離散數學第章命題邏輯2

第3章命題邏輯3.1命題的有關概念本講內容什么是命題1命題的真值2原子命題與復合命題3邏輯常量與邏輯變量4命題之間的還有些什么關系?認知關系:我知道…偏好關系:他喜歡………邏輯關系Chapter3命題邏輯邏輯學是研究思維形式及思維規(guī)律尤其是推理的學科.邏輯推理無處不在.亞里士多德(Aristotle,公元前384~公元前322)是形式邏輯的創(chuàng)始人.數學,物理學,化學,天文學,地學,生物學,邏輯學.(MBA,MPA,招聘等)萊布尼茨(G.Leibniz,1647--1716)是數理邏輯的創(chuàng)始人.

傳統的數理邏輯(內容包括邏輯演算、公理化集合論、模型論、遞歸論和證明論).應用邏輯,如多值邏輯、模態(tài)邏輯、歸納邏輯、時序邏輯、動態(tài)邏輯、模糊邏輯、非單調邏輯、缺省邏輯、數字邏輯、電路邏輯、算法邏輯及程序邏輯等,這些都與計算機科學密切相關.計算機如何進行邏輯思維的—計算思維培養(yǎng).命題邏輯與謂詞邏輯是數理邏輯的基礎部分.本章學習命題邏輯.命題邏輯的研究對象是命題.3.1命題的有關概念計算機的計算過程就是推理過程,而每一步推理離不開判斷,判斷的對象就是命題.1.什么是命題?命題是能判斷出真假的語句.從三個方面去理解：(1)命題必須是一個完整的句子,包括用數學式子如代表的語句.(2)所給語句具有真假意義,即有是否符合客觀實際或是否合理之分.一般來說,只有陳述句才具有真假意義,祈使句、疑問句和感嘆句不具有真假意義;(3)能判斷出真假.要是將來某時候能判斷出真假也行.例3-1

判斷下列語句是否是命題.(1)遼寧艦是中國的第一首航空母艦.(2)我喜歡智能手機和平板電腦.(3)x>3.(4)立正！(5)這朵花真漂亮！(6)你要我的手機號碼是想給我充話費?(7)火星上有生物.(美國Discovery號:火星上有水?2012年著陸火星的Curiosity號,1+1=2)(8)我說的都是假話.(9)小王和小李是同學.(10)你只有刻苦學習,才能取得好成績.歌德巴赫猜想:至今已200多年.(1)1+1=2:大于4的偶數是兩個奇素數之和.6=3+3;8=3+5;10=3+7=5+5;12=5+7;…(2)任何大于7的奇數是三個奇素數之和.9=3+3+3;11=3+3+5;13=3+3+7;15=3+5+7;…陳景潤(1966)的“陳式定理”:1+2=3,任何充分大的偶數是一個素數與兩個素數乘積之和.2007年11月15日重慶商報,大坪67歲羅仁德破解.1935年出生的河北的何寶起自稱破解,奔波8年無人理.2.命題的真值(truth)命題的真值就是命題的邏輯取值.經典邏輯值只有兩個:1和0,它們是表示事物狀態(tài)的兩個量.若一個命題是真命題,其真值為1;若一個命題是假命題,其真值為0.實際上在數理邏輯中,更多時候邏輯真是用T(True)或t,邏輯假用F(False)或f表示的.3.原子命題與復合命題若一個命題不包含有更小的命題,則稱其為原子命題(atom){當時認為原子最小?}或簡單命題,否則稱為復合命題(compoundproposition).原子命題是命題邏輯研究的基本單位,區(qū)分原子命題在后面命題的符號化時是很重要的.通常用小寫英文字母p,q,r,s,…或帶下標p1,p2,p3,…等來表示原子命題,如用p:2+3=5,q:今天我們上課.4.邏輯常量與邏輯變量把1和0稱為邏輯常量(logicalconstant).在邏輯表達式中出現的p,q,r或p1,p2,p3等稱為命題變元(propositionvariable)或邏輯變量(logicalvariable).命題變元可以代表任意命題,從取值的角度看,命題變元既可以取1又可以取0.課堂練習習題3.11,2.小結命題的概念命題的真值原子命題與復合命題邏輯常量與邏輯變量第3章愧命清題邏依輯3.竄2邏輯若聯結殘詞本講捧內容p,pq,pq12pq,pq,pq3pq,pq,pq3.譽2邏輯烤聯結次詞邏輯潤聯結作詞就幟是邏桐輯運茅算:復合媽命題嚷是由貨原子閃命題狀構成帽的,它需肝要聯淹結詞.給定縣了原縮慧子命榮題,使用邏輯去聯結尚詞可以漁構成移復合且命題.邏輯鉗聯結澤詞類章似于航自然慨語言壯中的逐連詞.1.否定(n樸ot車)聯結召詞:貝pp:常2稍+共3覆=進5,保p:網2朵+競3觸廊5.p是數躺理邏妙輯中度的標準孔符號,也可噸記為~p,害C語言!p,在計插算機苗其他自課程柿中用,對應蟻于邏輯門電依路中厚的“非門”.pp10012.合取(a杜nd樹)聯結集詞:pqp:小李乓能歌,q:小李槽善舞.pq:小李政能歌眼且善溫舞.合取行“”相栽當于勺“并且”,當“和”,顯“與”,勺“以及”等.pqpq111100010000Re畏ma棚rk(1孤)腿“小王妖和小趣李是恨同學觀”中勢的“旱和”睬沒有妖合取多之意.(2論)在數貢理邏勿輯中,合取公聯結舟詞可葬以將任意兩個享命題病聯結煙起來投以構朵造出芳新的捆命題,如用p:唉2已+歷3四=搞5,q:今天銀上課,則pq:2跑+艘3正=鳴5且今鮮天上始課.下面煉要介禾紹的家其他衛(wèi)聯結局詞都膠是這繼樣理總解.(3辨)p:小李剝結婚沖了q:小李味有小貌孩了pq,qp?pq:p&q,p&則&q,pq=pq,對應音于“與門”.3.析取(o疾r)聯結弦詞:pqp:這學躁期我童選修脖人工岔智能果課程,q:這學遙期我音選修須模式惡識別懼課程.pq:這學腿期我撐選修晃人工頃智能亦課程榜或者撿模式喊識別析課程.析取混“”相懷當于瓜“或者”.p|q,p揮||q,p您+q(“或門”).pqpq111101011000本講屬內容p,pq,pq12pq,pq,pq3pq,pq,pq4.異或(e花xc包lu捕si聞ve稀o鞏r,XO粉R)聯結螺詞:pq自然倍語言禿中的壟“或乞”:(1耀)“可兼雨或”(i汪nc簽lu老si覽ve瘋o梅r)響,它表勒示兩伸者可抖同時陜?yōu)檎?用析杰取表災示即爹可.(2權)“不可扶兼或次”,它表夸示兩述者不顯能同學時為漏真,換句姓話說,兩者波同時屑為真攀是假挪命題.這就詢需要收異或得聯結理詞.p:明天啄去深霜圳的酷飛機病是上貌午八猛點起紡飛,q:明天牌去深寧圳的海飛機旁是上挺午八樓點半濱起飛.pq:明天結去深撥圳的丙飛機份是上譽午八遺點或森上午重八點編半起派飛.本學掛期張企三或李四祥當選乘為班來長.今天覽晚上綱在寢潛室上示自習始或去電影冠院看3D電影.沖(都在懸寢室?確7:植30勁?)與異貓或聯挽結詞床對應月的門滔電路喂為“費異或脾門”.一般歌來說,只要病不是棗非常柜明顯彈的不例可兼患就使舍用.pqpq1101010110005.條件(c撥on清di剖ti就on茄al田)聯結螺詞:pqp:我有朵時間,q:我去惕看望磚我的暢父母.pq:如果禿我有窄時間,那么擁我去豈看望甩我的庫父母.“”相當秀于“如果…那么…”,頃“若…則…”,等.pq可讀邪作“(若)p則q”.pqpq111100011001蘊涵使聯結靜詞也鈴可以醉稱為條件顯聯結摟詞.在pq中,p稱為罷前件,q稱為塔后件.當p=果1,q=榨1時pq=踏1;當p=柔1,q=燃0時pq=繁0,這是胞比較率好理勾解的梢兩種艦情形.規(guī)定席的合串理性島見下剩面的短例子.(1等)如果涼太陽本從西列邊出隊來,那么2焰+搬3養(yǎng)=晴5.(2罪)如果評太陽秩從西紡邊出述來,那么2末+肚3乒=恐4.實際呀上,在根差據子死集的依定義士證明1.革1節(jié)的世定理:對于崗任意聚集合A,有延A時,就要螞用到待上述冒實質濕蘊涵街的定泄義.同樣,在理侵解關產系的繞自反渡、反膠自反字、對戶稱、績反對和稱及桃傳遞只性質囑時,也要姿用到夫上述妹實質拘蘊涵若的定疤義.當然,在現己代邏黑輯中,對蘊被涵的截不同倆理解欠會得觀到不行同的弦邏輯聽系統,如由嚴格盯蘊涵得出貓模態(tài)沸邏輯襲系統.6.雙條知件(bi蠢co毫nd室it會io拜na訴l)聯結股詞:pqp:四邊左形是疤平行誓四邊冶形,q:四邊因形的想對邊鉛平行.pq:四邊凱形是迎平行參四邊歉形當卵且僅塑當四升邊形辛的對孤邊平略行.pq:可讀推作“p當且壩僅當q”.雙條傍件聯結沒詞“”相除當于蘇自然避語言弱中的喇“當刷且僅士當”蘋、“炕充分歉必要華條件考”,其英亡文為if故a得nd肯o瘋nl松y立if馬,縮寫腎為if詢f.“p當且頸僅當q”有兩也層含鞠義：(1案)典“p當q”是指qp.室(2器)獅“p僅當q”是指pq.正因事為此,等價衫聯結倉詞又間可以衣稱為雙蘊唱涵聯覆結詞或雙條倒件聯禿結詞.數字啟邏輯新等課做程組的“舌同”,并用軟“⊙”表示.pqpq111100010001本講魔內容p,pq,pq12pq,pq,pq3pq,pq,pq7.與非(N嫌OT言A啊ND闊)聯結激詞:pq在數蛛字邏開輯以忘及計虧算機翼組成散原理顏中“”沒佩有專番用的河運算冠符號,“p與非q”直接請記為,對應輪的門忽電路上為“鉛與非捷門”.8.或非(N旅OT音O塌R)聯結嘗詞:pq在數肉字邏吳輯以志及計體算機第組成耀原理扮中“”沒竟有專兼用的敏運算涉符號,“p或非q”直接陽記為,對應僅的門畫電路營為“懶或非芽門”.9.條件姓否定(N揉OT序-I版F-歇TH墳EN旺)聯結柔詞:讀作超“p條件中否定q”,其中n表示吊否定no圾t.“p條件恨否定q”可直嫂接記己為上面隔介紹監(jiān)了1個一賣元邏尾輯運役算、8個二箏元邏敵輯運圾算.后面尾將證哄明：暴不同難的一爬元邏諷輯運漏算和吸二元火邏輯刺運算泳共9個.要求冬理殊解記藏憶上術述9個,特別滅是最械前面逆的6個聯竿結詞繁的運與算表.思考蓬如旱何定遍義三顛元邏蛇輯運傷算?課堂脫練習習題3.螞2叫1霉—6份.小結p,pq,pqpq,pq,pqpq,pq,pq第3章小命攜題邏蠶輯3.倉3命題足公式嫂及其筍真值付表本講保內容命題公式的定義1命題的符號化2命題公式的真值表3命題公式的類型43.漲3命題符公式善及其菌真值紗表有了具前面鳴的兩妻節(jié)內浸容,就可警以得酒到命字題邏似輯的污符號麥體系.1.命題煎公式(p多ro至po愚si愁ti直on爐f仔or螞mu其la塞)的定墾義邏輯目函數(l蓋og靈ic蝴al榴f脾un殖ct梳io燒n)邏輯環(huán)表達汗式(l懲og咸ic碎al膠e扮xp希re壇ss李io啞n),其中標的常煎量是屈邏輯晴常量1和0,其中搖的變降元是擾命題眼變元宴或邏滑輯變葬量.命題劍公式眼是由次命題逃常量銅、命立題變踐元、堪邏輯賽聯結城詞、禮左圓首括號春及右迷圓括舉號構勻成的嫁有意聲義(we行l(wèi)l洲-f悄or劍me晨d)的符野號串,其嚴擦格定牧義需蛋借助巴于遞露歸定凱義方痰式給約出.De肅fi糊ni云ti戲on趟(1熱)1巨,革0,p,q,r,麗…(2烘)A訪(A)(3色)A,B(4碧)有限凡次應半用(1集)(蔑2)心(3挎)所得繼到的圍符號影串是錄僅有摧的命城題公蟻式.命題烤公式可稱喇為合式蛛公式(W策el勿l-谷Fo港rm齊ed娘F數or席mu俊la猜,缺WF葉F)或簡廉稱為公式,其全睡稱為命題犁合式膛公式,是書涂寫正預確、醋含義追清楚元的表隙達式對或者球說符漲號串.借助繞于函數給命育題公搞式下賞定義.可以困省略括號采的約骨定:(1傾)最外膛層的功括號慣可以胡省略.在形許成最唉終的饒命題齡公式陡時,所有紡的中厲間過媽程得搶到的版命題稠公式,包含責其本顏身,都稱爐為該識命題俗公式襪的子公臺式.(2澇)借9個聯躲結詞攻運算澇的優(yōu)挎先順知序依突次為:符合弟本約吩定的掠有些今括號可以不寫.如命皺題公隊式Re畏ma決rk這種躬規(guī)定傭不是還唯一羞的.(3梳)同級肯運算猶從左尊至右飛依次鴿進行.如實際辟上,在對簡命題隆進行陰符號曬化時,只要奴書寫招正確從的邏穗輯函肢數都往是命捉題公總式.2.命題廉的符民號化命題惑的符尚號化賀就是堤使用劣符號—命題餐變元章、邏鳳輯聯傻結詞盒和括象號將漆所給蛇出的仆命題尚表示宏出來.符號忌體系祥來源父于實憐際問高題.給出慮進一征步學銷習邏辛輯演割算系顛統的眼語義神解釋幣時的肝一種凍標準捉模型.命題艇的符支號化請的步胸驟:St濃ep泳1找出扔所給愛命題年的所京有原喇子命譽題,并用什小寫民英文點字母缸或帶亂下標院表示炕；St跡ep頁2確定秋應使裁用的速聯結仇詞,進而憶將原蒜命題裂用符街號表碑示出亂來.例3-漁7將下醉列命握題符沉號化.(1裝)天氣甚很好臉或很焰熱.(2館)如果因張三抬和李拼四都渣不去,那么撞我就咬去.(3圓)僅當琴你走,我留辰下.(4后)我今寨天進嚷城,除非膽天下咐雨.(5斑)你只牛有刻非苦學克習,才能雄取得價好成粉績.So罩lu書ti貝on喜(雪1)用p:天氣撲很好,q:天氣山很熱“天氣竊很好賞或很琴熱”可符普號化惡為(2透)用p:張三半去,q:李四社去,r:我去.則原憐命題昨可符馳號化光為(3年)用p:你走,q:我留題下則“僅當你走,我留道下”可符騰號化枝為(4膊)p:我今刺天進唐城,q:天下焰雨.除非=如果蚊不.(5膚)p:你刻送苦學免習,q:你取石得好蓬成績.只有p,才q?本講奔內容命題公式的定義1命題的符號化2命題公式的真值表3命題公式的類型43.命題繡公式努的真舊值表命題享公式所的真踏值表差就是母命題悼公式旬的取哄值情植況表.若對填中出老現的舅每個父命題棄變元鎖都指訓定一悄個真逃值1或者0,就對抓命題筍公式A進行棄了一調種真值足指派或一絹個解釋,而在殺該指諷派下植會求冠出公價式A的一漂個真乳值.將A的所樹有可縱能的孕真值潤指派艇以及柴在每音一個社真值磨指派因下的帆取值椅列成抱一個褲表,就得僵到命壺題公趴式A的真值塞表(t踩ru陳th敗t階ab彎le帶).例3-裂8寫出富命題護公式屢的評真值即表.

pqrppq(pq)r111011110010101001100001011111010110001111000110要求職大家決能準耕確寫品出一耍個命貼題公徑式的貌真值造表,這是有本節(jié)匪的重點憲內容,當然撈必須校牢記懇聯結筒詞的律運算嫌表才蜻行.由表跑知,含3個命飲題變筍元的兵命題搬公式膀有8襯=評23種不蜘同的仆真值鑼指派.很顯脊然,含2個命枕題變像元的販命題昂公式標有4吼=酬22種不杰同的蠻真值侄指派.含n個命淹題變犯元的湊命題攀公式揀的不嚇同的六真值洲指派羞有2n種.4.命題貢公式干的類汽型(1循)在任常何指時派下友均取掀真的幟命題姻公式輸稱為譽永真巨式或尼重言代式(t潛au孕to森lo即gy挎)；(2撫)在任芝何指日派下孩均取溪假的殖命題郵公式稍稱為燭永假哥式或傾矛盾遲式(c仗on枕tr奮ad汪ic狗ti卵on妄)；(3戶)至少紡有一呆種指茅派使疊其為要真的甲命題轎公式回稱為可滿灑足式(sa岡ti姐sf浮ac將ta曾bl緣瑞efo佳rm販ul蔽a)；(4促)至少耳有一怕種指你派使娘其為伯真同們時至副少有猛一種憲指派雪使其霉為假稈的命料題公惹式稱氣為中性擊式(偶然蓋式)艙(co氣nt婆in漆ge籌nc雷y).例3-鎖9真值姨表法?pqpqpq111101011001例3-生10Pr銀oo敘f由A=1可推艇出B=材1,則AB永真.由B=0可推蝦出A=叨0,則AB永真.取值名法?(本質赴上是遇真值限表法)最后摸介紹毛永真下式的禁代入告定理RS約(R動ul跡eof章S厲ub鮮st眉it匆ut估io逝n)廚.Th墳eo懶re迅m驕3-辜1(永真責式的啟代入澆定理)如何飯使用?小結駱與作鏡業(yè)命題公式的定義命題的符號化命題公式的真值表命題公式的類型習題3.31(雙),2(雙),4,5,6(雙)作業(yè)第3章細命婚題邏物輯3.歌4邏輯要等值閱的命題寶公式本講予內容邏輯等值的定義1基本等值式2等值演算法3對偶原理43.攔4邏輯核等值通的命腰題公測式命題“四詞邊形脈的對棵邊平督行”平與碎命題判“歪四邊開形的湯對邊合相等總”是逝邏輯劑等值畝的,它們在邏并輯上席說的留是同幟一回堡事.上述渾兩個略命題宴的真值值是陽相同銳的.下面漂討論著兩個得命題辰公式狡邏輯鞭等值.1.邏輯脅等值拍的定璃義De撐f給定替兩個負命題怖公式A和B,若在賭任何乒真值刪指派嬌下A和B的真呈值都戴相同,則稱忽命題者公式A和B邏輯醬等價或邏輯蛇等值(l錄og尿ic任al腦ly驅e農qu擋al踐)或簡維稱為等值或相等,記為A=B.Re鋼ma王rk墨“=沸”是命盲題公度式之惜間的蜻關系圣符號.AB?Th頂eo躬re嚷m托3-鼠2A=B的充盡要條工件是AB永真.Pr鋼oo悄f套C圾le避ar慘ly取.下面和的例答子說提明如吉何利用噸真值跟表(第一洪種方這法)證明謝兩個稻命題利公式脂等值.例3-無11證明:

p

q

pq

ppq11101100000111100111Th技eo蜓re細m福3-桶3例如,Th鍛eo怠re梢m邏輯錫等值鞭是命鍬題公膝式間淚的等娛價關跑系:(1饞)自反,攀(2眾)對稱,應(3夸)傳遞.Pr君ob與le陸m等價攀類是泰什么?2.基本盲等值字式(I縣)與,挎,續(xù)有關孩的等嫩值式Th活eo側re輩m身3-微5(1讀)(2讀)(3環(huán))(4碼)(5己)(6縱)(7城)(識8)向(9秀)(知10貌)Re薪ma竟rk良s(1柄)與集球合的崖有關桑性質罰類似.(2抬)每條醉性質司均可化證明.(I訊I)其他貪重要箏的等愿值式Th谷eo傍re淡m(1榆)(2垮)(3寄)(4幫)(5拋)(6貫)Pr添oo妖f(沙?)3.等值傲演算敗法基本億等值喇式有英很多幅用途,如化鑒簡命買題公奸式、飼判斷徑命題協公式迎的類蟲型、呢證明撒等值改式、雪計算味命題繞公式造的范誼式、斜命題殲邏輯升中的寧推理坊等,要求森大家升要熟藏記,特別齒是定侵理3-霧5中的定等值首式.在使躍用等放值式跑時,常用水下列來的等算值置瘡換定零理RR雜(膽Ru橋le雁o媽f黃Re巨pl械ac到em議en笑t)曉.等值饞置換封定理設C是命爆題公醉式A的子宮公式,若C=D,則將A中的C部分兵或全承部替嶄換為D所得勒到的欺命題輸公式從與A等值.利用亂基本劑等值竄式以冷及等旺值置備換定蒙理求貸解問徐題的麗方法蠻稱為牧“等旨值演異算法丸”.例3-間13化簡(?)下列遼命題字公式抗并將妹最后販結果灶用只藝含和表示.(1蜓)(2用)So豎lu梯ti售on虹(柳1)數字展邏輯銀、計套算機仇組成揭中經邁?；m簡單!利用續(xù)等值峰演算吼法,判斷橡一個饒命題往公式安的類恩型是融比較扔方便燦的.例3-嗽14設A,B,C是任絮意的城命題途公式,判斷坦下列船命題證公式爹的類精型:(1黑)(2淋)So模lu找ti攏on待(潑2)證明夠兩個敏命題附公式哄等值命的第貓二種膽方法:等值紡演算墊法.例3-咽15設A,B,C是任捕意的撈命題偵公式,證明屆下列戶等值慢式.(1娛)(2卵)Pr巷oo顏f泰(2私)4.對偶豆原理在與,棄,興有關的基爐本等芒值式饞中,除性由質(1唉)外,其它念性質廊都是羨成對亭出現陶的,兩者鄉(xiāng)豐間有罵一定亭的聯頂系.先給膀出命絹題公錢式的故對偶策式的賴定義.De拿f猶3-晶4設命蠶題公袖式A中至旅多含虧有3個邏煉輯聯偉結詞,頁,聽,澆(1)將A中的換成；(2)A中的換成；(3)A中的1換成0；(4)A中的0換成1,所得陣到的劃命題兇公式適稱為延是A的對覽偶式(d千ua橡l賢fo難rm紐奉ul承a)巴,記為A*.例如Re俗ma膨rk一般漸來說對偶您原理設A和B是命班題公遣式,若A=B,則A*=B*.有了港對偶訓原理委后,定理3-隨5中除映性質(1還)外的央等值組式,只需糾要記除住其旁中一息個就趣可以漢了.有了殘對偶禽原理,我們乞可以商求出隊任意襪命題撲公式毅的對羽偶式.小結嫌與作坐業(yè)A=B定義基本等值式等值演算法對偶原理習題3.45(雙),6,9(雙),11作業(yè)第3章判命扎題邏責輯3.乒5命題佩公式右的范池式本講歡內容命題公式的析取范式及合取范式1命題公式的主析取及主合取范式23.廟5命題尤公式煩的范縣式命題睬公式五的范炮式就懷是其標準類形式或規(guī)范上形式.有了傭命題盡公式南的范悅式,就可銜以不絮用寫杯出真合值表產就能估確定焦在何鬧真值滔指派鏡下取丈真以睬及在沿何真文值指都派下尿取假.1.命題螺公式請的析籠取范歉式及獲合取批范式(1普)析取災范式粒及合期取范今式的太定義De姐f窗3-具5設A是命潔題公講式,若A=A1A2璃…踩An(n1逝),其中Ai(1in)是由且命題粘變元慌或其束否定雹組成詢的合弱取式,則稱A1A2王…眨An為A的析叔取范腦式(d昌is叉ju分nc鍛ti徒ve失n炎or套ma狀l曾fo充rm俘).Re劉ma匹rk脈sAi=p軋qr,p說q,桃qr,q,婚r?n=忘1?如A=p讓qr=獻(p粒qr).De討f鞠3-禁6設A是命兇題公治式,若A=A1A2褲…萄An(n1棵),其中Ai(1in)是由效命題鐮變元宿或其云否定拒組成薦的析輕取式,則稱A1A2播…蘆An為A的合邊取范響式(c茶on葉ju應nc羽ti舌ve顆n坑or現ma劣l爺fo獻rm席).Re鋒ma款rk錦sAi=p徹qr,p包q,腦qr,q,糠r?n=辣1?如A=p午qr=唐(p及qr).若A=p扮qr,則p哭qr也是A的析餓取范希式.(2個)析取雹范式農及合鴿取范秋式的典計算St循ep膚1使用汪等值捆式,將命錦題公市式中器的聯組結詞貞歸約蓋為,莊,肅；St衡ep拖2利用De類M匙or蠅ga姻n律將移到喚命題抖變元小的前而面；St洲ep餃3根據薯分配覺律得占到命均題公彈式的達析取菜范式淋及合者取范茅式：A(BC)驕=專(AB)烈(AC)(求析肆取范押式用).A(BC)雜=毅(AB)爹(AC)(求合務取范墨式用).例3-摘17設p,q和r是命昂題變苗元,求命楊題公隔式A=威(pq)r的析鍵取范角式及無合取轎范式.So澆lu氣ti申on求命貧題公件式的謎析取搖范式棗及合獵取范誓式的St咬ep皺1和St平ep仇2是相絡同的.析取鑒范式:合取儲范式:(3示)析取抖范式血及合刮取范謝式的罰應用根據考命題槐公式水的析方取范灶式及昨合取形范式溪可分束別得縮慧出該夾命題鉛公式繳取真監(jiān)、假矮的指薦派.例3-部18從p,q,r,s四人侵中選追派2人出徐差,求滿裹足下女列3個條昏件的電選派衰方法困有哪遵幾種.(1禾)若p去,則r和s中只閉去1人；(2質)q和r不能棵都去晨；(3世)若r去,則s不能通去.So紐奉lu睬ti滿onp:p去出省差,q:q去出目差,r:r去出仇差,s:s去出鮮差,則(1炭)(2寨)(3外)(a)p,s去;(b)q,s去;(c)p,r去.2.命題義公式型的主詳析取發(fā)范式咳及主蓄合取拳范式一般協來說,命題摟公式家的析稱取范穿式及爭合取縮慧范式稈不是韻唯一賺的,如A=蹄(pq)低(p扭q)金=p都是A的析倘取范渡式.下面姐討論,給定姓命題貴公式識的唯越一的仁標準嫩形式盞：主柴析取拆范式織以及喬主合冷取范厘式.給定友命題厭公式,從A中命鄉(xiāng)豐題變蜜元產零生的巧最小迎項和話最大窗項的遣角度墾來討蛇論A的主汪析取咸范式測及主亂合取贈范式,在邏怪輯電錦路中蕉也會直討論罩其相襪應的滋標準檔形式.(1樸)主析媽取范偵式De掛f對于啟給定震的命盤題變舒元,若由淘命題伍變元化或其謹否定牛組成商的合伶取式毫滿足(1)每個抄命題服變元?；蚱洳胤穸ńg二者郊之一今只出丈現一館次;錦(2)按字飯典順件序或辦按下偶標從蠟小到杜大順得序出舊現,稱這禮樣的車合取察式為關由所核給命盼題變嶄元產碼生的最小孫項.對于維每一裁個最諒小項斑只有犁一種喪指派涼使其擱取1.可以訂根據器這個橡結論梯對最搞小項警編碼.最小礎項用稍表示mi,其下筋標是邁由成佛真指茫派得糕到的同二進捷制數泡或對讀應的捎十進念制數,對于耳最小活項pqr,成真擋指派寒得到快的二浸進制鉆數為11得0,因為(1涌10指)2=辭6,所以pqr=m11旦0=m6.表3-勇15項?De抓f對于栗命題攔公式A,若A等值惰于由A中所莫有命繞題變急元產遙生的芒若干柳個最餅小項賤的析爽取,則把俘后者為稱為A的主析腎取范挪式(m艱aj堂or辮d察is各ju菜nc藏ti拳ve幼f邪or迅m)勉.含n個命艦題變童元的燙命題抵公式,“若干錯個”臥最大星為2n,最小錯為0.所有丟最小柱項的議析取束為永趣真式1,而0個最肅小項瓣的析繩取意敢味著A為永嬸假式0,這時扶的主鄉(xiāng)豐析取艷范式淹不存褲在.除這翅兩種喚極端店情形控外,A均為冊中性鎮(zhèn)式.顯然,主析邪取范管式是認析取及范式,但反曠過來眾不成栽立.根據盛這個壺分析,我們逝得到蛇求A的主師析取聰范式賣的第程一種映方法買：等值沾演算勤法.利用壺等值儀演算塔法求A的主菌析取末范式愛的步掌驟為St爪ep不1求出A的析終取范題式；St揮ep背2利用碧分配譯律補夢充所賊缺少脈的命瓦題變元.由上招面的菊主析胞取范父式可惑知,使A取1的真仁值指拾派為(p,q,r)額=忙(1小,燃0,限0房誠),遍(摔0,餓1趟,告1)聾,禽(0塌,拴0,賢1振),燭(磚1,倒1蘿,午1)社.實際休上,我們本可以璃利用A的真扇值表嘴求A的主怨析取型范式.利用互真值捏表求花主析陰取范啦式的3個步蜂驟為St大ep沒1寫出趙命題論公式A的真溪值表爽；St受ep信2對于斑使A取1的指活派,寫出遮對應糖的最馬小項,使該洪最小貼項在風該指項派下染也為1；St危ep騰3何(可以堵證明)A等值鋤于所茅有這多樣寫捉出的拔最小嘉項的亂析取.例3-況20設p,q和r是命停題變等元,求命皺題公王式(pq)r的主永析取道范式.p

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q)r1111111010101111001001111010100010100001(2終)主合遍取范鼠式主合胸取范便式的構討論慶與主猜析取費范式演是類藝似的,為了兔方便吹自學,我們防還是牙進行她完整謝的討墨論.De租f角3-挨9對于敏給定挖的命圍題變穿元,若由活命題滑變元膽或其疑否定銅組成極的析探取式拒滿足(1)每個爪命題棚變元毫或其廣否定擺二者湊之一孔只出范現一駕次;古(2)按字茶典順黨序或授按下墓標從屯小到偏大順遭序出膚現,稱這跡樣的社析取寄式為認由所建給命均題變繩元產椅生的最大窮項(m芹ax揮im襪al憐t匆er敵m)約.對于剩每一旋個最熟大項略只有芽一種蓋指派帝使其曾取0.可以沉根據榴這個重結論挪對最塌大項娛編碼.最大麥項用賀表示Mi,其下著標是愧由成哲假指礙派得另到的犁二進烤制數貍或對驢應的饒十進唯制數,對于怎最大光項pqr,成真朗指派餐得到狐的二非進制從數為00肝1,因為(0匪01價)2=奇1,所以pqr=M00阻1=M1.De羅f俗3-貞10對于宏命題故公式A,若A等值巨于由A中所份有命俊題變嗓元產受生的吹若干豪個最過大項策的合滴取,則把搶后者壞稱為A的主宿合取超范式.含n個命高題變鼓元的士命題卵公式,“若干蛋個”奮最大漆為2n,最小初為0.所有錄最大絹項的胸合取織為永蜓假式0,而0個最繪大項騾的合庸取意桿味著A為永威真式1培,這時振的主病合取確范式餐不存允在.除這毀兩種亞極端粗情形徐外,A均為卷中性典式.主合流取范乒式是飽合取紋范式,但反抄過來跪不成哲立.根據須這個贏分析,我們包得到淡求A的主堆合取過范式腹的第葉一種罵方法吹：等值搖演算臂法.利用栗等值膀演算樸法求A的主教合取扇范式遍的步俗驟為St譜ep波1求出A的合攤取范粘式；St呼ep泊2利用藏分配槽律補誕充所劉缺少俊的命腥題變梨元.由上食面的浮主合鮮取范保式可前知,使A取0的真診值指通派為(p,q,r)慮=余(0水,勵0,挖0否),辨(抖0,陷1突,悅0)勞,妻(1軋,務1,棕0膏),萬(匪1,去0音,真1)座.實際景上,我們喘可以露利用A的真擇值表趙求A的主滴合取貫范式.下面路介紹切求的張主合籌取范逆式的拾第二籍種方哈法：真值爸表法.St斗ep群1寫出房誠命題恐公式A的真交值表脖；St級ep吹2對于政使A取0的指熄派,寫出溝對應五的最拜大項,使該臥最大括項在撞該指銷派下舅也為0；St蟲ep嚴3用(可以角證明)A等值跑于所帆有這遠樣寫哭出的家最大炭項的蓬合取.例3-慎22設p,q和r是命津題變按元,求命廈題公弦式(pq)r的主兼合取航范式.p

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q)r1111111010101111001001111010100010100001Th小eo付re演m蛙3-獄9任意沈非永暮假命渡題公沖式都適存在偽唯一厲的主丹析取膠范式;任意齊非永幻玉真命啦題公愧式都育存在巨唯一置的主舒合取爺范式.(1仔)命題蠅公式猴的主躍析取渴范式膝和主溫合取撫范式娛是等陸值的.(2捷)主析蹦取范攏式中背所含醫(yī)的最躬小項瘡個數訴加上擾主合鋤取范限式中猶所含刊的最零大項盒個數預等于覽該命紹題公登式的嫌真值糧指派最數目.(3海)可以饒從主臥析取昂范式惠求出振主合滋取范堵式,反過疾來亦救然(?).A.利用湊命題甩公式續(xù)的主帥析取敏范式激及主終合取需范式般判定卻其類鞏型.例3-跳23設p和q是命煌題變搭元,利用賤主范錘式判剩斷命香題公碑式p忙(pq)的類懶型.So配lu霜ti腥onB.利用構命題宴公式駛的主躍析取躁范式根及主蟲合取救范式敢可以運判斷潔兩個付命題唱公式問是否石等值.例3-匪24(1行)(2疫)C.在數宋字邏舊輯等的后繼蓋課程朵中的費應用.例3-加25設公搏式A的真播值表堂如下,求A.pqrA11111100101010010110010000100001將A化簡.門電藍路實篇現.解法1比解皮法2好,因為叫最小玩項的暮個數幼為3而最粗大項紡的個積數為5,所以爹在電倉路實繩現時添對A進行早的化掀簡要揪容易爬些.一般柳原則懷是,若取1的個雞數小菠于取0的個做數,求出額主析取取范吊式;若取0的個堵數小抓于取1的個共數,求出留主合督取范積式.同一穩(wěn)個命托題公殃式的子主析境取范價式與叔其主株合取鍛范式摔是等沫值的.只要牛給出鉆了一冤個命哄題公施式的友真值百表,就可上以將購該命雄題公憐式(的表葬達式)求出扛來.這一幼點在3.爽6節(jié)中燦也會臥用到.另外,根據詠真值撓表法尸可知,若得中出了銜命題輝公式累的主咽析取側范式,則可袍以得蔑出使碎為真頂的所樸有指惡派,進而欠得出劣使為瘡假的運所有澆指派,因此末可以都得出按命題陣公式侮的主竹合取棉范式;反過寫來亦鈴然.小結編與作賄業(yè)命題公式的析取范式及合取范式命題公式的主析取及主合取范式習題3.51(雙),4,5(雙),7(2),8作業(yè)第3章蔑命全題邏搏輯3.修6聯結蒸詞集林合的批功能縱完備田性本講扛內容聯結詞的個數1聯結詞集合的功能完備性23.粥6聯結由詞集播合的串功能脅完備趟性前面突介紹增了9個聯擾結詞,我們朱想知乓道(1黎)期(1元和2元)聯結提詞一裝共有棋多少跟個.(2續(xù))哪些液聯結哀詞集迫合具聲有功弓能完賞備性.這些只內容撲可以窗從一聾定的殿理論堆高度勞幫助湖理解滔邏輯藥門電某路的復種類好及其需按一更定要蕉求化朝簡邏濱輯函遞數等蔬問題.1.聯結勝詞的偵個數由p和q可構運成不等娃值的命訂題公款式共222=晝16個(??),記為Ai(i=1附,缸2,束…取,慎16鐵).p

qA1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15A16111011001010101010101010010110010110011001100110100101001000110101101010集合閑運算養(yǎng)與邏己輯運輔算之葛間有匙緊密削的聯積系.問題1能否清類似竟于真井值表衡形式暖給出慚集合遭運算挺的定書義?若能,如何嗓給出?前面倡已經普說明陰了,不同石的1元和2元邏僑輯運源算共9種(3元邏尚輯運嚴算更睬多),而集凡合運摘算只暴介紹充了5種.問題2給出派另外4種集常合運疲算的撇定義.問題3君9種邏龜輯運理算與9種集禍合運燭算是死如何瓜對應素的?2.聯結愉詞集等合的缺功能妙完備連性有些礎邏輯丙運算脫可以患借助駛于其畢他聯群結詞殃加以洪定義.有些合聯結逐詞如就不跪能由和加以改定義,這涉穩(wěn)及到燭聯結凳詞集漸合的技功能擊完備昆性.De附f嗚3-盤11對于今若干促個聯助結詞肅組成死的非決空集杏合S,若任嫂意的議命題箭公式蜂都可谷由僅嗓含S中的微聯結賠詞等診值地殖表示她出來,則稱S為功堪能完撿備聯大結詞您集(c刻om堆pl祝et成e小gr涼ou攤p池of陜c厲on裹ne怎ct揉iv密es槽).將S中的涉聯結鹽詞理嫁解為私門電染路,則S是完襪備的鄙是指沉任何幣的組上合邏序輯電爭路都蘆可以商由這掉些門凳電路阿實現.任意差命題評公式策都存抗在唯品一的嘩主析伏取范瞧式或挽主合城取范壓式,于是擇任意姥的命錯題公冒式都聾可以炕由,擋,綢等值挪表示改出來.因此,有Th頁eo殼re預m{,搬璃,很}是功另能完免備聯找結詞碗集.Co傍ro甚ll殃ar烈y套(顆1)化{}.袍(脆2)攤{}.年(3婦){,疾}.(4牧){,晃}.頁(鐘5)逐{,失}.Pr羨oo狗f杠(1凡)例3-桂26So激lu維ti戚on{,瀉}?例3-五27So則lu繭ti獄on{,冊}?下面布考慮幣不具著有功探能完波備性含的聯鬧結詞器集.例3-我28{,}?Pr閣oo榨f首先違證明,對于置只含鋒有聯儲結詞附的任敬意命析題公弓式A,在所蝴有命棉題變猶元均土取1時,A的真報值為1.對A中所升含的刮聯結香詞個統數n使用袋數學宴歸納賊法.n=胃0?AB,AB?其次違說明p幻玉p?De登f捧3-濾12設S是功就能完猛備的衛(wèi)聯結蔬詞集,而S的任憤意非我空真旬子集賊都不愚是功智能完夫備的撤聯結矮詞集,則稱S為最(極)小的功甲能完是備的扭聯結莫詞集.Th障eo維re煎m坦3-姜11下列粉聯結喂詞集倒是最壓小功輕能完參備的:(1置){}.(2辛){}.(3閥){,旬}.(4艦){,濟}.(5陰){,興}.知道娛了邏傳輯運照算的炭個數善以及弱最小夠的功瘦能完開備的牛聯結俗詞集,對于薪我們訓進一壟步學襯習、稱研究漢邏輯紫演算餅形式贏系統熄是有螺幫助珍的.在實氏際應褲用中,聯結凈詞“”以臭及“”可扛推廣勺到多儉個命進題變議元上豪去,如拌“與糾或非應門”樹等.小結聯結詞的個數聯結詞集合的功能完備性第3章揀命取題邏擦輯3.惕7命題范邏輯仁中的藍推理本講蟻內容推理形式有效性的定義1基本推理規(guī)則2命題邏輯的自然推理系統33.魂7命題狼邏輯躁中的騾推理邏輯佳學的短主要序內容當是研應究推配理,推理腔是從匆一些跑前提廳推出村結論勉的思幻玉維過渡程.數理云邏輯練主要泉是用瘦數學擦的方米法研廁究邏釘輯中昂的推辜理,它關喂心的寨是推理亭形式靈的有食效性問題.下面磨兩個悼不同窄的推里理(a者)若兩也直線涉平行,則同劫位角足相等,這兩醫(yī)直線砍是平芹行的,所以,同位姨角相基等.(b姿)若兩薪個三幣角形蝦全等,則其麥對應妨邊相逗等,這兩律個三急角形魄全等,所以,它們炕的對暗應邊波相等.都具泉有如姑下的們推理趣形式:由pq,p得出q.所謂謀推理社形式喊的有判效性饒是指,如果滔前提個全為吊真,那么非所得賓結論別必然屆真,而不地考慮漁前提歲和結句論的尖真實父含義.有效原的推辛理形靠式是鎖四?？〗詼梳灥耐飘斃硪?guī)似則.1.推理碗形式灰有效柜性的憲定義De作f例3-姨13飲(l廟og爺ic照al玻ly扇f圈ol執(zhí)lo薄ws棟)Th懂eo啊re蛾m的充兄要條廳件由上智述定欠理,知“”期是關扎系符皆號,它與捷蘊涵嘴聯結抬詞兼“”是森不同如的.從推吩理的萍角度作看,將“=”寫成許“”更中適合:Th獎eo施re包m頑3-貍13設A和B是命船題公嶼式,則A=B的充烏要條家件是AB且BA.Hi工nt命題刺公式鴿間的朋永真蔬蘊涵浩關系飄是偏怨序關插系.(1挽)AA(自反款性).(2融)若AB且BA,則A=B(反對軌稱性).(3頸)若AB且BC,則AC(傳遞循性).命題英公式脈間的關系拜還具奏有下掉面兩拴條性神質.Th總eo盡re景m需3-傷15(1必)若AC且BC,則ABC.(2悉)若CA且CB,則CAB.Th堡eo致re籍m鋒3-康16設A,B是命駁題公拒式,則對膝于命酷題公誤式間谷的“”關系:(1蘿)su賠p{A,B}營=AB.(2距)in瞧f{A,B}音=AB.2.基本輩推理迅規(guī)則下面寒舉例鏟說明,證明在推理圾形式此有效催性的4種方遼法.例3-銜29設A和B是命辭題公遷式,證明:AB,AB.分析:所(pq)pq永真?Pr齡oo傳f豈1真值價表法.Pr秩oo析f襪2取值云法.(pq)p=梁1,q=禮1?Pr涼oo禍f茫3等值教演算砌法.(pq)pq=煤1?Pr恰oo郵f拿4主范確式法.主析男取范擾式:主合書取范湯式:不存環(huán)在.基本摟推理頁規(guī)則或基本抽蘊涵板式I.(1鏈)(2胳)(3對)(4)(5)(6)(7)(8)基本繞等值磁式E:表3-吉24屠.3.命題鋼邏輯日的自棵然推宮理系妙統作為想推理襲系統,原則景上有斬以下塌四個扭部分恥：第一,它應貿有初哀始符添號,它是校系統滴中允例許出忘現的匯字符.自然棒推理夏系統凱的初余始符楊號有3類:(1懂)命題讀變元.(2己)膨5個聯葛結詞.(3爐)左右換圓括車號.第二,定義悼推理享系統膏中的催公式,它是限按一蠅定的脆形成貞規(guī)則溫得到漢的有作意義提的符尋號串.粗略悟地說,它就脆是命口題公敏式,但它拘原則某上不生出現杏除,脅腦,暈,堅腐,跳外的朽其它閣聯結擇詞,同時非原則濱上不怪出現逃命題只常量1和0.第三,確定窩公理,就是只推理助系統粱中不行加推侄導就曾承認頌的公付式.從語畏義的允角度煩看,它就蘭是永龍真式.自然糾推理還系統疏中沒擾有公易理,這一禍點是六與公棍理推節(jié)理系活統截鹽然不寧同的.第四,確定旁推理器規(guī)則.在自中然推耀理系僵統中,把所記有與5個聯善結詞疫有關違的基料本邏快輯蘊炭涵式牙都作棟為推篩理規(guī)螺則(見表1)跨,同時,一個諷基本馳等值暴式(見下兩表2)相當量于兩體個基迷本邏造輯蘊州涵式.兩個族最基敵本的垂推理續(xù)規(guī)則姓：P規(guī)則所給警的前金提在仔證明色過程理中隨抬時可燈以引遙用.T規(guī)則已經施推出胃的公情式在勻以后蕩的證劃明過疊程中連可以女隨時婦引用.自然尤推理鍵系統盈的顯扁著特燭點是眉沒有警公理,作為抬推理鞠依據攝的只摘有推按理規(guī)哲則.這似陳乎更黑符合陷人們由日常想思維奶的推燙理習鏡慣,因此壞稱為旗自然尸推理.在進扎行自娘然推兩理時,采用稿構造姓性證波明方翠法,簡稱現“構造關法”,更準樓確地古應該櫻說是臣數理史邏輯旋中的棕演繹(d通ed未uc找ti廢on詞)法.通過艙一個臨例子竿了解豎證明末的書也寫格親式.例3-辯30使用斃構造紫法證育明:Pr獻oo菊f(1梅)psP(2肚)pT(吹1)里I(3辣)sT(蓄1)羨I(4槐)p(qr)丑P(5雖)qrT(沿2)駁(4勻)I(6夏)s沿qP(7憑)qT(策3)栽(6鴉)I(8煎)rT(排5)哈(7金)I從證而明過么程可堅以看反出,每一符行由3部分饑組成哈：第央一部芽分是賓編號,說明怪它是企證明舉的第酬幾步尸；第讀二部呢分僅辟寫一胃個命埋題公忘式,實際玻上編高號也踏說明疑了它察是第搶幾個擾命題耀公式;第三欣部分愈是寫舉理由,交代偶該命吊題公追式是滲怎樣擔得來礦的.初學拒者最帶感困顏難的鼠是,如何際一步易一步董的構饑造出蝴從前吐提到嫩結論臣的證蝦明過螞程.與其掃它證制明題絹一樣,可以懂先進湖行分接析(?易).一個惕推理悄形式熱是有活效的,實際覆上是棟指符膝號推仗理是果正確沉的.要證最明一胖個推箏理形愛式是認有效錦的,首先拒將所橫給的愿前提介和結賊論符義號化,再證奧明這雞個符視號推吼理是港正確宣的.例3-損32用構偏造法拐證明丈下列寧推理傷形式油的有井效性坊：如瞞果小胳趙和詢小錢統去上撓自習,則小吳孫也菌去.小李源不去蜜自習飯或小儀趙去抖自習,由于魄小錢綿和小喂李已兆經去貿自習如了,所以墊小孫健也去駁上自脆習了.下面衡介紹海兩種預間接群的構凡造性寶證明漢方法.(1帆)反證浪法要證牌明,將結盾論C否定鮮得到C,然后辱推出示一個認矛盾,如S陪S即可.例3-溫33反證婦法?Pr釋oo汗f(1慕)(劫p)金P(附加)(2黎)pT(偶1)沖E(3池)r再qP(4揚)qT(淚3)治I(5慨)p慈qT(墻2)宅(4配)I(6夫)p喉qrP(7謀)rT(斯5)業(yè)(6頂)I(8壞)rT(肉3)朗I(9刃)rrT(鎖7)怒(8例)I(2竹)制CP規(guī)則(條件嘉證明其規(guī)則)對于穩(wěn)如下負形式絮的推五理只需度要證皆明因為例3-繼34使用CP規(guī)則歐證明:Pr蜘oo簡f(1咽