單輸入單輸出系統(tǒng)的時域分析

單輸入單輸出系統(tǒng)的時域分析第一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五2.1.1數(shù)學(xué)模型的求解方法1.時域分析2.變換域分析

傅里葉變換——FT拉普拉斯變換——LTz

變換——ZT離散傅里葉變換——DFT離散沃爾什變換——DWTl●卷積積分（或卷積和）法2.1.概述2第二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五2.1.2幾個重要的概念：

1、自由響應(yīng)2、強(qiáng)制響應(yīng)3、零輸入響應(yīng)4、零狀態(tài)響應(yīng)5、全響應(yīng)系統(tǒng)全響應(yīng)=自由響應(yīng)+強(qiáng)制響應(yīng)

=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)

3第三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五2.1.3.連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng)的比較連續(xù)時間系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)微分方程差分方程數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)函數(shù)H(z)經(jīng)典法卷積積分法時域分析經(jīng)典法卷積求和法拉普拉斯變換傅里葉變換變換域分析z變換離散傅里葉變換頻響特性4第四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五2.2.連續(xù)系統(tǒng)的時域分析

見書上P24～30。由于該部分內(nèi)容已在高等數(shù)學(xué)與電路原理課程中作過較詳細(xì)的討論！因此本課程中為“自學(xué)內(nèi)容”。

5第五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五離散時間系統(tǒng)反卷積

離散時間系統(tǒng)的時域分析離散時間信號數(shù)學(xué)模型差分方程的求解方法序列的概念序列的運(yùn)算迭代法經(jīng)典法零輸入、零狀態(tài)法卷積和法2.3.

離散系統(tǒng)的時域分析6第六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五2.3.1

差分與差分方程

1、差分

設(shè)有序列f(n)，則：…，f(n+2)，f(n+1)，…，f(n-1)，f(n-2)…等稱為f(n)的移位序列。定義離散信號的差分運(yùn)算表達(dá)式如下：即一階后向差分定義：式中，▽稱為差分算子。本課程主要用后向差分，簡稱為差分。

7第七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五上式稱為階（后向形式）差分方程。差分方程本質(zhì)上是遞推的代數(shù)方程，若已知初始條件和激勵，利用迭代法可求得其數(shù)值解。2、差分方程

包含未知序列y(n)及其各階差分的方程式稱為差分方程。將差分展開為移位序列，得一般形式，即：其中：8第八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五例2.3-1：若描述某系統(tǒng)的差分方程為已知初始條件激勵這種方法可以稱之為差分方程的“迭代解法”，但是采用這種方法一般不易得到解析形式的解，或稱“閉合解”。9第九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五2.3.2差分方程的建立

方法：“差分法”通過微分方程推導(dǎo)出差分方程，從而成為處理離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。例2.3-2:

考慮一個RC串聯(lián)電路如圖所示:10第十頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五首先建立描述這一連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，由電路運(yùn)算基本規(guī)律：其中：

為系統(tǒng)輸入，為系統(tǒng)輸出。可得：采用“差分法”將該微分方程離散化：將連續(xù)變量以步長為間距進(jìn)行等分，可得到，所以產(chǎn)生了離散變量，從而連續(xù)函數(shù)在各點(diǎn)的取值就構(gòu)成了離散序列。11第十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五代入：得：在足夠小的情況下，微分運(yùn)算就可以表示為：整理后可得：

取為單位時間，即，可得：令，可得：

一階線性常系數(shù)差分方程12第十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五例2.3-3:某人每月向銀行存款，當(dāng)月存入無利息，月底結(jié)算，月利息為元/月。設(shè)第n月存入f(n)元，月底結(jié)余為y(n)元，n-1月底結(jié)余為y(n-1)元，以f(n)為銀行系統(tǒng)的輸入，y(n)為輸出，則y(n)與f(n)的關(guān)系為：即：此即為描述這一銀行結(jié)余系統(tǒng)的差分方程。13第十三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五2.3.3差分方程的經(jīng)典解

線性時不變離散系統(tǒng)差分方程：其全響應(yīng)可由以下兩種分解響應(yīng)構(gòu)成：

完全解/全響應(yīng)=齊次解/自由響應(yīng)+特解/強(qiáng)制響應(yīng)完全解/全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)14第十四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五1、齊次解

齊次方程為：其特征方程為：其根稱為差分方程的特征根。齊次解的形式取決于特征根，具體情況如下：當(dāng)特征根為單根時，齊次解的形式為：當(dāng)特征根為重根時，齊次解的形式為：

15第十五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五初始條件為r(0)=2和r(1)=3，求方程的齊次解。例2.3-4.系統(tǒng)的差分方程特征根為于是由初始條件解得：故齊次解解：特征方程為16第十六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五不同激勵所對應(yīng)的特解激勵

特解

當(dāng)不等于特征根時。當(dāng)是特征單根時。當(dāng)是重特征根時。

2、特解

特解：特解的形式與激勵的函數(shù)形式有關(guān)，下表列出了幾種不同激勵所對應(yīng)的特解。17第十七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五全解：k階線性差分方程的全解是齊次解與特解之和。如果方程的特征根均為單根，則差分方程的全解為：下面我們來看兩道用經(jīng)典法求解差分方程的例題。各系數(shù)由給定的N個初始條件確定18第十八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五例2.3-5：求下示差分方程的完全解其中激勵函數(shù)，且已知解：特征方程：齊次通解：將代入方程右端，得設(shè)特解為形式，代入方程得19第十九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五比較兩邊系數(shù)得完全解為代入邊界條件，求得解得20第二十頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五總結(jié)求解的過程如下：（1）由差分方程得到“特征方程”，求解得到特征根。（2）由特征根得到“自由響應(yīng)”的一般式。（3）由激勵確定“強(qiáng)制響應(yīng)”的形式。（4）將代入原差分方程，求得“強(qiáng)制響應(yīng)”

（5）列出全響應(yīng)表達(dá)式（6）將初始條件代入全響應(yīng)表達(dá)式，求得“自由響應(yīng)”

和“全響應(yīng)”21第二十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五2.3.4

零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的完全響應(yīng)（差分方程的完全解）可表示為自由響應(yīng)分量與強(qiáng)迫響應(yīng)分量（齊次解與特解）之和。根據(jù)邊界條件及激勵的不同，完全響應(yīng)也可分為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和。22第二十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五

當(dāng)起始狀態(tài)r(-1)=r(-2)=

=r(-N)=0時，由系統(tǒng)的激勵e[n]所產(chǎn)生的響應(yīng)。它是自由響應(yīng)的另外部分加上強(qiáng)迫響應(yīng)。

當(dāng)激勵e(n)=0時，由系統(tǒng)的起始狀態(tài)r(-1),

r(-2),r(-N)所產(chǎn)生的響應(yīng)。它是齊次解的形式，它是自由響應(yīng)的一部分。23第二十三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五24第二十四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五1、零輸入響應(yīng)

輸入為零，響應(yīng)由齊次差分方程求得，是僅由初始儲能引起的響應(yīng)。注意：

確定零輸入響應(yīng)的系數(shù)時，必須用僅由初始狀態(tài)引起的初始條件；

初始條件為

M

個任意時刻的響應(yīng)值，故零輸入響應(yīng)的表達(dá)式不再加寫后綴n>0。25第二十五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五例2.3-6:

描述離散時間系統(tǒng)的差分方程為解：特征方程為在差分方程中，令n=-1,得可見r(2),r(1),r(0)

和r(-1)

與激勵無關(guān),僅由初始儲能引起。26第二十六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五

可見，r(3)與激勵有關(guān),是初始儲能和激勵共同引起的,不能用來確定零輸入響應(yīng)的待定系數(shù)。將r(1)=1,r(2)=2,r(3)=-23代入上式,可得第三個零輸入條件：在差分方程中，令n=0，得27第二十七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五于是得到28第二十八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五2、零狀態(tài)響應(yīng)

離散時間系統(tǒng)求解零狀態(tài)響應(yīng)，可以直接求解非齊次差分方程得到。求解方法與經(jīng)典法計算連續(xù)時間系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)相似。但當(dāng)激勵信號較復(fù)雜，且差分方程階數(shù)較高時，上述求解非齊次差分方程的過程相當(dāng)復(fù)雜，因此，與連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析一樣，離散時間系統(tǒng)計算零狀態(tài)響應(yīng)也常用卷積分析法。29第二十九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五差分方程的邊界條件不一定由這一組數(shù)字給出。對于因果系統(tǒng)，常給定

為邊界條件。若激勵信號在n=0時接入系統(tǒng)，所謂零狀態(tài)是指都等于零，而不是指等于零。如果已知欲求可用迭代求出。30第三十頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五例2.3-7:

已知描述系統(tǒng)的一階差分方程為（1）邊界條件，求（2）邊界條件，求解:（1）起始時系統(tǒng)處于零狀態(tài)，所以，齊次解為,設(shè)特解為A,

由y[-1]=0可求出所以，31第三十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五（2）先求零狀態(tài)響應(yīng)，此即為（1）的結(jié)果再求零輸入響應(yīng)，令

由y[-1]=1可求出所以，

完全響應(yīng)32第三十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五思考題：在上面的例題求“零狀態(tài)響應(yīng)”時，能否用作為“零狀態(tài)響應(yīng)意義下”的初始條件來求解待定系數(shù)。33第三十三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五問題：1．自由響應(yīng)與強(qiáng)制響應(yīng)的區(qū)別是什么？

2．零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的區(qū)別是什么？3．在時域中對于LTI系統(tǒng)，“輸入輸出描述”方式的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型是什么？為什么？

34第三十四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五書本上例題要求：P32

例2-6、例2-7、例2-8；P34

例2-9；P36

例2-10

35第三十五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五作業(yè)2-5;2-6(2)、(3);2-8;2-9.36第三十六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五2.4.系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)與單位樣值響應(yīng)

單位沖激響應(yīng)：對于線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)，由單位沖激函數(shù)δ(t)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，用h(t)表示。沖激響應(yīng)h(t)反映了系統(tǒng)特性，直觀上理解，可以認(rèn)為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)就表征了系統(tǒng)本身。System(初始狀態(tài)為零)激勵響應(yīng)37第三十七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五例2.4-1：設(shè)描述二階LTI系統(tǒng)的微分方程為

求其沖激響應(yīng)。解：

可見而在有躍變。38第三十八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五對的微分方程從到逐項積分，得微分方程的特征根為故確定系數(shù)：39第三十九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五一般而言，1、若n階微分方程的等號右端只含激勵，即若則有如果特征根均為單根，則其沖激響應(yīng)為由初始值確定。initiCteCthi

)(

)()(1ua?==40第四十頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五求沖激響應(yīng)可分兩步（1）選新變量，使它滿足的微分方程為左端與上式相同，而右端只含，即滿足方程（2）設(shè)其沖激響應(yīng)為根據(jù)系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的線性性質(zhì)和微分性質(zhì)，可得沖激響應(yīng)2、若微分方程為41第四十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五例2.4-2：描述系統(tǒng)的微分方程為：求其沖激響應(yīng)。解：設(shè)新變量它滿足方程：設(shè)其沖激響應(yīng)為則：42第四十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五求)t()ee()t()t(h)t()ee()t(h)t()ee()t(htt''tt'ttu

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3-2-13-2-13-2-19-4+=3+2-=-=由上例得，)(

)63()(32teetttud---+=43第四十三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五單位樣值響應(yīng):

對于線性時不變離散時間系統(tǒng)，由單位樣值函數(shù)δ(n)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位樣值響應(yīng)，簡稱單位響應(yīng)，用h(n)表示。單位樣值響應(yīng)h(n)反映了系統(tǒng)特性，或稱反映了系統(tǒng)的本質(zhì)特征。直觀上理解，可以認(rèn)為系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)就表征了系統(tǒng)本身。

System(初始狀態(tài)為零)激勵響應(yīng)44第四十四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五注意要點(diǎn)：根據(jù)的定義:因此，作為系統(tǒng)的輸入，僅在的時刻作用于系統(tǒng)，在以后，激勵作用就已消失。

例:已知r[n]-1/3r[n-1]=e[n],

試求其單位樣值響應(yīng)h[n]。r[n]-1/3r[n-1]=e[n]h[n]-1/3h[n-1]=δ[n]45第四十五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五對于因果系統(tǒng)，r[-1]=0,e[-1]=δ[-1]=0---齊次解的形式46第四十六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五即2、將輸入轉(zhuǎn)化為初始條件r[n]-1/3r[n-1]=e[n]h[n]-1/3h[n-1]=δ[n]即由h[-1]=0通過上述差分方程可迭代出h[0]=1,將h[0]=1作為邊界條件特征方程為由h[0]=1可求出C=147第四十七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五例2.4-3：系統(tǒng)差分方程式為求系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)。利用線性時不變特性，解：這樣，48第四十八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五

求齊次解，寫出特征方程齊次解為由

迭代出將

作為邊界條件，可求出（1）先求49第四十九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五（2）系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)為50第五十頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五思考題：在本例題中，求解和能否用和作為初始條件來求解？能否用作為初始條件來求解？

總結(jié)求解的過程如下：（1）將替換原差分方程的，將替換原差分方程的，得到單位樣值響應(yīng)滿足的初始方程。（2）遞推求得值。（3）用傳統(tǒng)解法求解在以后的（4）將與以后的綜合，得到狀態(tài)下的。

51第五十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五

在連續(xù)時間系統(tǒng)中曾利用系統(tǒng)函數(shù)求拉普拉斯逆變換的方法決定沖激響應(yīng)h(t),與此類似，在離散時間系統(tǒng)中，也可利用系統(tǒng)函數(shù)求逆Z變換來確定單位樣值響應(yīng)，這是一種較簡便的方法，將在第八章詳述。52第五十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五預(yù)習(xí)內(nèi)容：“卷積積分“，具體內(nèi)容包括：1．“卷積積分“的基本思想、概念和定義。2．利用卷積定義求解連續(xù)時間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。3．“卷積積分”的圖解法。4．“卷積積分”的重要性質(zhì)

53第五十三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五作業(yè)：1．P582-17(1)(3)2．已知離散系統(tǒng)的差分方程為：試求：（1）系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)（2）系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

54第五十四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五上次課回顧：1．介紹了“差分方程”經(jīng)典解法的基本思路、規(guī)則和求解方法，總結(jié)了具體的求解過程和步驟，并舉例進(jìn)行了求解演示。2．介紹了“沖激響應(yīng)”和“單位樣值響應(yīng)”的基本概念和實質(zhì)，對“單位樣值響應(yīng)”的求解基本思路、規(guī)則和求解方法進(jìn)行了詳細(xì)說明，總結(jié)了具體的求解過程和步驟，并舉例進(jìn)行了求解演示。

55第五十五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五上次課“思考題”：1．在上次課例題中求系統(tǒng)的“零狀態(tài)響應(yīng)”時，能否用作為“零狀態(tài)響應(yīng)意義下”的初始條件來求解待定系數(shù)。2．在上次課例題中求系統(tǒng)的“沖激響應(yīng)”時，求解和能否用和作為初始條件來求解？能否用作為初始條件來求解？

56第五十六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五2.5.

卷積積分

卷積方法在本書中占有重要地位，這里要討論的卷積積分是將輸入信號分解為眾多沖激函數(shù)之和（積分），利用沖激響應(yīng)，求解LTI系統(tǒng)對任意激勵的零狀態(tài)響應(yīng)。2.5.1卷積積分在前面介紹時,我們定義了這樣一個強(qiáng)度為1的窄脈沖。其作用于系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為

57第五十七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五-t0t2tktt把其分解為一系列寬度為的窄脈沖，其第k個窄脈沖發(fā)生在時刻，強(qiáng)度為:

58第五十八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五-t0t2tktt作用于系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為59第五十九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五當(dāng)時60第六十頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五一般而言，若兩個函數(shù)，積分稱為的卷積積分。用表示。即61第六十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五這是求解零狀態(tài)響應(yīng)的另一種方法.62第六十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五2.5.2卷積的圖解說明

用圖解法直觀，尤其是函數(shù)式復(fù)雜時，用圖形分段求出定積分限尤為方便準(zhǔn)確，用解析式法作容易出錯，最好將兩種方法結(jié)合起來。

63第六十三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五例2.5-1:給定信號

求y(t)=f1(t)*f2(t)。64第六十四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五65第六十五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五

例2.5-2:

求下圖所示函數(shù)和的卷積積分。

解（1）66第六十六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五（2）討論的取值范圍，并計算積分：（3）當(dāng)時，

當(dāng)時，67第六十七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，68第六十八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五69第六十九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五解法一：圖示法（1）。）；（）求卷積積分（，，：設(shè)例)()(2)()(1

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)(2)()(3)(

35.231213221tftftftfttfttftetft**-===--uuu70第七十頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五（2）所以71第七十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五顯然上式適用于的區(qū)間。ò+￥￥---=*ttututdtetftf)(2)(3)()(

(1)221解法二72第七十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五顯然上式適用于的區(qū)間。ttututdtetftfò+￥￥----=*)2(2)(3)()(

)2(

231()()()[]()213*2231--=\--tetftftu73第七十三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五主要內(nèi)容：重點(diǎn)：卷積代數(shù)和與沖激函數(shù)的卷積難點(diǎn)：卷積的微分與積分卷積代數(shù)卷積的微分與積分與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積2.5.3卷積積分的重要性質(zhì)74第七十四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五1.卷積代數(shù)(1).交換律(2).分配律(3).結(jié)合律并聯(lián)系統(tǒng)串聯(lián)系統(tǒng)75第七十五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五

))(()()(1211tttt-()():)()(22。和，分別求，例2.5-4：tfftftftftef**==uua)()1(1

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0)()(1212tededtedtfftftfttttuatttututttatata---￥￥---￥￥--==-=-=*òòò76第七十六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五

例2.5-5：分別求：)()1(1

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)()()()(

0)()(1212tededtedtfftftfttttuatttututttatata---￥￥---￥￥--==-=-=*òòò77第七十七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五系統(tǒng)并聯(lián)系統(tǒng)并聯(lián)，框圖表示：

結(jié)論：子系統(tǒng)并聯(lián)時，總系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。78第七十八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五系統(tǒng)級聯(lián)系統(tǒng)級聯(lián)，框圖表示：

結(jié)論：時域中，子系統(tǒng)級聯(lián)時，總的沖激響應(yīng)等于子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。

79第七十九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五2.

卷積的微積分特性

（1）.（2）.（3）.80第八十頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五例2.5-6：求圖示函數(shù)與的卷積。81第八十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五解法一：圖示法82第八十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五解法一：圖示法83第八十三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五解法一：圖示法84第八十四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五解法一：圖示法85第八十五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五解法一：圖示法86第八十六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五87第八十七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五解法二：表達(dá)式法)]3()1([2)(

1---=tttfuu)2()1(2)(

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2-+--=------=ttttttttfuuuuuuu{}[])2()1(2)(

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21-+--*---=*\ttttttftfuuuuu88第八十八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五{}[])2()1(2)(

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-*---*-+*---*-+-*--*-=ttttttttttttuuuuuuuuuuuu)]5()4()[5(2

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)]2()1()[1(2

----+---------=tttttttttuuuuuu89第八十九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五解法三：卷積的性質(zhì)90第九十頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五91第九十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五3.與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積推廣：92第九十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五函數(shù)與沖積函數(shù)的卷積0t0t0t0t0t1t0t1t93第九十三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五0t1t0t1+t2t0t2t0t1t0t2t0t1+t2t94第九十四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五0t1+t2t0t1t0t2t0t2t0t1t0t1+t2t95第九十五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五例2.5-7：計算下列卷積積分：解：上式適用于()()()53

1-*+ttuu()()()5322-*+-ttetuu()()()()()2

5353

153-==--+=-*+òò--￥￥-tddtttttttutuuu96第九十六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五實際上利用97第九十七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五()()()5322-*+-ttetuu()()()()()[]()[]2266525325322212121215353----------￥￥----=--=-==--+=-*+òòttttteeeeededtettettttttutuuu98第九十八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五上式適用于99第九十九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五100第一百頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五例2.5-8：下頁圖（a)畫出了周期為T的周期性單位沖激函數(shù)序列，可稱為梳狀函數(shù)，它可用符號表示它可寫為：

式中m為整數(shù)。函數(shù)如圖（b)所示，試求：-2T-T0T2Tt(a)(b)101第一百零一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五解：T(t)與fo(t)的卷積

-2T-T0T2Tt(a)(b)(c)102第一百零二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五總結(jié)：求解卷積的方法可歸納為：1.利用定義式，直接進(jìn)行積分。對于容易求積分的函數(shù)比較有效。如指數(shù)函數(shù)，多項式函數(shù)等。2.圖解法。特別適用于求某時刻點(diǎn)上的卷積值。3.利用性質(zhì)。比較靈活。三者常常結(jié)合起來使用。要求：P40例2-14、P42例2-15

103第一百零三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五思考題：1．卷積積分用于時域分析的本質(zhì)是什么？2．到現(xiàn)在為止，求解線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)的“零狀態(tài)響應(yīng)”有幾種方法？它們分別在什么情況下使用？

104第一百零四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五預(yù)習(xí)內(nèi)容：P46“卷積和“，具體內(nèi)容包括：1．“卷積和“的基本思想、概念和定義。2．利用“卷積和”定義求解離散時間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。3．“卷積和”的圖解法。4．“卷積和”的重要性質(zhì)

105第一百零五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五作業(yè)：2-5;2-6(2)、(3);2-8;2-9;2-13(a)、(c);106第一百零六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五上次課回顧：1．介紹了“卷積積分“的基本思想、概念和定義。2．講解并舉例利用卷積定義求解連續(xù)時間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。3．介紹了“卷積積分”的圖解法，并舉例描述。4．介紹了“卷積積分”的重要性質(zhì)，并采用例題進(jìn)行了驗證。

107第一百零七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五上次課“思考題”：1．卷積積分用于時域分析的本質(zhì)是什么？2．到現(xiàn)在為止，求解線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)的“零狀態(tài)響應(yīng)”有幾種方法？它們分別在什么情況下使用？

108第一百零八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五2.6

卷積和2.6.1卷積和()()()()()()()()()()()()()knkenenenenenenek-=+-+-+++-++-+=?￥-￥=dddddd

22110

1122LL()()()knhkenrk-=\?￥-￥=那么對任意序列作用于該線性時不變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)能否借用單位序列響應(yīng)來求呢？對于一個LTI離散系統(tǒng),假設(shè)我們已經(jīng)知道它的單位序列響應(yīng)為任意離散序列可以表示為：()nh()nh109第一百零九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五()()()knhkenrk-=?￥-￥=稱為序列和的卷積和。上式表明，LTI離散系統(tǒng)對于任意激勵的零狀態(tài)響應(yīng)是激勵與單位序列響應(yīng)的卷積和。一般而言，若有兩個序列和，和式稱為和的卷積和，簡稱卷積。表示為()()()?￥-￥=-=kknfkfnf21()()()()()?￥-￥=-=*=kknfkfnfnfnf2121110第一百一十頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五作圖法求卷積和的步驟：當(dāng)時，右移個單位。當(dāng)時，左移個單位。總之，原點(diǎn)處的序列值移到點(diǎn)。2.6.2卷積和的圖解說明（3）討論n的區(qū)間，并求乘積之和。()()()()()?￥-￥=-=*=iinfifnfnfnf2121（1）將序列的自變量用代替，然后將序列以縱坐標(biāo)為軸反褶，成為。()()nfnf21,（2）將序列平移個單位，成為。n()inf-20>n0<nnn111第一百一十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五例2.6-1:

如有兩序列試求二序列的卷積和()?íì=+=其余

,02,1,0,11nnnf()?íì==其余

,03,2,1,0

,12nnf()()()nfnfnf21*=112第一百一十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五解：畫出序列()()infif-21

、()

2inf-113第一百一十三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五討論n的區(qū)間，并求()()()?￥-￥=-=iinfifnf21當(dāng)時，0)(=nf0<n()

2inf-114第一百一十四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五當(dāng)時，0<n0)(=nf當(dāng)時，0=n當(dāng)時，1=n()

2inf-n()

2inf-n115第一百一十五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五當(dāng)時，0<n0)(=nf當(dāng)時，0=n當(dāng)時，1=n當(dāng)時，2=n()

2inf-n116第一百一十六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五依此可得:**一個M點(diǎn)序列與一個N點(diǎn)序列卷積，其卷積的長度為M+N-1。()603=nnf()

nfn()

2inf-n117第一百一十七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五2.6.3不進(jìn)位乘法求“卷積和”

對于兩個有限長序列的卷積和計算，可以采用下面介紹的更為簡便實用的方法計算。這種方法不需要畫出序列圖形，只要把兩個序列排成兩行，按普通乘法運(yùn)算進(jìn)行相乘，但中間結(jié)果不進(jìn)位，最后將位于同一列的中間結(jié)果相加得到卷積和序列。118第一百一十八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五例2.6-2：已知離散信號求卷積和f1(n)*f2(n)。119第一百一十九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五解：為了方便，將f2(n)寫在第一行，f1(n)寫在第二行，經(jīng)序列值相乘和中間結(jié)果相加運(yùn)算后得到120第一百二十頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五卷積和計算121第一百二十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五2.6.4卷積和的性質(zhì)性質(zhì)1卷積和運(yùn)算服從交換律、結(jié)合律和分配律，即：122第一百二十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五

*兩子系統(tǒng)并聯(lián)組成的復(fù)合系統(tǒng)，其單位序列響應(yīng)等于兩子系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)之和。由卷積的分配律得：(a)并聯(lián)()()()()()()()()[]nhnhnfnhnfnhnfnyf2121

+*=*+*=Q∑++)(1nh)(ny)(nf)(2nh123第一百二十三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五由卷積的結(jié)合律得：(b)級聯(lián)*兩子系統(tǒng)級聯(lián)組成的復(fù)合系統(tǒng)，其單位序列響應(yīng)等于兩子系統(tǒng)單位序列響應(yīng)的卷積和。()()()[]()()()()[]nhnhnfnhnhnfnyf2121

**=**=Q()()()nhnhnh21

*=\)(1nh)(2nh()ny()ny)(1nh)(2nh()nf()nf124第一百二十四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五性質(zhì)2任一序列與單位樣值函數(shù)的卷積)()()()()()1(nfinifnnfi=-=*?￥-￥=dd)()()()()()2(111nnfninifnnnfi-=--=-*?￥-￥=dd)()()()3(2121nnnnnnn--=-*-ddd)(

)()(

)()()()()()4(21212121nnnfnnnnfnnnnnfnnnnf--=--*=-*-*=-*-dddd125第一百二十五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五性質(zhì)3若f1(n)*f2(n)=f(n)，則

式中n1,n2均為整數(shù)。

126第一百二十六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五例2.6-3：如圖所示的復(fù)合系統(tǒng)由兩個子系統(tǒng)級聯(lián)組成，已知子系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)分別為：求復(fù)合系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)。（a,b為常數(shù)）)(nf)(nxf)(1nh)(nh)(2nh)(nyf127第一百二十七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五解：)()()(*)()(21inbianhnhnhinii-*==-￥-￥=?uu1ba時當(dāng)??=-==*==niininniinnbabbanbnanh00)((*)()(）uuababbababnnnn--=--=+++1111)(1

nninbnbnhba）（時當(dāng)11)(0+===?=128第一百二十八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五顯然上二式僅在k≥0時成立。所以當(dāng)，有當(dāng)，有()()()???íì=+1--==++banbnbanababnbnanhnnnnn,

1,

(*)()(11uuuu）()naannannuuu--=*+11()(1）129第一百二十九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五或：130第一百三十頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五解：系統(tǒng)的差分方程為()ny()1-ny()2-ny()nf()()()()nfnynyny=----221例2.6-4：如圖所示的離散系統(tǒng)，已知初始狀態(tài)，激勵求系統(tǒng)的全響應(yīng)。131第一百三十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期五（1）求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)滿足()()()()nfnynyny=----221()()()()()()()???íì=-=-=-=-=----6122,0110221yyyynynynyxxxxx()()()nnxCCny2121