第六章靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算演示文稿

第六章靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算演示文稿目前一頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)優(yōu)選第六章靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算目前二頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-1概述一、結(jié)構(gòu)的位移結(jié)構(gòu)的位移

指結(jié)構(gòu)上的某一截面在荷載或其它因素作用下由某一位置移動(dòng)到另一位置，這個(gè)移動(dòng)的量就稱為該截面的位移（線位移和角位移）。思考：變形與位移的差別？變形：結(jié)構(gòu)在外部因素作用下發(fā)生的形狀的變化。兩者之間的關(guān)系：有變形必有位移；有位移不一定有變形。目前三頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-1概述2.位移的分類AFA′A△Ay△Ax△A□位移角位移線位移A點(diǎn)線位移A點(diǎn)水平位移A點(diǎn)豎向位移A截面轉(zhuǎn)角目前四頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-1概述絕對(duì)位移相對(duì)位移PABCDC′D′△C△DC、D兩點(diǎn)的水平相對(duì)線位移(D)H

=C+D

A、B兩個(gè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角AB=A+B

目前五頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-1概述截面C、D的相對(duì)豎向線位移為:截面C、D的相對(duì)角位移為:

目前六頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-1概述3.位移產(chǎn)生的原因AFA′A△Ay△Ax△A□引起結(jié)構(gòu)位移的原因制造誤差等荷載溫度改變支座移動(dòng)還有什么原因會(huì)使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生位移?目前七頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-1概述鐵路工程技術(shù)規(guī)范規(guī)定:

二、計(jì)算位移的目的1、校核結(jié)構(gòu)剛度在工程上，吊車梁允許的撓度<1/600跨度；橋梁在豎向靜活載下，簡(jiǎn)支鋼桁梁最大撓度1/900跨度高層建筑的最大位移<1/1000高度。最大層間位移<1/800層高。目前八頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-1概述2、超靜定結(jié)構(gòu)、動(dòng)力和穩(wěn)定計(jì)算的基礎(chǔ)3、施工要求超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力不能僅由平衡條件確定，分析時(shí)必須考慮變形條件，因而需要計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移。在結(jié)構(gòu)的施工過(guò)程中，常需預(yù)先知道結(jié)構(gòu)變形后的位置，以便采取一定的施工措施，使結(jié)構(gòu)物符合設(shè)計(jì)圖紙的要求。目前九頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-1概述(3)理想聯(lián)結(jié)三、本章位移計(jì)算的假定疊加原理適用(1)線彈性(2)小變形本章只討論應(yīng)用虛功原理求解結(jié)構(gòu)位移。2.功能法虛功原理、應(yīng)變能(卡氏定理)研究變形和位移的幾何關(guān)系，用求解微分方程式的辦法求出某截面的位移（材料力學(xué)用過(guò)，但對(duì)復(fù)雜的桿系不適用）。1.幾何法

四、計(jì)算方法目前十頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-2變形體系的虛功原理一、基本概念實(shí)功：

力在其本身引起的位移上所作的功。位移Δ是由外力F引起的，F(xiàn)做的功可表示為:1.外力的實(shí)功實(shí)功的數(shù)值就等于圖上三角形OAB的面積。所以

目前十一頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-2變形體系的虛功原理2.外力的虛功虛功：力在其它原因引起的位移上所作的功，即做功的力系和相應(yīng)的位移是彼此獨(dú)立無(wú)關(guān)的。虛功的數(shù)值是位移曲線所圍的矩形面積。虛功中的力與位移兩者相互獨(dú)立。目前十二頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-2變形體系的虛功原理力F1在力F2引起的位移Δ12上作的功為虛功為例F1力在其引起的位移Δ11上作的功為實(shí)功為

目前十三頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-2變形體系的虛功原理——結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的各種位移，包括截面的線位移、角位移、相對(duì)線位移、相對(duì)角位移或者是一組位移等等都可泛稱為廣義位移。3.廣義位移和廣義力廣義位移

——與廣義位移對(duì)應(yīng)的就是廣義力，可以是一個(gè)集中力，集中力偶或一對(duì)大小相等方向相反的力或力偶，也可以是一組力系。注意：廣義位移與廣義力的對(duì)應(yīng)關(guān)系，能夠在某一組廣義位移上做功的力系，才稱為與這組廣義位移對(duì)應(yīng)的廣義力。

廣義力目前十四頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-2變形體系的虛功原理4.內(nèi)力功

定義：從桿上截取一微段,作用在該微段上的內(nèi)力在該微段的變形上做的功定義為該內(nèi)力做的功。該微段上相應(yīng)的變形為軸向變形剪力變形彎曲變形目前十五頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-2變形體系的虛功原理

如果變形就是由此內(nèi)力引起的，則此微段上內(nèi)力功應(yīng)為實(shí)功，其為軸力、剪力和彎矩分別做的功之和：因?yàn)橛珊硕捎校?/p>

故實(shí)功數(shù)值上就等于微段的應(yīng)變能。

所以內(nèi)力實(shí)功目前十六頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-2變形體系的虛功原理若變形與內(nèi)力彼此無(wú)關(guān)，則此微段上的內(nèi)力功是虛功，其為對(duì)于整根桿的內(nèi)力虛功，則可對(duì)整根桿積分求得：原因而定。,和的具體表達(dá)式要視引起這個(gè)變形的具體內(nèi)力虛功目前十七頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-2變形體系的虛功原理回顧（1）質(zhì)點(diǎn)系的虛功原理具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在某一位置處于平衡的必要和充分條件是：Σfiδri=0→→.對(duì)于任何可能的虛位移，作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力所做虛功之和為零。也即目前十八頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-2變形體系的虛功原理（2）剛體系的虛功原理

去掉約束而代以相應(yīng)的反力，該反力便可看成外力。則有：剛體系處于平衡的必要和充分條件是：對(duì)于任何可能的虛位移，作用于剛體系的所有外力所做虛功之和為零。FPΔPΔB-FPΔP+FB

ΔB=0目前十九頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-2變形體系的虛功原理二、虛功原理

1.變形體系的虛功原理

設(shè)一變形體在外力系作用下處于平衡狀態(tài)。當(dāng)變形體由于其他原因產(chǎn)生一符合約束條件的微小連續(xù)位移時(shí)，則外力系在位移上做的虛功的總和W，等于變形體的內(nèi)力在變形上做的虛功的總和Wv，即:——這就是虛功方程。

（證明略）需注意：⑴外力系必須是平衡力系，物體處于平衡狀態(tài)；目前二十頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-2變形體系的虛功原理⑵位移必須滿足虛位移的條件——滿足約束條件的非常微小的連續(xù)位移；⑶外力與位移兩者之間是相互獨(dú)立沒(méi)有關(guān)聯(lián)的。平衡的外力系與相應(yīng)的內(nèi)力是力狀態(tài)；符合約束條件的微小位移與相應(yīng)的變形是位移狀態(tài)。力狀態(tài)的外力在位移狀態(tài)的位移上做功之和(外力虛功)等于力狀態(tài)的內(nèi)力在位移狀態(tài)的變形上做功之和(內(nèi)力虛功)。⑷對(duì)于兩個(gè)相互無(wú)關(guān)的力狀態(tài)和位移狀態(tài)的，可以虛設(shè)其中一個(gè)狀態(tài)，讓另一實(shí)際狀態(tài)在此虛設(shè)狀態(tài)下做功，列出虛功方程，可以求解不同的問(wèn)題。

目前二十一頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-2變形體系的虛功原理解釋：兩種狀態(tài)力狀態(tài)位移狀態(tài)FPFP/2FP/2（虛）力狀態(tài)（虛力狀態(tài)）（虛位移狀態(tài)）無(wú)關(guān)（虛）位移狀態(tài)q注意：（3）位移狀態(tài)與力狀態(tài)完全無(wú)關(guān)。（2）均為可能狀態(tài)。即位移應(yīng)滿足變形協(xié)調(diào)條件,力狀態(tài)應(yīng)滿足平衡條件；（1）屬同一體系；目前二十二頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-2變形體系的虛功原理2.桿系結(jié)構(gòu)虛功方程以上結(jié)論與材料物理性質(zhì)及具體結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān)，因此，虛功原理虛功方程既適用于一切線性結(jié)構(gòu)，也適用于一切非線性結(jié)構(gòu)。目前二十三頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-2變形體系的虛功原理虛位移原理令實(shí)際的力狀態(tài)在虛設(shè)的位移狀態(tài)下做功所建立的虛功方程表達(dá)的是力的平衡條件，從中可以求出實(shí)際力系中的未知力。這就是虛位移原理。虛力原理

令虛設(shè)的平衡力系在實(shí)際的位移狀態(tài)下做功所建立虛功方程表達(dá)的是位移協(xié)調(diào)條件，從中可求出位移狀態(tài)中的一些未知位移。這就是虛力原理。3.虛功原理的兩種應(yīng)用目前二十四頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-2變形體系的虛功原理

注意:

虛位移原理寫出的虛功方程是一個(gè)平衡方程式，可用于求解平衡力系中的未知力。例：應(yīng)用虛位移原理求支座C的反力FC。即故撤除與FC相應(yīng)的約束,將FC變成主動(dòng)力，取與FC正向一致的剛體位移作為虛位移。列出虛功方程：目前二十五頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-2變形體系的虛功原理

注意：虛力原理寫出的虛功方程是一個(gè)幾何方程，可用于求解幾何問(wèn)題。例：當(dāng)A支座向上移動(dòng)一個(gè)已知位移c1，求點(diǎn)B產(chǎn)生的豎向位移⊿。在擬求線位移的方向加單位力由平衡條件令虛設(shè)的平衡力系在實(shí)際的位移狀態(tài)下做功，得虛功方程求得與單位力方向相同。目前二十六頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-3位移計(jì)算的一般公式單位荷載法一、位移計(jì)算的一般公式設(shè)平面桿系結(jié)構(gòu)由于荷載、溫度變化及支座移動(dòng)等因素引起位移如圖示。F2F1KkkK′△K利用虛功原理計(jì)算c1c2c3kkFK=1實(shí)際狀態(tài)－位移狀態(tài)c1、c2、c3、△Kdu、d、dsds虛擬狀態(tài)－力狀態(tài)dsK外力虛功W==內(nèi)力虛功Wv=得求任一指定截面K沿任一指定方向k-k上的位移△K。(6－5)t1t2(6－5)利用虛功原理，另虛設(shè)一個(gè)力狀態(tài)，要使虛擬力的虛功正好等于所求位移（FK=1）

,這便是平面桿系結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式.若計(jì)算結(jié)果為正，所求位移△K與假設(shè)的FK=1同向，反之反向。這種方法又稱為單位荷載法。目前二十七頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-3位移計(jì)算的一般公式單位荷載法幾點(diǎn)說(shuō)明：(1)所建立的虛功方程，實(shí)質(zhì)上是幾何方程；(2)虛設(shè)的力狀態(tài)與實(shí)際位移狀態(tài)無(wú)關(guān)，故可設(shè)單位廣義力F=1；(3)求解時(shí)關(guān)鍵一步是找出虛力狀態(tài)的靜力平衡關(guān)系。特點(diǎn):是用靜力平衡法來(lái)解幾何問(wèn)題。單位位移法的虛功方程平衡方程單位荷載法的虛功方程幾何方程總的來(lái)講：目前二十八頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-3位移計(jì)算的一般公式單位荷載法2.結(jié)構(gòu)類型：梁、剛架、桁架、拱、組合結(jié)構(gòu)；靜定和超靜定結(jié)構(gòu)；1.位移原因：荷載、溫度改變、支座移動(dòng)等；3.材料性質(zhì)：線性、非線性；4.變形類型：彎曲變形、拉(壓)變形、剪切變形；5.位移種類：線位移、角位移；相對(duì)線位移和相對(duì)角位移。位移計(jì)算一般公式的普遍性表現(xiàn)在：目前二十九頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)在應(yīng)用單位荷載法計(jì)算時(shí)，應(yīng)據(jù)所求位移不同，設(shè)置相應(yīng)的虛擬力狀態(tài)。例如:A求△AH實(shí)際狀態(tài)虛擬狀態(tài)A1A求A1虛擬狀態(tài)AA虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài)B求△AB11B求AB11廣義力與廣義位移l1/l1/l求AB兩點(diǎn)連線的轉(zhuǎn)角§6-3位移計(jì)算的一般公式單位荷載法目前三十頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-3位移計(jì)算的一般公式單位荷載法AB(g)F=1F=1C(h)左右=？F=1F=1目前三十一頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-3位移計(jì)算的一般公式單位荷載法ABCdABC目前三十二頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-4靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算

當(dāng)結(jié)構(gòu)只受到荷載作用時(shí)，求圖a所示結(jié)構(gòu)K點(diǎn)豎向位移△KP，此時(shí)沒(méi)有支座位移，虛擬狀態(tài)如圖b所示。故式（6-5）為（a）為虛擬狀態(tài)中微段上的內(nèi)力；duP、dP、Pds為實(shí)際狀態(tài)中微段上的變形。由材料力學(xué)知識(shí)得：式中：將以上諸式代入式（a）得（6-6）這就是平面桿件結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算公式。目前三十三頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)（6-6）——單位力狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的軸力、剪力和矩方程式?！?/p>

實(shí)際荷載引起結(jié)構(gòu)的軸力、剪力和彎矩方程式。E、G

——材料的彈性模量和切變模量.

A、I

——桿件的橫截面面積和橫截面慣性矩.

——剪力在截面上分布的不均勻系數(shù)，對(duì)于矩形截面μ=1.2。

k

對(duì)于直桿，則可用dx代替ds。計(jì)算位移的公式為§6-4靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算目前三十四頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)（1）梁、剛架：只考慮彎矩Mp引起的位移。

（2）桁架：只有軸力。

桁架各桿均為等截面直桿則公式（6-6）簡(jiǎn)化：§6-4靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算目前三十五頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)

拱壩一類的厚度較大的拱形結(jié)構(gòu)，其剪力也是不能忽略的。所以計(jì)算拱壩時(shí)，軸力、剪力和彎矩三項(xiàng)因素都須要考慮進(jìn)去。(4)

跨度較大的薄拱，其軸力和彎矩的影響相當(dāng)，剪力的影響不計(jì)，位移計(jì)算公式為（3）組合結(jié)構(gòu)§6-4靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算目前三十六頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)例6-1求圖示剛架A點(diǎn)的豎向位移△Ay。E、A、I為常數(shù)。ABCqLLA’實(shí)際狀態(tài)虛擬狀態(tài)ABC1解：設(shè)置虛擬狀態(tài)如圖xx選取坐標(biāo)如圖。xx（1）虛擬狀態(tài)中，各桿內(nèi)力為AB段：BC段：（2）實(shí)際狀態(tài)中，各桿內(nèi)力為AB段：BC段：（3）代入位移計(jì)算公式§6-4靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算目前三十七頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)（4）討論上式中：第一項(xiàng)為彎矩的影響，第二、三項(xiàng)分別為軸力、剪力的影響。設(shè)：桿件截面為矩形，寬度為b、高度為h，A=bh，I=bh3/12，k=6/5截面高度與桿長(zhǎng)之比h/l愈大，軸力和剪力影響所占比重愈大。當(dāng)h/l=1/10，G=0.4E時(shí)，計(jì)算得此時(shí)軸力和剪力的影響不大，可以略去?！?-4靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算目前三十八頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)例6-2試求圖a所示等截面圓弧曲梁B點(diǎn)的水平位移△Bx。設(shè)梁的截面厚度遠(yuǎn)小于其半徑R。解：近似采用直桿的位移計(jì)算公式，只考慮彎矩影響。實(shí)際狀態(tài)中的截面彎矩為虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài)如圖b，截面彎矩為代入位移計(jì)算公式，可得§6-4靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算目前三十九頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-4靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算例6-3試求圖a所示對(duì)稱桁架結(jié)點(diǎn)D的豎向位移△D。圖中右半部各括號(hào)內(nèi)數(shù)值為桿件的截面面積A（×10-4m2），

E=210GPa。解：實(shí)際狀態(tài)各桿內(nèi)力如圖a（左半部）。虛擬狀態(tài)各桿內(nèi)力如圖b（左半部）。注意桁架桿件軸力是正對(duì)稱的目前四十頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-5圖乘法

在桿件數(shù)量多的情況下,不方便。下面介紹計(jì)算位移的圖乘法。1.靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算；2.利用位移計(jì)算公式求靜定結(jié)構(gòu)的位移；3.剛架與梁在荷載作用下的位移計(jì)算公式（受彎構(gòu)件）,即:已有基礎(chǔ)：目前四十一頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-5圖乘法若EI是常數(shù)就可提到積分號(hào)的外面,上式積分式就變?yōu)?

若和中有一個(gè)是直線圖,如圖所示:則上式積分式為:

是常數(shù),可提到積分號(hào)的外面xy0abM圖aMP圖bxM一、圖乘法dAwdx1、圖乘法位移計(jì)算公式推導(dǎo)目前四十二頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-5圖乘法xcycC形心dAwdxxy0abM圖aMP圖bxM是圖對(duì)y軸的靜矩,可寫成:有:

其中:則得圖乘法求位移公式：其中:-是圖的面積

-是圖的形心到y(tǒng)軸的距離

-是圖形心位置所對(duì)應(yīng)的圖中的豎標(biāo)

圖乘法的適用條件是什么?目前四十三頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)例.試求圖示梁B端轉(zhuǎn)角。解:MP彎矩圖在桿件同側(cè)圖乘結(jié)果為正§6-5圖乘法目前四十四頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-5圖乘法2、圖乘法應(yīng)用小結(jié)（1）圖乘法的應(yīng)用條件:a.桿件的EI是常數(shù)；b.桿件是直桿；的圖形至少有一個(gè)是直線圖形。

c.（2）形心的縱距yc需取自直線圖形；（3）正、負(fù)號(hào)規(guī)定：兩個(gè)內(nèi)力圖在基線同側(cè)時(shí)，乘積為正；異側(cè)為負(fù);（4）如圖形較復(fù)雜，可分解為簡(jiǎn)單圖形。目前四十五頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-5圖乘法二、幾種常見(jiàn)圖形的面積和形心位置

h

(a+l)/3

(b+l)/3

2hl=A

a

b

h

l/3

2hl=A

(a)三角形

(b)三角形

h

32hl=A

(c)二次拋物線

l/2

l/2

頂點(diǎn)

頂點(diǎn)

3l/8

32hl=A

(d)二次拋物線

h

h

l/4

3l/4

頂點(diǎn)

3hl=A(e)二次拋物線

h

l/5

4l/5

頂點(diǎn)

4hl=A(f)三次拋物線

2l/3

l

l

5l/8

(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次拋物線A=hl/(n+1)頂點(diǎn)頂點(diǎn)：指切線與底邊平行的點(diǎn)。目前四十六頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-5圖乘法三、應(yīng)用圖乘法時(shí)的圖形分解1、直線圖形乘直線圖形對(duì)于兩個(gè)圖形都是梯形的情況（同側(cè)）目前四十七頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-5圖乘法對(duì)于兩個(gè)圖形都是梯形的情況（異側(cè)）ABCDabcd圖圖MP1MP2目前四十八頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-5圖乘法M1M2M1M2y1y3y2M2M1＋＋×A1A2××A3

2、復(fù)雜拋物線乘直線圖形目前四十九頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-5圖乘法3、當(dāng)yC所屬圖形是由若干段直線組成時(shí)，或各桿段的截面不相等時(shí)，均應(yīng)分段相乘，然后疊加。A1A2A3y1y2y3A1A2A3y1y2y3△=(A1y1+A

2y2+A

3y3)I1I2I3△=目前五十頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-5圖乘法

例6-4求下圖所示剛架C、D兩點(diǎn)間距離的改變。設(shè)EI=常數(shù)。ABCDlhq解：1.作實(shí)際狀態(tài)的MP圖。MP圖2.設(shè)置虛擬狀態(tài)并作。11hhyC=h3.按式（6-10）計(jì)算（→←）?CD=∑EIAyC=EI1(328ql2l)h=12EIqhl3形心目前五十一頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-5圖乘法例6-5

求圖示剛架A點(diǎn)的豎向位移△Ay。ABCDEIEI2EIPLLL/2解：1.作MP圖、PPLMP圖1L；2.圖乘計(jì)算?！鰽y=（↓）∑EIAyC=EI1(2L?L2PL(L?4=16EIPL3)-2EI123L)PL目前五十二頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-5圖乘法例已知EI為常數(shù)，求鉸C兩側(cè)截面相對(duì)轉(zhuǎn)角。解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖lqllqMP目前五十三頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-5圖乘法例6-6試求圖a所示外伸梁C點(diǎn)的豎向位移△Cy，梁的EI=常數(shù)。解：實(shí)際狀態(tài)彎矩圖如圖b所示。虛擬狀態(tài)彎矩圖如圖c所示。將AB段的彎矩圖分解為一個(gè)三角形和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線圖形。由圖乘法得目前五十四頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-5圖乘法例6-7圖a為一組合結(jié)構(gòu)，試求D點(diǎn)的豎向位移△Dy。解：實(shí)際狀態(tài)FNP、MP如圖b所示。虛擬狀態(tài)FN、M如圖c所示。1目前五十五頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-5圖乘法例計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)A點(diǎn)豎向位移。目前五十六頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-5圖乘法例計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)C點(diǎn)豎向位移。目前五十七頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)

例圖示梁EI為常數(shù)，求C點(diǎn)豎向位移。l/2ql/2MP§6-5圖乘法目前五十八頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)l/2ql/2MP§6-5圖乘法目前五十九頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)l/2ql/2MP§6-5圖乘法目前六十頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-6靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)受到溫度改變的影響時(shí)，發(fā)生滿足約束允許的變形和位移，為零內(nèi)力狀態(tài)。

1、每根桿受的溫度是均勻作用的，即每桿上各截面的溫度是相同的。2、桿件的兩側(cè)的溫度可以是不同的，但從高溫一側(cè)到低溫一側(cè)溫度是按直線變化的。3、由于假定溫度沿桿長(zhǎng)均勻分布,不可能出現(xiàn)剪切變形,只有軸向變形dut和截面轉(zhuǎn)角dφt。一、計(jì)算假定

因此，截面上材料的應(yīng)變沿高度也呈線性變化，桿件由于溫度變化變形后截面假定仍然為平面。目前六十一頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-6靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算當(dāng)靜定結(jié)構(gòu)溫度發(fā)生變化時(shí)，由于材料熱脹冷縮，結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生變形和位移。設(shè)圖示結(jié)構(gòu)外側(cè)溫度升高t1，內(nèi)側(cè)溫度升高t2,求K點(diǎn)的豎向位移△Kt?，F(xiàn)研究實(shí)際狀態(tài)中任一微段ds,由于溫度變化產(chǎn)生的變形。t1t2K△Ktdsdsht1t2t2dst1dsdtKdsFK=1ds實(shí)虛(c)K’K`桿件的截面對(duì)稱于形心軸，即:h1=h2=h/2,則:t=(t1+t2)/2溫度變化不會(huì)引起剪切變形，即t=0將式（b)、(c)代入式（a），得△Kt=（6-11）二、計(jì)算公式h2h1t目前六十二頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-6靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算若各桿均為等截面時(shí)，則有（6-12）正負(fù)號(hào)規(guī)定：正負(fù)符號(hào)取決于虛功是正功還是負(fù)功。當(dāng)實(shí)際溫度變形與虛擬內(nèi)力方向一致時(shí)其乘積為正，相反時(shí)為負(fù)。對(duì)于桁架△Kt=桁架因制造誤差引起的位移計(jì)算與上式類似，為：△K=△Kt=（6-11）溫度變化以升溫為正，軸力以拉力為正；彎矩M以使t2邊受拉為正。目前六十三頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-6靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算

例6-8圖示剛架施工時(shí)溫度為20℃，求冬季外側(cè)溫度為－10℃，內(nèi)側(cè)溫度為0℃時(shí)A點(diǎn)的豎向位移△Ay。已知L=4m，=10－5，各桿均為矩形截面，高度h=0.4m。解：虛擬狀態(tài)如圖b，軸力圖、彎矩圖如圖c、d。外側(cè)溫度變化為t1，t1=-30℃，內(nèi)側(cè)溫度變化為t2=-20℃

。目前六十四頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-7靜定結(jié)構(gòu)支座移動(dòng)時(shí)的位移計(jì)算圖a所示靜定結(jié)構(gòu)，其支座發(fā)生了水平位移c1、豎向沉陷c2和轉(zhuǎn)角c3，現(xiàn)要求K點(diǎn)的豎向移△Kc。由平面桿件結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式：對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)，支座移動(dòng)不引起內(nèi)力，材料不變形，此時(shí)結(jié)構(gòu)的位移屬剛體位移。因此du、dφ和γds為零，上式簡(jiǎn)化為:為虛擬狀態(tài)的支座反力,與c方向一致時(shí)其乘積取正。

負(fù)號(hào)系原來(lái)移項(xiàng)所得，不可漏掉！目前六十五頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-7靜定結(jié)構(gòu)支座移動(dòng)時(shí)的位移計(jì)算例6-9圖示剛架右邊支座的豎向位移ΔBy=0.06m(向下)，水平位移ΔBx=0.04m(向右)，已知l=12m，h=8m。試求由此引起的A端轉(zhuǎn)角φA解：虛擬狀態(tài)及支座反力計(jì)算結(jié)果如上圖：()目前六十六頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-8線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理1.功的互等定理W12—第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)相應(yīng)的位移上作的虛功Wi12—第一狀態(tài)的內(nèi)力在第二狀態(tài)相應(yīng)的變形上作的虛功同理可得可得或功的互等定理：第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所作的虛功，等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所作的虛功。目前六十七頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-8線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理2.位移互等定理設(shè)：F1=1，F(xiàn)2=1，由功的互等定理可得單位力引起的位移用小寫字母δ12和δ21表示上式改寫為位移互等定理：第二個(gè)單位力所引起的第一個(gè)單位力作用點(diǎn)沿其方向的位移，等于第一個(gè)單位力所引起的第二個(gè)單位力作用點(diǎn)沿其方向的位移

。目前六十八頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-8線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理單位力可以是廣義單位力，位移即是相應(yīng)的廣義位移。如圖a、b。根據(jù)位移互等定理，應(yīng)有由材料力學(xué)注意：F=1、M=1的量綱為1，含義不同，但此時(shí)二者在數(shù)值上是相等的，量綱也相同。目前六十九頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-8線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理3、反力互等定理圖a表示支座1發(fā)生單位位移的狀態(tài)，此時(shí)支座2產(chǎn)生的反力為r21。圖b表示支座2發(fā)生單位位移的狀態(tài)，此時(shí)支座1產(chǎn)生的反力為r12。由功的互等定理可得反力互等定理：支座1發(fā)生單位位移所引起的支座2的反力，等于支座2發(fā)生單位位移所引起的支座1的反力。目前七十頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-8線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理注意：反力互等定理也適用于其他廣義力的互等。

例：

r12

是反力矩，

r21是反力，兩者互等只是數(shù)值上互等。

12112r2121φ=1r目前七十一頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)§6-8線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理4、反力位移互等定理圖a表示F2=1作用時(shí)，支座1的反力偶為r12，方向如圖。圖b表示支座1順r12方向發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時(shí)，F(xiàn)2作用點(diǎn)沿其方向的位移為δ21。由功的互等定理可得反力位移互等定理：?jiǎn)挝涣λ鸬慕Y(jié)構(gòu)某支座反力，等于該支座發(fā)生單位位移時(shí)所引起的單位力作用點(diǎn)沿其方向的位移，符號(hào)相反。δ2112φ1＝1F2＝1r1212（a）

（b）

目前七十二頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)Pl/2l/23Pl/16CA①θΔC②已知圖①結(jié)構(gòu)的彎矩圖求同一結(jié)構(gòu)②由于支座A的轉(zhuǎn)動(dòng)引起C點(diǎn)的撓度。解：W12=W21∵W21=0∴W12=PΔC－3Pl/16×θ＝0ΔC=3lθ/16圖示同一結(jié)構(gòu)的兩種狀態(tài)，求Δ=？P=1①②m=1m=1ABΔ=θA+θBθBθAΔ目前七十三頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)已知圖a梁支座C上升0.02m引起的ΔD=0.03m/16，試?yán)L圖b的M圖。PRc(b)aa/2a/2ABCDΔD0.02m(a)W12=0=W21=P·ΔD+RC·ΔCRC=－3P/323Pa/32目前七十四頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)

小結(jié)

本章討論了虛功原理以及應(yīng)用虛功原理來(lái)求解結(jié)構(gòu)的位移。虛功原理又分為虛位移原理和虛力原理，它們都是虛功原理的具體應(yīng)用。前者用于求內(nèi)力和反力，后者用于求位移。在應(yīng)用虛功原理時(shí)要涉及兩個(gè)量：力系和位移。這兩者是彼此無(wú)關(guān)的，但卻需滿足一定的條件。力系必須是平衡的；位移必須是符合約束條件的、無(wú)限小的連續(xù)位移。由于力與位移兩者彼此無(wú)關(guān)，因此可以虛設(shè)一組力系(虛力原理)，讓它在實(shí)際的結(jié)構(gòu)位移上做功,列出虛功方程，從中求出未知位移。這就是虛力原理表達(dá)的虛功方程。也就是位移計(jì)算的一般公式最基本的形式。目前七十五頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于七點(diǎn)位移和變形()是結(jié)構(gòu)在給定條件下所具有的.是實(shí)際的位移狀態(tài)。力系()則是虛設(shè)的。虛擬力系的設(shè)置應(yīng)當(dāng)根據(jù)所求位移來(lái)相應(yīng)的設(shè)置，并根據(jù)需要求出其相應(yīng)的反力和內(nèi)力。變形()是泛指的，若是荷載引起的則導(dǎo)出公式(6-6）。若是溫度引起的，則代入公式即導(dǎo)出溫度變化引起的位移計(jì)算公式(6-12)。若計(jì)算支座移動(dòng)引起的位移，則因靜定結(jié)構(gòu)因支座位移不會(huì)