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文檔簡介
幾個典型的代數(shù)系統(tǒng)第一頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五6.1半群與群
半群與群都是具有一個二元運算的代數(shù)系統(tǒng),群是半群的特殊例子。事實上,群是歷史上最早研究的代數(shù)系統(tǒng),它比半群復雜一些,而半群概念是在群的理論發(fā)展之后才引進的。邏輯關(guān)系見圖6.1.1。第二頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五圖6.1.1群半群第三頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
定義6.1.1設(shè)〈S,*〉是代數(shù)系統(tǒng),*是二元運算,如果*運算滿足結(jié)合律,則稱它為半群(semigroups)。換言之,x,y,z∈S,若*是S上的封閉運算且滿足(x*y)*z=x*(y*z),則〈S,*〉是半群。許多代數(shù)系統(tǒng)都是半群。例如,〈N,+〉,〈Z,×〉,〈P(S),,〈SS,〉(SS={f|f:S→S},是復合運算)均是半群。但〈Z,-〉不是半群。第四頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
再如,設(shè)Σ是有限字母表,Σ+是Σ中的字母串Σ*={λ}∪Σ+,其中λ是不含字母的空串,運算τ是字母串的“連接”運算,則〈Σ*,τ〉是半群。如Com∈Σ*,puter∈Σ*,經(jīng)τ運算后,得Computer仍是字母串。第五頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五【例6.1.1】,則〈S,·〉是半群。這里·代表普通的矩陣乘法運算。證明對任意的因為且a1a2≠0,所以,因此·運算封閉?!?/p>
第六頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五【例6.1.2】,則〈S,+〉不是半群。這里+代表普通的矩陣加法運算。證明對任意的取a2=-a1,則且a1+a2=0,所以因此*運算不封閉。所以〈S,+〉不是半群。第七頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五【例6.1.3】,則〈S,·〉不是半群。這里·代表普通的矩陣乘法運算。證明取則所以,因此*運算不封閉。所以〈S,·〉不是半群。第八頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
對于半群中的元素,我們有一種簡便的記法。設(shè)半群〈S,*〉中元素a(簡記為a∈S)的n次冪記為an,遞歸定義如下:
a1=a
an+1=an*a1
n∈Z+
即半群中的元素有時可用某些元素的冪表示出來。因為半群滿足結(jié)合律,所以可用數(shù)學歸納法證明
am*an=amn,(am)n=amn。普通乘法的冪、關(guān)系的冪、矩陣乘法的冪等具體的代數(shù)系統(tǒng)都滿足這個冪運算規(guī)則。如果有a2=a,則稱a為半群中的冪等元。第九頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
定理6.1.1
若〈S,*〉是半群,S是有限集合,則S中必含有冪等元。證明因為〈S,*〉是半群,a∈S,有a2,a3,…,∈S。因為S是有限集合,所以必定存在j>i,使得ai=aj。令p=j-i,便有ai=aj=ap*ai,所以aq=ap*aq(q≥i)。因為p≥1,所以可找到k≥1,使得kp≥i
akp=ap*akp=ap*(ap*akp)=a2p*akp=a2p*(ap*akp)=…=akp*akp
即在S中存在元素b=akp,使得b*b=b。第十頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
下面介紹一些特殊半群。定義6.1.2如果半群〈S,*〉中二元運算*是可交換的,則稱〈S,*〉是可交換半群(commutativesemigroups)。如〈Z,+〉,〈Z,×〉,〈P(S),〉均是可交換半群。但〈SS,〉,〈Σ*,τ〉不是可交換半群。定義6.1.3含有關(guān)于*運算的幺元的半群〈S,*〉,稱它為獨異點(monoid),或含幺半群,常記為〈S,*,e〉(e是幺元)。第十一頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五【例6.1.4】〈Z,+〉是獨異點,幺元是0,〈Z,+,0〉;〈Z,×〉是獨異點,幺元是1,〈Z,×,1〉;〈P(S),〉是獨異點,幺元是,〈P(S),,〉;〈Σ*,τ〉是獨異點,幺元是λ(空串),〈Σ*,τ,λ〉;〈SS,〉是獨異點,幺元是IA,〈SS,,IA〉;但〈ZE,×〉不是獨異點,因為無幺元,(1ZE,ZE:偶數(shù)集)。第十二頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
定義6.1.4(1)設(shè)〈S,*〉為一半群,若TS,*在T中封閉,則〈T,*〉稱為子半群。(2)設(shè)〈S,*〉為一獨異點,若TS,*在T中封閉,且幺元e∈T,則〈T,*,e〉稱為子獨異點。我們前面提過,對于有窮集合的二元運算,可用運算表來給出。第十三頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
定理6.1.2一個有限獨異點,〈S,*,e〉的運算表中不會有任何兩行或兩列元素相同。證明設(shè)S中關(guān)于運算*的幺元是e。因為對于任意的a,b∈S且a≠b時,總有
e*a=a≠b=e*b和a*e=a≠b=b*e。所以,在*的運算表中不可能有兩行或兩列是相同的。該定理容易理解,因為幺元所在的行、列均與表頭相同,所以不會出現(xiàn)兩行(列)元素完全相同的情況。第十四頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五【例6.1.5】S={a,b,c},*運算的定義如表6.1.1所示,判斷〈S,*〉的代數(shù)結(jié)構(gòu)?解(1)*是S上的二元運算,因為*運算關(guān)于S集合封閉。(2)從運算表中可看出a,b,c均為左幺元(3)x,y,z∈S,有
x*(y*z)=x*z=z(x*y)*z=x*z=z第十五頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五表6.1.1第十六頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五【例6.1.6】〈Z4,+4〉,Z4={[0],[1],[2],[3]}=Z/R(R是Z上的模4同余關(guān)系),Z4上運算+4,定義為[m],[n]∈Z4,[m]+4[n]=[(m+n)(mod4)],它由表6.1.2給出。判斷〈Z4,+4〉的代數(shù)結(jié)構(gòu)。第十七頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
解(1)+4運算顯然封閉。(2)由+4的定義可知+4可結(jié)合。(3)從運算表中可知[0]是幺元,所以〈Z4,+4〉是獨異點。但在該表中沒有任意兩行(列)元素完全相同。半群及獨異點的下列性質(zhì)是明顯的。第十八頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五表6.1.2第十九頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
定理6.1.3設(shè)〈S,*〉,〈T,?!凳前肴?f為S到T的同態(tài),這時稱f為半群同態(tài)。對半群同態(tài)有(1)同態(tài)象〈f(S),〉為一半群。(2)當〈S,*〉為獨異點時,則〈f(S),。〉為一獨異點。利用上一章的知識立刻可以得到這些結(jié)論。獨異點中含有幺元。前面曾提到,對于含有幺元的運算可考慮元素的逆元,并不是每個元素均有逆元的,這一點引出了一個特殊的獨異點——群。第二十頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
定義6.1.5如果代數(shù)系統(tǒng)〈G,*〉滿足(1)〈G,*〉為一半群;(2)〈G,*〉中有幺元e;(3)〈G,*〉中每一元素x∈G都有逆元x-1,則稱代數(shù)系統(tǒng)〈G,*〉為群(groups)?;蛘哒f,群是每個元素都可逆的獨異點。群的基集常用字母G表示,因而字母G也常用于表示群。第二十一頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五【例6.1.7】
(1)
〈Z,+〉(整數(shù)集與數(shù)加運算)為一群(加群),數(shù)0為其幺元?!碯,×〉不是群。因為除幺元1外所有整數(shù)都沒有逆元。(2)〈N4,+4〉為一4階群,數(shù)0為其么元。(3)A≠,〈P(A),∪〉是半群,幺元為,非空集合無逆元,所以不是群。
(4)A≠,〈P(A),∩〉是半群,幺元為A,非空集合無逆元,所以不是群。第二十二頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五(5)A≠,〈P(A),〉的幺元為,S∈P(A),S的逆元是S,所以是群。
(6)〈Q+,·〉(正有理數(shù)與數(shù)乘)為一群,1為其么元?!碤,·〉不是群,因為數(shù)0無逆元。因為零元無逆元,所以含有零元的代數(shù)系統(tǒng)就不會是群。第二十三頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五【例6.1.8】設(shè)g={a,b,c,d},*為G上的二元運算,它由表6.1.3給出,不難證明G是一個群。且e是G中的幺元;G中任何元素的逆元就是它自己,在a,b,c三個元素中,任何兩個元素運算的結(jié)果都等于另一個元素,這個群稱為klein四元群。第二十四頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五表6.1.3第二十五頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五【例6.1.9】設(shè)〈G,*〉是一個獨異點,并且每個元素都有右逆元,證明〈G,*〉為群。證明設(shè)e是〈G,*〉中的幺元。每個元素都有右逆元,即x∈G,y∈G使得x*y=e,而對于此y,又z∈G使得y*z=e。由于x∈G均有x*e=e*x=e,因此
z=e*z=x*y*z=x*e=x
即
x*y=e=y*z=y*x=e
第二十六頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五y既是x的右逆元,又是x的左逆元,故x∈G均有逆元,〈G,*〉為群。對群〈G,*〉的任意元素a,我們可以同半群一樣來定義它的冪:a0=e,對任何正整數(shù)n,an+1=an*a,群的冪運算有下列性質(zhì):第二十七頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
定理6.1.4對群〈G,*〉的任意元素a,b,有(1)(a-1)-1=a(2)(a*b)-1=b-1*a-1(3)(an)-1=(a-1)n(記為a-n)(n為整數(shù))第二十八頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
證明(1)因為a-1的逆元是a,即a*a-1=a-1*a=e,所以
(a-1)-1=a。(2)因為
(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1=e(b-1*a-1)*(a*b)=b-1*(a-1*a)*b=e
所以a*b的逆元為b-1*a-1,即(a*b)-1=b-1*a-1。第二十九頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
(3)對n進行歸納。群首先是獨異點,所以
an+1=an*a。n=1時命題顯然真。設(shè)n=k時(a-1)k是ak的逆元為真,即(ak)-1=(a-1)k,那么
ak+1*(a-1)k+1=ak*(a*a-1)*(a-1)k
=ak*(a-1)k=e(a-1)k+1*ak+1=(a-1)k*(a-1*a)*ak
=(a-1)k*ak=e
故ak+1的逆元為(a-1)k+1,即(ak+1)-1=(a-1)k+1。歸納完成,得證。
第三十頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
定理6.1.5對群〈G,*〉的任意元素a,b,及任何整數(shù)m,n,有
(1)am*an=am+n
(2)(am)n=amn
證明留給讀者。群的下列性質(zhì)是明顯的。第三十一頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
定理6.1.6設(shè)〈G,*〉為群,則(1)G有唯一的幺元,G的每個元素恰有一個逆元。(2)方程a*x=b,y*a=b都有解且有唯一解。(3)當G≠{e}時,G無零元。第三十二頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
(1)結(jié)論是十分明顯的。
(2)先證a-1*b是方程a*x=b的解。將a-1*b代入方程左邊的x,得
a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b
所以a-1*b是該方程的解。下面證明唯一性。假設(shè)c是方程a*x=b的解,必有a*c=b,從而有
c=e*c=(a-1*a)*c=a-1*(a*c)=a-1*b
唯一性得證。同理可證b-1*a是方程y*a=b的唯一解。(3)若G有零元,那么由定理5.1.5知它沒有逆元,與G為群矛盾。(注意,G={e}時,e既是幺元,又是零元。)第三十三頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
定理6.1.7設(shè)〈G,*〉為群,則G的所有元素都是可約的。因此,群中適合消去律,即對任意a,x,y∈S
a*x=a*y蘊涵x=y
x*a=y*a蘊涵x=y第三十四頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
定義6.1.6設(shè)G為有限集合時,稱G為有限群(finitegroup),此時G的元素個數(shù)也稱G的階數(shù)(order);否則,稱G為無限群(infinitegroup)。由定理6.1.7可知,特別地,當G為有限群時,*運算的運算表的每一行(列)都是G中元素的一個全排列。對于有限群,運算可用表給出,稱為群表。從而有限群〈G,*〉的運算表中沒有一行(列)上有兩個元素是相同的。因此,當G分別為1,2,3階群時,*運算都只有一個定義方式(即不計元素記號的不同,只有一張定義*運算的運算表,分別如表6.1.4、6.1.5和6.1.6所示),于是可以說,1,2,3階的群都只有一個。第三十五頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五表6.1.4*eee
表6.1.5*eaeaeaae第三十六頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五表6.1.6第三十七頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五【例6.1.10】設(shè)〈G,*〉為有限獨異點,適合消去律,證明〈G,*〉為群。證明設(shè)e是〈G,*〉中的幺元。由〈G,*〉適合消去律,即a,b,c∈G均有
a*b=a*cb=c
b*a=c*ab=c
又由于〈G,*〉為有限獨異點,所以a∈G,n∈I+使得
an=ea*an-1=e=an-1*a
故a∈G,an-1∈G是a的逆元,故〈G,*〉為群。第三十八頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
定理6.1.8設(shè)〈G,*〉為群,則幺元是G的唯一的冪等元素。證明設(shè)G中有冪等元x,那么x*x=x,又x=x*e,所以x*x=x*e。由定理6.1.7得x=e。故得證。設(shè)〈G,*〉為群,如果我們用aG和Ga分別表示下列集合
aG={a*g|g∈G}Ga={g*a|g∈G}
那么我們有以下定理。第三十九頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
定理6.1.9設(shè)〈G,*〉為一群,a為G中任意元素,那么aG=G=Ga。特別地,當G為有限群時,*運算的運算表的每一行(列)都是G中元素的一個全排列。證明aGG是顯然的。設(shè)g∈G,那么a-1*g∈G,從而a*(a-1*g)∈aG,即gaG。因此GGa。aG=G得證。Ga=G同理可證。第四十頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五【例6.1.11】設(shè)g={a,b,c,d},*為G上的二元運算,它由表6.1.7給出,不難證明G是一個群,且e是G中的幺元;G中元素b的逆元就是它自己,a與c互逆。在a,b,c三個元素中,任何兩個元素運算的結(jié)果都等于另一個元素,這是除了klein四元群外的另一個四階群。對群還可以引入元素的階的概念。
第四十一頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五表6.1.7第四十二頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
定義6.1.7設(shè)〈G,*〉為群,a∈G,滿足等式an=e的最小正整數(shù)n稱為a的階(order),記作|a|=n。若不存在這樣的正整數(shù)n,稱a是無限階。
【例6.1.12】(1)任何群G的幺元e的階為1,且只有幺元e的階為1。
(2)〈Z,+〉中幺元0的階為1,而整數(shù)a=10時,a有無限階。
(3)〈Z4,+4〉中[1]的階是4,[2]的階是2,[3]的階是4。關(guān)于元素的階有以下性質(zhì)。第四十三頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
定理6.1.10有限群G的每個元素都有有限階,且其階數(shù)不超過群G的階數(shù)|G|。證明設(shè)a為G的任一元素,考慮e=a0,a1,a2,…,a|G|這|G|+1個G中元素,由于G中只有|G|個元素,由鴿巢原理,它們中至少有兩個是同一元素,不妨設(shè)
as=at0≤s<t≤|G|
于是at-s=e,因此a有有限階,且其階數(shù)至多是t-s,不超過群G的階數(shù)|G|。第四十四頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
定理6.1.11設(shè)〈G,*〉為群,G中元素a的階為r,那么,an=e當且僅當r整除n。證明先證充分性。設(shè)ar=e,r整除n,那么設(shè)n=kr(k為整數(shù)),因為ar=e,所以an=akr=(ar)k=er=e。再證必要性。設(shè)an=e,n=mr+k,其中m為n除以r的商,k為余數(shù),因此0≤k<r。于是
e=an=amr+k=amr*ak=ak
因此,由r的最小性得k=0,r整除n。第四十五頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
理6.1.12設(shè)〈G,*〉為群,a為G中任一元素,那么|a|=|a-1|。證明設(shè)a的階為n,由(a-1)n=(an)-1=e-1=e,可知a-1的階是存在的。只要證a具有階n當且僅當a-1具有階n。由于逆元是相互的,即(a-1)-1=a,因此只需證:當a具有階n時,a-1也具有階n。設(shè)a的階是n,a-1的階是t。由于
(a-1)n=(an)-1=e-1=e,故t≤n。又因為
at=((a-1)t)-1=e-1=e,故n≤t。因此,
n=t,即|a|=|a-1|。第四十六頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五【例6.1.13】設(shè)G是n階有限群,證明:(1)G中階大于2的元素個數(shù)一定是偶數(shù);(2)若n是偶數(shù),則G中階等于2的元素個數(shù)一定是奇數(shù)。證明(1)設(shè)A={x|x∈G,x的階大于2},則a∈A,
a-1≠a,否則a2=e與a∈A矛盾。因為a與a-1的階相同,且a-1相對于a是唯一的,所以a∈A,a-1與a成對出現(xiàn),故G中階大于2的元素個數(shù)一定是偶數(shù)。第四十七頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
(2)當n是偶數(shù)時,因為G中階大于2的元素個數(shù)一定是偶數(shù),所以G中階小于等于2的元素個數(shù)是偶數(shù),由于階為1的元素是唯一的幺元e,因此G中階等于2的元素一定是奇數(shù)。第四十八頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
定義6.1.8設(shè)〈G,*〉為一群。若*運算滿足交換律,則稱G為交換群或阿貝爾群(Abelgroup)。阿貝爾群又稱加群,常表示為〈G,+〉(這里的+不是數(shù)加,而泛指可交換二元運算,*常被稱為乘)。加群的幺元常用0來表示,常用-x來表示x的逆元。如
〈I,+〉(整數(shù)集與數(shù)加運算)為一阿貝爾群(加群)。
〈Q,+〉,〈R,+〉〈C,+〉均為交換群?!碤+,·〉(正有理數(shù)與數(shù)乘)為一阿貝爾群,1為其幺元。〈N4,+4〉為一4階阿貝爾群。第四十九頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
定理6.1.13設(shè)〈G,*〉為一個群,〈G,*〉為阿貝爾群的充分必要條件是對任意x,y∈G,有(x*y)*(x*y)=(x*x)*(y*y)。證明先證必要性。設(shè)〈G,*〉為阿貝爾群,這對于任意的x,y∈G,有(x*y)=(y*x),所以
(x*x)*(y*y)=x*(x*y)*y=x*(y*x)*y=(x*y)*(x*y)
再證充分性。第五十頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
設(shè)對于任意的x,y∈G,有(x*y)*(x*y)=(x*x)*(y*y)。因為
x*(x*y)*y=(x*x)*(y*y)=(x*y)*(x*y)=x*(y*x)*y
由消去律可得(x*y)=(y*x)
所以〈G,*〉為阿貝爾群。第五十一頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五6.2子群
定義6.2.1設(shè)〈G,*〉為群,H≠,如果〈H,*〉為G的子代數(shù),且〈H,*〉為一群,則稱〈H,*〉為G的子群(subgroups),記作H≤G。第五十二頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五【例6.2.1】
〈Z,+〉是〈Q,+〉的子群;〈Q,+〉是〈R,+〉的子群;〈R,+〉是〈C,+〉的子群。
【例6.2.2】EI,E為偶數(shù)集。那么〈E,+〉為〈I,+〉的子群;MI,M為奇數(shù)集,但〈M,+〉不是〈I,+〉的子群。顯然,對任何群G,〈{e},*〉及〈G,*〉均為其子群,它們被稱為平凡子群,其它子群則稱為非平凡子群或真子群。第五十三頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
子群有下列特性定理6.2.1設(shè)〈G,*〉為群,那么〈H,*〉為
〈G,*〉的子群的充分必要條件是(1)G的幺元e∈H。(2)若a,b∈H,則a*b∈H。(3)若a∈H,則a-1∈H。第五十四頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
證明先證必要性。設(shè)H為子群。(1)設(shè)〈H,*〉的幺元為e′,對于任意x∈SG,那么e′*x=x=e*x。由于在G中滿足消去律,故e′=e,e∈H得證。(2)是顯然的(因H為子代數(shù))。(3)設(shè)〈H,*〉中任一元素a在H中逆元為b,那么a*b=b*a=e,因為H∈G,所以a,b∈G由逆元的唯一性,b就是a在G中的逆元,即b=a-1∈H。第五十五頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
充分性是明顯的。事實上只要條件(2)、(3)便可使〈H,*〉為〈G,*〉的子群,因為H不空時條件(2)、(3)蘊涵條件(1),因此,可用(2)、(3)來判別非空子集H是否構(gòu)成G的子群〈H,*〉。對于有限群,子群的判別更為簡單。第五十六頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
定理6.2.2設(shè)〈G,*〉為群,H為G的非空有限子集,且H對*運算封閉,那么〈H,*〉為〈G,*〉的子群。證明由于H為有限集,設(shè)|H|=k,a∈H??紤]
a1,a2,…,ak+1,…
它們都在H中(H對*運算封閉),由鴿巢原理,因此必定有ai=aj(0≤i<j≤k+1),從而aj-i=e,故e∈H。第五十七頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
若H={e},〈H,*〉為G的子群得證。若H≠{e},設(shè)a為H中任意一個不同于e的元素。同上可證,有r≥2使ar=e,從而有
ar=a*ar-1=ar-1*a=e
因此,a-1=ar-1∈H。據(jù)定理6.2.1,〈H,*〉為G的子群得證。第五十八頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
定理6.2.3設(shè)〈G,*〉為群,H是G的非空子集,那么〈H,*〉為〈G,*〉的子群的充分必要條件是a,b∈H有a*b-1∈H。證明先證必要性。任取a,b∈H,由于H是G的子群,必有b-1∈H,所以a*b-1∈H。
第五十九頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
再證充分性。因為H非空,必存在a∈H(取b=a),由已知條件有a*a-1∈H,即e∈H。任取a∈H,由e,a∈H有e*a-1∈H,即a-1∈H。任取a,b∈H,則b-1∈H,由已知條件有a*(b-1)-1∈H,即ab∈H。據(jù)定理6.2.1,〈H,*〉為G的子群得證。第六十頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五【例6.2.3】Klein四元群,〈{e},*〉,〈{e,a},*〉,〈{e,b},*〉,〈{e,c},*〉均是其子群。
【例6.2.4】設(shè)G為群,a∈G,令H={ak|k∈Z},即a的所有的冪構(gòu)成的集合,則H是G的子群,稱為由a生成的子群,記作〈a〉。a稱為生成元(generater)。證明因為a∈〈a〉,所以〈a〉≠。任取
am,a1∈〈a〉,有
am(a1)-1=ama-1=am-l∈〈a〉
由定理6.2.3可知〈a〉≤G。第六十一頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五【例6.2.5】
〈Z,+〉除〈0〉={0}外,子群都是無限階。
〈1〉={0,1,-1,2,-2,…}=Z,稱1是
Z的生成元。
〈2〉={0,2,-2,4,-4,…}={2k|k∈Z}=2Z
【例6.2.6】設(shè)〈G,*〉是群,對任一個a∈G,令C是與G中所有的元素都可交換的元素構(gòu)成的集合,即
C={y|y*a=a*y,y∈G}
則〈C,*〉是G的子群,稱為G的中心。第六十二頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
證明由e與G中所有元素可交換可知e∈C。C是G的非空子集。由y*a=a*y可得y=a*y*a-1,因此x,y∈C,因為
x*y-1=(a*x*a-1)*(a*y-1*a-1)=a*x*y-1*a-1
因此x*y-1*a=a*x*y-1
所以x*y-1∈H,故〈C,*〉是G的子群。第六十三頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五6.3循環(huán)群和置換群
在這一節(jié)里我們要介紹兩種重要的群——循環(huán)群和置換群。定義6.3.1如果G為群,且G中存在元素a,使G以a為生成元,稱〈G,*〉為循環(huán)群(cyclicgroup),即G的任何元素都可表示為a的冪(約定e=a0)。第六十四頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五【例6.3.1】
(1)〈Z,+〉為循環(huán)群,1或(-l)為其生成元。(2)令A={2i|i∈I},那么〈A,·〉(·為普通的數(shù)乘)是循環(huán)群,2是生成元。(3)〈Z8,+8〉為循環(huán)群,1,3都可以是生成元。(4)·〉(·為矩陣乘法),幺元為因為,所以逆元為,生成元為第六十五頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
定理6.3.1設(shè)〈G,*〉為循環(huán)群,a為生成元,則G為阿貝爾群。
證明對于任意的x,y∈G,必有s,t∈Z使得x=as,y=at,所以
x*y=as*at=as+t=at+s=at*as=y*x
所以,〈G,*〉為阿貝爾群。定理6.3.2G為由a生成的有限循環(huán)群,則有
G={e,a,a2,…,an-1}
其中n=|G|,也是a的階.從而n階循環(huán)群必同構(gòu)于〈Zn,+n〉。第六十六頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
證明由于G為有限群,a有有限階,設(shè)為k,k≤|G|=n。易證{e,a,a2,…,ak-1}為G的子群(只要證其每一元素ai有逆元ak-i)?,F(xiàn)證
G{e,a,a2,…,ak-1}
從而知n=k,G={e,a,a2,…,an-1}。第六十七頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
設(shè)有am∈G,但am{e,a,a2,…,ak-1}。令m=pk+q,其中p為k除m的商,q為余數(shù),0≤q<k,于是
am=apk+q=apk*aq=aq
這就是說aq{e,a,a2,…,ak-1},0≤q<k,產(chǎn)生矛盾。因此G={e,a,a2,…,ak-1},命題得證。第六十八頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
定理6.3.3設(shè)〈G,*〉為無限循環(huán)群且G=〈a〉,則G只有兩個生成元a和a-1,且〈G,*〉同構(gòu)于〈Z,+〉。證明首先證明a-1是其生成元,因為
〈a-1〉G,須證G〈a-1〉,設(shè)ak∈G,因為
ak=(a-1)-k,G=〈a-1〉。第六十九頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
再證明G只有兩個生成元a和a-1。假設(shè)b是G的生成元,則G=〈b〉,由a∈G可知存在整數(shù)s使得a=bs,又由b∈G可知存在整數(shù)t使得b=at,有
a=bs=(at)s=ats
由消去律得
ats-1=e
因為〈G,*〉為無限循環(huán)群,所以ts-1=0,從而有t=s=1或t=s=-1。因此b=a或b=a-1。第七十頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
上面定理6.3.2和定理6.3.3告訴我們,循環(huán)群本質(zhì)上只有兩種,一種同構(gòu)于〈Z,+〉,另一種同構(gòu)于〈Zn,+〉,弄清了〈Z,+〉與〈Zn,+〉,也就弄清了所有無限的和有限的循環(huán)群。第七十一頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
定理6.3.4循環(huán)群的子群都是循環(huán)群。證明設(shè)〈G,*〉為a生成的循環(huán)群,〈H,*〉為其子群。當然,H中元素均可表示為ar形。(1)若H={e}=〈e〉,顯然H為循環(huán)群。(2)若H≠{e},那么H中有ak(k≠0)。由于H為子群,H中必還有a-k,因此,不失一般性,可設(shè)k為正整數(shù),并且它是H中元素的最小正整數(shù)指數(shù)?,F(xiàn)證H為ak生成的循環(huán)群。第七十二頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
設(shè)am為H中任一元素.令m=pk+q,其中p為k除m的商,q為余數(shù),0≤q<k。于是
am=apk+q=apk*aqaq=a-pk*am
由于am,a-pk∈H(因apk∈H),故aq∈H,根據(jù)k的最小性,q=0,從而am=gpk=(ak)p,H為循環(huán)群得證。根據(jù)上述定理,立即可以推得以下定理。第七十三頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
定理6.3.5設(shè)〈G,*〉為a生成的循環(huán)群。(1)若G為無限群,則G有無限多個子群,它們分別由a0,a1,a2,a3,…生成。(2)若G為有限群,|G|=n,且n有因子k1,k2,k3,…,kr,那么G有r個循環(huán)子群,它們分別由ak1,ak2,ak3,…生成。第七十四頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五【例6.3.2】〈Z,+〉有循環(huán)子群:
〈{0},+〉,〈2Z,+〉,〈3Z,+〉,
〈4Z,+〉,…,〈Z,+〉
下面考慮置換群。定義6.3.2任意集合A上的雙射函數(shù)稱為變換。對任意集合A定義集合G,即A≠,G={f|f是A上的變換},。為函數(shù)的復合運算,〈G,?!凳侨?,稱為A的全變換群,記作SA,SA的子群稱為A的變換群。第七十五頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五【例6.3.3】平面上全體平移組成一個變換群。解設(shè)σ1:α→α+β1(一個雙射函數(shù)),
σ2:α→α+β2,則σ2。σ1:α→α+(β1+β2),。封閉。
σe:α→α是幺元。σ1的逆元為σ-11:α→α-β1。所以平面上全體平移組成一個變換群。第七十六頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
定理6.3.6每個群均同構(gòu)于一個變換群。證明設(shè)〈G,*〉為任一群,對G中每一元素a,定義雙射函數(shù)fa:
G→G如下:
fa(x)=a*x
顯然fa為雙射,令
F={fa|a∈G}第七十七頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
下證〈F,?!禐槿海ā楹瘮?shù)復合運算)。(1)F對。運算封閉。設(shè)fa∈F,fb∈F,那么a∈G,b∈G??紤]fa。fb:對任意x∈G,有
fa。fb(x)=fa(fb(x))=a*b*x=fa≠b(x)即fa。fb=fa≠b。由于a*b∈G,fa≠b∈F,故fa。fb∈F。第七十八頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
(2)。運算顯然滿足結(jié)合律。(3)。運算有幺元fe∈F。e為群G的幺元。(4)F中每一元素fa均有逆元fa-1。第七十九頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五【例6.3.4】設(shè)A={1,2,3},A上有6個置換:
一般地,A={a1,a2,…,an}時,A上有n!個置換。置換σ滿足σ(ai)=aji時,可表示為第八十頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
置換的合成運算通常用記號。表示之,對置換的獨特表示形式計算它們的合成時,可像計算兩個關(guān)系的合成那樣來進行。例如:因此,應當注意(σi。σj)(x)=σj(σi(x))第八十一頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
對于置換的復合運算而言,A上的全體置換中有幺元——恒等函數(shù),又稱幺置換,且每一置換都有逆置換,因此置換全體構(gòu)成一個群。定義6.3.4將n個元素的集合A上的置換全體記為Sn,那么稱群〈Sn,?!禐閚次對稱群(symmetricgroup),它的子群又稱為n次置換群(permutationgroup)。第八十二頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五【例6.3.5】令A={1,2,3,4},S4={σ|σ為A上置換},因此,〈S4,。〉為四次對稱群。解第八十三頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
表6.3.1第八十四頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
定義6.3.5設(shè)σ是S={1,2,…,n}上的n元置換。若σ(i1)=i2,σ(i2)=i3,…,σ(ik-1)=ik,σ(ik)=i1且保持S中的其它元素不變,則稱σ為S上的k階輪換,記作(i1,i2,…,ik)。若k=2,這時也稱σ為S上的對換。下面介紹置換的輪換表示。設(shè)置換為其輪換表示為σ=(1357)(26)(4)(8)第八十五頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
輪換有下面性質(zhì):
(1)每個置換均可寫成一些輪換的乘積,使得不同輪換中沒有公共元素。例如,
長度為1的輪換往往忽略不寫,即上式通常記為(23)(456)。
(2)同一置換中任何不相交輪換可交換,因為不同輪換中沒有公共元素,這些輪換的次序可任意改變。如上式(23)(456)=(456)(23)。第八十六頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五(3)如果不計這種次序,每個置換可唯一表成沒有公共元素的一些輪換之積。
(4)每個輪換可表成一些對換之積。例如(1,2,3,…,n)=(1n)(1n-1)…(13)(12),所以每個置換中可表成有限個對換之積。這種表達式(甚至對換的個數(shù))顯然不唯一。但是,同一個置換以多種方式表成對換之積時,其所含對換個數(shù)的奇偶性是不變的。表成奇(偶)數(shù)個對換之積的置換叫做奇(偶)置換。顯然,兩個奇置換或兩個偶置換之積是偶置換,一個奇置換與一個偶置換之積是奇置換。第八十七頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五6.4陪集與拉格朗日定理
定義6.4.1設(shè)〈G,*〉為群,A,BG,且A,B非空,則AB={a*ba∈A,b∈B}稱為A,B的乘積。
【例6.4.1】設(shè)S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},A={(1),(12)},B={(123),(13)},求AB,BA。解AB={(123),(13),(12)(123),(12)(13)}={(123),(13)}第八十八頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
BA={(123),(13),(123)(12),(13)(12)}={(123),(13),(23),(132)}
一般地,|AB|≠|(zhì)A||B|,當G可交換,則AB=BA。當A={a}時,{a}B=aB。乘積的性質(zhì):設(shè)〈G,*〉為群,A,B,CG,且A,B,C非空,則第八十九頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
(1)(AB)C=A(BC)(因為群中所有元素都滿足結(jié)合律)。(2)eA=Ae=A(因為群中所有元素乘一幺元都等于元素本身)。定義6.4.2設(shè)〈H,*〉為〈G,*〉的子群,那么對任一g∈G,稱gH為H的左陪集(leftcoset)稱Hg為H的右陪集(rightcoset)。這里
gH={g*h|h∈H},Hg={h*g|h∈H}第九十頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五【例6.4.2】在S3中,H={(1),(12)},則
(13)H={(13)(1),(13)(12)}={(13),(132)}(123)H={(123)(1),(123)(12)}={(123),(23)}關(guān)于左(右)陪集我們有以下定理。第九十一頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
定理6.4.1設(shè)〈H,*〉為〈G,*〉的子群,那么(1)對任意g∈G,|gH|=|H|(|Hg|=|H|)。(2)當g∈H時,gH=H(Hg=H)。證明(1)只要證H與gH之間存在雙射即可。定義函數(shù)f:H→gH如下:對任何一h∈H,有
f(h)=g*h第九十二頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
設(shè)h1≠h2,則f(h1)=g*h1,f(h2)=g*h2,若
f(h1)=f(h2),那么由消去律即得h1=h2,與h1≠h2矛盾。
f為單射得證。f為滿射是顯然的。因此f為雙射。|gH|=|H|得證。同理可證|Hg|=|H|。所以一個元素乘以集合使該集合的基數(shù)保持不變。(2)由定理6.1.9立即可得。第九十三頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
下面幾個定理討論陪集的性質(zhì)。定理6.4.2設(shè)〈H,*〉為〈G,*〉的子群,有(1)a∈aH。(2)若b∈aH,則bH=aH。第九十四頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
證明(1)因為〈H,*〉為〈G,*〉的子群,所以G中的幺元e一定在子群H中,所以a=a*e∈aH,因此a∈aH,得證。
(2)若b∈aH,則存在h∈H,使b=ah,bH=(ah)H=a(hH),由定理6.4.1之(2)可知hH=H,因此bH=a(hH)=aH。
第九十五頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
定理6.4.3任意兩陪集或相同或不相交。即設(shè)
〈H,*〉為〈G,*〉的子群,a,b∈G,則或者aH=bH(Ha=Hb),或者aH∩bH=(Ha∩Hb=)。證明我們用否定一個推出另一個的方法。只需證明若相交則相同。
設(shè)aH∩bH≠,那么有c∈aH∩bH,因此存在h1,h2∈H使得a*h1=b*h2。于是a=b*h2*h-11。第九十六頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
為證aHbH,設(shè)x∈aH,那么有h3∈H,使得x=a*h3=b*(h2*h-11*h3)∈bH。aHbH得證。同理可證bHaH。于是aH=bH得證。對于右陪集Ha,Hb,同上可證平行的命題。第九十七頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
定理6.4.4設(shè)〈H,*〉為〈G,*〉的子群,a,b∈G有a,b屬于H的同一左陪集a-1*b∈H。證明設(shè)a,b屬于H的同一左陪集,則有g(shù)∈G,使
a,b∈gH,因而有h1,h2∈H,使得a=g*h1,b=g*h2。于是
a-1*b=(g*h1)-1*(g*h2)=h-11*h2∈H
反之,設(shè)a-1*b∈H,即有h∈H使a-1*b=h。因而b=a*h∈aH。而a∈aH顯然,故a,b在同一左陪集aH中。利用陪集還可定義陪集等價關(guān)系。第九十八頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
定理6.4.5設(shè)〈H,*〉為群〈G,*〉的子群,則R={〈a,b〉|a,b∈G,a-1*b∈H}是G上的一個等價關(guān)系,且[a]R=aH,稱R為群G上H的左陪集等價關(guān)系。證明首先證明R是一個等價關(guān)系。(1)a∈G,a-1∈G,有a-1*a=e∈H,所以〈a,a〉∈R,因此R是自反的。第九十九頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
(2)若〈a,b〉∈R,有a-1*b∈H,(a-1*b)-1=
b-1*a,因為H群G的子群,所以(a-1*b)-1∈H,即
b-1*a∈R,所以〈b,a〉∈R,因此R是對稱的。(3)若〈a,b〉,〈b,c〉∈R,則有a-1*b∈H和
b-1*c∈H,所以(a-1*b)*(b-1*c)∈H,而
(a-1b)*(b-1*c)=a-1*c∈H,所以〈a,c〉∈H,因此R是傳遞的。第一百頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
定理6.4.6設(shè)〈G,*〉為有限群,H是G的子群,那么|H||G|(H的階整除G的階)。
證明設(shè)R是G中的等價關(guān)系,將G分成不同等價類,由以上討論知由于這k個左陪集是兩兩不相交的,所以有|G|=|a1H|+|a2H|+…+|akH|
(6.4.1)第一百零一頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
由定理6.4.1可知|aiH|=|H|(i=1,2,…,k),將這些式子代入式(6.4.1)得|G|=k|H|
其中k為不同左(右)陪集的數(shù)目。定理得證。第一百零二頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
推論1:有限群〈G,*〉中任何元素的階均為G的階的因子。證明設(shè)a為G中任一元素,a的階為r.那么令H=〈a〉={e,a,a2,…,ar-1},則H必為G的r階子群,由定理6.4.6,因此r整除|G|。推論2:質(zhì)數(shù)階的群沒有非平凡子群。第一百零三頁,共一百八十二頁,編輯于2023年,星期五
證明如果有非平凡子群,則該子群的階必是原來群的階的一個因子,則與原來群的階是質(zhì)數(shù)相矛盾。推論3:設(shè)〈G,*〉是群且∣G∣=4,則G同構(gòu)于4階循環(huán)群C4或Klein四元群D2。證明設(shè)G={e,a,b,c},其中e是幺元。因為元素階只可能是1,2,4。若有4
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