)

當xx0時的極限,簡稱A是f(x)在

x0處的極限.5/25/20233福州大學數(shù)學與計算機學院幾何意義5/25/20234福州大學數(shù)學與計算機學院說明5/25/20235福州大學數(shù)學與計算機學院例1證5/25/20236福州大學數(shù)學與計算機學院例2證函數(shù)在點x=1處沒有定義.5/25/20237福州大學數(shù)學與計算機學院例3證5/25/20238福州大學數(shù)學與計算機學院例4證5/25/20239福州大學數(shù)學與計算機學院用定義證明的過程：1.把|f(x)A|化簡為|f(x)A|k|xx0|;2.要|f(x)A|,只要k|xx0|;4.驗證.5/25/202310福州大學數(shù)學與計算機學院幾何意義5/25/202311福州大學數(shù)學與計算機學院性質11.極限的局部保序性、保號性二、函數(shù)極限的性質5/25/202312福州大學數(shù)學與計算機學院證上兩式同時成立,5/25/202313福州大學數(shù)學與計算機學院性質2(保序性)推論(不等式性質)證明:反設A>B,則由定理3,5/25/202314福州大學數(shù)學與計算機學院性質3(局部保號性)5/25/202315福州大學數(shù)學與計算機學院性質35/25/202316福州大學數(shù)學與計算機學院性質4若極限(或)存在，則極限是惟一的.2.極限的惟一性5/25/202317福州大學數(shù)學與計算機學院證不妨設AB,由定義,對故極限若存在則必唯一.5/25/202318福州大學數(shù)學與計算機學院性質6性質63.有極限的函數(shù)的局部有界性5/25/202319福州大學數(shù)學與計算機學院4.函數(shù)極限的歸并性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系)定義性質7利用函數(shù)極限的歸并性,我們可以利用數(shù)列極限的結論來推導函數(shù)極限的類似結論.5/25/202320福州大學數(shù)學與計算機學院證:必要性5/25/202321福州大學數(shù)學與計算機學院……………充分性5/25/202322福州大學數(shù)學與計算機學院于是,可得一數(shù)列{xn→x0},xn≠x0,而右邊一列則說明數(shù)列{f(xn)}不以A為極限,此與假設矛盾.充分性得證.函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.定理給出了函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系:5/25/202323福州大學數(shù)學與計算機學院例如,5/25/202324福州大學數(shù)學與計算機學院判別極限不存在的一個方法5/25/202325福州大學數(shù)學與計算機學院例1證5/25/202326福州大學數(shù)學與計算機學院二者不相等,5/25/202327福州大學數(shù)學與計算機學院準則I稱為夾逼準則.性質5.收斂準則Ⅰ5.極限收斂準則5/25/202328福州大學數(shù)學與計算機學院證利用數(shù)列極限的存在準則得:由函數(shù)極限的歸并性,就證明了函數(shù)極限:5/25/202329福州大學數(shù)學與計算機學院例15/25/202330福州大學數(shù)學與計算機學院極限的運算法則

1.極限運算法則定理5/25/202331福州大學數(shù)學與計算機學院證利用數(shù)列極限的四則運算法制則得:從而就證明了函數(shù)極限的四則運算法則.5/25/202332福州大學數(shù)學與計算機學院推論1即：常數(shù)因子可以提到極限記號外面.極限運算的線性性質：極限運算的線性性質可推廣到有限個函數(shù)的情形.5/25/202333福州大學數(shù)學與計算機學院推論2有限個函數(shù)乘積的極限等于各函數(shù)極限的乘積.推論35/25/202334福州大學數(shù)學與計算機學院2.求極限方法舉例例1解5/25/202335福州大學數(shù)學與計算機學院小結:5/25/202336福州大學數(shù)學與計算機學院解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關系,得例25/25/202337福州大學數(shù)學與計算機學院解例3(消去零因子法)5/25/202338福州大學數(shù)學與計算機學院例4解5/25/202339福州大