函數(shù)模型及其應(yīng)用

三年9考高考指數(shù):★★★1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征，知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用.1.函數(shù)模型的應(yīng)用是高考考查的重點.2.建立函數(shù)模型解決實際問題是高考命題的熱點，常與導(dǎo)數(shù)、均值不等式、函數(shù)的單調(diào)性、最值等交匯命題，主要考查建模能力及分析問題和解決問題的能力.3.選擇題、填空題、解答題三種題型都有所涉及，但以解答題為主.1.三種函數(shù)模型性質(zhì)比較y=ax(a>1）y=logax(a>1）y=xn(n>0)在(0,+∞)上的單調(diào)性增長速度圖象的變化相對平穩(wěn)隨n值變化而不同單調(diào)增函數(shù)單調(diào)增函數(shù)單調(diào)增函數(shù)越來越快越來越慢隨x值增大,圖象與y軸接近平行隨x值增大,圖象與x軸接近平行【即時應(yīng)用】(1)思考：對于直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長三種增長模型，你作為老板，希望公司的利潤和員工獎金按何種模型增長?提示:公司的利潤選擇直線上升或指數(shù)模型增長,而員工獎金選擇對數(shù)模型增長.(2)當x越來越大時，判斷下列四個函數(shù)中，增長速度最快的是_______.①y=2x,②y=x10,③y=lgx,④y=10x2【解析】由函數(shù)圖象知，y=2x的增長速度最快.答案:①(3)函數(shù)y=2x與y=x2的圖象的交點個數(shù)是______.【解析】由y=2x與y=x2的圖象知有3個交點.答案:3(4)當2＜x＜4時,2x,x2,log2x的大小關(guān)系是______.【解析】在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)y=log2x,y=x2,y=2x的圖象,在區(qū)間(2，4)內(nèi)從上往下依次是y=x2,y=2x,y=log2x的圖象，所以x2＞2x＞log2x.答案:x2＞2x＞log2x2.常見的幾種函數(shù)模型(1)直線模型:一次函數(shù)模型y=___________,圖象增長特點是直線式上升(x的系數(shù)k＞0),通過圖象可以直觀地認識它,特例是正比例函數(shù)模型y=_________.(2)反比例函數(shù)模型:y=_______,增長特點是y隨x的增大而減小.kx+b(k≠0)kx(k＞0)(3)指數(shù)函數(shù)模型:y=a·bx+c(b＞0,b≠1,a≠0)型，其增長特點是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越快(底數(shù)b＞1,a＞0)，常形象地稱為指數(shù)爆炸.(4)對數(shù)函數(shù)模型:y=mlogax+n(a＞0,a≠1,m≠0)型，增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢(底數(shù)a＞1,m＞0).(5)冪函數(shù)模型:y=a·xn+b(a≠0)型，其中最常見的是二次函數(shù)模型:__________(a≠0)，其特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值先減小，后增大(a＞0).(6)分段函數(shù)模型：,其特點是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同.可以先將其當作幾個問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的取值范圍,特別是端點.y=ax2+bx+c【即時應(yīng)用】(1)據(jù)報道，全球變暖使北冰洋冬季冰雪覆蓋面積在最近50年內(nèi)減少了5%，如果按此速度，設(shè)2011年的冬季冰雪覆蓋面積為m，從2011年起，經(jīng)過x年后，北冰洋冬季冰雪覆蓋面積y與x的函數(shù)關(guān)系式是______.(2)某公司為了適應(yīng)市場需求對產(chǎn)品結(jié)構(gòu)進行了重大調(diào)整，調(diào)整后初期利潤增長迅速，后期增長越來越慢，若要建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型來反映該公司調(diào)整后利潤y與時間x的關(guān)系，可選用六種常見模型中的_____.(3)某種電熱水器的水箱盛滿水是200L，加熱到一定溫度，即可用來洗浴.洗浴時，已知每分鐘放水34L，若放水t分鐘時，同時自動注水總量為2t2L.當水箱內(nèi)的水量達到最少時，放水程序自動停止，現(xiàn)假定每人洗浴用水量為65L，則該熱水器一次至多可供______人洗浴.【解析】(1)設(shè)每年的冰雪覆蓋面積與上一年的比為a,則由題意得1-0.05=a50.∴a=∴y=(

)x·m=

m,x∈N*.(2)由增長特點知應(yīng)選對數(shù)函數(shù)模型.(3)在放水程序自動停止前,水箱中的水量為y=2t2-34t+200=2(t-8.5)2+55.5，由二次函數(shù)的性質(zhì)得，經(jīng)過8.5min，放水停止,共出水34×8.5=289(L)，289÷65≈4.45.故至多可供4人洗浴.答案：(1)y=m,x∈N*(2)對數(shù)函數(shù)模型(3)4

利用函數(shù)刻畫實際問題【方法點睛】用函數(shù)圖象刻畫實際問題的解題思路將實際問題中兩個變量間變化的規(guī)律(如增長的快慢、最大、最小等)與函數(shù)的性質(zhì)(如單調(diào)性、最值等)、圖象(增加、減少的緩急等)相吻合即可.【例1】如圖所示，向高為H的容器A，B，C，D中同時以等速注水，注滿為止：(1)若水深h與注水時間t的函數(shù)圖象是下圖中的(a)，則容器的形狀是______;(2)若水量v與水深h的函數(shù)圖象是下圖中的(b)，則容器的形狀是______;(3)若水深h與注水時間t的函數(shù)圖象是下圖中的(c)，則容器的形狀是______;(4)若注水時間t與水深h的函數(shù)圖象是下圖中的(d)，則容器的形狀是______.【解題指南】根據(jù)實際問題中水深h,水量v和注水時間t之間的關(guān)系，結(jié)合圖象使之吻合即可.【規(guī)范解答】(1)該題圖中的(a)說明了注入水的高度是勻速上升的，只有C中的容器能做到，所以應(yīng)填C；(2)該題圖中的(b)說明了水量v增長的速度隨著水深h的增長越來越快，在已知的四個容器中，只有A中的容器能做到，所以應(yīng)填A(yù)；(3)該題圖中的(c)說明水深h與注水時間t之間的對應(yīng)關(guān)系，且反映出來的是升高的速度是由快到慢再到快，在已知的四個容器中，只有D中的容器能做到，所以應(yīng)填D；(4)該題圖中的(d)說明水深h與注水時間t之間的對應(yīng)關(guān)系，且反映出來的是水深升高的速度是先慢后快，在已知的四個容器中，只有B中的容器能做到，所以應(yīng)填B.答案：(1)C(2)A(3)D(4)B【反思·感悟】用函數(shù)刻畫實際問題的關(guān)鍵是分析所給實際問題中兩個變量間的關(guān)系，從中發(fā)現(xiàn)其變化的規(guī)律，并與函數(shù)的圖象、性質(zhì)聯(lián)系起來，從而使問題解決.【變式訓練】如圖所示，一質(zhì)點P(x,y)在xOy平面上沿曲線運動，速度大小不變，其在x軸上的投影點Q(x,0)的運動速度V=V(t)的圖象大致為()【解析】選B.由圖可知，當質(zhì)點P(x,y)在兩個封閉曲線上運動時，投影點Q(x,0)的速度先由正到0、到負數(shù)，再到0，到正，故A錯誤；質(zhì)點P(x,y)在終點的速度是由大到小接近0，故D錯誤；質(zhì)點P(x,y)在開始時沿直線運動，故投影點Q(x,0)的速度為常數(shù)，因此C是錯誤的，故選B.

利用已知函數(shù)模型解決實際問題【方法點睛】利用已知函數(shù)模型解決實際問題的步驟若題目給出了含參數(shù)的函數(shù)模型，或可確定其函數(shù)模型的圖象,求解時先用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式中相關(guān)參數(shù)的值,再用求得的函數(shù)解析式解決實際問題.【提醒】要結(jié)合實際意義限制自變量的范圍.【例2】(1)某產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺)之間的函數(shù)關(guān)系式是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N)，若每臺產(chǎn)品的售價為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本時(銷售收入不小于總成本)的最低產(chǎn)量是()(A)100臺(B)120臺(C)150臺(D)180臺(2)為了預(yù)防流感,某學校對教室采用藥熏消毒法進行消毒.已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)成正比;藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為y=(a為常數(shù))，如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，求從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的函數(shù)關(guān)系式為________.【解題指南】(1)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及實際意義解題即可.(2)結(jié)合圖象通過特殊點用待定系數(shù)法求出關(guān)系式.【規(guī)范解答】(1)選C.∵要使生產(chǎn)者不虧本，則有3000+20x-0.1x2≤25x,解上式得：x≤-200或x≥150,又∵0<x<240,x∈N，∴x的最小值為150.(2)藥物釋放過程中,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)成正比,則設(shè)函數(shù)y=kt(k≠0),將點(0.1,1)代入可得k=10,則y=10t;將點(0.1,1)代入y=

,得a=則所求關(guān)系式為y=答案:y=【互動探究】本例(2)中題干不變,若據(jù)測定,當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時,學生方可進教室,那么從藥物釋放開始,至少需要經(jīng)過______小時后,學生才能回到教室.【解析】由本例(2)知,令得t==0.6.即從藥物釋放開始,至少需要經(jīng)過0.6小時后,學生才能回到教室.答案:0.6【反思·感悟】解決這類已給出數(shù)學模型的實際問題,關(guān)鍵是從實際問題分析出其經(jīng)過的特殊點或滿足的特殊情況,從而代入求得其解析式.【變式備選】已知某物體的溫度θ(單位:攝氏度)隨時間t(單位:分鐘)的變化規(guī)律是:θ=m·2t+21-t(t≥0，并且m＞0).(1)如果m=2,求經(jīng)過多少時間,物體的溫度為5攝氏度;(2)若物體的溫度總不低于2攝氏度,求m的取值范圍.【解析】(1)若m=2,則θ=2·2t+21-t=當θ=5時，2t+令x=2t，則x≥1,則即2x2-5x+2=0,解得x=2或x=(舍去),此時t=1.所以經(jīng)過1分鐘，物體的溫度為5攝氏度.(2)物體的溫度總不低于2攝氏度，即θ≥2恒成立，亦恒成立.亦即

恒成立.令y=，則0＜y≤1,∴m≥2(y-y2),由于y-y2≤

,∴m≥

.因此，當物體的溫度總不低于2攝氏度時，m的取值范圍是［

,+∞).

自建函數(shù)模型解決實際問題【方法點睛】建立函數(shù)模型解決實際問題的步驟(1)審題：深刻理解題意，分清條件和結(jié)論，理順其中的數(shù)量關(guān)系，把握其中的數(shù)學本質(zhì)；(2)建模：由題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學模型，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題；(3)解模：用數(shù)學知識和方法解決轉(zhuǎn)化出的數(shù)學問題；(4)還原：回到題目本身，檢驗結(jié)果的實際意義，給出結(jié)論.【例3】(2012·廣州模擬)某企業(yè)為打入國際市場,決定從A、B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進行投資生產(chǎn),已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表:(單位:萬美元)

項目類別年固定成本每件產(chǎn)品成本每件產(chǎn)品銷售價每年最多可生產(chǎn)的件數(shù)A產(chǎn)品20m10200B產(chǎn)品40818120其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān),m為待定常數(shù),其值由生產(chǎn)A產(chǎn)品的原材料價格決定,預(yù)計m∈［6,8］,另外,年銷售x件B產(chǎn)品時需上交0.05x2萬美元的特別關(guān)稅.假設(shè)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品都能在當年銷售出去.(1)寫出該廠分別投資生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的年利潤y1,y2與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系并指明其定義域;(2)如何投資最合理(可獲得最大年利潤)?請你做出規(guī)劃.【解題指南】根據(jù)題意分別寫出生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的年利潤y1,y2的函數(shù)關(guān)系,再利用函數(shù)的單調(diào)性求得y1,y2的最大值,再比較最大值之間的大小關(guān)系.【規(guī)范解答】(1)年銷售量為x件,生產(chǎn)A、B兩產(chǎn)品的年利潤y1,y2,則y1=10x-(20+mx)=(10-m)x-20(0≤x≤200且x∈N)，y2=18x-(40+8x)-0.05x2=-0.05x2+10x-40=-0.05(x-100)2+460(0≤x≤120,x∈N).(2)∵6≤m≤8,∴10-m>0,∴y1=(10-m)x-20為增函數(shù).又0≤x≤200,x∈N,∴x=200時,生產(chǎn)A產(chǎn)品有最大利潤為(10-m)×200-20=1980-200m(萬美元).又y2=-0.05(x-100)2+460,0≤x≤120,x∈N,∴當x=100時,生產(chǎn)B產(chǎn)品有最大利潤為460(萬美元).因為(y1)max-(y2)max=(1980-200m)-460=1520-200m所以,當6≤m<7.6時,可投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件;當m=7.6時,投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件與生產(chǎn)B產(chǎn)品100件均可;當7.6<m≤8時,可投資生產(chǎn)B產(chǎn)品100件.【反思·感悟】解決這類問題常見的兩個誤區(qū)(1)不會將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，從而無法求解.(2)在求解過程中忽視實際問題對變量參數(shù)的限制條件.【變式訓練】(2012·西安模擬)據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測:發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動,其移動速度v(km/h)與時間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示,過線段OC上一點T(t,0)作橫軸的垂線l,梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km).(1)當t=4時,求s的值;(2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學關(guān)系式表示出來;(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650km,試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城,如果會,在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城?如果不會,請說明理由.【解析】(1)由圖象可知:當t=4時,v=3×4=12,∴s=×4×12=24(km).(2)當0≤t≤10時,s=·t·3t=當10＜t≤20時，s=×10×30+30(t-10)=30t-150;當20＜t≤35時，s=×10×30+10×30+(t-20)×30-×(t-20)×2(t-20)=-t2+70t-550.綜上，可知s=(3)∵t∈［0,10］時,smax=×102=150＜650,t∈(10,20］時，smax=30×20-150=450＜650,∴當t∈(20,35］時，令-t2+70t-550=650.解得t1=30,t2=40.∵20＜t≤35,∴t=30.∴沙塵暴發(fā)生30h后將侵襲到N城.【變式備選】某公司是專門生產(chǎn)健身產(chǎn)品的企業(yè)，第一批產(chǎn)品A上市銷售40天內(nèi)全部售完，該公司對第一批產(chǎn)品A上市后的市場銷售進行調(diào)研，結(jié)果如圖(1)、(2)所示.其中(1)的拋物線表示的是市場的日銷售量與上市時間的關(guān)系；(2)的折線表示的是每件產(chǎn)品A的銷售利潤與上市時間的關(guān)系.(1)寫出市場的日銷售量f(t)與第一批產(chǎn)品A上市時間t的關(guān)系式；(2)第一批產(chǎn)品A上市后的第幾天，這家公司日銷售利潤最大，最大利潤是多少?【解析】(1)設(shè)f(t)=a(t-20)2+60,由f(0)=0可知a=,即f(t)=(2)設(shè)銷售利潤為g(t)萬元，則當30≤t≤40時，g(t)單調(diào)遞減；當0<t<30時，g′(t)=+24t,易知g(t)在(0，)上單調(diào)遞增，(，30)上單調(diào)遞減，而t∈N，故比較g(26),g(27),經(jīng)計算，g(26)=2839.2<g(27)=2843.1，故第一批產(chǎn)品A上市后的第27天，這家公司日銷售利潤最大，最大利潤是2843.1萬元.【滿分指導(dǎo)】函數(shù)應(yīng)用解答題的規(guī)范解答【典例】(12分)(2011·江蘇高考)請你設(shè)計一個包裝盒.如圖所示,ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得A,B,C,D四個點重合于圖中的點P,正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒.E、F在AB上,是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點.設(shè)AE=FB=x(cm).(1)某廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問x應(yīng)取何值?(2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問x應(yīng)取何值?并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.【解題指南】解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)條件將側(cè)面積和容積表示成x的函數(shù)，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值求法和導(dǎo)數(shù)法求解.【規(guī)范解答】設(shè)包裝盒的高為h(cm)，底面邊長為a(cm).由已知得

…………2分(1)S=4ah=8x(30-x)…………4分=-8(x-15)2+1800,所以當x=15時,S取得最大值.……………6分(2)V=,…………………8分V′=由V′=0得x=0(舍)或x=20.…………………9分當x∈(0,20)時,V′＞0;當x∈(20,30)時,V′＜0.所以當x=20時,V取得極大值,也是最大值.…11分此時，即包裝盒的高與底面邊長的比值為.………12分【閱卷人點撥】通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下失分警示和備考建議：失分警示在解答本題時有兩點容易造成失分：(1)忽視實際問題對變量x的限制即定義域.(2)將側(cè)面積、容積求錯，從而造成后續(xù)的求解不正確.備考建議解決函數(shù)應(yīng)用的解答題，還有以下幾點容易造成失分，在備考中要高度關(guān)注：(1)讀不懂實際背景，不能將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型.(2)對涉及到的相關(guān)公式，記憶錯誤.(3)在求解的過程中計算錯誤.另外需要熟練掌握求解方程、不等式、函數(shù)最值的方法，才能快速正確的求解.

1.(2012·梅州模擬)牛奶保鮮時間因儲藏時溫度不同而不同，假定保鮮時間與儲藏溫度是一種指數(shù)函數(shù)型關(guān)系.若牛奶放在0℃的冰箱中，保鮮時間約是192h,而在22℃的廚房中則約是42h，則保鮮時間y(h)關(guān)于儲藏溫度x(℃)的函數(shù)解析式是()【解析】選D.設(shè)y=a·bx.

則由已知得:∴y=2.(2012·佛山模擬)某種產(chǎn)品市場產(chǎn)銷量情況如圖所示，其中l(wèi)1表示產(chǎn)品各年年產(chǎn)量的變化規(guī)律；l2表示產(chǎn)品各年的銷售情況，下列敘述：(1)產(chǎn)品產(chǎn)量、銷售量均以直線上升，仍可按原生產(chǎn)計劃進行下去;(2)產(chǎn)品已經(jīng)出現(xiàn)了供大于求的情況，價格將趨跌；(3)產(chǎn)品的庫存積壓將越來越嚴重，應(yīng)壓縮產(chǎn)量或擴大銷量.你認為較合理的敘述是()(A)(1)(2)(3)(B)(1)(3)(C)(2)